Mécanique Générale : Cours et Exercices pour Classes Préparatoires

République Tunisienne
Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la
Technologie
Université El Manar
رﺎﻨﻤﻟﺎﺑ ﺔﻴﺳﺪﻨﻬﻟا تﺎﺳارﺪﻠﻟ يﺮﻴﻀﺤﺘﻟا ﺪﻬﻌﻤﻟا
Institut Préparatoire aux Etudes d’Ingénieurs – El Manar
Juin 2009
Cours et Exercices de
Mécanique Générale
Classes Préparatoires aux Etudes d’Ingénieurs
1ères & 2èmes années
Options : MP, PC & PT
K
amel MEHDI

Cours de Mécanique Générale Kamel MEHDI Juin 2009
ii
Avant-propos
Ce support de cours et ces applications sont destinés aux étudiants des 1ères et des 2èmes
années du cycle préparatoire aux études d’ingénieurs. Ils sont élaborés conformément au
programme officiel fixé par le Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche
Scientifique et de la Technologie (République Tunisienne).
Les bases théoriques de ce support, figurant dans de nombreux ouvrages de Mécanique
Générale, sont extraites essentiellement des livres et des cours suivants :
1. P. Agati, Y. Brémont et G. Delville. (1996) « Mécanique du solide : Applications
Industrielles », Ed. Dunod – Paris
2. C. Bard, J. F. Rigal (1996) « Cours de Mécanique Générale », Insa Lyon.
3. J. C. Bône, J. Morel et M. Boucher (1994) « Mécanique générale : Cours et
Applications avec exercices et problèmes résolus », Ed. Dunod – Paris
4. A. Dhieb (1986) « Cours de Mécanique Générale », ENIS
5. J. Fayet (1997) « Mécanique du solide », Ed. Belin – Paris
6. B. Gattoufi (1985) « Cours de Mécanique Générale », ENIT
Une sélection d’exercices est fournie en annexe. Ces exercices constituent des sujets
d’examen et des devoirs surveillés que j’ai proposés avec mes collègues enseignants aux
étudiants de l’I.P.E.I. de Mateur (1996-2002), de l’I.P.E.I. El Manar (2002-2009) et de la
F.S.T (2003-2009).
Kamel MEHDI

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Table des Matières
CHAPITRE I : CALCUL VECTORIEL............................................................................................................... 1
I. CARACTERISTIQUES D’UN VECTEUR................................................................................................. 1
II. DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS ..................................................................................................... 1
III. OPERATIONS SUR LES VECTEURS.................................................................................................. 2
III.1. SOMME ET DIFFERENCE............................................................................................................................ 2
III.2. MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE............................................................................... 2
III.3. PRODUIT SCALAIRE.................................................................................................................................. 2
III.3.1. Définition....................................................................................................................................... 2
III.3.2. Propriété........................................................................................................................................ 3
III.3.3. Composantes d’un vecteur............................................................................................................ 3
III.3.4. Expression du produit scalaire en coordonnées cartésiennes..................................................... 4
III.4. PRODUIT VECTORIEL................................................................................................................................5
III.4.1. Définition....................................................................................................................................... 5
III.4.2. Propriétés ...................................................................................................................................... 5
III.4.3. Interprétation géométrique ........................................................................................................... 6
III.4.4. Composantes du produit vectoriel (coordonnées cartésiennes) .................................................. 6
III.4.5. Double produit vectoriel ............................................................................................................... 7
III.5. PRODUIT MIXTE........................................................................................................................................ 7
III.5.1. Définition....................................................................................................................................... 7
III.5.2. Propriétés ...................................................................................................................................... 7
III.5.3. Valeur du produit mixte en coordonnées cartésiennes................................................................. 7
III.5.4. Interprétation géométrique ........................................................................................................... 8
IV. DIVISION VECTORIELLE .................................................................................................................... 8
V. MOMENTS D’UN VECTEUR LIE PAR RAPPORT A UN POINT....................................................... 9
VI. MOMENTS D’UN VECTEUR GLISSANT PAR RAPPORT A UN AXE....................................... 10
VII. EXERCICES D’APPLICATION........................................................................................................... 10
CHAPITRE II ; TORSEURS................................................................................................................................ 13
I. APPLICATION SYMETRIQUE ET ANTISYMETRIQUE .................................................................. 13
I.1. DEFINITION ET THEOREME..................................................................................................................... 13
I.2. PROPRIETES D’UNE APPLICATION ANTISYMETRIQUE............................................................................. 14
II. CHAMP DE VECTEURS............................................................................................................................ 14
II.1. DEFINITIONS .......................................................................................................................................... 14
II.1.1. Champ de vecteurs ...................................................................................................................... 14
II.1.2. Champ affine ............................................................................................................................... 15
II.1.3. Champ antisymétrique................................................................................................................. 15
II.1.4. Champ équiprojectif.................................................................................................................... 15
III. LES TORSEURS ..................................................................................................................................... 15
III.1. DEFINITION ............................................................................................................................................ 15
III.2. INVARIANTS D’UN TORSEUR .................................................................................................................. 16
III.2.1. Invariant vectoriel....................................................................................................................... 16
III.2.2. Invariant scalaire........................................................................................................................ 16
III.3. EQUIPROJECTIVITE................................................................................................................................. 16
III.4. AXE CENTRAL D’UN TORSEUR ............................................................................................................... 17
III.4.1. Définition..................................................................................................................................... 17

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III.4.2. Equation vectorielle de l’axe central.......................................................................................... 17
III.4.3. Définitions ................................................................................................................................... 18
III.5. OPERATIONS SUR LES TORSEURS ........................................................................................................... 18
III.5.1. Combinaison linéaire de deux torseurs...................................................................................... 18
III.5.2. Egalité de deux torseurs.............................................................................................................. 18
III.5.3. Produit ou Comoment de deux torseurs ..................................................................................... 18
III.6. CLASSIFICATION DES TORSEURS A L’AIDE DE L’INVARIANT SCALAIRE................................................. 19
III.6.1. Cas où l’invariant scalaire est automatiquement nul (torseur dit dégénéré)............................ 19
III.6.2. Cas où l’invariant scalaire est automatiquement non nul ......................................................... 19
III.7. DECOMPOSITION D’UN TORSEUR DE TYPE QUELCONQUE ...................................................................... 20
III.7.1. Décomposition en un point.......................................................................................................... 20
III.7.2. Décomposition centrale .............................................................................................................. 20
III.8. DEFINITION DES TORSEURS EQUIVALENTS ............................................................................................ 21
III.8.1. Torseur équivalent à un vecteur lié (,)Au
r
.............................................................................. 21
III.8.2. Torseur équivalent à un ensemble fini de vecteurs liés (,)
..
Au
iiin
r
=1..................................... 22
III.8.3. Torseur équivalent à un champ de vecteurs
r
f()PP∈Ω .............................................................. 22
III.9. TORSEURS PARTICULIERS ...................................................................................................................... 23
III.9.1. Système de vecteurs concourants (, ).. Au
ii n
r
=1......................................................................... 23
III.9.2. Système de vecteurs parallèles.................................................................................................... 23
IV. EXERCICES D’APPLICATION........................................................................................................... 25
CHAPITRE III : PARAMETRAGE.................................................................................................................... 44
I. PARAMETRAGE D’UN SOLIDE ............................................................................................................. 44
I.1. NOTION DE SOLIDE INDEFORMABLE ...................................................................................................... 44
I.2. PARAMETRAGE DE LA POSITION D’UN SOLIDE....................................................................................... 44
I.2.1. Paramétrage de la position de l’origine du repère )z,y,x,(OR 11111
r
r
r
dans le repère R(O,x,y,z)
r
r
r
45
I.2.2. Paramétrage de l’orientation de la base du repère )z,y,x,(OR 11111
r
r
r
par rapport à la base du
repère R(O,x,y,z)
r
r
r
..................................................................................................................................... 47
I.3. APPLICATIONS ....................................................................................................................................... 49
I.3.1. Paramétrage d’un double pendule .................................................................................................. 49
I.3.2. Paramétrage de la position d’un disque en mouvement par rapport à un repère fixe (d’après
Gatoufi [1985])............................................................................................................................................... 50
II. PARAMETRAGE DES LIAISONS MECANIQUES NORMALISEES ............................................... 51
II.1. REPERE LOCAL ASSOCIE A UNE LIAISON ................................................................................................ 51
II.2. DEGRES DE LIBERTES D’UNE LIAISON.................................................................................................... 51
II.3. SCHEMATISATION DES LIAISONS NORMALISEES.................................................................................... 53
III. PARAMETRAGE D’UN MECANISME (SYSTEME DE SOLIDES) ............................................. 54
III.1. NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE D’UN MECANISME ............................................................................. 54
III.2. GRAPHE DES LIAISONS ........................................................................................................................... 55
III.3. LIAISON EN PARALLELE ......................................................................................................................... 55
III.3.1. Définition..................................................................................................................................... 55
III.3.2. Liaison équivalente ..................................................................................................................... 55
III.4. LIAISON EN SERIE................................................................................................................................... 56
III.4.1. Définition..................................................................................................................................... 56
III.4.2. Liaison équivalente ..................................................................................................................... 56
III.5. CHAINE FORMEE DE SOLIDES................................................................................................................. 56
III.5.1. Définition..................................................................................................................................... 56
III.5.2. Loi entrée-sortie.......................................................................................................................... 56
IV. EXERCICES D’APPLICATION........................................................................................................... 58
CHAPITRE IV : CINEMATIQUE ...................................................................................................................... 61

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I. INTRODUCTION ET DEFINITIONS ...................................................................................................... 61
I.1. MOUVEMENT ABSOLU ET MOUVEMENT RELATIF................................................................................... 61
I.2. VECTEUR DE POSITION D’UN POINT D’UN SOLIDE.................................................................................. 62
I.3. VECTEUR DE VITESSE D’UN POINT D’UN SOLIDE ................................................................................... 62
I.4. VECTEUR D’ACCELERATION D’UN POINT D’UN SOLIDE......................................................................... 62
II. FORMULE DE DERIVATION VECTORIELLE ................................................................................... 62
II.1. DERIVEE D’UN VECTEUR MOBILE PAR RAPPORT A UN REPERE .............................................................. 62
II.2. DERIVATION COMPOSEE D’UN VECTEUR MOBILE PAR RAPPORT A DEUX REPERES................................ 63
II.2.1. Cas d’un mouvement plan
r
r
zz
=
1 (direction fixe).................................................................... 64
II.2.2. Cas d’un mouvement spatiale .....................................................................................................65
II.3. COMPOSITION DES VECTEURS DES VITESSES INSTANTANEES DE ROTATION.......................................... 67
III. CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE ............................................................................ 68
III.1. CHAMP DES VITESSES D’UN SOLIDE....................................................................................................... 68
III.2. DIFFERENTS MOUVEMENTS D’UN SOLIDE.............................................................................................. 70
III.3. COMPOSITION DES VECTEURS DES VITESSES ......................................................................................... 71
III.4. COMPOSITION DES TORSEURS CINEMATIQUE......................................................................................... 73
III.5. CHAMP DES ACCELERATIONS D’UN SOLIDE ........................................................................................... 74
III.6. COMPOSITION DES VECTEURS DES ACCELERATIONS ............................................................................. 75
IV. CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACT .............................................................................. 78
IV.1. VECTEUR DE VITESSE DE GLISSEMENT EN UN POINT DE CONTACT ENTRE DEUX SOLIDES..................... 78
IV.2. VECTEURS ROTATION DE ROULEMENT ET ROTATION DE PIVOTEMENT ............................................... 80
IV.3. LES SURFACES AXOÏDES DU MOUVEMENT ............................................................................................. 80
IV.3.1. Définition..................................................................................................................................... 80
IV.3.2. Propriété...................................................................................................................................... 80
V. MOUVEMENT PLAN SUR PLAN (CINEMATIQUE PLANE) ........................................................... 82
V.1. CENTRE INSTANTANE DE ROTATION « C.I.R. » .................................................................................... 82
V.2. BASE ET ROULANTE............................................................................................................................... 83
V.2.1. Définitions........................................................................................................................................ 83
V.2.2. Propriété........................................................................................................................................... 83
V.3. RECHERCHE GEOMETRIQUE DU CENTRE INSTANTANE DE ROTATION................................................... 84
V.4. MOUVEMENT PLAN SUR PLAN DE TROIS PLANS ..................................................................................... 87
VI. TORSEUR CINEMATIQUE DES LIAISONS.................................................................................... 88
CHAPITRE V : ACTIONS MECANIQUES & STATIQUE............................................................................ 90
I. REPRESENTATION MATHEMATIQUE DES ACTIONS MECANIQUES...................................... 90
I.1. DEFINITION ............................................................................................................................................ 90
I.2. CLASSIFICATION .................................................................................................................................... 90
I.3. PREMIER PRINCIPE DE LA STATIQUE ...................................................................................................... 91
II. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE : APPLICATION AU CHAMP
DE PESANTEUR ................................................................................................................................................... 91
III. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT .............................................. 92
III.1. TORSEUR D’ACTION MECANIQUE DE CONTACT ..................................................................................... 92
III.2. ACTION DE CONTACT AVEC FROTTEMENT : LOIS DE COULOMB............................................................ 93
III.3. HYPOTHESE DU CONTACT SANS FROTTEMENT....................................................................................... 95
III.4. SOLIDES EN CONTACT PONCTUEL .......................................................................................................... 95
III.4.1. Loi de Coulomb pour le frottement de glissement...................................................................... 96
III.4.2. Loi de Coulomb pour le frottement de pivotement..................................................................... 96
III.4.3. Loi de Coulomb pour le frottement de roulement....................................................................... 97
III.4.4. Torseur des actions des liaisons normalisées (sans frottement)................................................ 98
IV. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S.).............................................................. 99