cours sur les systemes asservis

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU
FACULTÉ DE GENIE ELECTRIQUE
ET D’ IFORMATIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
Cours sur les systèmes
asservis linéaires continus
Par :
Rachid MANSOURI
Année Universitaire : 2016/2017

Table des matières
1 Transformation de Laplace 1
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Propriétés usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4 Changement d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.5 Théorème du retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.6 Translation dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.7 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Transformation de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Cas où les pôles de F(p)sont tous simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Cas où le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Cas où F(p)admet un pôle multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Cas où F(p)admet deux pôles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Tableau des transformées de Laplace inverses usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas 15
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Généralités sur les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Système de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Commande en boucle ouverte et commande en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4 Système asservi et système de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5 Mise en œuvre d’un asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Modélisation des systèmes et schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Définition de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ii TABLE DES MATIÈRES
2.4 Formes particulières de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Forme générale : (appelée aussi forme d’Evans) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Forme constante de temps : (appelée aussi forme de Bode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1 Eléments de la représentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Algèbre des schémas dans la représentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.3 Manipulation des schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Modélisation de la machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Commande par l’induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Commande par l’inducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel 37
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Objectifs de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Fonctions de transfert dans un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Signaux typiques utilisés dans l’analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 L’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 L’échelon unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.3 La rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.1 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.2 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.4 Dilemme stabilité - précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Etude d’un système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.2 Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6.3 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Etude d’un système du premier ordre à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Etude d’un système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.2 Détermination des paramètres du modèle du second ordre avec dépassement à partir de sa réponse indicielle 61
4 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires 65
4.1 Echelle logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Analyse fréquentielle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

TABLE DES MATIÈRES iii
4.2.3 Diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Tracé du diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Cas de deux systèmes en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Diagramme de Bode d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.3 Diagramme de Bode d’un integrateur ou d’un dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.4 Diagramme de Bode d’un Système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.5 Diagramme de Bode d’un Système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77