RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique UNIVERSITÉ MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU FACULTÉ DE GENIE ELECTRIQUE ET D’ IFORMATIQUE DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE Cours sur les systèmes asservis linéaires continus Par : Rachid MANSOURI Année Universitaire : 2016/2017 Table des matières 1 Transformation de Laplace 1 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Propriétés usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4 Changement d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.5 Théorème du retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.6 Translation dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.7 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Transformation de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Cas où les pôles de F (p) sont tous simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Cas où le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Cas où F (p) admet un pôle multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4 Cas où F (p) admet deux pôles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Tableau des transformées de Laplace inverses usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 2 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas 15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Généralités sur les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Système de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Commande en boucle ouverte et commande en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.4 Système asservi et système de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.5 Mise en œuvre d’un asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Modélisation des systèmes et schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Définition de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 ii TABLE DES MATIÈRES 2.4 2.5 2.6 2.7 Formes particulières de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Forme générale : (appelée aussi forme d’Evans) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.3 Forme constante de temps : (appelée aussi forme de Bode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1 Eléments de la représentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2 Algèbre des schémas dans la représentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.3 Manipulation des schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Modélisation de la machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6.1 Commande par l’induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6.2 Commande par l’inducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel 37 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Objectifs de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Fonctions de transfert dans un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Signaux typiques utilisés dans l’analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1 L’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.2 L’échelon unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.3 La rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Performances dynamiques des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5.1 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5.2 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5.4 Dilemme stabilité - précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Etude d’un système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6.2 Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6.3 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 Etude d’un système du premier ordre à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8 Etude d’un système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.8.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.8.2 Détermination des paramètres du modèle du second ordre avec dépassement à partir de sa réponse indicielle 6 3.5 3.6 4 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires 65 4.1 Echelle logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Analyse fréquentielle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1 Diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 TABLE DES MATIÈRES 4.2.3 4.3 4.4 iii Diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Tracé du diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 Cas de deux systèmes en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 Diagramme de Bode d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.3 Diagramme de Bode d’un integrateur ou d’un dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.4 Diagramme de Bode d’un Système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.5 Diagramme de Bode d’un Système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Chapitre 1 Transformation de Laplace L’étude et l’analyse des signaux et systèmes peuvent être effectuées soit dans le domaine temporel (dans ce cas on manipule généralement des équations différentielles), soit dans un autre domaine obtenu par une certaine transformation (dans ce cas on manipule plutôt des équations algébriques). Dans le cas de l’analyse des systèmes asservis linéaires on utilise la transformation de Laplace. L’utilisation de l’un ou l’autre des domaines (temporel ou fréquentiel) pour l’analyse des systèmes dépendra de la complexité de l’analyse à effectuer. Dans le domaine temporel on utilise la représentation d’état basée sur l’algèbre matricielle. Dans le domaine fréquentielle par contre, la transformation de Laplace permet de transformer une équation différentielle en une équation algébrique. C’est cette transformation qui est abordée dans ce chapitre. On présentera sa définition, ses principales propriétés et son application pour l’analyse des systèmes linéaires. 1.1 Définition La transformation de Laplace (Astronome Français 1749−1827) est une transformation fonctionnelle qui fait correspondre à une fonction f (t) de variable réelle t, une fonction F (p) de la variable complexe p. On la note F (p) , L f (t) (1.1) Elle est définie par F (p) = Z ∞ e−p t f (t) dt (1.2) 0 où : p = σ + jω, est appelé l’opérateur de Laplace. f (t) est définie pour t ≥ 0 et f (t) = 0 pour t < 0 Lorsque la fonction f (t) est définie pour t ∈ ] − ∞, +∞[, on la multiplie par la fonction échelon unité (fonction de Heaviside), notée γ(t) (γ(t) = 1 pour t ≥ 0 et γ(t) = 0 pour t < 0) afin de ramener le domaine de définition de la fonction f (t) à l’intevalle [0, +∞[. Par exemple, si la fonction considérée est la fonction exponentielle, la figure (1.1) illustre ce changement de domaine de définition en multipliant la fonction exponentielle par la fonction échelon. 2 Transformation de Laplace Figure 1.1: Changement du domaine de définition 1.2 1.2.1 Propriétés usuelles linéarité Etant données λ1 et λ2 deux constantes quelconques, alors h i L λ1 f1 (t) + λ2 f2 (t) = λ1 L f1 (t) + λ2 L f2 (t) (1.3) en particulier, lorsque λ1 = 1 et λ2 = j (j étant un nombre complexe). h i L f (t) + j h(t) = L f (t) + j L h(t) Cette propriété peut être facilement démontrée en utilisant la définition de la transformation de Laplace ainsi que les propriétés de l’opération d’intégration. En effet, h i R h i ∞ L λ1 f1 (t) + λ2 f2 (t) = 0 e−p t λ1 f1 (t) + λ2 f2 (t) dt R∞ R∞ = λ1 0 e−p t f1 (t) dt + λ2 0 e−p t f2 (t) dt h i h i = λ1 L f1 (t) + λ2 L f2 (t) 1.2.2 Dérivation Etant donnée F (p) = L f (t) , peut-on exprimer la transformation de Laplace de Par définition, on a F (p) = Z ∞ d dt f (t) en fonction de F (p) ? e−p t f (t) dt 0 Pour intégrer cette fonction, on utilise la méthode d’integration par partie. Posons alors : U = f (t) et dV = e−p t dt, alors : dU = donc : d dt f (t) dt et V = − p1 e−p t . ainsi : Z 0 d’où : ∞ Z i 1 ∞ −p t h d + e f (t) dt p 0 dt 0 Z i f (0) 1 ∞ −p t h d F (p) = − + e f (t) dt p p 0 dt f (t) −p t F (p) = − e p ∞ e−p t hd i f (t) dt = p F (p) − f (0) dt hd i L f (t) = p F (p) − f (0) dt (1.4) 3 1.2 Propriétés usuelles f (0) étant la valeur de la fonction f (t) lorsque t = 0. On l’appelle la valeur initiale de f (t). de proche en proche, on démontre que : r=2n h dn i X L n f (t) = pn F (p) − p2n−r f (r−1−n) (0) dt r=n+1 (1.5) f (r−1−n) (0) représente la valeur de la dérivée (r − 1 − n)me de f (t) pour t = 0. d2 dt2 f (t) Par exemple, la transformation de Laplace de est donnée par i h d2 L 2 f (t) = p2 F (p) − p f ′ (0) − f (0) dt Lorsque les valeurs initiales de f (t) et de ses dérivées successives sont nulles, alors h dn i L n f (t) = pn F (p) dt 1.2.3 (1.6) Intégration Rt Etant donnée F (p) = L f (t) , peut-on exprimer la transformation de Laplace de 0 f (τ )dτ en fonction de F (p) ? Soit g(t) une primitive de f (t) pour t > 0. Par définition la transformation de Laplace de g(t) est donnée par : On pose alors, U = g(t) donc dU = d dt g(t) L g(t) = g(t) −p t L g(t) = − e p R0 0 e−p t g(t) dt 0 ∞ + 0 1 p Z ∞ e−p t f (t) dt = 0 g(0) 1 + F (p) p p f (τ )dτ ), on obtient finalement : "Z L de manière plus générale, "Z L 1.2.4 ∞ = f (t), puisque g(t) est une primitive de f (t) et dV = e−p t dt donc V = − p1 e−p t . donc comme g(0) = 0 (puisque g(0) = Z | Changement d’échelle f (τ )dτ = 0 t 0 # t ··· Z t1 f (τ )dτ 0 {z } 1 F (p) p # = (1.7) 1 F (p) pn (1.8) n f ois Le changement d’échelle dans le plan de la variable réelle t considéré ici, consiste à multiplier t par une constante, donc à effectuer le changement de variable τ = k t. Etant donnée que F (p) = L f (t) , peut-on déduire la transformation de Laplace de f (k t) ? Par définition la transformation de Laplace de f (k t) est donnée par L f (k t) = Z ∞ e−p t f (k t) dt 0 Posons alors τ = k t, donc dτ = k dt (quand t → 0, τ → 0 et quand t → ∞, τ → ∞). Par conséquent : L f (k t) = Z 0 ∞ e −p τ /k 1 1 f (τ ) dτ = k k Z 0 ∞ e−(p/k) τ f (τ ) dτ 4 Transformation de Laplace Finalement : 1 L f (k t) = F (p/k) k et (1.9) L f (t/k) = k F (k p) 1.2.5 (1.10) Théorème du retard Le principe du retard est illustré par la figure (1.2). Le signal f (t) de la figure de gauche est causal puisqu’il est nul pout t < 0. Le signal de droite a la même forme que le signal f (t) mais il commence un instant plus tard. Comme il a la même forme il peut être exprimé par la même fonction. Par contre, pour montrer le retard τ , on l’exprime par la fonction f (t − τ ). Etant donnée F (p) = L f (t) , peut-on exprimer la transformation de Laplace de f (t − τ ) en fonction de F (p) ? Figure 1.2: retard de la fonction f (t) de τ Par définition la transformation de Laplace de f (t − τ ) est donnée par Z ∞ L f (t − τ ) = e−p t f (t − τ ) dt 0 Il faut noter que l’opérateur de Laplace e −p t n’est pas affecté par le changement d’échelle de temps. Pour harmoniser la base de la variable t entre les fonctions e−pt et f (t − τ ), on peut écrire Z ∞ Z L f (t − τ ) = e−p (t−τ +τ ) f (t − τ ) dt = 0 0 ∞ e−p (t−τ ) e−p τ f (t − τ ) dt en effectuant le changement de variable u = t − τ (du = dt) et en faisant sortir de l’intégrale le terme e−p τ , puisqu’il n’est pas concerné par l’intégration, on obtient Finalement : L f (u) = e−p τ Z ∞ e−p u f (u) du 0 L f (t − τ ) = e−p τ L f (t) (1.11) La transformation de Laplace de la fonction f (t) retardée de τ est égale à la transformation de f (t) multipliée par le terme e−pτ 1.2.6 Translation dans le plan complexe Etant donnée F (p) = L f (t) , peut-on déduire la fonction de la variable t dont F (p+ a) est la transformation de Laplace ? Noter que le plan complexe de la variable p + a s’obtient à partir du plan complexe de la variable p par translation. 5 1.2 Propriétés usuelles Par définition, F (p + a) est la transformation de laplace de f (t) mais dans le plan complexe p + a, donc : Z F (p + a) = ∞ e−(p+a) t f (t) dt = 0 Z 0 Finalement : ∞ e−p t e−a t f (t) dt F (p + a) = L e−a t f (t) (1.12) La transformation de Laplace de la fonction f (t) multipliée par le terme e−at est égale à la transformation de Laplace f (t) dans le domaine complexe p + a. 1.2.7 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale Ces deux théorèmes servent à calculer la valeur initiale f (0) et la valeur finale f (∞) de la fonction f (t), de la variable t, sans calculer son expression mais en utilisant sa transformation de Laplace F (p). Théorème de la valeur initiale si F (p) = L f (t) alors : lim f (t) = f (0) = lim p→∞ t→0 p F (p) si la limite existe (1.13) Pour démontrer cette relation, on suppose que la fonction f (t) est dérivable et on utilise la propriété donnée par la relation (1.4) hd i L f (t) = p F (p) − f (0) dt Calculons alors, lorsqu’elle existe, la limite quand p → ∞ de cette égalité et utilisons la définition de la transformation de Laplace, on aura lim p→∞ comme limp→∞ (e −p t Z ∞ e−p t 0 hd dt i f (t) dt = lim (p F (p) − f (0)) p→∞ ) = 0 alors le premier terme de cette égalité est nul, par conséquent lim (p F (p) − f (0)) = 0 p→∞ d’où, f (0) = lim (p F (p)) p→∞ Théorème de la valeur finale si F (p) = L f (t) alors : lim f (t) = f (∞) = lim t→∞ p→0 si la limite existe p F (p) si la limite existe (1.14) Pour démontrer cette relation, on suppose que la fonction f (t) est dérivable et on utilise une nouvelle fois la propriété donnée par la relation (1.4) Z ∞ e−p t 0 hd i f (t) dt = p F (p) − f (0) dt Calculons alors, lorsqu’elle existe, la limite quand p → 0 des deux termes de cette égalité. Comme limp→0 (e−p t ) = 1 alors lim p→0 Z ∞ 0 hd dt i f (t) dt = lim (p F (p) − f (0)) p→0 qui donne lim f (t) p→0 ∞ 0 = lim (p F (p) − f (0)) p→0 6 Transformation de Laplace donc f (∞) − f (0) = lim (p F (p)) − f (0) p→0 d’où f (∞) = lim (p F (p)) p→0 si la limite existe Remarque Lorsque la fonction F (p) est un rapport de deux polynôme, alors : – Le théorème de la valeur initiale est vérifié (la limite existe) lorsque le degré du numérateur de F (p) est inférieur à celui de son dénominateur. – Le théorème de la valeur finale est vérifié (la limite existe) si les racines du dénominateur de F (p) sont réelles négatives ou bien complexes à partie réelle négative. Exemple : Soit f (t) un signal dont l’image par la transformation de Laplace est égale à F (p) = 1 p−2 . On veut calculer la valeur finale de f (t) en utilsant le théorème précédent. En vertu de l’équation (1.14), on aura f (∞) = lim (p F (p)) = lim p→0 p→0 p p−2 =0 D’un autre côté, F (p) ayant une expression simple, on peut déterminer f(t), elle est donné par f (t) = e2 t Maintenant que l’on connait l’expression exacte de f (t) on peut calculer sa valeur finale. On aura f (∞) = lim (f (t)) = lim e2 t = ∞ t→∞ t→∞ On constate que la valeur finale de f (t) calculée grâce à l’expression de f (t) est différente par celle obtenue en utilisant l’équation (1.14). Cela est en fait du au fait que le théorème de la valeur finale est mal utilisé car on s’est contenté d’utiliser juste la moitié. En effet, l’équation (1.14) stipule que la valeur finale peut être calculée par l’expression donnée dans cette équation à condition de cette limite existe. Il faut donc vérifier d’abord l’existence ce tte limite avant d’effectuer le calcul. Comme la racine du dénominateur de F (p) est positive cette limite n’existe pas. Par conséquent, f (∞) = ∞. 1.3 Transformation de Laplace inverse La transformation de Laplace inverse est la transformation fonctionnelle qui fait correspondre à la fonction F (p), de la variable complexe p, une fonction f (t), de la variable réelle t. Elle est définie par Z c+j∞ h i 1 f (t) = L−1 F (p) , F (p) ept dp 2πj c−j∞ (1.15) Cette définition étant très complexe à utiliser, on préfère utiliser un tableau de correspondance de la transformation de Laplace de fonctions usuelles souvent utilisées en asservissement. Elles sont résumées à la fin de ce chapitre. En asservissement, la fonction F (p) est donnée sous la forme d’un rapport de deux polynômes. Par conséquent, pour calculer sa transfomation de Laplace inverse, il suffit de décomposer F (p) en éléments simples. puis utiliser la transformation 7 1.3 Transformation de Laplace inverse de Laplace inverse de chacun de ces éléments simples. Attention : cette décomposition en éléments simple ne peut être effectuée que si le degrés du polynôme numérateur de F (p) est inférieur strictement à celui de son polynôme dénominateur. 1.3.1 Cas où les pôles de F (p) sont tous simples Dans le cas où le degrés du polynôme numérateur de F (p) est inférieur strictement à celui de son polynôme dénominateur, F (p) peut être mise sous la forme n F (p) = N (p) X Ri = D(p) p − pi i=1 (1.16) N (p) et D(p) sont respectivement les polynômes numérateur et dénominateur de F (p). n est l’ordre de D(p). pi sont les racines D(p), ils sont appelés les pôles et Ri sont des nombres réels ou complexes, ils sont appelés les résidus. sachant que la transformation de Laplace inverse de Ri p−pi L−1 est donnée par h R i i = Ri epi t p − pi (1.17) alors la fonction f (t) image de la fonction F (p) par la transformation de Laplace inverse est donnée par f (t) = n X Ri epi t (1.18) i=1 Les résidus Ri de F (p) sont simplement calculés par l’expression Ri = lim (p − pi ) F (p) p→pi (1.19) Exemple Calculer la transformation de Laplace inverse de la fonction F (p) donnée par F (p) = 3p + 2 (p + a)(p + b) Si les pôles a et b de F (p) sont distincts, alors F (p) peut être décomposée selon F (p) = R1 R2 + p+a p+b R1 et R2 sont respectivement calculés par R1 = lim (p + a) F (p) = lim p→−a p→−a 3p + 2 −3a + 2 = p+b b−a 3p + 2 −3b + 2 = p→−b p + a a−b R2 = lim (p + b) F (p) = lim p→−b L’expression de la transformation de Laplace inverse de F (p) est alors donnée par f (t) = 1.3.2 −3a + 2 −a t −3b + 2 −b t e + e b−a a−b Cas où le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur Comme il a été dit plus haut, lorsque le degré du numérateur n’est pas inférieur à celui du dénominateur de la fonction, la décomposition en élément simple ne peut pas être effectuée. Pour expliquer comment pouvoir calculer la transformation 8 Transformation de Laplace de Laplace inverse d’une fonction pour la quelle le degré de son numérateur est égal à celui de son dénominateur considérons l’exemple suivant. 2p2 + 8p + 5 2p2 + 8p + 5 = 2 p + 3p + 2 (p + 1)(p + 2) F (p) = le degré du numérateur de F (p) étant égal à celui de sont dénominateur, afin d’effectuer la décompostion en éléments simples on doit d’abord effectuer une division euclidienne de son numérateur sur on dénominateur. On obtient F (p) = 2 + p2 2p + 1 2p + 1 =2+ + 3p + 2 (p + 1)(p + 2) qui peut alors être décomposée en éléments simples comme suit F (p) = 2 − 1 3 + p+1 p+2 dont la transformé de Laplace inverse est donnée par f (t) = 2δ(t) − e−t + 3e−2t δ(t) étant la fonction impulsion. 1.3.3 Cas où F (p) admet un pôle multiple On suppose que l’ordre de multiplicité de ce pôle est égal à m. Dans ce cas, F (p) est écrite sous la forme : F (p) = n−m X i=1 | Ri p − pi {z } + n−m racines simples c0 c1 cm + + ···+ m m−1 (p − p0 ) (p − p0 ) (p − p0 ) | {z } (1.20) m termes dus à la racine p0 de multiplicité m Il faut noter que dans ce cas aussi, F (p) est décomposée en n termes puisque le degrés de son dénominateur est égal à n. La transformation de Laplace inverse des termes simples est de la forme Ri epi t . Par contre, La transformation de Laplace inverse des termes dus à la racine multiple est donnée sous la forme L−1 h i ci = ci tr−1 ep0 t (p − p0 )r r = 1, · · · , m Les coefficients ci sont calculés comme suit c0 = (p − p0 )m F (p) c1 = c2 = ci = d dp p=p0 h i (p − p0 )m F (p) 1 d2 2! dp2 1 di i! dpi , p=p0 h i (p − p0 )m F (p) h i (p − p0 )m F (p) p=p0 p=p0 Exemple Calculer la transformation de Laplace inverse de la fonction F (p) donnée par F (p) = p−2 p−2 = p3 + 5p2 + 8p + 4 (p + 1)(p + 2)2 (1.21) 9 1.4 Exemple d’application F (p) ayant un pôle multiple (p = −2), elle se décompose selon F (p) = R1 c0 c1 + + 2 p + 1 (p + 2) p+2 les résidus R1 , c0 et c1 sont donnés par R1 = (p + 1) F (p) c0 = (p + 2)2 F (p) p=−2 = p=−1 −3 = −3 (−1 + 2)2 = −4 = +4, −2 + 1 d hp − 2i dp p + 1 c1 = = +3 p=−2 sa transformation de Laplace inverse s’écrit alors f (t) = −3 e−t + 4 t e−2t + 3 e−2t 1.3.4 Cas où F (p) admet deux pôles complexes Lorsque la fonction F (p) possède un pôle complexe, il est évident qu’elle en possède deux pôles complexes conjugués. Dans ce cas, au lieu de la décomposer en éléments simples comme dans le cas de pôles réels simples, il est recommandé de procéder comme suit. Pour illustrer la méthode, considérons l’exemple numérique suivant. Exemple Calculer la transformation de Laplace inverse de la fonction F (p) donnée par F (p) = 1 = p2 + p + 1 p+ 1 1 2 + √ j 23 p + 1 2 −j √ 3 2 au lieu de la décomposer en éléments simples, il est préférable de réécrire F (p) sous la forme particulière suivante qui fait resortir la transformation de Laplace de la fonction sinus. F (p) = h 1 p+ 1 2 + √ ih j 23 p+ 1 2 − √ i j 23 = 1 p+ 1 2 2 + √ 3 2 2 Pour utiliser la transformation de Laplace de la fonction sinus, il faut alors multiplier et diviser F (p) par le terme devient √ 3 2 . F (p) √ 3 2 2 F (p) = √ 2 3 p + 21 + dont la transformation de Laplace est donnée par √ 3 2 2 √3 2 − 12 t t f (t) = √ e sin 2 3 1.4 Exemple d’application 1. Sachant que la transformée de Laplace de la fonction f (t) = cos(ω t) est F (p) = p p2 +ω 2 , en utilisant la définition de la transformation de Laplace calculer la transformée de Laplace de la fonction y(t) = e−a t cos(ω t). 2. En utilisant le théorème de la dérivée déduire à partir de y(t) la transformée de Laplace de la fonction h(t) = e−a t sin(ω t). 10 Transformation de Laplace 1 : Par définition, la transformation de Laplace de la fonction f (t) dans le domaine complexe de variable p est donnée par F (p) = L f (t) = Z ∞ e−p t f (t) dt 0 En utilisant cette définition, la transformation de Laplace de la fonction y(t) = e−a t cos(ω t), dans le plan complexe de variable p est donnée par Y (p) = Z ∞ e −p t e −a t 0 cos(ω t) dt = Z ∞ e−(p+a) t cos(ω t) dt 0 Soit alors le changement de variable s = p + a. L’expression précédente devient alors Y (s) = Z ∞ e−s t cos(ω t) dt 0 qui n’est autre que la transformation de Laplace de la fonction f (t) = cos(ω t) dans le plan complexe de variable s, donc Z ∞ 0 e−p t e−a t cos(ω t) dt = s2 s + ω2 en tenant compte du changement de variable s = p + a, on obtient finalement 2 : En utilisant la définition, on sait que par conséquent, sachant que e−a t cos(ω t) Y (p) = L e−a t cos(ω t) = p+a (p + a)2 + ω 2 d L f (t) = pF (p) − f (0) dt t=0 = 1, on a hd i p+a L e−a t cos(ω t) = p −1 dt (p + a)2 + ω 2 D’un autre côté, le développement de la dérivée de e−a t cos(ω t) donne d −a t e cos(ω t) = −ae−a t cos(ω t) − ωe−a t sin(ω t) dt La transformation de Laplace des deux termes de cette égalité donne, p ainsi, p+a p+a − 1 = −a − ωL e−a t sin(ω t) 2 2 2 2 (p + a) + ω (p + a) + ω L e−a t sin(ω t) = Par conséquent, 1 ω = 1 ω = 1 ω = 1 ω h i p+a p+a −p (p+a) 2 +ω 2 − a (p+a)2 +ω 2 + 1 h i p+a − (p+a) 2 +ω 2 (p + a) + 1 h i (p+a)2 − (p+a) 2 +ω 2 + 1 h i −(p+a)2 +(p+a)2 +ω 2 = (p+a)ω2 +ω2 (p+a)2 +ω 2 h i L e−a t sin(ω t) = ω (p + a)2 + ω 2 11 1.5 Exercices d’application 1.5 Exercices d’application Exercices 1 : En utilisant la définition de la transformation de Laplace, montrer que si F (p) = L f (t) alors : hd i L f (t) = p F (p) − f (0) dt lim f (t) = f (0) = lim p F (p) si la limite existe p→∞ t→0 lim f (t) = f (∞) = lim t→∞ p→0 p F (p) si la limite existe Exercices 2 : En utilisant la définition, calculer la transformation de Laplace des fonctions : f (t) = E0 γ(t), f (t) = ea t γ(t), f (t) = E0 t γ(t), f (t) = cos(ωt) γ(t) γ(t) étant la fonction échelon unitaire. Exercices 3 : – Déduire à partir de la transformation de Laplace de la fonction eω t , la transformation des fonctions sin(ω t) et cos(ω t). – en utilisant ce résultat et à l’aide de la propriété de la translation dans le domaine complexe p calculer le transformation de Laplace de la fonction ea t sin(ω t). – en utilisant la transformation de Laplace de la fonction sin(ω t) et à l’aide de la propriété de la transformation de la dérivée, déduire la transformation de Laplace de la fonction cos(ω t). Exercices 4 : Calculer les valeurs suivantes des fonctions y(t) dont les transformations de Laplace Y (p) sont données par Y (p) = Y (p) = 1 + 3p , (p + 1)2 (p + 2) p+2 , (p2 + 3p + 1) calculer y(0+ ), calculer y(0+ ), y ′ (0+ ), y ′ (0+ ), y(∞) y”(0+ ), y(∞) Exercices 5 : Déterminer l’expression y(t), de la variable réelle t, obtenue par la transformation de Laplace inverse des fonctions Y(p), de la variable complexe p suivantes Y (p) = p+2 , (p2 + 7p + 12) Y (p) = 3p2 + 2 , p(p + 1) Exercices 6 : Soit l’équation différentielle Y (p) = p+2 , (p + 1)2 (p + 3) Y (p) = e−3p d2 dt2 y(t) 3p + 1 , p+1 Y (p) = Y (p) = p+2 (p2 + 4p + 7) (p + a) + 2b , (p + a)2 + b2 d + 10 dt y(t) = 0.1e(t) pour laquelle les conditions initiales sont : y(0) = 0 et d dt y(t) t=0 =0 1. Déterminer l’expression de Y (p) en fonction de E(p) (Y (p) et E(p) sont respenctivement les transformées de Laplace de y(t) et e(t)). 2. Quelles parties de cette équation correspond à la solution libre de l’équation différentielle et celles correspondant à la solution forcée ?(on suppose que les conditions initiales sont non nulles) 12 Transformation de Laplace 3. Quel est le polynôme caractéristique de l’équation différentielle ? 4. Déterminer la solution de l’équation différentielle lorsque e(t) est un échelon unitaire. Exercices 7 : Soit le signal représenté par la figure suivante 1. Ecrire l’expression analytique du signal s(t). 2. En utilisant la définition de la transformation de Laplace, calculer S(p) = L s(t) 3. En utilisant ce résultat, en déduire la transformation de Laplace de l’échelon unité. 4. De la même manière, en déduire la transformation de Laplace de l’impulsion. 5. En utilisant le théorème de la transformation de Laplace de l’intégral ainsi que le résultat de la question 3, en déduire la transformation de Laplace de la rampe de la pente 1. 13 1.6 Tableau des transformées de Laplace inverses usuelles 1.6 Tableau des transformées de Laplace inverses usuelles Expression opérationnelle Fonction du temps correspondante 1 δ(t) : impulstion de Direc 1 p γ(t) : échelon unitaire 1 pn tn−1 (n−1)! :n>0 1 p+a : e−at 1 (p+a)n :n>0 tn−1 (n−1)! 1 p (p+a) : 1 a 1 (p+a) (p+b) : p+z (p+a) (p+b) (p+c) p+a p (p+b) e−at − e−bt n −at o 1 be −a e−bt 1 − ab (b−a) : (z−a)e−at (b−a)(c−a) a b : p+c (p+a) (p+b) : p+c p (p+a) (p+b) (1 − e−at ) 1 b−a : 1 p (p+a) (p+b) e−at : + b−a b + e−at + c ab (c−a) a(a−b) ω p2 +ω 2 : sin(ωt) p p2 +ω 2 : cos(ωt) : e−at sin(ωt) p+a (p+a)2 +ω 2 : e−at cos(ωt) : 1 a2 +ω 2 − (b−c) (b−a) (z−c)e−ct (b−c)(a−c) e−bt e−at + ω (p+a)2 +ω 2 1 p ((p+a)2 +ω 2 ) + e−bt (c−a) (b−a) + (z−b)e−bt (c−b)(a−b) a (a2 +ω 2 ) (b−c) b(a−b) e−bt e−at sin(ωt) − 1 (a2 +ω 2 ) e−at cos(ωt) Chapitre 2 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas 2.1 Introduction L’automatique est la science qui traite des ensembles qui se suffisent à eux mêmes et où l’intervention humaine est limitée à l’alimentation en énergie et en matière première lorsqu’il s’agit de manufacture. On distingue deux branches principales. – L’automatique séquentielle (également appelée automatisme) C’est la branche de l’automatique qui organise le déroulement des différentes opérations qui se déroulent dans le fonctionnement d’un ensemble complexe. Un automatisme impose l’ordre de déroulement des opérations, s’assure que chaque opération est bien terminée avant d’entamer la suivante, décide de la marche à suivre en cas d’incidents, etc. ···. Les outils mathématiques nécessaires à la mise en œuvre de ces automatismes sont l’algèbre de Boole, le grafcet ou les réseaux de pertri, utilisant des grandeurs tout ou rien (des grandeurs logiques ne possédant que deux états). On suppose par exemple qu’un interrupteur est ouvert ou fermé, qu’un moteur tourne ou bien il est à l’arrêt, qu’un vérin est sorti ou rentré etc. ) On suppose donc que les grandeurs passent d’un état à un autre instantanément (ce qui est évidemment inexacte). – Les asservissements : (ou simplement automatique) C’est la branche de l’automatique qui s’intéresse à la manière d’emmener une grandeur, d’un état à un autre et de l’y maintenir même si elle est soumise à des perturbations extérieures qui risquent de la faire déplacer de la position dans laquelle on souhaite la maintenir. On s’intéresse plutôt au régime transitoire des grandeurs (évolution de la grandeur entre ces deux états statiques). Les outils mathématiques nécessaires à la mise en œuvre de ce type de problème sont les équations différentielles qui décrivent l’évolution dynamique (dans le temps) des grandeurs, donc l’utilisation de la transformation de Laplace qui permet de simplifier la manipulation des ces équations différentielles puisqu’elle les transforme en équations algébriques. C’est cette branche qui fait l’objet de ce cours. Exemple : La figure (2.1) montre un système de remplissage d’un réseroir d’eau. L’automatisation dans ce cas consiste 16 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas à déterminer le degré d’ouverture de la vanne ainsi que la durée de son ouverture pour que le niveau d’eau dans le réservoir soit égal à une valeur donnée. Figure 2.1: Exemple d’une automatisation 2.2 Généralités sur les systèmes 2.2.1 Définition Un système physique peut être considéré comme un ensemble d’éléments interconnectés de manière logique. L’interconnexion doit toujours être conforme au principe de causalité. Le principe de causalité étant : L’action précède toujours la réaction et que l’évolution exige toujours un effort. On suppose également que le système soumis à la même action produit toujours la même réaction, que la même quantité d’action produit la même quantité de réaction. On représente un système par un rectangle à l’intérieur duquel on peut écrire les différents éléments qui le constitue. L’effet produit par le système que l’on souhaite contrôler est représenté par une flèche qui sort du système, elle est appellée la grandeur de sortie ou la grandeur à contrôler. Les causes nécessaires au système pour produire cet effet sont représentées par des flèches qui entrent dans le système, elles sont appellées les grandeurs d’entrée. Il faut distinguer deux types : – La grandeur sur laquelle on peut agir pour modifier volontairement l’évolution de la sortie du système, on l’appelle la grandeur de commande. Celle-ci est très souvent l’énergie permettant au système de fonctionner. – La grandeur qui modifie la sortie mais de manière involontaire et aléatoire et dont on ne connaît pas la nature, on l’appelle la grandeur de perturbation. La figure (2.2) illusre la représentation générale d’un système (le système représenté ici est un système monovariable (une seule grandeur d’entrée et une seule grandeur de sortie)). Dans l’exemple de la figure (2.1), le système est l’ensemble de la tuyauterie ainsi que le réservoir. La grandeur de sortie c’est le niveau d’eau dans le réservoir et la grandeur d’entrée c’est le débit d’eau au dessus du réservoir. Les perturbations peuvent être soit une fuite dans la tuyauterie ou dans le réservoir ou bien une autre cause permettant d’augmenter le niveau d’eau, un objet quelconque qui tombe dans le réservoir. La vanne insérée entre le réservoir et la source d’eau (ici le réseau) permet de faire varier le débit d’eau qui permet ainsi de faire varier le niveau d’eau dans le réservoir. La vanne joue le rôle 17 2.2 Généralités sur les systèmes Figure 2.2: Représentation générale d’un système de l’actionneur (élément indispensable dans tout système automatique). Par conséquent, tout système nécessite une grandeur de puissance pour son fonctionnement, pour contrôler la grandeur de sortie du système il suffit de faire varier la puissance mise à sa disposition. Pour ce faire, on ajoute entre la source de puissance qui fournit une puissance constante et le système un organe de commande (également appelé l’actionneur) qui permet de contrôler le débit de cette puissance. Cette organe de commande doit donc lui aussi disposer d’une grandeur sur laquelle l’opérateur peut agir afin de faire varier sa sortie, on appelle cette grandeur supplémentaire la grandeur de commande. Dans le cas de la vanne cette grandeur de commande c’est tout simplement le robinet dont il faut déterminer le degré d’ouverture et de fermeture. Dans le cas où le débit est contrôlé au moyen d’une pompe, la grandeur de commande est la tension d’alimentation de la pompe. La grandeur de commande étant généralement de faible puissance, contrairement aux grandeurs d’entrée ou de sortie, l’organe de commande sert égalementd’amplificateur de puissance. La figure (2.3) montre les éléments principaux intervenant dans la chaine de puissance permettant la commande d’un système. Figure 2.3: Eléments principaux constituant la chaine de puissance 2.2.2 Système de commande Le système de commande ou simplement la commande (ou contrôleur, régulateur), est un système permettant de générer l’action délibérée (voulue) à appliquer à l’entrée de l’organe de commande afin de faire atteindre à la sortie du système à commander des objectifs définis en termes de durrée et de la forme du régime transitoire ainsi que la valeur finale. (figure 2.4). C’est cet élément qui fait l’objet de la théorie de l’automatique puisque c’est lui qu’il faut déterminer. 18 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas Figure 2.4: Schéma général d’un système de commande 2.2.3 Commande en boucle ouverte et commande en boucle fermée On dit que le système de commande fonctionne en boucle ouverte (on parle alors de la commande en boucle ouverte) lorsqu’il ne reçoit aucune information sur la sortie à commander. On dit qu’il fonctionne en boucle fermée (on parle alors de la commande en boucle fermée) lorsqu’il dispose d’une information sur la sortie à contrôler. Dans ce cas, il travaille par comparaison entre la sortie à commander et la grandeur de référence à lui faire atteindre. Commande en boucle ouverte Dans la commande en boucle ouverte, le système de commande calcule la grande de commande à injecter à l’organe de commande directement en fonction de la grandeur de référence à faire atteindre à la sortie à commander. Le système de commande général est dans ce cas celui de la figure (2.4). Dans le cas du système de remplissage de la figure 1, si l’objectif de commande est de remplir le réservoir jusqu’à un niveau et au bout d’un temps donnés (cette valeur h constitue la grandeur de référence). Le système de commande doit déterminer quel est le degré d’ouverture ainsi que la durée de cette ouverture du robinet contrôlant la vanne. Le calcul de cette grandeur de commande est évidement déterminée en fonction des caractéristiques physique du système de remplissage (diamètre des tuyaux, section du réservoir, etc. ...). Il est clair, que si ces caractéristiques sont bien connues et si le système n’est perturbé, l’ouverture de la vanne au degré et durant le temps calculés permet le remplissage du réservoir à la hauteur définie. Par contre, si le système est perturbé (si le réservoir est perforé, par exemple) la même commande ne produira pas la même sortie. Par conséquent, la commande en boucle ouverte est simple à mettre en œuvre mais elle ne donne de bons résultats que si le système fonctionne dans un environnement idéal (sans perturbation). Commande en boucle fermée Dans la commande en boucle fermée, puisque le système de commande se rend compte de l’évolution de la sortie du système, il ne calcule pas la grandeur de commande directement à partir de la grandeur de référence mais à partir de l’erreur entre la sortie à commander et la référence à lui faire atteindre. Il peut ainsi rectifier la valeur de l’entrée de commande jusqu’à ce que l’erreur soit nulle (la sortie est égale à la référence). Pour obtenir ce type de fonctionnement on doit ajouter 2.2 Généralités sur les systèmes 19 deux éléments supplémentaires, un capteur qui permet de mesurer la sortie à commander et un comparateur qui permet de comparer la sortie mesurée à la référence. La figure (2.5) illustre ce fonctionnement. C’est cette structure qui est souvent Figure 2.5: Schéma général d’un système de commande fonctionnant en boucle fermée utilsée dans un asservissement. Comme le cours de régulation ne s’intéresse qu’au calcul du système de commande et à sa réalisation, on représente la structure de commande générale de la figure (2.5) par une structure plus simple qui montre en particulier le lien entre la grandeur de commande et la grandeur de sortie mesurée (disponible à la sortie du capteur) puisque en réalité c’est cette grandeur qui est disponible et non pas la grandeur à commander réelle. C’est ce qui est représenté par la figure (2.6). Figure 2.6: Structure simplifiée d’un système de commande fonctionnant en boucle fermée 2.2.4 Système asservi et système de régulation Dans un système de commande, fonctionnant en boucle ouverte ou en boucle fermée, la synthèse du régulateur peut être posée de deux manières différentes : – Soit on pose le problème en termes de relation entre la gradeur de sortie par rapport à la grandeur de référence (dans ce cas, la grandeur de perturbation est ignorée). On parle alors de la résolution d’un problème de suivi de la consigne, celle-ci pouvant être constante ou variable. – Soit on pose le problème en termes de relation entre la grandeur de sortie par rapport à la grandeur de perturbation. On cherche alors à réduire au maximum l’influence de la perturbation sur la sortie. Dans l’idéal, on cherchera à annuler cette relation. On parle alors de la résolution du problème de rejet de perturbation. Il est évident que seule la commande en boucle fermée peut résoudre ce problème. 20 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas Dans les deux cas on utilise la structure de commande de la figure (2.6). Très souvent le régulateur est déterminé dans l’objectif de résoudre le problème de suivi de consigne. On parle alors d’une commande à un degré de liberté puisque la structure de commande ne comporte qu’un seul régulateur qui permet de résoudre l’un ou l’autre des deux problèmes. Lorsque l’objectif de la commande est de résoudre simultanément le problème de suivi de consigne et de rejet de perturbation indépendamment l’un de l’autre, on parle alors d’une structure de commande à deux degré de liberté. La figure (2.7) montre un exemple d’une structure de commande à deux degrés de liberté. Le système de commande 1 est d’abord déterminé de sorte à résoudre le problème de rejet de perturbation, le système de commande 2 est par la suite synthétisé afin de résoudre le problème de suivi de consigne. Figure 2.7: Structure de commande à deux degrés de liberté 2.2.5 Mise en œuvre d’un asservissement Mettre en œuvre un asservissement consiste à calculer le système de commande qui permet de déteminer la loi de commande à injecter au système pour que sa sortie suive une référence donnée. Puisqu’il s’agit de calculer une loi de commande, il est souvent nécessaire de disposer d’un modèle mathématique représentant l’évolution dynamique de la sortie du système à commander en fonction de la grandeur de commande que doit calculer le contrôleur. Comme il s’agit de l’évolution dynamique de la grandeur de sortie, ce lien mathématique est toujours une équation différentielle de la forme n X i=0 m X di di ai i y(t) = bi i u(t) dt dt i=0 (2.1) u(t) est l’entrée de commande du système à commander et y(t) sa sortie à contrôler. Les coefficients ai et bi sont des paramètres constants représentant les caractéristiques du système à commander muni de son capteur et de son organe de commande. 2.3 2.3.1 Modélisation des systèmes et schémas fonctionnels Définition de la fonction de transfert La dynamique d’un système linéaire monovariable (une seule entrée et une seule sortie) invariant dans le temps est régie par l’équation différentielle linéaire à coefficients constants : an d dm d dn y(t) + · · · + a1 y(t) + a0 y(t) = bm m u(t) + · · · + b1 u(t) + b0 u(t) n dt dt dt dt (2.2) u(t) étant l’entrée et y(t) la sortie du système. Considérons alors leurs transformées de Laplace respectives, notées U (p) et Y (p), quelque soit le signal u(t) et en supposant toutes les conditions initiales nulles. En fait, on considère les conditions nulles 21 2.3 Modélisation des systèmes et schémas fonctionnels pour chercher une représentation qui ne dépend que des caractéristiques physiques propres au système. En effet, lorsque les conditions initiales ne sont pas nulles, cela signifie que le système emmagasine de l’énergie apportée par un signal extérieur, l’entrée en l’occurrence. Dans ce cas, la représentation ne dépend pas des caractéristiques intrinsèques au système puisqu’elle dépend du signal d’entrée. Lorsque les conditions initiales sont nulles, la transformation de Laplace de l’équation différentielle (2.2) est donnée par : Y (p) [an pn + · · · + a1 p + a0 ] = U (p) [bm pm + · · · + b1 p + b0 ] (2.3) Y (p) b m pm + · · · + b 1 p + b 0 = U (p) an p n + · · · + a1 p + a0 (2.4) Le rapport représentant le rapport de la transformation de Laplace de la sortie du système sur la transformation de Laplace du signal d’entrée (signal quelconque) en considérant les conditions initiales nulles est appelée la fonction de transfert caractérisant la dynamique du système. – Elle ne dépend que des caractéristiques spécifiques au système puisqu’elle ne dépend ni du signal d’entrée ni des conditions initiales. – On l’appelle transfert car elle montre comment le signal d’entrée u(t) est transformé par le système pour donner le signal de sortie y(t). En fait, y(t) aura la même forme que u(t) mais déformé en amplitude et en phase par le système. Pour montrer pourquoi les conditions initiales doivent être nulles lorsqu’on veut calculer la fonction de transfert d’un système, considérons l’exemple simple suivant où y(0) 6= 0, a2 d y(t) + a1 y(t) = b u(t) dt d comme L dt f (t) = pY (p) − y(0), La transformation de Laplace de cette équation est qui peut être réarangée comme suit a2 p Y (p) − y(0) + a1 Y (p) = b U (p) Y (p) a2 p + a1 = b U (p) + y(0) La transformation de Laplace de la sortie s’exprime donc par Y (p) = b y(0) U (p) + a2 p + a1 a2 p + a1 Le rapport de la transformation de Laplace de la sortie sur la transfomration de Laplace de l’entrée s’écrit dans ce cas Y (p) b y(0) = + U (p) a2 p + a1 (a2 p + a1 ) U (p) Cette équation montre que ce rapport dépend de l’entrée U(p) (deuxième élément du terme de droite). Pour annuler ce terme, il faut que la valeur de la condition initiale y(0) soit nulle. La fonction de transfert d’un système n’est donc définie que si les conditions initiales sont nulles. 2.3.2 Caractéristiques La fonction de transfert d’un système linéaire étant un rapport de deux polynômes de la variable complexe p, Elle peut être écrite sous la forme : G(p) = Y (p) N (p) = U (p) D(p) (2.5) 22 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas où N (p) = bm pm + · · · + b1 p + b0 D(p) = an pn + · · · + a1 p + a0 – N (p) et D(p) sont respectivement appelés le polynôme numérateur et le polynôme dénominateur de la fonction de transfert G(p). – Les racines de N (p) sont appelées les zéros de la fonction de transfert. En effet, si l’entrée e(t) est un signal périodique de fréquence complexe p0 = σ0 + jω0 . Supposant que p0 est aussi racine du polynôme N (p). Comme Y (p) = G(p)E(p), à la fréquence p0 on aura : Y (p0 ) = G(p0 )E(p0 ) = N (p0 ) E(p0 ) D(p0 ) Comme p0 est racine de N (p), N (p0 ) = 0 donc Y (p0 ) = 0. Un zéro d’une fonction de transfert est donc une fréquence complexe du signal d’entrée bloqué par le système puisque la sortie est nulle dans ce cas. – Les racines de D(p) sont appelées les pôles de G(p). C’est pourquoi on appelle aussi D(p) l’équation caractéristique de la fonction de transfert G(p). On démontre de la même manière que les zéros, qu’un pôle représente une fréquence complexe du signal d’entrée qui fait tendre vers l’infini la sortie du système. Les pôles d’une fonction de transfert jouent un rôle très important dans l’analyse de la stabilité d’un système. Ils déterminent également l’allure du régime transitoire de la sortie du système. – On appelle l’ordre d’un système ou de sa fonction de transfert le degrés de son polynôme dénominateur D(p). On dit que le système est du second ordre par exemple si D(p) est un polynôme d’ordre 2 quelque soit l’ordre du polynôme N (p). – La différence entre les degrés des polynômes D(p) et N (p) est appelée le degré relatif de la fonction de transfert. Par exemple, le degré relatif de la fonction de transfert suivante est égal à 2. G(p) = 2p + 4 p3 + 2p2 − p + 4 – Si le polynôme D(p) possède des racines nulles on dit que la fonction de transfert contient des intégrateurs. Le nombre de ces intégrateurs est appelé la classe de la fonction de transfert. Par exemple, la fonction de transfert suivante est de classe 1. G(p) = 2p + 4 p(2p2 − 2p + 1) – On dit qu’un système est strictement propre lorsque le degré de D(p) est supérieur à celui de N (p) . Il est juste propose lorsque les degrés de ces deux polynômes sont égaux. Il est non-propre lorsque le degré de D(p) est inférieur à celui de N (p) . Remarque L’ordre du dénominateur de la fonction de transfert doit toujours être supérieur ou égal à celui de son dénominateur, sinon le système physique auquel correspond la fonction de transfert G(p) n’existe pas car il ne vérifie pas la condition de causalité. Pour montrer pourquoi cette condition (n > m) est nécessaire, considérons l’exemple simple suivant pour lequel cette condition n’est pas vérfiée. G(p) = Y (p) p+b = U (p) a (2.6) 23 2.4 Formes particulières de la fonction de transfert La sortie Y (p) s’exprime alors par la relation : Y (p) = 1 b p U (p) + U (p) a a (2.7) l’équation différentielle correspondante est alors donnée par : y(t) = 1 d u(t) b + u(t) a dt a (2.8) Approximons alors l’opération de dérivation par un accroissement (définition de Cauchy), c’est à dire : d, u(t) u(t + h) − u(t) = dt h h : étant le pas de l′ acroissement l’équation (2.8) s’écrit alors 1 b [u(t + h) − u(t)] + u(t) ah a (2.9) 1 1 u(t + h) + [bh − 1] u(t) ah ah (2.10) y(t) = La sortie y(t) s’exprime alors par y(t) = qui montre que la sortie du système à l’instant t est fonction de l’excitation u(t) au même instant et de l’excitation à l’instant prochain t + h. Cela veut dire que le système réagit à l’excitation avant sont application. Ceci est en contradiction avec le principe de causalité. C’est pourquoi on dit que ce type de système n’existe pas. A la limite, lorsque le degrés du numérateur est égal à celui du dénominateur (n = m), cela signifie que la sortie du système existe au même instant que celui-ci est sollicité par une entrée (réponse instantanée). Cela veut tout simplement dire que le système ne présente pas d’inertie. Néanmoins, de manière générale, tous les systèmes physiques présentent une inertie, ils sont par conséquent toujours représentés par une fonction de transfert où (m < n). 2.4 Formes particulières de la fonction de transfert Il existe plusieurs formes d’écriture de la fonction de transfert. En fait, elles sont toutes les mêmes sauf qu’elles sont écrites de manières particulières en fonction des caractéristiques du système que l’on souhaite montrer par la fonction de transfert. 2.4.1 Forme générale C’est la forme que l’on obtient lors de la modélisation du système le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfert sont donnés sous la forme de deux polynômes. Elle montre particulièrement les coefficients des polynômes numérateur et dénominateurs de la fonction de transfert. Ces coefficients s’expriment en fonctions des paramètres réels du système ainsi modélisé. Elle est donnée par : Pm b i pi N (p) G(p) = = Pni=0 i D(p) i=0 ai p (2.11) 24 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas 2.4.2 Forme générale : (appelée aussi forme d’Evans) Elle exhibe les racines du numérateur (les zéros) et du dénominateur (les pôles) de la fonction de transfert. On l’utilise pour analyser la stabilité du système ou encore pour calculer le contrôleur dans le domaine complexe (lieu des racines), elle est donnée par : Qm i=1 (p − zi ) G(p) = K Qm i=1 (p − pi ) (2.12) K est une constante, zi , (i = 1, · · · , m) sont les m zéros et pi (i = 1, · · · , n) les n pôles de G(p). 2.4.3 Forme constante de temps : (appelée aussi forme de Bode) Elle exhibe les différentes constantes de temps du système. On l’utilise pour montrer la dynamique des différents phénomènes inhérents au système ou encore pour l’analyse du système dans le domaine complexe. Elle s’écrit sous la forme : Qm i=1 (1 + Ti p) G(p) = K Qm i=1 (1 + Ti p) (2.13) K est le gain statique de G(p) et Ti les n + m constantes de temps que contient le système. 2.5 Schémas fonctionnels La structure générale d’un système de commande est celui représenté par la figure (2.8). Les rectangles représentent des Figure 2.8: structure générale d’un système de commande éléments physiques qui transforment une grandeur en une autre. Chacun d’eux est représenté par une fonction de transfert. – Celle du système à commander muni de son organe de commande sont obtenues par modélisation ou par identification. – Celle du système de commande est calculée de sorte que le système en boucle fermée fonctionne d’une manière imposée. Cette représentation est appelée représentation par schémas fonctionnels. En fonction de la complexité du système, on le représente par un seul bloc mais lorsqu’on désir montrer sa complexité et les éléments que le constituent on peut le représenter par un ensemble de blocs, chacun représentant un sous-système ou un ensemble d’éléments du système. Cette représentation est également interéssante lorsqu’on souhaite calculer la fonction de transfert d’un système complexe constitué de plusieurs sous-systèmes. 25 2.5 Schémas fonctionnels 2.5.1 Eléments de la représentation fonctionnelle Transmetteur C’est l’élément principal de la représentation fonctionnelle puisqu’il constitue l’élément de base du système à représenter (élément (a) de la figure 2.9). Il représente toujours une fonction de transfert, élémentaire ou complexe. On représente par une flèche entrante dans le transmetteur la grandeur d’entrée, notée E(p) et par une flèche sortante la grandeur de sortie S(p). Si on note par G(p) la fonction de transfert, la relation entre l’entrée et la sortie est donnée par : S(p) = G(p) E(p). Figure 2.9: Eléments de la représentation fonctionne. ((a) : Transmetteur, (b) : Comparateur, (c) : Branchement) Comparateur Il représente la comparaison entre deux signaux. Le comparateur (élément (b) de la figure 2.9) effectue très souvent la différence entre eux. Il représente également la somme entre les deux signaux, c’est pourquoi on doit préciser le signe du signal à injecter au comparateur. En règle générale, pour ne pas charger le schéma bloc on ne précise pas le signe de l’entrée lorsqu’il est positif. L’expression de la sortie du comparateur est donnée par : ∆(p) = E1 (p) − E2 (p). Branchement Il représente le prélèvement d’un même signal en un point donné (élément (c) de la figure 2.9). On l’utilise lorsqu’un même signal est utilisé comme entrée de plusieurs transmetteurs et/ou comparateurs. 2.5.2 Algèbre des schémas dans la représentation fonctionnelle Transmetteurs en cascade (Fonctions de transfert en série) Deux éléments sont en cascade (en série) lorsque la sortie du premier est l’entrée du deuxième (e2 (t) = y1 (t)). La sortie du système global est la sortie du second élément alors que l’entrée du système global est l’entrée du premier élément, voir la figure (2.10). (e(t) = e1 (t) et y(t) = y2 (t)). Figure 2.10: Fonction de transfert de deux transmetteurs en cascade 26 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas Dans ce cas la fonction de transfert G(p) du système global est calculée comme suit : Y (p) = Y2 (p) = G2 (p) E2 (p) = G2 (p) Y1 (p) = G2 (p) G1 (p)E1 (p) = G2 (p) G1 (p)E(p) Finalement : G(p) = Y (p) = G2 (p) G1 (p) E(p) (2.14) Transmetteurs en parallèle (Fonctions de transfert en anticipation) Deux éléments sont en parallèle lorsque leurs entrées sont communes (e1 (t) = e2 (t)) (on dit qu’ils partagent la même resource) et leurs sorties sont sommées pour donner une seule sortie constituant la sortie globale (y(t) = y1 (t) + y2 (t)). Dans ces conditions la fonction de transfert résultante est calculée comme suit : Y (p) = Y1 (p) + Y2 (p) = G1 (p) E1 (p) + G2 (p) E2 (p) = G1 (p) E(p) + G2 (p) E(p) h i = G1 (p) + G2 (p) E(p) Finalement : G(p) = G1 (p) + G2 (p) (2.15) Figure 2.11: Fonction de transfert de deux transmetteurs en parallèle Transmetteurs en contre-réaction Deux éléments sont connectés en contre-réaction lorsqu’ils sont connectés selon la figure (2.12). La relation entre l’entrée E1 (p) et la sortie Y1 (p) est appelée la chaine directe et le lien entre E2 (p) et Y2 (p) est appelée la chaine de contre-réaction (ou chaine de retour, à ne pas confondre avec la commande en boucle fermée). La contre-réaction peut être positive ou négative. La fonction de transfert du système global est calculée comme suit : Y (p) = Y1 (p) = G1 (p) E1 (p) E1 (p) = E(p) − Y2 (p) = E(p) − G2 (p) E2 (p) = E(p) − G2 (p) E(p) donc h i Y (p) = H(p) E(p) − F (p) Y (p) = H(p) E(p) − F (p) F (p) Y (p) h i Y (p) 1 + H(p) F (p) = H(p) E(p) 27 2.5 Schémas fonctionnels Finalement, la fonction de transfert globale G(p) est donnée par G(p) = H(p) 1 + H(p) F (p) (2.16) Lorsque le signl de contre-réaction est de signe positif, la même démarche permet de montrer que la fonction de transfert Figure 2.12: Fonction de transfert de deux transmetteurs en contre-réaction globale devient : G(p) = 2.5.3 H(p) 1 − H(p) F (p) (2.17) Manipulation des schémas fonctionnels Lorsque le système à modéliser est complexe, il s’y déroule plusieurs phénomènes. Par conséquent, sa modélisation fait intervenir plusieurs grandeurs intermédiaires. Dans ce cas, sa représentation par un schéma fonctionnel utilise plusieurs transmetteurs qui ne sont pas forcément connectés en cascade, en parallèle ou en contre-réaction. De ce fait, afin de calculer la fonction de transfert global on doit modifier les connections des différents transmetteurs sans toutefois modifier le fonctionnement du système. C’est ce qui présenté dans les paragraphes suivants. Déplacement d’un branchement en amont d’un transmeteur Dans la figure (2.13-a) le point de branchement Y1 (p) = Y3 (p) doit être déplacé pour pouvoir relier les deux transmetteurs G1 (p) et G2 (p) qui sont en cascade. Si on choisit de le déplacer en amont de G2 (p) on doit procéder à une correction pour ne pas modifier la fonction de transfert globale de ce système. La grandeur Y3 (p) étant égale à Y1 (p), elle s’exprime en fonction de Y2 (p) par la relation Y3 (p) = 1 G2 (p) Y2 (p). Par conséquent, le déplacement du point de branchement après le transfert G2 (p), doit être corrigé par la multiplication de la sortie Y2 (p) par le transfert 1 G2 (p) Y2 (p), c’est que est illusté par la figure (2.13-a). Déplacement d’un branchement en aval d’un transmeteur Si on choisit de déplacer Y1 (p) en aval de G1 (p) on doit corriger le schéma fonctionnel de la manière suivante. La grandeur Y3 (p) étant égale à Y1 (p), elle s’exprime en fonction de E(p) par la relation Y3 (p) = G1 (p)E(p). Par conséquent, le déplacement du point de branchement avant le transfert G1 (p), doit être corrigé par la multiplication de E(p) par le transfert G1 (p), c’est que est illusté par la figure (2.13-b). Déplacement d’un comparateur par rapport à un transmeteur Le déplacement d’un comparateur par rapport à un transmetteur peut être effectué comme pour le déplacement d’un branchement. Ce déplacement doit également être accompagné par une correction qui permet de garder le même modèle 28 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas Figure 2.13: Déplacement d’un branchement par rapport à un transmeteur. ((a) : en amont d’un transmeteur, (b) : en aval d’un transmeteur) du système. La figure (2.14) illustre les corrections à apporter lorsqu’on déplace un comparateur en amont du transmetteur (figure 2.14-a) et lorsqu’on déplace un comparateur en aval du transmetteur (figure 2.14-b). Figure 2.14: Déplacement d’un comparateur par rapport à un transmeteur. ((a) : en amont d’un transmeteur, (b) : en aval d’un transmeteur) Exemple d’application Il n’existe pas de méthode générale permettant la simplification des schémas blocs. Néanmoins, l’idée générale consiste à déplacer un comparateur ou un branchement par rapport à un transmetteur de manière à obtenir deux transmetteurs connectés en série, en parallèle ou en contre réaction. Les deux transmetteurs ainsi obtenus sont alors remplacés par un seul transmetteur. Il faut procéder ainsi jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul transmetteur la fonction de transfert de ce transmetteur représente la fonction de transfert du système global. Pour illustrer cette idée, considérons l’exemple du système représenté 29 2.5 Schémas fonctionnels par le schéma fonctionnel de la figure (2.15). Figure 2.15: Exemple d’application Même si les transferts G1 (p) et G2 (p) sont en série, ils ne peuvent pas être remplacés par leur transfert équivalent à cause du comparateur C1 situé entre eux. Celui-ci doit dont être déplacés en aval de G1 (p) ou en amont de G2 (p). Sont déplacement en aval de G1 (p) n’est pas intéressant puisqu’on ne pourra pas continuer la simplification de ce schéma. On choisit donc la deuxième solution qui consiste à déplacer C1 en amont de G2 (p). La figure (2.16-a) illustre ce déplacement et la correction nécessaire. Pour montrer que les transferts G3 (p) d’un côté, et G5 (p) G2 (p) de l’autre, sont en contre réaction, les comparateurs C1 et C2 doivent être permutée, comme le montre la figure (2.16-b). Cela est possible puisque l’addition est commutative. En effet : z = x3 + x1 − x2 = x3 + x1 − x2 (2.18) Le transfert G4 étant en parallèle avec le transfert équivalent à la mise en série des deux transferts G1 et G2 , le transfert global équivalent est donné par : H1 (p) = G2 (p) G1 (p) + G4 (p) (2.19) les transfert G3 (p) d’un côté et G5 (p) G2 (p) de l’autre étant en contre réaction, le transfert global équivalent est donnée par : H2 (p) = G3 (p) 1 + G3 (p) G5 (p) G2 (p) (2.20) Finalement, les fonctions de transfert H1 (p) et H2 (p) étant en cascade, la fonction de transfert G(p) du système global est donnée par : G(p) = H1 (p) H2 (p) = G2 (p) G1 (p) + G4 (p) G3 (p) 1 + G3 (p) G5 (p) G2 (p) G3 (p) G2 (p) G1 (p) + G4 (p)G3 (p) G(p) = 1 + G3 (p) G5 (p) G2 (p) Figure 2.16: Simplification de l’exemple d’application (2.21) 30 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas 2.6 Modélisation de la machine à courant continu Le schéma de la figure (2.17) représente les constituants principaux permettant la modélisation du fonctionnement dynamique (régime transitoire) de la machine à courant continu à excitation séparée fonctionnant en moteur. Les modèles qui seront développés ici sont ceux utilisés pour l’analyse des caractéristiques dynamiques de la machine et la conception des lois de commande permettant le contrôle de la vitesse ou la position de son rotor. Figure 2.17: Schéma de modélisation de la machine à courant continu à excitation séparée Le circuit inducteur (circuit d’excitation, le stator) comprend : la tension vf (t), le courant if (t) , la résistance Rf et l’inductance Lf . Le circuit de l’induit (le rotor) comprend : la tension va (t), le courant ia (t) , la résistance Ra et l’inductance La . La rotation du rotor placé dans le champ magnétique produit crée une force contre électromotrice e(t). L’interaction entre les champs magnétiques inducteur et induit est représenté par la constante Mf d . Le champs électromagnétique produit est noté Cem (t). Le rotor de la machine tourne à la vitesse ω(t). L’arbre couplé au rotor de la machine est caractérisé par le moment d’inertie J et le coefficient de frottement visqueux f . Toutes les forces extérieurs qui s’opposent à la rotation du rotor sont représentées par le couple résistant Cr (t). Equations électriques d if (t) dt d va (t) − e(t) = Ra ia (t) + La ia (t) dt vf (t) = Rf if (t) + Lf (2.22) (2.23) e(t) = Mf d if (t).ω(t) (2.24) Cem (t) = Mf d if (t).ia (t) (2.25) Cu (t) = Cem (t) − Cr (t) (2.26) Equations mécaniques Cu (t) = J d ω(t) + f ω(t) dt (2.27) Les équations du couple électromagnétique (équation 2.25) et de la fcem (équation 2.24) montrent que le modèle de la machine est non linéaire. En effet, le théorème de linéarité ne peut pas être appliqué à cause du produit entre les grandeurs 31 2.6 Modélisation de la machine à courant continu if (t) et ia (t) pour le couple et des grandeurs if (t) et ω(t) pour la fcem. Pour contrôler la vitesse de la machine ω(t), on peut utiliser – Soit le couple résistant Cr (t), cette solution est à exclure car cette grandeur constitue une perturbation, – Soit la tension d’alimentation de l’induit va (t), on dit dans ce cas que la machine est commandée par l’induit, – Soit la tension d’alimentation de l’inducteur vf (t), on dit que la machine est commandée par l’inducteur. Pour déterminer la fonction de transfert entre la vitesse ω(t) et le couple résistant Cr (t) d’un côté, et les fonctions de transfert entre la sortie ω(t) et la grandeur de commande va (t) ou vf (t) de l’autre côté, on doit transformer les équations différentielles (2.22) à (2.27) du domaine temporel en des équations algébriques dans le domaine complexe de Laplace. Et comme l’objectif est de déterminer des fonctions de transfert, on doit considérer toutes les conditions initiales nulles. En utilisant les propriétés de la transformation de Lapalce, en particulier celle de la dérivée (L d fdt(t) = pF (p)−f (0)), on obtient (2.28) Vf (p) = Rf If (p) + Lf p If (p) = (Rf + Lf p) If (p) De cette equation on peut exprimer la transformée de Laplace du courant If (p) en fonction de la transformée de Laplace de la tension Vf (p), elle est donnée par If (p) = 1 Vf (p) Rf + Lf p (2.29) (2.30) Va (p) − E(p) = Ra Ia (p) + La p Ia (p) de même que pour le courant If (p), le courant Ia (p) s’exprime par Ia (p) = 1 (Va (p) − E(p)) Ra + La p (2.31) E(p) = Mf d If (p).Ω(p) (2.32) Cem (p) = Mf d If (p).Ia (p) (2.33) Cu (p) = Cem (p) − Cr (p) (2.34) Cu (p) = (J p + f )Ω(p) (2.35) 1 Cu (p) J p+f (2.36) Ω(p) = Des équations algébriques (2.28) à (2.36) on peut maintenant construire le schéma bloc représentant les liens existants entre les différentes grandeurs de la machine. De l’équation (2.29), on constate que la grandeur If (p) s’exprime par le produit de la transmitance 1 Rf +Lf p et la grandeur Vf (p). Cette relation peut être représentée par le schéma bloc de la figure (2.18-a). De l’équation (2.31), on peut, de la même manière, exprimer la grandeur Ia (p) par le produit de la transmitance 1 Ra +La p et la différence entre les grandeurs Va (p) et E(p). Cette relation est représentée par le schéma bloc de la figure (2.18-b). En faisant le même résonnement avec les équations algébriques (2.32) à (2.36) et en tenant compte des relations existantes entre les différentes grandeurs on obtient le schéma bloc de la figure (2.19) représentant le schéma fonctionnel de la machine à courant continu. Les grandeurs de commande sont les tensions Vf (p) et Va (p), la grandeur de sortie à commander est la vitesse Ω(p), le couple résistant Cr (p) est la grandeur de perturbation. 32 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas Figure 2.18: Schéma fonctionnel des courants If (p) et Ia (p) Figure 2.19: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu. 2.6.1 Commande par l’induit Pour pouvoir contrôler la vitesse de la machine Ω(p) à l’aide de la tension d’alimentation de l’induit Va (p), il faut que le couple électromagnétique Cem (p), qui permet de faire varier la vitesse, ne puisse être modifié que par la tension Va (p) par l’intermédiaire du courant de induit Ia (p). Pour ce faire, et afin d’obtenir un modèle linéaire, on doit maintenir le courant dans l’inducteur If (p) constant. Cela peut être obtenu de deux manières différentes. La première solution consiste à maintenir la tension de l’inducteur Vf (p) constante. Dans ce cas le courant If (p) ne sera constant qu’près la fin du régime transitoire du phénomène de magnétisation de l’inducteur. le courant If vaudra alors If = Vf Rf . La deuxième solution consiste à construire la machine de sorte que le champ magnétique inducteur ne soit pas généré par une bobine mais directement à l’aide d’un aimant. Dans les deux cas, le schéma fonctionnel de la figure (2.19) devient celui de la figure (2.20) où K2 = Mf d .If . Figure 2.20: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu commandée par l’induit. Le modèle étant maintenant linéaire, on peut utiliser le théorème de superposition pour calculer la fonction de transfert entre la sortie Ω(p) et la tension de commande Va (p) d’un côté, et la fonction de transfert entre la sortie Ω(p) et la perturbation Cr (p) de l’autre côté. En effet, la sortie Ω(p) peut être écrite sous la forme 33 2.6 Modélisation de la machine à courant continu Ω(p) = G1 (p).Va (p) + G2 (p).Cr (p) (2.37) L’expression de Ω(p) étant la somme de deux termes G1 (p).Va (p) et G2 (p).Cr (p), pour déterminer la fonction de transfert G1 (p) entre la sortie Ω(p) et la tension de commande Va (p) on doit annuler le second terme G2 (p).Cr (p). Pour ce faire, on suppose que l’entrée Cr (p) = 0. Dans ce cas le schéma de la figure (2.20) devient celui de la figure () En utilisant l’algèbre Figure 2.21: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu commandée par l’induit Cr (p) = 0. des schémas on trouve que la fonction de transfert de la chaine directe est donnée par CD(p) = K2 (La p + Ra )(Jp + f ) (2.38) et la fonction de transfert de la chaine de retour est donnée par CR(p) = K2 (2.39) En utilisant l’équation (16), on obtient G1 (p) = Ω(p) K2 = Va (p) (La p + Ra )(Jp + f ) + K22 (2.40) En faisant le même résonnement, pour déterminer la fonction de transfert G2 (p) entre la sortie Ω(p) et la perturbation Cr (p) on doit annuler le premier terme G1 (p).Va (p). Pour ce faire, on suppose que l’entrée Va (p) = 0. Dans ce cas le schéma de la figure (2.20) devient celui de la figure () Dans ce cas, la fonction de transfert de la chaine directe est donnée par Figure 2.22: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu commandée par l’induit Va (p) = 0. 1 Jp + f (2.41) K22 La p + Ra (2.42) CD(p) = − et la fonction de transfert de la chaine de retour est donnée par CR(p) = 34 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas Par conséquent, la fonction de transfert entre le couple résistant Cr (p) et la vitesse Ω(p) est donnée par G2 (p) = Ω(p) = Cr (p) 1+ 1 Jp+f K22 1 Jp+f La p+Ra 1 = La p+Ra Ω(p) Jp+f La p+Ra = K22 1 Cr (p) 1 + Jp+f La p+Ra qui peut alors être mise sous la forme G2 (p) = 2.6.2 Ω(p) La p + Ra = Cr (p) (La p + Ra )(Jp + f ) + K22 (2.43) Commande par l’inducteur Afin d’utiliser la tension d’alimentation de l’inducteur Vf (p) pour contrôler la vitesse de la machine, il faut que le couple électromagnétique ne puisse être modifié que par le courant indcteur If (p). Dans ce cas, c’est le courant dans l’induit Ia (p) qui doit être maintenu constant. Néanmoins, le problème est plus complexe que dans le cas de la commande par l’induit car pour maintenir le courant Ia (p) constant on ne doit pas se contenter de garder la tension Va (p) constante. En effet, l’équation (2.31) montre que le courant Ia (p) ne dépend pas de la tension Va (p) seule mais de la différence entre la tension Va (p) et de la fcem E(p) qui dépend de la tension Vf (p) et de la vitesse Ω(p). Pour maintenir le courant Ia (p) constant on doit donc ajouter un contôleur qui permet d’atteindre cet objectif. En supposant que le courant Ia (p) est maintenu constant, le schéma fonctionnel de la machine de la figure (2.19) devient celui de la figure (2.25) avec K1 = Mf d .Ia Figure 2.23: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu commandée par l’inducteur. Dans ce cas, la fonction de transfert entre la sortie Ω(p) et la tension de commande Vf (p) est donnée par G3 (p) = Ω(p) K1 = Vf (p) (Lf p + Rf )(Jp + f ) (2.44) et la fonction de transfert entre la sortie Ω(p) et la perturbation Cr (p) est donnée par G4 (p) = Ω(p) 1 =− Cr (p) Jp + f (2.45) On constate que dans la commande par l’inducteur les fonctions de transfert sont plus simples à déterminer mais cette commande est très complexe à mettre en œuvre à cause du contrôleur qui permet de maintenir le courant Ia (p) constant. Par contre, la commande par l’induit est simple à mettre en œuvre, il suffit d’alimenter l’inducteur par une tension constante ou de construire la machine avec un aimant permanent comme inducteur, mais les fonctions de transfert sont plus complexes à déterminer. Une autre différence importante entre la commande par l’induit et la commande par l’induit c’est la dynamique des régimes transitoires des fonctions de transfert. En effet, dans la commande par l’induit la dynamique est plus rapide que celle dans la commande par l’inducteur. 2.7 Exercices d’application 2.7 35 Exercices d’application Exercices 1 : En utilisant l’algèbre des schémas fonctionnels, déterminer la fonction de transfert G(p) reliant l’entrée U (p) à la sortie Y (p) des schémas fonctionnels de la figure suivante. Exercices 2 : Etant donné le système linéaire représenté par le schéma fonctionnel suivant. Déterminer la fonction de Figure 2.24: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu commandée par l’inducteur. transfert entre Y ref (p) et Y (p). Exercices 3 : Figure 2.25: Schéma fonctionnel de la machine à courant continu commandée par l’inducteur. Chapitre 3 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel 3.1 Introduction Le schéma général d’un système asservi linéaire est celui représenté par la figure (3.1). Figure 3.1: Schéma général d’un système asservi linéaire avec : y(p) : la sortie du système à commander, c’est la grandeur que l’on souhaite contrôler. u(p) : l’entrée de commande, c’est la grandeur sur laquelle on peut agir pour modifier volontairement la sortie y(p). q(p) : l’entrée de perturbation, c’est une grandeur qui modifie, de manière indésirable, l’évolution normale de y(p). ym (p) : la grandeur disponible à la sortie de l’organe de mesure, elle représente l’image de la grandeur à contrôler y(p). w(p) est un bruit de haute fréquence dû au capteur utilisée pour la mesure de la sortie. ce signal s’ajoute au signal délivré par le capteur. yref (p) : l’entrée de référence, c’est la grandeur de référence que l’on souhaite faire suivre à la sortie y(p). e(p) est la différence entre la grandeur de référence yref (p) et la grandeur de sortie mesurée ym (p). G1 (p) et G2 (p) : sont les fonctions de transfert qui modélisent le système physique que l’on souhaite contrôler. Gm (p) : est la fonction de transfert qui modélise l’organe de mesure. R(p) : est la fonction de transfert du contrôleur. Elle détermine la loi de commande u(p) à injecter au système à commander pour que sa sortie y(p) suive la grandeur de référence yref (p) même en présence de la perturbation q(p). C’est cette fonction de transfert qu’il s’agit de déterminer. Remarque 1 Puisque c’est la grandeur ym (p), délivrée par l’organe de mesure, qui est disponible et non pas la grandeur 38 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel à contrôler y(p), il est plus judicieux de transformer le schéma de la figure (3.1) par celui de la figure (3.2) où la grandeur à contrôler n’est plus la sortie réelle y(p) du système mais son image représentée par la grandeur mesurée ym (p). De plus, le bruit w(p) étant un signal de haute fréquence, on n’en tient pas compte lors de la synthèse du contrôleur. En effet, pour illiminer l’effet du bruit sur le signal de commande permettant de contrôler le système il suffit d’associer avec le contrôleur un filtre pase bas de bande passante judicieusement choisie (on étudiera ce problème avec plus de détails dans le chapitre consacré à la synthèse des contrôleurs. L’organe de mesure doit donc être considéré comme étant un élément du système à commander, c’est pourquoi on confond souvent les deux grandeurs y(p) et ym (p). Figure 3.2: Schéma simplifié d’un système asservi linéaire 3.2 Objectifs de la commande Les objectifs d’un système asservi sont nombreux et très variés. Mais de manière générale, le problème consiste toujours à calculer la fonction de transfert R(p) du contrôleur, de sorte que le système en boucle fermée représenté par la fonction de transfert Gbf (p) = y(p) yref (p) aie un fonctionnement donné. Ce fonctionnement peut être résumé en les trois caractéristiques principales suivantes. – la stabilité : c’est la caractéristique principale qu’il s’agit souvent de rechercher. La stabilité d’un système caractérise la capacité à maintenir son fonctionnement normal, on la définie comme suit. En mettant à la disposition d’un système au repos une énergie finie, celui-ci change d’état en consommant cette énergie puis revient à sa position d’équilibre lorsque cette énergie est épuisée. – la rapidité : cette caractéristique défini la qualité d’un système à passer d’un point de fonctionnement à un autre rapidement. Elle caractérise donc la durée de son régime transitoire, plus bref est ce régime transitoire plus rapide est le système. on le mesure par le temps de réponse. Selon l’application du système, le contrôleur est calculé de sorte que le système soit le plus rapide possible (ascenseur), ou au contraire, le plus lent possible (laminoir). – la précision : cette caractéristique défini la qualité du système à faire suivre à la sortie à contrôler y(p) la même valeur que l’entrée de référence yref (p). on la mesure par l’erreur e(p) = y(p) − yref (p). Dans ce cas aussi, elle dépend de l’application du système. Il faut noter que pour améliorer une qualité d’un système cela coûte de l’énergie donc de l’argent, que ces trois caractéristiques peuvent être contradictoires, la précision se fait au détriment de la rapidité, elle peut également se faire au détriment de la stabilité. Il est donc souvent nécessaire de fixer des priorités entre ces trois caractéristiques. Une des méthodes de calcul de la fonction de transfert R(p) du contrôleur, consiste à faire en sorte que la fonction de transfert en boucle fermée Gbf (p) soit égale à une fonction de transfert de référence Gref (p) qui vérifie toutes les caractéristiques que 39 3.3 Fonctions de transfert dans un système asservi l’on souhaite imposer au système à commander muni de son contrôleur. La figure (3.3) schématise ce principe. Néanmoins, mis à part ce problème de calcul de R(p), l’autre problème qui faut résoudre au préalable consiste à choisir la fonction de transfert de référence Gref (p) qui vérifie les caractéristiques de stabilité de rapidité et de précision imposées par le cahier des charges. Figure 3.3: Principe de calcul d’un régulateur 3.3 Fonctions de transfert dans un système asservi A partir de la figure (3.2), on peut définir plusieurs fonctions de transfert. – Fonctions de transfert du système à commander : Elles représentent le modèle du système à commander seul. Lorsque celui-ci est linéaire, on peut alors utiliser le théorème de superposition et on écrit : y(p) = GΣ u (p) u(p) + GΣ q (p) q(p) (3.1) GΣ u (p) est la fonction de transfert du système vis à vis de l’entrée de commande u(p). C’est elle qui est utilisée pour déterminer la fonction de fonction de transfert du régulateur R(p). GΣ q (p) est la fonction de transfert du système vis à vis de l’entrée de perturbation q(p). Elles sont donnés par : GΣ u (p) = y(p) u(p) GΣ q (p) = y(p) q(p) = Gm (p) G2 (p) G1 (p) (3.2) = Gm (p) G2 (p) – Fonctions de transfert en boucle ouverte : Rappelons que le fonctionnement en boucle ouverte concerne le système de commande, représenté dans la figure (3.2) par la fonction de transfert R(p), qui ne reçoit pas d’information sur la sortie à contrôler ym (p). La boucle est ouverte au niveau du comparateur, dans ce cas E(p) = Yref (p). Le système étant linéaire, la fonction de transfert en boucle ouverte vis à vis de la consigne yref (p) est donnée par : (considérer q(p) = 0) GBO/yref (p) = y(p) = GΣ u (p) R(p) yref (p) (3.3) La fonction de transfert en boucle ouverte vis à vis de la perturbation q(p) est donnée par : (considérer yref (p) = 0) GBO/q (p) = y(p) = GΣ q (p) q(p) (3.4) Cette équation montre l’inconvénient de la commande en boucle ouverte. En effet, la fonction de transfert entre la perturbation q(p) et la sortie à commander y(p) ne dépend pas du controleur R(p), celui-ci ne sert donc à rien lorsque 40 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel la perturbation n’est pas nulle, puisqu’il ne peut pas corriger les effets de la perturbation sur la grandeur à commander y(p). – Fonctions de transfert en boucle fermée : Dans ce cas il faut tenir compte du fait que le contrôleur reçoit une information de la sortie y(p) et la compare à l’entrée de référence yref (p). La fonction de transfert en boucle fermée vis à vis de la consigne yref (p) est donnée par : (considérer q(p) = 0) GBF/yref (p) = GB0/yref (p) y(p) GΣ u (p) R(p) = = yref (p) 1 + GΣ u (p) R(p) 1 + GBO/yref (p) (3.5) La fonction de transfert en boucle fermée vis à vis de la perturbation q(p) est donnée par : (considérer yref (p) = 0) GBF/q (p) = y(p) GΣ q (p) GΣ u (p) = = q(p) 1 + GΣ u (p) G1 (p) R(p) 1 + GBO/yref (p) (3.6) Contrairement à la boucle ouverte, les équations (3.5) et (3.6) montrent que les deux fonctions de transfert en boucle fermée dépendent de la fonction de transfert du correcteur qui peut donc être calculé pour obtenir un bon suivi de consigne (GBF/yref (p) = 1) et eventuellement annuler l’effet de la perturbation q(p) sur la sortie y(p) (GBF/q (p)) = 0. Etant donné que les objectifs que l’on souhaite imposer au système en boucle fermée sont contenus dans la fonction de transfert de référence Gref (p) à laquelle est identifiée la fonction de transfert en boucle fermée GBF/yref (p), les performances du système asservi sont tout simplement celle de cette fonction de transfert. Ces performances sont traduites en terme de rapidité du régime transitoire, de la précision en régime permanent et de la stabilité de cette fonction de transfert de référence. Pour étudier ces performances, il suffit d’injecter à l’entrée de Gref (p) un signal donné puis relever les caractéristiques du signal de sortie. La nature du signal d’entrée détermine le type d’analyse des performances du système. – Lorsque le signal d’entrée utilise le temps comme variable on parle d’analyse dans le domaine temporel (analyse temporelle). Dans ce cas, le signal d’entrée est généralement un échelon. On utilise aussi des signaux du type impulsion ou rampe pour étudier des performances particlières. – Lorsque le signal d’entrée utilise la fréquence comme variable on parle d’analyse dans le domaine fréquentiel (analyse fréquentielle). Le signal utilisé dans ce cas est du type sinusoidal. Dans ce qui suit on étudie les caractéristiques dynamiques et statiques dans le domaine temporel des deux modèles les plus souvent utilisés comme modèle de référence pour calculer la fonction de transfert du contrôleur, ce sont les modèles du premier et du second ordre. 3.4 Signaux typiques utilisés dans l’analyse temporelle Il existe trois types de signaux utilisés pour l’analyse des régimes transitoire et permanent des systèmes. Ce sont l’impulsion, l’échelon et la rampe. 41 3.4 Signaux typiques utilisés dans l’analyse temporelle 3.4.1 L’impulsion Le signal impulsion, noté δ(t), est défini par 0 si t 6= 0 δ(t) : ∞ si t = 0 (3.7) sa transformation de Laplace est δ(p) = 1. La figure (3.4) montre l’évolution de ce signal dans le temps. L’impulsion est surtout utilisée pour analyser la stabilité des systèmes. En effet, lorsq’un système est soumis à une impulsion, il se déplace instantanément de sa position d’équilibre puis il est soumis à lui même, s’il est stable, il doit revenir à sa position d’équilibre initiale. Figure 3.4: Signal impulsion 3.4.2 L’échelon unitaire Le signal échelon unitaire, noté γ(t), est défini par Sa transformation de Laplace est : 0 γ(t) : 1 γ(p) = t<0 t>0 1 p (3.8) (3.9) La figure (3.5) montre l’évolution de ce signal dans le temps. Cette figure montre que l’échelon est constitué de deux droites, l’une de pente infini à t = 0 et l’autre de pente nulle pour t > 0. C’est pourquoi la dérivée du signal échelon donne le signal impulsion. Lorsque le signal est amplifié d’un gain E0 , il est appelé échelon d’amplitude E0 . Figure 3.5: Signal echelon unitaire 42 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel 3.4.3 La rampe Le signal rampe est une droite de pente unitaire définie par et sa transformation de Laplace est : t si t ≥ 0 r(t) : 0 si t < 0 r(p) = 1 p2 (3.10) (3.11) La figure (3.6) montre l’évolution du signal rampe. Cette figure montre que la rampe est une droire de pente 1 pour t > 0. Figure 3.6: Signal rampe unitaire C’est pourquoi la dérivée du signal rampe donne le signal échelon. 3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires La figure (3.7) illustre la réponse indicielle d’un système du second ordre dont le coefficient d’amortissement z est inférieur à 1. Ses caractéristiques dynamiques sont caractérisées par. Figure 3.7: Réponse indicielle d’un système du second ordre où z < 1 43 3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires 3.5.1 Rapidité La rapidité d’un système est définie comme étant la durée de son régime transitoire. Elle caractérise la performance du système lors d’un changement de régime de fonctionnement (passage d’un régime permanent à un autre). On dit que le système est d’autant plus rapide que la durée de son régime transitoire est petite. A la limite on obtient un échelon unitaire qui n’admet pas de régime transitoire. En général, le régime transitoire d’un système peut être mesurée par les paramètres suivants : Temps de réponse tr Il correspond à la durée du régime transitoire. C’est le temps nécessaire à la sortie du système y(t) pour atteindre sa valeur finale y∞ . Théoriquement il est donc égal à l’infini. Pratiquement on le mesure par le temps mis par la sortie pour atteindre sa valeur finale à une tolérance donnée (généralement prise égale à 3 , 5 ou 10%). tr = t / y(tr ) = y∞ ± x% (3.12) Temps de montée tm Ce paramètre est spécifique aux systèmes dont la réponse indicielle présente un dépassement. Dans ce cas, il correspond à l’instant pour lequel la sortie atteint pour la première fois sa valeur finale. Temps du premier dépassement tpic Ce paramètre est également spécifique aux systèmes dont la réponse indicielle présente un dépassement. Il correspond à l’instant où la sortie atteint sa valeur maximale. Temps de retard τ C’est le temps qui s’écoule entre le moment où l’on injecte le signal d’entrée et le moment où le système commence à réagir à cette sollicitation. Pendant ce temps la sortie du système est insensible à l’entrée. C’est une non linéarité qui intervient dans la fonction de transfert par le terme e−τ p . Dépassement maximal D Ce paramètre est spécifique aux systèmes du second ordre pour le quel le coefficient d’amortissement z est inférieur à 1. il caractérise l’amplitude des oscillations de la réponse indicielle, il est défini par D = ymax − y∞ (3.13) Souvent on le calcule relativement à la valeur finale de la sortie et en pourcentage. D% = ymax − y∞ × 100 y∞ (3.14) Lorsque le système est du premier ordre, sa réponse indicielle est représentée par la figure (3.8). Dans ce cas, le temps de réponse tr et le temps de retard définis précédemment ont la même signification, le temps de monté tm , le temps de dépassement tpic et le dépassement D n’ont pas de sens. Très souvent pour quantifier le régime transitoire de la réponse indicielle d’un système du premier ordre, on utilise un autre paramètre à la place du temps de réponse, c’est la constante de temps T . Elle correspond à l’instant où la sortie atteint 63% de sa valeur finale. 44 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel Figure 3.8: Réponse indicielle d’un système du premier ordre 3.5.2 Précision La précision d’un système de commande caractérise la qualité de la commande en terme de suivi de consigne. Elle mesure la capacité du contrôleur à faire en sorte que la sortie du système y(t) suive la valeur de la consigne yref (t). Elle est définie par (3.15) ε(t) = |y(t) − yref (t)| Selon que la grandeur de référence est constante ou variable, on parle de précision statique (yref (∞) = constante) ou bien de précision dynamique (yref (∞) = variable). ε = lim |y(t) − yref (t)| = lim |p (y(p) − yref (p))| t→∞ p→0 si la limite existe (3.16) Lorsque yref (∞) est une constante et que y(p) = F T BF (p).yref (p) alors ε = lim |p (F T BF (p).yref (p) − yref (p))| p→0 Si yref (t) est un échelon par exemple, alors yref (p) = yref (∞) , p (3.17) l’erreur statique est donnée par ε = yref (∞). lim |(F T BF (p) − 1)| p→0 si la limite existe si la limite existe (3.18) Cette limite existe si la fonction de transfert en boucle fermée F T BF (p) est stable. Dans ce cas, l’erreur statique vaut ε = yref (∞). |F T BF (0) − 1| (3.19) Cette relation montre que l’erreur statique est nulle lorsque le gain statique de la fonction de transfert en boucle fermée est égal à 1 (Rappelons que le gain statique d’une fonction de transfert est égal à la valeur de cette fonction de transfert lorsque p = 0). 3.5.3 Stabilité C’est toujours la première et la principale caractéristique à imposer à un système de commande. Si dans un projet de commande, cette propriété rentre en conflit avec une autre propriété (la rapidité ou la précision) elle sera toujours prioritaire. 45 3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires Pour la définir, on considère la définition intuitive de la condition fondamentale de stabilité basée sur le principe suivant. On dit qu’un système est stable si lorsqu’il est écarté de sa position d’équilibre par une sollicitation extérieure il revient à cette position d’équilibre une fois que cette sollicitation a cessé. La figure (3.9) illustre ce principe. Lorsqu’une force extérieure est appliquée sur la boule, celle posée sur le plan convexe (figure de gauche) quitte sa position initiale piuis y revient lorsque la force extérieure cesse. On dit que la boule est en position d’équilibre stable. Par contre, la boule posée sur ele plan concave (figure de droite) continu à dégringoler sur le plan même lorsque la force disparaît. Dans le cas des systèmes de commande on peut procéder de la même manière pour vérifier la stabilité du système. Grace à l’entrée de commande, on peut injecter dans le système initialement au repos une quantité finie d’énergie, celle-ci déplace alors le système depuis sa position d’équilibre initiale vers une autre position. Le système continu alors à consommer cette énergie jusqu’à ce qu’elle finisse. Si le système est stable il reviendra à sa position d’équilibre initiale, s’il n’y revient pas on dira qu’il est instable. Figure 3.9: Principe de la condition fondamentale de stabilité. Conditions générales de stabilité Lorsque le système est représenté par une fonction de transfert G(p), pour montrer la stabilité du système selon le principe précédent, il suffit de calculer sa réponse impulsionnelle. Puisque la valeur initiale de la sortie du système est égale à zéro, la valeur finale de la sortie doit donc aussi égale à zéro. Comme l’expression de la réponse impulsionnelle est donnée par – lorsque les pôles de G(p) sont réelles distinctes yimp (t) = n X ci epi t (3.20) i=1 où, n est l’ordre du système, ci le ime résidu et pi le ime pôle. – lorsque parmi les n pôles de G(p) il existe des paires de pôles complexes de la forme pk = αk ± j ωk , alors yimp (t) = X i=1 ci epi t + X ci eαi t sin(ωi t) (3.21) i=1 Les deux équations (3.20) et (3.21) montrent que la sortie yimp (t) s’annule lorsque t → ∞ à condition que toutes les fonctions exponentielles s’annulent lorsque t → ∞. Cette condition est vérifiée à la condition que tous les coefficients pi et αi sont tous négatifs. La sortie yimp (t) ne s’annule pas lorsque t → ∞ lorsque au moins une de ces fonctions exponentielles ne s’annulent pas lorsque t → ∞. Comme ces coefficients représentent les pôles de G(p) lorsque ceux-ci sont réels ou bien leur partie réelle 46 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel lorsqu’ils sont complexes, on peut résumer la condition générale de stabilité comme suit : Un système linéaire est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont réels négatifs ou complexes à partie réelle négative. Il est instable s’il existe au moins un pôle à partie réelle positive ou nulle. Si on représente les pôles de la fonction de transfert dans un plan complexe (abscisse : partie réelle des pôles, ordonnée : partie imaginaire des pôles). La condition précédente se traduit par : Le système linéaire est stable à la condition que tous ses pôles soient situés strictement dans le demi-plan gauche du plan complexe. Il est instable, lorsqu’au moins un pôle est situé dans le demi-plan droit du plan complexe. La figure (3.10) illustre cette condition générale de stabilité des systèmes linéaires. Figure 3.10: Domaine de stabilité des systèmes linéaires. Cas particulier de l’axe imaginaire Lorsque la fonction de transfert du système possède des pôles situés sur l’axe imaginaire, dans ce cas il faut être vigilent car le système peut être asymptotiquement stable (la sortie ne tend pas vers l’infini mais ne revient pas également vers sa valeur initiale zéro) comme il peut être absolument instable (sa sortie tend vers l’infini). Pour montrer cette caractéristique, considérons l’exemple simple de deux systèmes ayant leurs pôles en zéro, l’un n’en possède qu’un seul pôle alors que l’autre en possède deux. Leurs réponses impulsionnelles sont alors. – Pour le système n’ayant d’un seul pôle : yimp (t) = 1, qui n’est donc pas instable, – Pour le système ayant deux pôles nuls : yimp (t) = t, qui est instable C’est la raison pour laquelle on considère que l’axe imaginaire est inclu dans le demi-plan droit du plan complexe. Critère algébrique de Routh-Hurwitz L’utilisation de la condition générale de stabilité nécessite le calcul des pôles de la fonction de transfert du système. Néanmoins, cette méthode devient inutilisable dès que l’ordre du modèle est supérieur à 2. Dans ce cas, on peut alors utiliser le critère algébrique de Routh-Hurwitz basé sur les coefficients du polynôme caractéristique. Ce critère a été publié pour la première fois en 1800 par A. Hurwitz et E.J. Routh. Il faut noter néanmoins que ce critère permet de déterminer le nombre de racine à partie réelle positive d’un polynôme à coefficients réels et non pas le nombre de racines à partie réelle négative. Il faut donc être vigilent lorsqu’on utilise ce critère pour étudier la stabilité des systèmes linéaires. Le principe de ce critère 47 3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires est le suivant : – Etape 1 : Ecrire l’équation caractéristique du système linéaire (dénominateur de la fonction de transfert) sous la forme générale ∆(p) = an pn + an−1 pn−1 + an−2 pn−2 + · · · + a1 p + a0 (3.22) – Etape 2 : Former le tableau de Routh comme suit Les éléments des deux premières lignes de la table sont déduits directement à partir du polynôme caractéristique. Les Figure 3.11: Forme générale de la table de Routh. coefficients du polynôme sont alternativement repportés sur la première et la seconde ligne de la table. Le reste des éléments Ai,j de la table de Routh sont calculés par la relation Ai,j = − 1 Ai−1,1 Ai−2,1 Ai−2,j+1 Ai−1,1 Ai−1,j+1 (3.23) Pour calculer un élément d’une ligne, on divise par l’opposé du pivot de la ligne précédente (le pivot d’une ligne étant le premier élément de la ligne) multiplié par le mineur dont la première colonne est formée par les premiers éléments des deux lignes précédentes et dont la deuxième colonne est formée par les éléments des deux lignes précédentes de la colonne qui suit l’élément à calculer. – Etape 3 : Examiner la première colonne du tableau de Routh, le critère de Routh-Hurwitz s’énonce comme suit A la condition nécessaire que tous les éléments du polynôme soient positifs, le polynôme caractéristique ∆(p) possède autant de racines à partie réelle positive qu’il y a de changement de signe lorsqu’on parcourt les éléments de la première colonne du tableau de Routh. Exemple 1 : On traite dans cet exemple le cas d’un polynôme pour lequel tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh sont non nuls. Soit donc ∆(p) = p3 + p2 + 2p + 24 (3.24) Le tableau de Routh correspondant est En parcourant la première colonne on constate deux changements de signe, le polynôme ∆(p) possède donc deux racines à 48 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel A11 = − 11 2 = ( −1 )( 24 − 2 ) = −22 1 1 24 A21 = − 1 24 1 = ( −1 / 22 )( −22 × 24 ) = 24 − 22 − 22 0 √ partie réelle positive. En effet, les racines de ce polynôme sont respectivement p1 = −3 et p2,3 = +1 ± j 7. Dans ce cas, si ce polynôme est le dénominateur d’une fonction de transfert, le système correspondant est instable. Exemple 2 : dans cet exemple on considère le cas particulier d’un polynôme pour lequel la première colonne du tableau de Routh contient un pivot nul mais les autres éléments de la ligne correspondante ne sont pas nuls. ∆(p) = p5 + 2p4 + 2p3 + 4p2 + 11p + 10 (3.25) En parcourant la première colonne de la table de Routh, ε étant un nombre positif, on constate qu’il y a deux changements A11 = − 1 1 2 2 2 4 = ( −1 )( 4 − 4 ) = 0 On remplace le pivot nul par un coefficient très petit positif ε afin de pouvoir calculer les autres éléments du tableau. A21 = − 1 2 4 ε ε 6 = ( −1 / ε )( 12 − 4ε ) = −1 / ε de signe. Donc le polynôme possède deux racines à partie réelle positive. Le calcul des racine de ce polynôme donne : p1 = −1.3067, p2,3 = +0.895±j 1.456 et p2,3 = −1.24±j 1.038. Dans ce cas aussi, si ce polynôme correspond au dénominateur d’une fonction de transfert, le système est instable. Exemple 3 : On présente dans cet exemple un autre cas particulier d’un polynôme pour lequel tous les éléments d’une ligne sont nuls. ∆(p) = p3 + 3p2 + 4p + 12 (3.26) Le tableau de Routh est dans ce cas donné par La table présente une ligne entière nulle (cette ligne est due à la présence de deux racines complexes pures). On ne peut donc pas continuer à calculer les éléments des lignes suivantes. On remplace alors les coefficients de la ligne nulle par les coefficients d’un autre polynôme appelé polynôme auxiliaire obtenu en dérivant par rapport à p le polynôme formé par les coefficients de la ligne précédente. Le polynôme auxiliaire est dans ce cas donné par ∆aux (p) = 3p2 + 12 et sa dérivée par d rapport à la variable p est : dp 3p2 + 12 = 6 . La table de Routh est donc donnée par 49 3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires En parcourant la première colonne de la table de Routh, il n’y a aucun changement de signe. Donc le polynôme ne possède aucune racine à partie réelle positive. Le calcul des racines de ce polynôme donne : p1 = −3 et p2,3 = ±2 j . Si ce polynôme correspond au dénominateur d’une fonction de transfert, le système est instable. Exemple 4 : On présente enfin dans cet exemple les limites du critère de Routh-Hurwitz pour l’étude de la stabilité des systèmes. ∆(p) = p5 + p4 + 2p3 + 2p2 + p + 1 (3.27) La table de Routh est donnée par D’après le tableau de Routh, il n’y a aucun changement de signe lorsqu’on parcourt les éléments de la première colonne. Par conséquent ce polynôme ne possède aucune racine à partie réelle positive. Néanmoins, il ne faut pas conclure hâtivement quant à la stabilité du système dont il serait le polynôme caractéristique. En effet, le calcul des racines du polynôme donne : p1 = −1, p2,3 = ±j et p4,5 = ±j. La réponse impulsionnelle est dans ce cas du type : y(t) = c1 e−t + c2 sin(t) + c3 t sin(t). Le système est donc instable à cause du fait qu’il y a deux paires de pôles complexes pures. En résumé, pour utiliser le critère algébrique de Routh-Hurwitz afin de vérifier la stabilité des systèmes linéaires on doit vérifier les trois conditions suivantes. ◦ Tous les coefficients du polynôme caractéristique doivent être non nuls. Cette condition étant une condition nécessaire. ◦ Lorsqu’on parcourt les éléments de la première colonne du tableau de Routh, il ne doit pas y avoir de changement de signe, cette conditon détermine que la fonction de transfert ne possède aucun pôle à partie réelle positive. ◦ Le tableau de Routh ne contient aucune ligne nulle, cette conditon détermine que la fonction de transfert ne possède aucun pôle situé sur l’axe imaginaire. 50 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel 3.5.4 Dilemme stabilité - précision Soit le système de commande de la figure (3.12) dans lequel K est un gain constant positif à déterminer et G(p) est donnée par G(p) = p3 + 1 + 3p + 1 4p2 Figure 3.12: Système de commande à l’aide d’un régulateur proportionnel – Calculons d’abord la valeur de K qui permet d’obtenir la meilleure précision donc de maintenir l’erreur statique le plus proche possible de zéro. Par définition l’erreur est ε(p) = yref (p) − y(p) = yref (p) − KG(p)ε(p), d’où ε(p) = 1 yref (p) 1 + KG(p) Lorsque yref (t) est un échelon unitaire, yref (p) = p1 , ce qui donne ε(∞) = lim p p→0 1 1 1 + KG(p) p = 1 1+K si cette limite existe Donc, plus K augmente plus l’erreur statique diminue. A la limite lorsque K → ∞, ε(∞) = 0. Cette solution n’étant pas réaliste, l’erreur statique ne peut donc pas être annulée, elle ne peut qu’être limitée. – Etudions maintenant le problème de stabilité du système en boucle fermée dont la fonction de transfert est donnée par F T BF (p) = K KG(p) = 3 2 1 + KG(p) p + 4p + 3p + K + 1 La table de Routh est donnée par Le système en boucle fermée sera donc stable si 0 < K < 11. Par conséquent, la stabilité du système en boucle fermée est garantie pour des valeurs de K comprises entre 0 et 11. Ainsi, pour obtenir une précision de 5% par exemple la valeur du gain du régulateur doit être égale à K = 19. Néanmoins, cette valeur du gain donnera un système instable en boucel fermée. Les deux propriétés de stabilité et de précision sont contradictoires, c’est ce qui est communément appelé dilemme stabilité-précision. 51 3.6 Etude d’un système du premier ordre 3.6 Etude d’un système du premier ordre Un système du premier ordre est celui régit par une équation différentielle du premier ordre donnée par : d y(t) + y(t) = G0 u(t) dt T (3.28) u(t) étant l’entrée du système et y(t) sa sortie. T et G0 sont deux constantes réelles positives. T est appelée la constante de temps et G0 est appelé le gain statique. Il représente le rapport entre la sortie et l’entrée en régime permament, il caractérise l’effet amplificateur du système. Lorsque les conditions initiales sont nulles (y(t = 0) = u(t = 0) = 0 et d dt y(t) t=0 = 0), la fonction de transfert du système du premier ordre est donnée par : G(p) = y(p) G0 = u(p) 1+T p (3.29) b0 p − p0 (3.30) qui peut également être écrite sous la forme G(p) = avec b0 = G0 T et p0 = − 1 T (3.31) p0 étant le pôle du système. 3.6.1 Réponse indicielle La réponse indicielle d’un système représente l’évolution de sa sortie lorsque l’entrée est un échelon unitaire. L’expression de la réponse indicielle du système du premier ordre est calculée comme suit : y(p) = b0 /p0 b0 /p0 b0 1 = − p − p0 p p − p0 p (3.32) la transformation de Laplace inverse est y(t) = − ou encore : b0 1 − ep0 t p0 y(t) = G0 1 − e−t/T (3.33) (3.34) Etude de la précision La précision d’un système caractérise le comportement de sa réponse indicielle en régime permament lorsque le signal d’entrée est la référence à faire suivre à la sortie du modèle. (u(t) = yref (t)). Dans le cas où yref (t) est un échelon unitaire, l’évolution de la sortie, pour différentes valeurs de G0 , est représentée par la figure (3.13). D’après cette figure, on constate que le modèle du premier ordre est précis lorsque G0 = 1. Etude de la rapidité La rapidité d’un système caractérise le comportement dynamique de sa réponse indicielle. Un système est d’autant plus rapide que la durée de son régime transitoire est plus courte. Dans le cas d’un système du premier ordre, on caractérise cette propriété par sa constante de temps T . Lorsque yref (t) est un échelon unitaire, la figure (3.14) représente l’évolution de la sortie y(t), pour différentes valeurs de T (T1 < T2 < T3 ). 52 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel Figure 3.13: Réponse indicielle d’un système du premier ordre pour différentes valeurs de gain statique Figure 3.14: Réponse indicielle d’un système du premier ordre pour différentes valeurs de la constante de temps D’après cette figure, on constate que le modèle du premier ordre est d’autant plus rapide que sa constante de temps est plus petite. La rapidité d’un système peut également être caractérisée par la position de ses pôles dans le plan complexe où l’axe des abscisses représente la partie réelle des pôles et l’axe des ordonnées représente la partie imaginaire. Le système du premier ordre ne possédant q’un seul pôle, il est réel négatif (puisque la constante de temps T est positive), il est représenté sur la figure (3.15). Le système est donc d’autant plus lent que le pôle est proche de l’origine et plus rapide que le pôle est loin de l’origine. Détermination des paramètres G0 et T à partir de la réponse indicielle Etant donné la réponse indicielle d’un système du premier ordre dont les paramètres sont inconus. On montre dans ce qui suit la procédure à suivre pour déterminer le gain statique G0 et la constante de temps T du modèle du premier ordre à partir de sa réponse indicielle. 53 3.6 Etude d’un système du premier ordre Figure 3.15: Position du pôle du système du premier ordre – détermination du gain statique : A partir de l’équation (3.34), on a : y(t → ∞) = y(∞) = lim t→∞ G0 1 − e−t/T = G0 (3.35) Par conséquent, le gain statique du modèle entier est la valeur finale de la sortie lorsque l’entrée est un échelon unitaire. Cette valeur peut être relevée directement à partir de la réponse indicielle. Lorsque l’entrée zqt un échelon d’amplitude E0 , le gain statique est le rapport de la valeur finale de la sortie sur la valeur finale de l’entrée. Il est évident, que dans les deux cas, le système doit être stable. – détermination de la constante de temps : En utilisant une nouvelle fois l’équation (3.34), la valeur de la sortie à l’instant (t = T ) est donnée par : y(t = T ) = y(T ) = y(∞) 1 − e−T /T = y(∞) 1 − e−1 ≅ 0.63 y(∞) (3.36) Par conséquent, pour déterminer cette valeur à partir de la réponse indicielle, il suffit de déterminer la valeur (0.63 y(∞)) sur l’axe des ordonnées, de projeter cette valeur sur la courbe de la réponse indicielle puis de projeter le point ainsi obtenu sur l’axe des abscisses (le temps), l’instant obtenu correspond à la valeur de T . La figure (3.16) illustre cette méthode. Figure 3.16: Détermination de G0 et T à partir de la réponse indicielle Une autre méthode basée sur l’approximation de la réponse indicielle par une droite au voisinage de zéro peut également être utilsée pour déterminer les paramètres G0 et T du modèle du premier ordre. En effet, au voisinage de zéro le développement 54 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel de Taylor de l’expression analytique de la réponse indicielle donne h t i G0 y(t) ≈ G0 1 − 1 − = t T T Par conséquent, au voisinage de zéro la réponse indicielle y(t) du système peut être approximée par la droite x(t) = passe par zéro et dont la pente est égale à G0 T . (3.37) G0 T t qui De plus, cette droite vaut G0 à l’instant t = T . Ainsi, pour déterminer les paramètres G0 et T du modèle du premier ordre on procède comme suit – Tracer la droite tangente à la réponse indicielle au voisinage de zéro, – Tracer la droite tangente à la réponse indicielle au voisinage de l’infini, – l’intersection de la droite tangente à la réponse indicielle au voisinage de l’infini coupe l’axe des coordonnées à la valeur G0 le gain statique du modèle, – l’intersection de la droite tangente à la réponse indicielle au voisinage de zéro et celle tangente à la réponse indicielle au voisinage de l’infini se croisent à l’instant T , la constante de temps du modèle. La figure (3.17) illustre cette méthode. Figure 3.17: Détermination de G0 et T à partir de la réponse indicielle 3.6.2 Réponse impulsionnelle La réponse impultionnelle d’un système caractérise l’évolution de sa sortie lorsque l’entrée est une impulsion. L’expression de la sortie dans plan de Laplace est : y(p) = b0 p − p0 (3.38) et la transformation de Laplace inverse est donnée par : G0 −t/T y(t) = b0 1 − ep0 t γ(t) = e γ(t) T (3.39) La (3.18) illustre la réponse impulsionnelle du système du premier ordre. La sortie est nulle pour t < 0 puisque l’entrée est nulle. A t = 0 ; gràce à l’énergie de l’impulsion, la sortie fait un saut depuis sa position initiale y = 0 jusqu’à la valeur y = G0 T . Après la disparition de l’impulsion, le système est soumis à lui même et revient, après un certain temps, à sa position initiale y = 0 puisque le système est stable. Pour déterminer les paramètres G0 et T à partir de la réponse impulsionnelle, on procède comme suit : – à t = 0+ , la valeur de la sortie vaut y(0+ ) = G0 T 55 3.6 Etude d’un système du premier ordre Figure 3.18: Réponse impulsionnelle du système du premier ordre – à t = T , la valeur de la sortie vaut y(T ) = y(0+ ) e−1 = 0.37 y(0). Ainsi, à partir de la réponse impulsionnelle on détermine la valeur de la sortie à t = 0+ , puis on calcule la valeur 0.37 y(0+) correspondante. Sa projection sur l’axe des temps donne la valeur de la constante de temps T . La valeur du gain statique G0 est alors donné par G0 = T.y(0+ ) 3.6.3 Réponse à une rampe La réponse à une rampe d’un système caractérise l’évolution de sa sortie lorsque l’entrée est une droite de pente unitaire. Dans le domaine de Lapalce, l’expression de la sortie du système du premier ordre est donnée par : y(p) = b0 1 b0 /p0 b0 /p20 b0 /p20 = − + 2 2 p − p0 p p p p − p0 (3.40) et la transformation de Laplace inverse est y(t) = G0 t − T + T e−t/T (3.41) La (3.19) illustre la réponse à une rampe du système du premier ordre. Figure 3.19: Réponse à une rampe du système du premier ordre Pour déterminer les paramètres G0 et T de la fonction de transfert du système du premier ordre à partir de sa réponse 56 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel à une rampe on procède comme suit : En régime permanent, au voisinage de (t → ∞), la fonction e−t/T ≃ 0. L’expression de la réponse à une rampe de l’équation (3.41) est dans ce cas approximée par la droite d(t) = G0 t − T (3.42) – L’intersection de la droite d(t) avec l’axe des abscices à lieu à l’instant t = T , caractérisant la valeur de la constante de temps du système. – La pente de la droite d(t) est le gain statique G0 du système, il peut dont être calculée en considérant un point particulier t1 , y(t1 ) de la droite par l’expression. G0 = 3.7 y(t1 ) t1 − T (3.43) Etude d’un système du premier ordre à retard Un retard dans un système représente un temps qui s’écoule entre l’instant où l’on applique l’entrée et l’instant où la sortie commence à évoluer. Un exemple simple d’un tel système est un tuyau d’arrosage ayant une longueur donnée branché à une vanne qui permet d’ouvrir et fermer le débit d’eau à l’autre bout du tuyau avec lequel on souhaite remplir un seau par exemple. En supposant qu’avant l’ouverture de la vanne le tuyau est vide, au moment de l’ouverture de la vanne la commande est non nulle par contre le niveau d’eau dans le seau reste égal à zéro. Ce qui est normal puisque l’eau doit mettre un certain temps pour parcourir la longueur du tuyau. Ce n’est donc qu’au moment ou l’eau arrive au bout du tuyau que le niveau d’eau dans le seau commence à évoluer. Il s’écoule donc un certain temps entre le moment où la commande existe et le moment où le seau commence à ce remplir, c’est ce temps qui est appelé le retard. Dans le cas d’un système du premier ordre à retard, la réponse indicielle d’un tel système est celle représentée par la figure (3.20). Un tel système est régit par Figure 3.20: Réponse indicielle d’un système du premier ordre à retard. l’équation différentielle T d y(t) + y(t) = G0 u(t − τ ) dt (3.44) 57 3.8 Etude d’un système du second ordre En utilisant la définition de la transformation de Laplace ainsi que les propriétés de dérivation et du retard, en supposant bien sûr que les conditions initiales sont nulles, cette équation devient T p Y (p) + Y (p) = G0 u(p)e−τ p (3.45) ce qui permet de déduire la fonction de transfert du système à retard, elle donnée par G(p) = Y (p) G0 e−τ p = U (p) 1+T p (3.46) Cette équation montre qu’un système du premier ordre à retard possèle les mêmes caractéristiques que le système du premier ordre étudié dans la section précédente. La seule différence est que ses réponses temporelles (réponse impulsionnelle, réponse indicielle, réponse à une rampe) ont les mêmes allures que celles du système du premier ordre sauf qu’au lieu de commencer à t = 0 elles commencent à t = τ . Par contre, il en est pas de même pour la commande des systèmes à retard. En effet, lorsqu’il est bouclé à l’aide d’un régulateur, le terme e−τ p qui apparait au numérateur de la fonction de tarnsfert du système intervient au dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée, ce qui peut causer l’instabilité du système bouclé. Pour illustrer ceci considérons l’exemple de la commande d’un système du premier ordre à retard à l’aide d’un régulateur proportiennel de gain K. La fonction de transfert de la boucle fermée est donnée par F T BF (p) = KG0 e−τ p K G(p) = 1 + K G(p) 1 + T p + KG0 e−τ p (3.47) dont le dénominateur n’est pas un polynôme. Cela rend l’analyse de la stabilité par exemple trop complexe. 3.8 Etude d’un système du second ordre Un système du second ordre est celui régit par une équation différentielle de la forme a2 d2 d y(t) + a1 y(t) + a0 y(t) = b0 u(t) dt2 dt (3.48) Lorsque les conditions initiales sont nulles et en calculant la transformation de Laplace de cette équation, on déduit la fonction de transfert donnée par G(p) = y(p) b0 = 2 u(p) a2 p + a1 p + a0 (3.49) G0 ωn2 p2 + 2 z ωn p + ωn2 (3.50) que l’on écrit sous la forme standard G(p) = G0 est le gain statique (égal au rapport y(∞)/u(∞)), ωn est la pulsation propre non amortie et z (également noté ξ) est le coefficient d’amortissement lorsque sa valeur est inférieure à 1. 3.8.1 Réponse indicielle La réponse indicielle y(t) est obtenue en calculant la transformation de Laplace inverse de y(p) = G0 ωn2 1 2 2 p + 2 z ωn p + ωn p (3.51) La forme et l’expression de y(t) dépendent alors des pôles de la fonction de transfert, donc des racines de son équation caractéristique p2 + 2 z ωn p + ωn2 = 0 (3.52) 58 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel qui dépend du signe de son discriminant ∆ = ωn2 z 2 − 1 (3.53) donc de la valeur du coefficient d’amortissement z. On distingue alors trois cas : Cas d’un système apériodique critique (z = 1) Dans ce cas, l’équation caractéristique s’écrit 2 p2 + 2 ωn p + ωn2 = (p + ωn ) (3.54) Lorsque l’entrée est un échelon unitaire, l’expression de sa sortie est dans ce cas donnée par y(p) = G0 ωn2 1 G0 G0 G0 ωn = − − 2 p p + ωn (p + ωn ) p (p + ωn ) 2 (3.55) dont la transformation de Laplace inverse est donnée par y(t) = G0 1 − e−ωn t − ωn t e−ωn t (3.56) La figure (3.21) illustre cette réponse indicielle. Figure 3.21: Réponse indicielle du système du second ordre lorsque z = 1 Pour déterminer les paramètres G0 et ωn du modèle du système du second ordre, pour lequel z = 1, à partir de sa réponse indicielle on procède comme suit. – Le gain statique G0 étant le rapport de la sortie sur l’entrée en régime permanent, il peut être déterminé simplement en relevant la valeur finale de la réponse indicielle. Lorsque l’entrée n’est pas un échelon unitaire, il ne faut pas oublier de diviser sur la valeur de l’échelon. – A l’instant t = 1/ωn la sortie vaut (1 − 2 e−1 ).y(∞) ≅ 0.26 y(∞). A partir de la réponse indicielle, il suffit donc de lire la valeur 0.26 y(∞) sur l’axe des ordonnées, de projeter ce point sur la courbe puis de projeter le point ainsi trouvé sur l’axe des abscisses, l’instant trouvé est égal à 1/ωn . 59 3.8 Etude d’un système du second ordre Cas d’un système sinusoïdal amorti (z < 1) Dans ce cas, l’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées p1,2 = −z ωn ± j ωn p 1 − z2 (3.57) l’expression de la sortie lorsque l’entrée est un échelon unitaire est donnée par y(p) = 1 G0 ωn2 √ √ p p + z ωn + j ωn 1 − z 2 p + z ωn − j ωn 1 − z 2 qui, pour calculer la transformation de Laplace inverse, peut être écrite sous la forme ! 1 p + 2 z ωn y(p) = G0 − √ p (p + z ωn )2 + ωn 1 − z 2 2 sachant que (3.59) ! 1 p + z ωn z ωn − y(p) = G0 − √ √ 2 p (p + z ωn )2 + ωn 1 − z 2 2 (p + z ωn )2 + ωn 1 − z 2 ! √ 1 p + z ωn z ωn 1 − z 2 y(p) = G0 − −√ √ √ p (p + z ωn )2 + ωn 1 − z 2 2 1 − z 2 (p + z ωn )2 + ωn 1 − z 2 2 −1 L " p+a 2 (p + a) + b2 # =e −a t cos (b t) −1 L " b 2 (p + a) + b2 # (3.58) = e−a t sin (b t) (3.60) (3.61) (3.62) La transformation de Laplace inverse de l’équation (3.61) est donnée par h p i p z y(t) = G0 1 − e−z ωn t cos ωn 1 − z 2 t − √ e−z ωn t sin ωn 1 − z 2 t (3.63) 1 − z2 p p i e−z ωn t h p 2 2 2 y(t) = G0 1 + √ − 1 − z cos ωn 1 − z t + (−z) sin ωn 1 − z t (3.64) 1 − z2 √ √ Comme z < 1, 1 − z 2 < 1, il existe un angle ϕ tel que sin(ϕ) = − 1 − z 2 et cos(ϕ) = −z. De plus, en utilisant la relation sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) avec : a = ϕ et b = ωn (3.65) √ 1 − z 2 t, l’expression (3.64) s’écrit sous la forme simplifiée suivante y(t) = G0 p e−z ωn t 2 1+ √ sin ωn 1 − z t + ϕ 1 − z2 (3.66) ! √ 1 − z2 z (3.67) où ϕ = arctg La réponse indicielle du système du second ordre est donc une fonction constante ègale à G0 autour de laquelle oscille une fonction sinus contenue dans une enveloppe constituée par la fonction exponentielle. L’allure est illustrée par la figure (3.26). Cette réponse indicielle présente une caractéristique très importante. En effet, X Le temps de réponse (ou le temps d’établissement) ne dépend que de la pulsation propre non amortie ωn . Néanmoins il n’existe pas de relation exacte permettant d’exprimer ce temps en fonction de la pulsation propre non amortie ωn . Il existe néanmoins les approximations suivantes tr 2% = 4 z ωn ou tr 5% = 3 z ωn (3.68) 60 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel X Le dépassement de la réponse indicielle ne dépend que du coefficient d’amortissement z, selon la relation e−z π D= √ 1 − z2 (3.69) le temps du pic est donné par tpic = ωn √ π 1 − z2 (3.70) X La valeur final de la sortie ne dépend que du gain statique G0 . Figure 3.22: Caractéristiques de la réponse indicielle d’un système du second ordre en fonction de ses paramètres G0 , z et ωn lorsque z < 1 La position des pôles dans le plan complexe est donnée par la figure (3.23). Figure 3.23: Position des pôles du système du second ordre lorsque z < 1 √ La fonction sinus qui constitue la réponse indicielle est caractérisée la pulsation propore amortie ωn 1 − z 2 qui est la partie imaginaire des pôles de la fonction de transfert. La fonction exponentielle négative qui atténue cette fonction sinus dépend de zωn qui est la partie réelle des pôles de la fonction de transfert. 61 3.8 Etude d’un système du second ordre Par conséquent, plus la partie réelle des pôles est plus importante que la partie imaginaire, plus la réponse indicielle est amortie. A la limite, quand les pôles sont pûrement réels (z = 1), on obtient la forme apériodique critique. Inversement, lorsque la partie imaginaire des pôles est plus importante que la partie réelle la réponse indicielle est peu amortie, elle devient donc de plus en plus sinusoïdale. A la limite, quand les deux pôles sont pûrement imaginaires (z = 0), on obtient une forme sinusoïdale parfaite autour de la valeur finale égale au gain statique G0 lorsque l’entrée est un échelon unitaire. La figure (3.24) illustre cette caractéristique. Figure 3.24: Influence de la position des pôles sur la réponse indicielle √ Lorsque la partie réelle des pôles (zωn ) est égale à la partie imaginaire (ωn 1 − z 2 ) la réponse indicielle est dans ce cas ni trop amortie ni trop oscillatoire, elle ne présente qu’un seul dépassement et presque pas d’oscillations comme le montre la figure (3.25). On démontre facilement que la valeur de z correspondante est égale à z = 3.8.2 √1 2 = √ 2 2 Détermination des paramètres du modèle du second ordre avec dépassement à partir de sa réponse indicielle A partir de la réponse indicielle d’un système du second ordre, comme le montre la figure (3.26) il est très facile de lire les paramètres suivants : – la valeur finale de la sortie y∞ , – la valeur maximale de la sortie ymax , – le temps correspondant aux maximum de la réponse indicielle, noté tpic , – la pseudo-période de l’oscillation Tp . Le problème est alors de déterminer les paramètres G0 , z et ωn de la fonction de transfert du système à partir de ces lectures. X Connaissant l’amplitude de l’échelon d’entrée E0 , on peut utiliser la valeur finale y∞ de la sortie pour déterminer la valeur du gain statique G0 , Elle est donnée par G0 = y∞ E0 (3.71) 62 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel Figure 3.25: Réponse indicielle d’un système du second ordre pour z = √ 2 2 X A partir des valeurs ymax et y∞ , on peut calculer la valeur du dépassement en pourcentage (D%) par l’équation D% = 100 × ymax − y∞ y∞ (3.72) Connaissant cette valeur du dépassement on peut utiliser l’équation (3.73) pour calculer la valeur du coefficient d’amortissement correspondant. z = −ln D% 100 v u u t ln 1 2 D% 100 (3.73) + π2 On peut également utiliser la figure (3.27) pour estimer cette valeur du coefficient d’amortissement z X Pour déterminer la valeur de la pulsation propre non amortie ωn , on peut utiliser soit le paramètre tpic soit le paramètre Tp . On utilise les relation (ref) ωn = π √ tpic 1 − z 2 ou ωn = 2π √ Tp 1 − z 2 (3.74) 3.8 Etude d’un système du second ordre Figure 3.26: Détermination des paramètres du modèle du second ordre avec dépassement Figure 3.27: Dépassement en % en fonction du coefficient d’amortissement z 63 Chapitre 4 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires 4.1 Echelle logarithmique Dans l’échelle linéaire, figure 4.1, deux graduations dont la différence vaut 10 sont à distance constante. La distance entre 0 et 10 et la même que la distance entre 32 et 42, c’est aussi la même entre 111 et 121. Les divisions entre deux graduations successives sont des divisions de la graduation et contiennent des diviseurs par l’unité de graduation des nombres compris entre ces deux graduations successives. Par exemple, les divisions comprises entre 3 et 4 sont 3.1, 3.2 ... 3.9 si la subdivision de l’échelle est 1/10. L’inconvénient de l’échelle linéaire c’est qu’il est impossible de représenter dans un même axe des données de très faibles valeurs (l’ordre de 0.001) et des données de très grandes valeurs (1000 par exemple). En effet, si on veut représenter les petites valeurs (les nombres voisins de 0.001), on est amené à choisir une échelle de l’ordre de 0.001. Dans ce cas, représenter les valeurs de l’ordre de 1000 nécessite l’utilisation d’une feuille très longue donc illisible puisqu’elle serait impossible à utiliser en pratique. D’un autre côté, si on choisit une échelle de l’ordre de 1000 pour pouvoir représenter les grandes valeurs, il est impossible de représenter les valeurs voisines de 0.001. Afin de pouvoir représenter dans un même graphe les petites et les grandes valeurs, on utilise l’échelle logarithmique, comme Figure 4.1: Exemple d’une échelle linéaire. le montre la figure 4.2. Dans l’échelle logarithmique, deux graduations sont à distance constante lorsque le rapport entre elles vaut 10 lorsque c’est le logarithme décimal qui est choisi pour l’échelle. La distance entre les graduations 2 et 20 et la même que les graduations 30 et 300, puisque le rapport entre 20 et 2 et le même entre 300 et 30. Par contre, la distance entre les graduations 1 et 2 n’est pas la même que la distance entre les graduations 2 et 3, par exemple. En effet, le rapport 2/1 n’est pas le même que le rapport 3/2. La figure 4.2 montre l’exemple d’une échelle logarithmique. La distance entre deux graduations successives est appelée une dcade. Les divisions entre deux graduations successives sont des multiples de 10 de la première graduation de la décade. Par exemples, dans la décade 1 à 10, les subdivisions de la graduation sont 2, 3, 4, ..., 9. dans la décade 0.1 à 1, les subdivisions de la graduation sont 0.2, 0.3, 0.4, ..., 0.9. Il faut noter aussi que dans l’échelle logarithmique 66 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.2: Exemple d’une échelle logarithmique. 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -1 10 0 1 10 10 2 10 Figure 4.3: Exemple d’un graphe semi-logarithmique. – En automatique, on utilise le logarithme décimal plutôt que le logarithme népérien, – Le zéro ne peut pas être représenté puisque log(0) n’est pas défini, – Seules les valeurs positives peuvent être représentées car la fonction y = log(x) n’est définie que pour les valeurs positives de x, – Les grands nombres sont comprimés, rapprochés de 1 et facilement représentés. En effet, on sait que si le nombre x est très grand il peut être écrit sous la forme x = 10a (a étant un nombre réel quelconque, dans ce cas, on peut écrire log(x) = log(10a ) = a log(10) – Les nombres inférieurs à 1 sont dilatés. Les graphes en repère semi-logarithmique servent à montrer l’évolution d’une fonction y = f (x) dont la grandeur y est représentée sur l’axe des ordonnées dont l’échelle est linéaire. La grandeur x évolue de manière exponentielle, elle est représentée sur l’axe des abscisses dont l’echelle est logarithmique. La figure 4.3 montre un exemple d’un graphe semi-logarithmique. La figure représente l’évolution de la fonction y = log(| x10 0.6 |) (| . | et log(.) représentent respectivement la valeur abbsolue et le logarithme décimal. x est un nombre réel compris entre 0.1 et 100. 4.2 Analyse fréquentielle des systèmes Pour expliquer ce qu’est l’analyse fréquentielle des systèmes considérons un système linéaire régit par l’équation différentielle du premier ordre T d y(t) + y(t) = b u(t) dt (4.1) L’objectif de l’analyse fréquentielle des systèmes linéaires est d’étudier l’évolution de la sortie du système lorsque son entrée u(t) est un signal du type sinusoïdal caractérisé par une amplitude U0 et une pulsation ω (u(t) = U0 sin(ω t)). En utilisant 67 4.2 Analyse fréquentielle des systèmes la transformation de Laplace de l’équation différnetielle et du signal d’entrée, l’expression de la sortie du système est donnée par y(p) = G0 U0 ω 2 1 + T p p + ω2 (4.2) Le calcul de la transformation de Laplace inverse, permet de déterminer l’expression de la sortie y(t). Elle est donnée par y(t) = i G0 U0 ωT h −t/T e + A sin(ωt + ϕ) 1 + ω2T 2 (4.3) 1 avec ϕ = −arctg(ωT ) et A = − sin(ϕ) . L’équation (4.3) montre que l’évolution de la sortie y(t) est constituée de deux termes : le terme e−t/T qui caractérise le régime transitoire et le terme A sin(ωt + ϕ) qui caractérise le régime permanent. On constate que le caractère sinusoïdal de l’entrée intervient en régime permanent. A condition que les termes caractérisant le régime transitoire disparaissent en régime permanent. Ceci est possible à condition que le système soit stable. Le terme caractérisant le régime permanent est quant à lui une fonction sinusoïdale de même pulsation que la sinusoïde d’entrée modifiée en amplitude par la valeur d’un gain G(ω) = G0 U0 ωT 1+ω 2 T 2 et déphasée d’une valeur ϕ(ω) − arctg(ωT ). L’équation (4.3) montre également que le gain et le déphasage dépendent de la pulsation ω du signal d’entrée. Cela signifie que deux signaux de pulsations différentes ne sont pas transformés de la même manière par le système. De manière plus généle, l’analyse fréquentielle d’un système linéaire représenté par une fonction de transfert G(p) consiste simplement à étudier le nombre complexe G(jω) qu’on appelle transmitance harmonique (ou transmitance complexe). Ce nombre complexe G(jω) s’obtient en remplaçant la variable complexe de laplace p par jω dans l’expression de la fonction de transfert G(p). Ainsi, un système soumis à une entrée sinusoïdale d’amplitude U0 et de pulsation ω, un système linéaire stable, de fonction de transfert G(p), fournit une sortie qui, en régime permanent est sinusoïdale, de même pulsation que l’entrée, d’amplitude y0 = U0 G(ω), (G(ω) étant le module du nombre complexe G(jω)) et déphasé d’un angle ϕ(ω), (ϕ(ω) étant l’argument du nombre complexe G(jω)). Le développement précédent s’est limité aux systèmes stables. Cela s’est traduit par l’utilisation de la propriété de convergence exponentielle des termes transitoires associés aux pôles à partie réelle strictement négative de la fonction de transfert du système. Toutefois, l’existence d’un régime permanent sinusoïdal peut être généralisé au cas de la présence de pôles nuls dans la fonction de transfert. En effet, si G(p) = K p, la sortie du système s’exprime par y(p) = K 1p u(p). Dans le domaine temporel, cela est équivalent à y(t) = K Z t 0 u(x)dx = − KU0 KU0 π sin(ωt) = sin ωt − ω ω 2 (4.4) Cet exemple simple montre que, la présence de pôles nuls dans la fonction de transfert G(p) se traduit par autant d’intégrations dans l’expression de la sortie. Comme, l’intégration d’un signal sinusoïdal (en l’occurrence la réponse en régime permanent du système sans les composants intégrateurs) est un signal lui-même sinusoïdal. Aussi les résultats qui viennent d’être établis se généralisent à tous les systèmes qui présentent des pôles nuls. En conclusion, l’analyse fréquentielle, qui suppose l’existence d’un régime sinusoïdal permanent en réponse à une entrée sinusoïdale, est donc limitée aux systèmes stables, éventuellement associés à des éléments intégrateurs, c’est-à dire aux systèmes dont les pôles sont, soit nuls, soit à partie réelle strictement négative. 68 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.4: Diagramme de Nyquist d’une fonction de transfert. D’après ce qui précède, la réponse fréquentielle d’un système linéaire, si elle existe, (si le système est stable) est caractérisée par la fonction G(jω), dite fonction de transfert harmonique, obtenue tout simplement en remplaçant l’opérateur de Laplace p par le nombre complexe jω dans l’expression de la fonction de transfert G(p). Cette fonction de transfert harmonique peut être caractérisée en fonction de la pulsation ω, comme tout nombre complexe, par • son module G(ω) = y0 U0 = G(jω) . y0 et U0 sont respectivement le module de la sortie et de l’entrée, • sa phase ϕ(ω) = arg(G(jω)), On appelle alors lieu de transfert d’un système, une représentation graphique du nombre complexe G(jω). On distingue trois lieux de transfert usuel : les diagrammes de Nyquist, Bode et Black. Ces diagrammes ont chacun leurs particularités et le choix d’en utiliser un plutôt qu’un autre dépend des objectifs de l’étude. 4.2.1 Diagramme de Nyquist Dans le plan complexe dont les axes sont la partie réelle (axe des abscisses) et la partie imaginaire (axe des ordonnées) on représente le nombre complexe G(jω), comme le montre la figure 4.4. Comme la pulsation ω varie dans ]0, +∞[, pour chaque valeur de ω on représente le nombre complexe G(jω) par son module G(ω) et son argument ϕ(ω). On obtient ainsi une courbe graduée en ω et on y lit directement en un point donné : la valeur de la pulsation ω0 , le gain G(ω0 ) = G(jω0 ) et la phase ϕ(ω0 ) = arg(G(jω0 )). Le principal inconvénient que présente ce diagramme est la nécessité de la graduation en pulsation pour une lecture complète. 4.2.2 Diagramme de Bode Le diagramme de Bode lève la difficulté de la graduation en ω du diagramme de Nyquist en représentant le nombre complexe G(jω) selon deux courbes distinctes, comme le montre la figure 4.5 placées en vis-à-vis pour plus de clarté : • une courbe représentant la fonction gain G = G(jω) • une courbe représentant la fonction phase ϕ = arg(G(jω)) Ces deux courbes permettent une lecture directe pour une pulsation donnée. Il est usuel de placer la courbe de phase en dessous de la courbe d’amplitude. Pour des raisons historiques et pratiques issues de l’acoustique, l’axe des pulsations est 4.2 Analyse fréquentielle des systèmes 69 Figure 4.5: Diagramme de Bode d’une fonction de transfert. gradué selon une échelle logarithmique et le gain est exprimé en décibels (dB) : G(ω)dB = 20log G(ω) . Parfois, l’axe des abscisses n’est pas gradué en pulsations (rad/s), mais en fréquences (Hz). Cet usage est peu répandu en automatique, il concerne surtout l’électronique et bien entendu l’acoustique. L’axe des phases quant à lui est indifféremment gradué en radians ou en degrés. L’échelle logarithmique fait clairement apparaître les décades qui correspondent à un rapport 10 en pulsations, ou en fréquences. Concernant les décibels, il est pratique de retenir les chiffres suivants : • 0 dB correspond à un gain G = 1 (20log1 = 0) : l’amplitude des oscillations de sortie en régime permanent est alors égale à celle de l’entrée. • 20 dB correspondent à un facteur 10 sur l’amplitude, et donc −20 dB à un facteur 1/10 (20log10 = 20, 20log0, 1 = −20). • 40 dB correspondent à un facteur 100, et donc −40 dB à un facteur 1/100, etc. • D’une manière générale, un gain positif en décibels correspond à G > 1, c’est-à-dire que le système amplifie l’amplitude de la sinusoïde d’entrée, et inversement si le gain en dB est négatif. On parle alors de système amplificateur ou atténuateur pour la pulsation concernée. La figure 4.6 montre un exemple du diagramme de Bode d’un système. On lit, par exemple, que le système soumis à une entrée sinusoïdale de pulsation 0.1 rad/s fournit une sortie qui, en régime permanent, est sinusoïdale de même pulsation, et : • d’amplitude augmenté de 26 dB, c’est-à-dire telle que 20logG = +26, soit G = 1026/20 ≈ 20 • déphasée de −20◦ environ, soit environ −0.35 rad. ainsi, si u(t) = sin(0.1t), par exemple, la sortie du système, en régime permanent sera y(t) = 26sin(0.1t − 0.35). Par contre, si le système est soumis à une entrée sinusoïdale de pulsation 10 rad/s, sa sortie en régime permanent, est sinusoïdale de même pulsation, mais • d’amplitude diminue de −20 dB, c’est-à-dire telle que 20logG = −20, soit G = 10−20/20 = 0.1 • déphasée de −185◦ , soit environ −π rad. par conséquent, si u(t) = sin(10t), la sortie du système sera y(t) = 0.1sin(10t − π). 70 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.6: Exemple de lecture d’un diagramme de Bode. Figure 4.7: Diagramme de Black d’une fonction de transfert. 4.2.3 Diagramme de Black Le diagramme de Black est la courbe paramétrée (et donc graduée) en pulsation ω ]0, +∞[, représentant le nombre complexe G(jω) dans un plan cartésien ayant pour abscisse la phase ϕ(ω) = arg(G(jω)) et pour ordonnée le gain G(ω) = G(jω) . Comme pour le diagramme de Bode le gain est exprimé en décibels. Un diagramme de Black s’obtient aisément à partir d’un diagramme de Bode en éliminant la pulsation entre deux points de chaque courbe, deux à deux. Il présente le même inconvénient que le diagramme de Nyquist, à savoir la nécessité d’une graduation en pulsations pour une lecture complète. En revanche, il se rapproche du diagramme de Bode, puisqu’il donne comme lui le gain en décibels. Son usage est très pratique pour caractériser les systèmes automatiques en termes de stabilité. 4.3 Tracé du diagramme de Bode On a vu dans la section précédente que la fonction de transfert harmonique G(jω) s’obtient à partir de la fonction de transfert G(p) du système en remplaçant l’opérateur de Laplace p par le nombre complexe jω. La fonction de transfert 71 4.3 Tracé du diagramme de Bode harmonique est de ce fait un nombre complexe. Le tarcé de Bode de G(jω) consiste alors à tracer les courbes du gain en decibel et de la phase en fonction de la pulsation ω. Néanmoins, cette méthode générale devient fastidieuse lorsque G(p) est un peu compliquée. Il est donc très difficile de tracer manuellement le diagramme de Bode d’un système quelconque. Pour surmonter cette difficulté, il est d’usager de décomposer la fonction de transfert G(p) en plusieurs fonctions de transferts dites usuelles mises en séries. De plus, en raison des propriétés de l’unité decibels, on se contente de tracer des diagrammes asymptotiques à la place des diagrammes exactes. 4.3.1 Cas de deux systèmes en cascade Dans la situation, courante en automatique, où des systèmes sont placés en série, l’analyse fréquentielle revêt une forme simple, provenant du fait que les fonctions de transfert se multiplient. On sait en effet que l’argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments, et que le module du produit de deux nombres complexes est le produit de leurs modules. Alors, si G(p) = G1 (p)G2 (p), et donc G(jω) = G1 (jω)G2 (jω), il vient immédiatement • ϕ(ω) = arg G(jω) = arg G1 (jω) + arg G2 (jω) , • G(ω) = G(jω) = G1 (jω) G2 (jω) ⇒ 20log G(ω) = 20log G1 (ω) × 20log G2 (ω) . Cet exemple simple, montre que si deux systèmes sont en série, leur comportement fréquentiel est tel que leurs phases s’ajoutent et leurs amplitudes se multiplient, donc, lorsqu’elles sont exprimées en décibels, s’ajoutent aussi. Cette propriété se traduira par des constructions graphiques aisées, par simples additions des diagrammes de Bode. C’est un des principaux intérêts de l’usage des décibels. Ainsi, Afin de construire le diagramme de Bode d’un système quelconque, il suffit d’exprimer sa fonction de transfert sous forme d’un produit de fonctions de transfert dites «usuelles». Il s’agit de la constante, de l’intégrateur, des systèmes fondamentaux du premier et du deuxième ordre, ainsi que du cas particulier, non linéaire, du système à retard pur. Ces systèmes présentent des réponses fréquentielles qu’il est important de maîtriser, tant elles sont fondamentales pour la construction du diagramme de Bode. 4.3.2 Diagramme de Bode d’une constante La fonction de transfert constante est de la forme : G(p) = K (avec K > 0). • La courbe de phase est crairement nulle puisque l’argument d’un nombre constant est égal à zéro. • Le gain en décibel s’obtient par : GdB = 20log G(jω) = 20log(K). Ainsi, La courbe du gain en décibel est une droite horizontale. La figure 4.8 montre le diagramme de Bode de la fonction de transfert constante. 4.3.3 Diagramme de Bode d’un integrateur ou d’un dérivateur La fonction de transfert d’un integrateur ou d’un dérivateur est de la forme : G(p) = pα . Si α > 0, il s’agit d’un dérivateur d’ordre α, si α < 0, G(p) est un integrateur d’ordre α. Lorsque α = +1 ou α = −1, G(p) représente un dérivateur ou un integrateur simple. La transmittance harmonique associée est donnée par α π π G(jω) = (jω)α = ωej 2 = ω α ej α 2 La transmittance G(jω) étant un imaginaire pur : (4.5) 72 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.8: Diagramme de Bode d’une constante. Figure 4.9: Diagramme de Bode d’un intégrateur (courbes de gauche) et d’un dérivateur (courbes de droite). • son gain en decibel est donné par : G(jω) dB = 20log(ω α ) = α.20log(ω) • sa phase vaut : ϕ = arg((jω)α ) = α. π2 ainsi, comme le montre la figure 4.9 • la courbe de phase est une droite horizontale à −α π2 si G(p) est un integrateur et +α π2 si G(p) est un dérivateur. • La courbe du module, compte tenu de l’echelle logarithmique de l’axe des abscisses, est une droite de pente −20 α dB par décade si G(p) est un intégrateur ou +20 α dB par décade si G(p) est un dérivateur (Une multiplication par 10 de la pulsation, soit une augmentation d’une décade, se traduit par une diminution (si α est négatif) ou une augmentation (si α est positif) du gain de 20α dB). Dans les deux cas, la courbe du module coupe l’axe 0dB en ω = 1. 4.3.4 Diagramme de Bode d’un Système du premier ordre Le système du premier ordre a pour fonction de transfert, une fonction de la forme : G(p) = 1 1+T p T étant un nombre positif. En remplaçant p par jω, la transmittance harmonique correspondante est donnée par G(jω) = 1 1 + jT ω (4.6) 73 4.3 Tracé du diagramme de Bode Le module de G(jω) est obtenu par le rapport du gain du numérateur (qui est égal à 1) et celui du dénominateur p ( 1 + (T ω)2 ), soit 1 G(ω) = G(jω) = p (4.7) 1 + (T ω)2 Quant à l’argument, il est obtenu en écrivant la différence entre l’argument du numérateur (qui est nul) et celui du dénomi- nateur (arctan(T ω)), soit ϕ(ω) = arg G(jω) = −arctan(T ω) i π h ϕ(ω) ∈ − ; 0 2 (4.8) Le tracé du diagramme asymptotique revient à considérer deux cas, selon que (T ω) est très grand ou très petit devant 1, c’est-à-dire selon que la pulsation ω est très grande ou très petite devant la pulsation 1/T . comportement aux basses fréquences, (T ω ≪ 1) dans ce cas, G(jω) = 1 1+jT ω ≈ 1. Ainsi, Le gain en decibel est égal à 20log(1) = 0 et la phase ϕ = arg 1 = 0. Par conséquent, aux basses fréquences (lorsque T ω ≪ 1), la courbe du gain est une droite horizontale confondue avec l’axe 0dB et la courbe de phase est également une droite horizontale confondue avec l’axe 0˚. comportement aux hautes fréquences, (T ω ≫ 1) dans ce cas, G(jω) = 1 1+jT ω ≈ 1 jT ω . Le gain en decibel est alors égal à −20log(T ω) et la phase ϕ = arg 1 jT ω = − π2 . Par conséquent, aux hautes fréquences, la courbe du gain est une droite de pente −20dB/décade. Cette droite coupe l’axe 0dB au point ω = 1/T noté ω0 et appelée pulsation de cassure. La courbe de phase est une droite horizontale à l’ordonnée −π/2. En rassemblant ces deux diagrammes approchés, on obtient le diagramme dit asymptotique qui n’est représentatif du diagramme réel que si la pulsation est suffisamment éloignée de la pulsation de cassure. En pratique, compte tenu de l’échelle logarithmique, cette approximation est très acceptable. Il est nécessaire néanmoins de déterminer les points réels obtenus au niveau de la pulsation de cassure ω = ω0 = 1/T puisque les deux approximations précédentes ne sont pas valables. On obtient √ • G(ω0 )dB = 20log √ 1 1 = 20log(1) − 20log( 2) = −3, soit une chute de gain de 3 dB au niveau du point de 1+T T cassure. • ϕ(ω0 ) = arg 1 1+jT 1 T = −arctg(1) = − π4 , soit un déphasage de −45˚. En conclusion, l’approximation du diagramme de Bode exacte par le diagramme asymptotique reste correcte pour des pulsations lointaines de la pulsation de cassure ω0 = 1/T . Dans la courbe du gain, l’approximation est assez correcte pour presque toutes les pulations puisque le plus grand écart entre les deux diagrammes n’est que de 3dB. Dans la courbe de la phase, par contre, l’approximation du diagramme de Bode exacte par le diagramme asymptotique n’est acceptables que pour des pulsations très lointaines de la pulsation de coupure (comme le montre la 1ère approximation de la figure 4.10). En effet, à la pulsation de coupure l’écart entre le diagramme de Bode exact et le diagramme asymptotique est égal à 45˚ (ce qui représente une erreur de 50%, ce qui n’est pas négligeable). Afin, d’améliorer l’approximation du diagramme de Bode exact par le diagramme asymptotique, au voisinage de la pulsation de coupure au lieu de relier les droites asymptotiques aux basses et hautes fréquences par une droite verticale, il est recommandé de relier les deux asymptotiques aux basses et hautes fréquences par une droite qui passe par le point de coordonnées (ω0 , −45˚) et qui coupe l’asymptote aux basses fréquences une décade avant la pulsation de cassure et l’asymptote aux hautes fréquences une décade après la pulsation de cassure. C’est la 2ème approximation de la figure 4.10. 74 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.10: Diagramme de Bode d’un système du premier ordre. 4.3.5 Diagramme de Bode d’un Système du second ordre Le système du second ordre a pour fonction de transfert, une fonction de la forme : G(p) = 2 ωn 2 p2 +2zωn p=ωn où z et ωn . Néanmoins, afin de simplifier son étude fréquentielle, il est plus judicieux de l’écrire sous la forme de Bode : G(p) = 1 1+ 2z ωn p + (4.9) 1 2 2 p ωn la transmittance harmonique correspondante est donnée par (compte tenu du fait que j 2 = −1) G(jω) = 1 1 + j ω2zn ω − 1 2 2 ω ωn = Le module G(ω) est alors donné par G(ω) = q 1− ω2 2 ωn 1 + j 2zω ωn 1 1− ω2 2 2 ωn + (4.10) (4.11) 2zω 2 ωn et dont la phase ϕ(ω) ∈] − π, 0[ peut être définie par morceaux, puisque la fonction arctangente prend ses valeurs dans ] − π2 , + π2 [, selon ω < ωn ⇒ ω > ωn ⇒ 2zω/ωn ϕ(ω) = −arctg( 1−ω 2 /ω 2 ) n 2zω/ωn ϕ(ω) = −arctg( 1−ω 2 /ω 2 ) − π (4.12) n Pour assurer la continuité de la courbe en ω = ωn , on accepte la valeur ϕ(ωn ) = − π2 (cette valeur n’étant considérée que pour des considérations graphiques car la fonction arctangente ne peut pas être égale à − π2 ). Comme pour le système du premier ordre, on s’intéresse tout d’abord au diagramme asymptotique, avant d’affiner l’étude par la détermination des courbes dites «réelles». Le tracé du diagramme asymptotique revient à considérer deux cas, selon que la pulsation ω est très grande ou très petite devant la pulsation propre ωn . comportement aux basses fréquences, (ω ≪ ωn ) 2zω ωn et ω2 2 ωn devant 1. Par conséquent le nombre complexe G(jω) est approximativement égale à 1. De ce fait, le gain en decibel est égal à 20log(1) = 0 et la phase ϕ = arg 1 = 0. Ainsi, comme Dans ce cas on néglige dans G(jω) les termes pour le système du premier ordre, aux basses fréquences (lorsque ω ≪ ωn ), la courbe du gain est une droite horizontale confondue avec l’axe 0dB et la courbe de phase est également une droite horizontale confondue avec l’axe 0˚. 75 4.3 Tracé du diagramme de Bode Figure 4.11: Diagramme de Bode d’un système du second ordre. comportement aux hautes fréquences, (ω ≫ ωn ) Dans ce cas ce sont les termes 1 et 2zω ωn qui sont negligés devant le terme ω2 2 ωn dans la transmittance harmonique G(jω). Celle-ci est alors approximée par G(jω) = − ωn2 ω2 (4.13) donc le gain en décibels est approximativement égal à G(ω)dB = 20log(ωn2 ) − 20log(ω 2 ) = 40log(ωn) − 40log(ω) et la phase ω2 ϕ(ω) = arg(− ωn2 ) = −π. Donc, la courbe de gain est une droite de pente −40dB/décade, qui coupe l’axe 0dB en ω = ωn . c’est pourquoi la pulsation propre non amortie ωn est appelée la pulsation de cassure. La courbe de phase est une droite horizontale à l’ordonnée −π rad (−180˚). En rassemblant ces deux diagrammes approchés, on obtient le diagramme asymptotique. Notons que ce diagramme ne dépend que de la pulsation propre ωn , qui est aussi la pulsation de cassure, et non du facteur d’amortissement z. Celui-ci intervient par contre fortement sur le diagramme réel de gain. comportement au voisinage de la pulsation ωn Lorsque ω = ωn l’expression de la phase s’écrit ϕ(ωn ) = −arctg( 2zωn /ωn ) = −arctg(∞) = −90˚ 1 − ωn2 /ωn2 (4.14) L’évolution du gain G(ω) montre qu’il peut présenter un maximum. Celui-ci est obtenu lorsque le dénominateur du gain est minimum. Pour déterminer la valeur de ω pour laquelle ce minimum a lieu, il faut chercher la valeur de ω qui annule la dérivée du dénominateur, soit ω telle que d dω soit − ω2ω2 1 − ω2 2 ωn 2z 2 ω ωn ω2 2 2 ωn # ω 2 2 2zω 2 1− 2 + =0 ωn ωn 2zω 2 ωn (4.15) 6= 0. Cette expression s’annule pour ω = 0 (cette solution est √ 2 écarté car la pulsation ne peut pas être nulle). Il vient − 1 − ωω2 + 2z 2 = 0, soit ω = ωn 1 − 2z 2 . n √ • si z ≥ 2/2 (z 2 ≥ 1/2), cette équation n’a pas de solution car 1 − 2z 2 < 0, la pulsation ω ne pouvant pas être complexe. n + = 0 puisque 1 − "s + 76 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.12: Diagramme de Bode d’un système du second ordre pour différentes valeurs de z. • si z < √ √ 2/2, cette équation présente une solution notée ωr = ωn 1 − 2z 2 pour laquelle le gain présente donc un maximum. Un tel phénomène est appelé résonance et la pulsation ωr < ωn est appelée la pulsation de résonance. Le gain est alors égal à : Gr = |G(jωr | = 2z√11−z2 . Ce gain à la résonance, exprimé en décibels, vaut 20log 2z√11−z2 dB. √ Cette quantité est supérieure à 1 car 2z 1 − z 2 < 1. On notera que la résonance ne dépend que de z. En résumé, on distingue donc deux types de systèmes du second ordre : Les systèmes non résonants pour lesquels le facteur √ √ d’amortissement est z ≥ 2/2 et les systèmes résonants pour lesquels le facteur d’amortissement est z < 2/2. Pour ces √ systèmes, le gain de la réponse fréquentielle présente pour la pulsation ωr = ωn 1 − 2z 2 , dite pulsation de résonance, un gain : Gr = |G(jωr | = 2z√11−z2 > 1, soit une résonance de 20log 2z√11−z2 dB. Il est intéressant de rapprocher cette valeur √ 2/2, des deux valeurs particulières de z établies à partir des réponses temporelles. On rappelle en effet que : • Si z ≥ 1, le système est amorti et ne présente pas d’oscillation en réponse aux signaux canoniques (impulsion, échelon, rampe) alors que si z < 1, le système est sous amorti et ses mêmes réponses présentent des oscillations d’autant plus importantes que z est faible. • Pour la valeur z ≈ 0.69, le système est le plus rapide. Pour les valeurs comprises entre 1 et 0, 69, les oscillations sont peu perceptibles au-delà du premier dépassement : elles ne le sont que pour des facteurs d’amortissement plus petits que 0, 69. Il est intéressant d’observer que les valeurs 0, 69 et √ 2/2 sont des valeurs très proches, mais il ne faut pas confondre leurs origines. Toutefois, si on les assimile toutes deux à z ≈ 0, 7 on peut résumer les différentes situations comme suit • pour 0 < z < 0.7, ⇒ la réponse indicielles est fortement oscillatoire ⇒ La réponse fréquentielle est résonante • pour 0.7 < z < 1, ⇒ la réponse indicielles est faiblement oscillatoire ⇒ La réponse fréquentielle est non résonante • pour z ≥ 1, ⇒ la réponse indicielles est non oscillatoire ⇒ La réponse fréquentielle est non résonante Ces considérations sont à observer sur les diagrammes de Bode de la figure 4.12. Plus z est petit, plus le phénomène de résonance est important et plus il a lieu pour une pulsation ωr proche de la pulsation propre ωn . Lorsque z tend vers zéro, la résonance conduit à une amplitude des oscillations tendand vers l’infini 77 4.4 Exemple d’application pour ω = ωr = ωn . Le système tend ainsi vers une instabilité, caractérisée par z = 0. Dans ce cas extrême, le système n’est pas amorti et le tracé du diagramme de Bode, qui suppose la stabilité, n’a pas de sens. valeur du gain au niveau de la pulsation ωn La valeur du gain lorsque la pulsation est ω = ωn est G(ωn ) = r 1− 1 2 2 ωn 2 ωn + 2zωn ωn 1 2 = 2z (4.16) soit en décibels G(ωn )dB = −20log(2z). Cette expression est indépendante du caractère résonant ou non du système. On peut remarquer que : • pour z = 0, 5 : 20log(2z) = 0, donc G(ωn )dB = 0, la courbe réelle passe par le point d’intersection des asymptotes aux basses et hautes fréquences ; • pour z < 0, 5 : 20log(2z) < 0, donc G(ωn )dB > 0, la courbe réelle passe au-dessus du point d’intersection des asymptotes ; • pour z > 0, 5 : 20log(2z) > 0, donc G(ωn )dB < 0, la courbe réelle passe au-dessous du point d’intersection des asymptotes. On vérifie alors que pour un système non résonant (z > √ 2/2), la courbe réelle passe toujours sous le point d’intersection des asymptotes. Par contre, dans le cas d’un système résonant, celle-ci peut passer dessous (résonance faible, z > 0, 5) ou au-dessus (résonance forte z < 0, 5). On peut aussi remarquer que pour la valeur limite z = 0, 5, 20log2z = 0. La courbe réelle passe sur le point d’intersection des asymptotes. 4.4 Exemple d’application Soit à tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert 0.25p + 2 0.01875p4 + 0.7506p3 + 30.02p2 + p G(p) = (4.17) Afin de pouvoir utiliser la méthode décrite dans les sections précédentes pour tracer le diagramme de Bode de cette fonction de transfert, elle doit être mise sous la forme de Bode suivante G(p) = 2(1 + 0.125p) 1 p(1 + 30p)(1 + 40 p+ (4.18) 1 2 402 p ) Pour simplifier le tracé du diagramme, G(p) est ensuite décomposée sous forme d’un produit de fonctions de transfert usuelles comme suit 1 1 G(p) = 2 1 + 0.125p p 1 + 30p 1+ 1 1 40 p + 1 2 402 p 1 0.125 = 8, Il faut donc tracer 5 diagrammes de Bode simple : (4.19) – La fonction constante (2), – La fonction de transfert (1 + 0.125p) dont la pulsation de cassure est ω = – La fonction de transfert du premier ordre – La fonction de transfert intégrale 1 p 1 1+30p dont la pulsation de cassure est ω = 1 30 = 0.033, dont le diagramme de Bode est une droite qui coupe l’axe 0dB en ω = 1, – La fonction de transfert du second ordre 1 1 1+ 40 p+ 4012 p2 dont la pulsation de cassure est ω = 40. 78 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Néanmoins, comme il a été souligné précédemment, le diagramme de Bode exacte est très complexe à tracer, on se limite donc à tracer le diagramme asymptotique qui approxime le diagramme exacte. Pour ce faire, la première étape consiste à choisir une feuille semi-log qui contiendra ces quatre pulsations particulières. Il faut également prévoir une feuille qui puisse avoir une décade à gauche de la plus petite pulsation particulière et une décade à droite de la plus grande pulsation particulière. Il faut donc choisir une feuille qui dispose de 6 décades. Ensuite, il faut tracer le diagramme asynptotique du module de chacune des fonctions de transfert usuelle comme le montre la figure figure 4.13. – Le diagramme asynptotique de la constante 2 est une droite horizontale en 6 dB. Cette courbe n’est pas représentée sur la figure 4.13 pour ne pas la surcharger. – Le diagramme asynptotique de 1 p est une droite de pente −20 dB/décade qui coupe l’axe 0dB en ω = 1, – Le diagramme asynptotique de (1 + 0.125p) est une droite horizontale pour ω < 1 0.125 = 8 et une droite de pente +20 dB/décade à partir de la pulsation de cassure ω = 8, – Le diagramme asynptotique de 1 1+30p est une droite horizontale pour ω < 1 30 = 0.033 et une droite de pente −20 dB/décade à partir de la pulsation de cassure ω = 0.033, – Le diagramme asynptotique de 1 1 1+ 40 p+ 4012 p2 est une droite horizontale pour ω < 40 et une droite de pente −40 dB/décade à partir de la pulsation de cassure ω = 40. Pour tracer le diagramme asymptotique de la fonction de transfert G(p), il faut maintenant ajouter toutes ces courbes point par point. Cette addition étant très simple à effectuer puisque ces courbes sont toutes des droites. Il faut alors considérer toutes les portions de la pulsation comprises entre les différentes pulsations partilculières, à commencer par celle située le plus à gauche. • Dans un premier temps, la constante peut ne pas être considérée, elle sera ajoutée à la figure obtenue à la fin de cette addition. • pour ω < 0.033, toutes les droites sont nulles sauf celle de l’intégrateur p1 . Par conséquent, le diagramme asymptotique de G(p) est confondu à celui de p1 . Donc le diagramme asymptotique de G(p) est une droite de pente −20 dB/décade. Cette droite continu jusqu’à ω = 0.033. • pour 0.033 < ω < 8. Dans cette portion la droite de la fonction 1 1+30p n’est plus horizontale. Il faut donc l’ajouter à la courbe de la portion précédente. Ainsi, le diagramme asymptotique de G(p) est la somme de deux droites de pente −20 dB/décade chacune, c’est donc une droite de pente −40 dB/décade. • pour 8 < ω < 40. Dans cette portion la droite de la fonction (1 + 0.125p) n’est plus horizontale. Il faut donc l’ajouter à la courbe de la portion précédente. Ainsi, le diagramme asymptotique de G(p) est la somme de trois droites, deux de pente −20 dB/décade et une de pente +20 dB/décade. Le diagramme asymptotique de G(p), est donc une droite de pente −20 dB/décade. • pour ω > 40. Dans cette portion il faut ajouter à la droite de la portion précédente une droite de pente −40 dB/décade dûe à la fonction de transfert du second ordre 1 . 1 1+ 40 p+ 4012 p2 Ainsi, le diagramme asymptotique de G(p) est une droite de pente −60 dB/décade. • Finalement, afin de tenir compte du diagramme de Bode de la constante, il faut décaler le diagramme asymptotique de G(p) ainsi obtenu de +6 dB. 79 4.4 Exemple d’application Figure 4.13: Exemple d’application du tracé du module de Bode. Le diagramme de phase se trace très simplement car dans chaque portion le diagramme de Bode de G(p) est approximé par une droite. Par conséquent, – lorsque la droite est horizontale cela signifie que G(p) est approximée par une constante, dans ce cas, sa pahse est nulle. – lorsque la droite est de pente 20α dB/décade, cela signifie que G(p) est approximée par pα , dans ce cas, sa pahse vaut α 90◦ (α pouvant être un nombre entier positif ou négatif). • pour ω < 0.033, le diagramme asymptotique de G(p) étant une droite de pente −20 dB/décade, le diagramme de phase est une droite horizontale à − 90◦ . • pour 0.033 < ω < 8. le diagramme asymptotique de G(p) étant une droite de pente −40 dB/décade, le diagramme de phase est une droite horizontale à − 180◦. • pour 8 < ω < 40. le diagramme asymptotique de G(p) étant une droite de pente −20 dB/décade, le diagramme de phase est une droite horizontale à − 90◦ . • pour ω > 40. le diagramme asymptotique de G(p) étant une droite de pente −60 dB/décade, le diagramme de phase est une droite horizontale à − 270◦. Le diagramme asymptotique de la phase de G(p) finalement obtenu est celui de la figure 4.14. Pour montrer la différence entre les diagrammes de Bode exacte et asymptotique on représente sur la figure 4.15 le diagramme exacte en trait discontinu et le diagramme asymptotique en trait plein. Comme le montre cette figure, les diagrammes du module sont quasiment les mêmes, ils peuvent de ce fait être confondus. Par contre, les diagrammes de phases sont différents notamment aux voisinages des pulsations de cassure. 80 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires Figure 4.14: Exemple d’application du tracé du diagramme de phase. Figure 4.15: Comparaison entre le diagramme asymptotique et le diagramme réel.