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FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE - AGADIR
2012/2013
Examen de mécanique du solide indéformable
Session normale - Janvier 2013
SM3 - SMI3 - ERDD3
Durée : 1h 30’ Problème : étude mécanique d’un culbuto (*)
Un solide de révolution (S) appelé culbuto est constitué par une demi-sphère (S1) et un cylindre (S2) de
même base. On désigne par a le rayon de cette base et par H son centre ; la hauteur du cylindre
circulaire (S2) est notée h. (S1) et (S2) sont des solides pleins homogènes de masses respectives m1 et m2
r
et de même densité volumique ρ . On note ( H , z ) l’axe de révolution du solide (S) orienté de (S1) vers
r r r
(S2), et R ( H , x , y, z ) un repère orthonormé direct lié à (S).
r
z0
r
z0
r
z
ϕ
(S)
θ
O
r
y0
G
H
ψ
r
x0
I
r
u
Figure - description générale du système
r
On note M la masse totale du système et G son centre d’inertie tel que HG = Lz .
r r r
r
Soit R0 (O, x0 , y 0 , z 0 ) un repère orthonormé direct supposé être galiléen, avec (O, z 0 ) vertical ascendant.
On repère la position de (S) dans ce référentiel par les coordonnées (x, y, z) de G et par les angles
r r r
r r r
d’Euler habituels (ψ , θ , ϕ ) . On note R1 (O, u , v , z 0 ) et R2 (O, u , w, z ) les deux repères intermédiaires. Le
solide (S) est situé dans le demi-espace z 0 f 0 et est assujetti à se déplacer de telle façon que sa partie
r r
hémisphérique soit en contact ponctuel en un point I avec le plan fixe (O, x0 , y 0 ) (voir figure).
( )
* Jouet pour enfant qui se redresse toujours même quand on le renverse car sa base est lestée.
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Rachid MESRAR
Examen de mécanique du solide – session normale 2013
PARTIE A – ETUDE CINEMATIQUE
CINEMATIQUE (7,5 points)
r
Q1- Représenter les figures de calcul et donner l’expression du vecteur instantané de rotation Ω( S / R0 ) .
r
r r r
Q2- Quelles sont les composantes de Ω( S / R0 ) dans la base de Résal (u , w, z ) ?
r r
Q3- Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan fixe (O, x0 , y 0 ) .
Dans la suite du problème, cette condition de maintien de contact sera prise en compte.
Q4- Quel est alors le nombre de degrés de liberté du système ?
r
Q5- Calculer la vitesse V (G / R0 ) .
r
Q6- Calculer l’accélération Γ(G / R0 ) .
r r
Q7- Déterminer la vitesse de glissement en I de (S) par rapport au plan (O, x0 , y 0 ) par ses composantes
r r r
dans la première base intermédiaire (u , v , z 0 ) . Commenter le résultat obtenu.
PARTIE B - GEOMETRIE DES MASSES (7.5 points)
Dans cette partie, toutes les grandeurs vectorielles et matricielles seront exprimées dans la
r r r
base ( x , y, z ) .
Q8- Déterminer la position du centre d’inertie G1 de la demi-sphère (S1).
Q9Q10Q11Q12Q13-
En déduire la position HG du centre d’inertie G du système, en exprimant L en fonction de a et h.
Déterminer la matrice d’inertie en H de la demi-sphère (S1).
Déterminer la matrice d’inertie en H du cylindre (S2).
En déduire la matrice d’inertie en H du système (S).
Par application du théorème de Huygens généralisé, déterminer la matrice centrale d’inertie du
culbuto.
PARTIE C – ETUDE CINETIQUE (5 points)
Afin de simplifier l’écriture dans cette partie, on adoptera pour la matrice centrale
d’inertie de (S), la forme de Binet suivante:
M G( S )
 AG

= 0
 0

0
AG
0
0 

0 
C G  ( − , − , zr )
Q14- Déterminer le torseur cinétique en G de (S) dans son mouvement par rapport à (R0).
Q15- Déterminer le torseur dynamique en G de (S) dans son mouvement par rapport à (R0).
Q16- En utilisant le théorème de Koenig, calculer l’énergie cinétique du système.
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Rachid MESRAR
Examen de mécanique du solide – session normale 2013