ex electrostatique

38
Electrostatique
**
EXERCICES
Exercice 1.1
Soit la distribution de charges (de l’ordre du
microcoulomb) ci-dessous ; AB = d = 0, 2m ; Les
1.1
(
deux charges placées en A et B sont fixes; par contre
la charge placée en C est mobile sur la droite AB .
Quelle est la position d'équilibre de la charge
placée en C , si elle existe ?
)
AB = d = 0, 2m
!"
B
A
. AB # $
%
C
) C
(
/
*+,
A
+2q
Exercice 1.2
Aux deux extrémités d’un fil de longueur 2l , sont
attachés deux ballons sphériques gonflés avec de
l’hélium (l’hélium étant plus léger que l’air), et portent
la même charge + q . On suspend au milieu du fil une
masse m . Le système abandonné à lui même dans
l’atmosphère occupe alors une position d’équilibre
stable dans un même plan vertical, telle que chaque
moitié du fil fait un angle
avec l’horizontale (figure
ci-dessous).
En négligeant les masses du fil et des ballons , calculer
la valeur de q .
Application numérique :
g = 10 N .kg 1 , l=1m , m=5g , = /6 rad
C
B
q
+q
x
2.1
(
)
/
# 0 ) # 0
6 " . +q
2 0
/
; +
:
6<
.q
:
2l
. ./
0
.
3
2
1
! 5
) (2 0
4/
8 .m
. / 47
9
$
=>+ . /
2 , ?
7
(
? ).
/
./
? (@
:A++ 6 .
g = 10 N .kg 1 , l=1m , m=5g , = /6 rad
+q
+q
m
Exercice 2.3
Une petite boule (supposée ponctuelle) électrisée de
masse m et portant une charge positive q telle que
m
0
( .$
3.1
) C 37 C
q
q
= 10 6 Ckg 1 ;
q ,
6
1
= 10 Ckg est placée entre deux plaques m
m
:
B
A
+"
7
métalliques A et B verticales distantes de
(
/
. d = 4cm D
d = 4cm . Ces deux plaques soumises à une tension
E
,
U AB = U
positive U AB = U créent un champ électrique ?$
.#F G
supposé uniforme.
A.FIZAZI
-
Université de BECHAR
?
"
+
7
> 0
LMD1/SM_ST
39
Electrostatique
t = 0 , la boule est abandonnée sans
vitesse initiale en un point M 0 de coordonnées
d
2
x0 =
et y0 = L = 1m . Soit g = 10ms
?$
2
>+
A la date
l intensité du champ de pesanteur.
1/ Trouver l’équation de la trajectoire de la boule.
2/ Calculer la date de passage de la boule dans le
plan horizontale y = 0 .
3/ Quelle valeur doit-on donner à U pour que la
trajectoire de la boule passe par le point P de
coordonnées
( d ,0 ) ?
x0 =
+ C
)t = 0 F
8
d
1+ H
2
) g = 10ms 2
=
M0
.$
. y0 = L = 1m
. =,
.C
+ " +, /1
.y=0 $< 9
C
F
/2
% U D (I . - ,
$
(
/3
* ( d ,0 )
1 + H = .$
C
C+
y
M0
L
O
x
d
Exercice 1.4
4.1
0 ) placées # $
n
( q 0 ) .$
aux sommets Ai d’un polygone régulier de centre O , K5
A= ) O J
#F
K5 < ++"
Ai
de côtés de longueur a .
.a 0 .
1/ Déterminer le champ électrostatique E ( z ) en
M .$
E ( z ) > 0 ?$
/1
un point M de l’axe Oz du polygone (orthogonal
++" 9
%
O
A+ " Oz
en O à son plan)
.K5 <
2/ En déduire E ( z ) dans le cas :
:
E ( z ) L - /2
a/ d’un triangle équilatéral d’axe Oz ,
. Oz J
K5 < A
;1 /
b/ d’un carré d’axe Oz .
. Oz J
/
Soient
n charges ponctuelles ( q
Exercice 1.5
Des charges ponctuelles occupent les sommets
A, B
et C d’un losange de côté a , comme indiqué sur la
figure ci-dessous ( il n’y a pas de charge en D ).
1/ Calculer le champ électrique produit par les trois
charges au sommet D ; représenter graphiquement
ce champ.
2/ Calculer le potentiel produit en D .
3/ On place la charge +2q au point D . Calculer la
force électrique exercée par les autres charges sur
cette charge.
4/ Calculer l’énergie potentielle de la charge +2q .
A.FIZAZI
:5.1
C
B, A ! I
?
%
.$
"
) a "
"
.(
+, M D
151
L
> 0 ?$
/1
.
?$ =( ?1 D .$ +
. D .$
L (+0, )
/2
C $
D .$
+2 q
/3
.9 /<
4 .
0
$.
> 0
. +2 q
:.
/4
)
Université de BECHAR
(
LMD1/SM_ST
40
Electrostatique
A
q
B
+q
C
+q
D
Exercice 1.6
On considère deux charges q et
6.1
2q situées
A ( a, 0,0 ) et
respectivement aux deux points
2q
%
A ' ( 4a, 0, 0 )
A ' ( 4a, 0, 0 ) dans les coordonnées cartésiennes.
. M ( x, y, z ) .$
. V =0
2/ Déterminer la surface équipotentielle V = 0 .
?$
N.
=(
3/ Montrer qu’en chaque point de cette surface le
.0 " 8
1/ Calculer le potentiel électrique en un point
quelconque
M ( x, y , z ) .
champ électrique passe par un point constant qu’il
faudra déterminer.
Exercice 1.7
On considère un segment AB électrisé positivement
de densité linéique homogène
de longueur 2a et
de centre O .
électrostatique est nulle.
2/
Déterminer le champ électrostatique en un
point M de l’axe de symétrie Ox . On pose
OM = x .
3/ En déduire en ce point M le champ créé par
un fil « infini ».
Exercice 1.8
Un fil de longueur L porte une densité linéaire de
charge
0 (figure ci-dessous).
1/ Montrer que les composantes du champ
électrique au point P situé à une distance R du fil
sont données par :
4
0
R
( sin
( cos
2
0
sin
1
"
A ( a, 0,0 )
.$
.
1+ H
> 0 +0,
- /1
A
N. ++ /2
.$ ?
/3
1 .$ > 0
7.1
".:
,
AB
$
2a 0 .
= ,0
. O 07
E y du champ
1/ Démontrer que la composante
Ex =
1
q
Ey
?$
4
0
R
2
cos
.
M
8
P
0 ?$ ++
. OM = x
. Ox
M .$ J=(
L ." (
?$
:
8.1
./ 1 L
. 8 ?
.(? <
?
)
> 0 ?$
( /1
%
(8
R +" % ":
.$
)
.$
/1
+"
/2
F
/3
M"
L
0
)
1
.
(
Ex =
4
0
R
( sin
2
sin
1
( cos 2 cos
4 0R
Où E x et E y sont les composantes du champ, CDEFGDE HIJK LMNDE OGPQRS OTU E y
Ey =
"
Ey =
)
1
)
Ex ;
consécutivement parallèle et perpendiculaire au fil, et
1 et
2 les angles que font avec la perpendiculaire
^OGZVE_DE 2 V 1 V KWIXDE HIJ YZ[FT\DE V YZ]EFTDE
CGZOeag P Y`MaDE ^bcEFDE ^OTdMGXTDE OTe\afZ ^OGIDE
au fil les droites joignant le point P aux extrémités
.WIXID [FT\DE hS WIXDE
du fil.
+" ! % P Y`MaDE hMi OTadj LMNDE klVm /2
A.FIZAZI
Université de BECHAR
LMD1/SM_ST
41
Electrostatique
2/ Trouver le champ quand le point P est
équidistant des deux extrémités du fil.
3/ En déduire le champ en un point de l’axe de
symétrie d’un fil infiniment long.
Les signes des angles 1 et 2 sont ceux indiqués
F
.$
HIJ odPS FU OTQ OTU
?$
2
sur la figure.
V
C
? .
1
.8
0
L - /3
( M8
.LpqDE
P
+
2
1
x
X
O
Exercice 1.9
Une charge linéaire
L
(
9.1
> 0)
est répartie
uniformément sur un fil en forme d’anneau de rayon
R . ( figure ci-dessous).
1/ Calculer le champ électrique produit par le fil au
point P situé sur l’axe OX à une distance x du
centre O .
2/ Calculer le potentiel électrique produit au même
point P .
3/ Déterminer par le calcul le point pour lequel le
champ électrique est maximal.
?
8
8
x D +"
.$
!
?$
% # F ( > 0 ) ./
K
(? <
? ). R ( .: 47 $
P
> 0
?$
/1
OX
% ":
P .$
.O
> 0 (
) +0,
/2
.P
0,
.$
/3
. F
> 0
R
O
Exercice 1.10
Une plaque métallique en forme de carré de côté
a et de centre O est chargée uniformément d’une
densité surfacique
0 . Ecrire l’expression du
champ électrostatique crée au point M situé sur l’axe
de symétrie perpendiculaire à la plaque et telle que
OM = z =
A.FIZAZI
x
O (
C
%
":
;
a
2
P
X
10.1
) a 0"
? %
+"
.
0
.
1 #F
M .$
L
0
7 % A+ " Oz F
7
?$
. OM = z =
Université de BECHAR
a
2
LMD1/SM_ST
42
Electrostatique
z
i
M
O
Exercice 1.11
Une rondelle métallique de rayon intérieur
rayon extérieur
a
R1 et de
R1
R2 porte une charge répartie
uniformément (densité surfacique de charge ).
1/ Calculer le champ électrostatique sur l’axe de la
rondelle à la distance z de son centre.
2/ Retrouver le résultat à partir du calcul du potentiel.
3/ Etudier le cas particulier R1 = 0 .
1
%
/+
) #F
$
.
4/ Quel est le champ créé par un plan chargé infini ?
* (
Exercice 1.12
Un anneau de centre O et de rayon R porte une
densité linéique uniforme de charges
sauf sur un
arc d'angle au centre 2 . (Figure ci-dessous).
Déterminer le champ électrostatique en O .
M
11.1
.: 47
= +" $ ?
R2 , / .: 47
.(
.
%
0 ?$
/1
.(
z +"
:5. , + +,
+, /2
. R1 = 0 7 /
! + /3
9
L ?$
( /4
12.1
1 ?
R ( .: 47
O (
$
A= ! : % 9+
F
(? <
? ) .2
. O
0 ?$
.
R
2
O
13.1
47 A= ) . /
2 , "
. ( R1 R2 ) R2 R1 + .: 7
: F
Q 1
.
, J=(
a
= 0
Exercice 1.13
On considère une portion de cône, de demi-angle au
sommet
et de rayons limites R1 et R2
( R1
R2 ) .
Ce système est chargé en surface avec la densité non
uniforme :
=
a
0
a est une constante homogène à une longueur et
le
rayon du cône en un point de son axe de symétrie.
Déterminer le champ électrostatique au sommet O du
cône.
A.FIZAZI
. /
O ( $
Université de BECHAR
.: 47
) !
? .
.J F
! ,
0
1 a
.$
?$
.. /
LMD1/SM_ST
43
Electrostatique
R2
R1
O
Exercice 1.14
Un nombre infini d’ions de charges
alternativement positives et négatives ± q sont
disposés à intervalle régulier a le long d’une droite
(figure ci-dessous).
Trouver l’énergie potentielle d’un ion.
Application numérique :
a = 2,8.10
10
m , q = 1, 6.10
18
ln (1 + x ) = x
x
x
+
2 3
i
+q
Exercice 1.15
Une sphère
surfacique
3
4
? . %
i
+q
i
q
=+
a #F
i
+q
i
q
S de rayon R porte une charge
( ) = 0 cos à symétrie de
révolution autour d’un axe diamétral OX . On
demande de calculer le champ électrique aux points
O et A de l’axe OX . (Figure ci-dessous)
i
+q
a
.
(
14.1
M ++
±q
,
.(? <
? )
.C+ C+
: . +,
:A+ 6 .
q = 1, 6.10 18 C ) a = 2,8.10 10 m
+" %
x 2 x3
+
2 3
ln (1 + x ) = x
n
x
x
+ .........
4
n
i
q
#$
C
On rappelle :
2
x
i
q
=
i
+q
?
?
x4
xn
+ .........
:
4
n
+
15.1
R ( .: 47 S C
F
= ( ) = 0 cos
> 0 ?$
(
? ) . OX
.
. OX A .$
A O .$
M
A
O
Exercice 1.16
Soit une demi sphère de centre O , de rayon R ,
chargée uniformément en surface avec la densité
surfacique
0.
1/ Exprimer le potentiel et le champ électriques
au point O . Expliquer pourquoi dans ce cas,
A.FIZAZI
X
16.1
)R ( .: 47 ) O (
C
47
.
0
.
1 N. % # F
> 0
?$
/1
S
M
J=(
= R - . O .$
Université de BECHAR
LMD1/SM_ST
44
Electrostatique
(E =
l’expression du champ ne peut pas être déduite par
dérivation
de
l’expression
du
potentiel
(E =
)
V ( z ) en un point
M ( z ) de l’axe de symétrie Oz de cette demi sphère.
En déduire le champ
)
C
M ( z ) .$
V (z)
?$ L - .J=( C
47
./1
gradV .
2/ Exprimer le potentiel
gradV
6$
?$
C
/2
OZ
F
+ +,
+,
E ( z ) et retrouver alors les
expressions de 1/.
Z
Mi
O
Exercice 1.17
1/ Trouver une expression pour le champ et le
potentiel électriques d’un plan portant une densité
superficielle de charge uniforme
0 :
a/ en supposant qu’il est constitué d’une série de
couronnes toutes concentriques de centre O ,
b/ en utilisant l’angle solide.
2/ Retrouver les mêmes résultats en appliquant le
théorème de Gauss.
Qu’observez-vous ?
3/ Une charge q de masse m est placée à une
distance z du plan. La charge est libérée de sa position
de repos. Calculer son accélération, la vitesse avec
laquelle elle tombera sur le plan et le temps qu’elle
mettra pour atteindre le plan.
Exercice 1.18
Une sphère, de rayon R , porte une charge volumique
qui est répartie uniformément dans tout le volume
qu'elle occupe à l'exception d'une cavité de rayon .
Le centre de cette cavité est à la distance d du centre
de cette sphère. La cavité est vide de charges.
En utilisant le théorème de Gauss et le principe de
superposition, calculer le champ en tout point de la
cavité. Que concluez-vous ?
A.FIZAZI
9
0
17.1
> 0
?$ C
+, /1
:
0 F
.
1 ?
?
?
G
/
)O
=C
. 7
? "
/
.T Q F ? "
L> ! +, /2
*F 5 =
z +" %
m 0
q
/3
.0
.9
9
% 0 .$
)0
.9
U J=/E A=
,
2 1
) R ( .: 47
3 A= #,
? %
+" 4 ,
. J
.
U 4 ,
)
-+
T Q
*L
= .4 ,
Université de BECHAR
18.1
)C
?
#F
.: 47 4 ,
.d
C
F ? "
.$ ?
?$
LMD1/SM_ST
45
Electrostatique
Exercice 1.19
Une sphère creuse de rayon R porte une densité
de charge surfacique uniforme
0.
1/ Calculer le champ électrostatique produit en un
point P , situé à une distance b du centre O , à
l’extérieur, à l’intérieur puis à la surface de la sphère.
2/ En appliquant le théorème de Gauss, retrouver
les résultats précédents.
3/ Calculer le potentiel électrique à l’intérieur, à
l’extérieur et à la surface de la sphère. Que concluezvous ?
3/ Partant des résultats de la question 3/, retrouver
le champ à l’extérieur, à l’intérieur et à la surface de la
sphère.
Exercice 1.20
Un cylindre plein de longueur infinie, de rayon R
porte une densité de charge volumique
0.
1/ En utilisant le théorème de Gauss, calculer le
champ électrostatique à l’intérieur, à la surface et à
l’extérieur du cylindre.
2/ En déduire le potentiel à l’intérieur, à la surface
et à l’extérieur du cylindre, en supposant V = 0 sur
l’axe du cylindre.
R ( .: 47
1
, C
.
0
.
) P .$
L
0 ?$
/1
?/ + ) S / ) O
b
%
":
.C
N. % #1
L>
+ +,
+, T Q
F 6 . /2
.$
%
S / )?/ + > 0
/3
*L
= .C
N.
?$ + +,
+, /3 ? I L>
:5. /4
.C
N. %
S / )?/ +
20.1
( .: 47 )? . ( M 7
.
.
0 ,
1 #F ?
0 ?$
T Q
F ? "
/1
. . < S / N. % )?/ +
)?/ + > 0 (+0, )
L - /2
V =0 G
) . < S /
N.
. . <
)R
>
%
%
Exercice 1.21
On considère deux sphères,
s1 pleine et s2 creuse,
concentriques au point O , de rayons R1 et R2 tel
que ( R1
R2 ) . La première porte une charge
volumique de densité
0 et la deuxième une
charge surfacique de densité
0.
1/ En appliquant le théorème de Gauss calculer le
champ électrostatique dans les régions : r R1 ,
R1
r
R2 et r
R2 . On note par
le rayon de
la surface de Gauss.
2/ En déduire le potentiel électrique dans les
mêmes régions à une constante prés.
3/ Représenter les fonctions
R1 et R2 , ( R1 R2 ) , portant des
charges respectives + et
par unité de longueur.
longs, de rayons
1/ Montrer, en utilisant le théorème de Gauss, que le
champ électrique est :
a/ nul si r R1 ou si r R2 sachant que
est
le rayon de la surface de Gauss( cylindre),
b/ inversement proportionnel à
R1 r R2 .
A.FIZAZI
21.1
)
;
pour
R2
s2
,
R1
7 s1 )
0 .: 47 ) O
"
.$
0 0 1
,
% < ?
. ( R1 R2 )
.
0 0 1
.
1 ?
> 0 ?$
T Q
F 6 . /1
R1 r R2 ) r R1 :6.
L
.T Q N. .: 47
1 6.
!
> 0
.V ( r )
E ( r ) et V ( r ) .
Exercice 1. 22
On considère deux cylindres coaxiaux infiniment
19.1
N.
F
E (r )
?1 . r R2
L - /2
.
$
+ #
/3
22.1
) ? .
(
M
.
"
5
) ( R1 R2 ) ) R2
R1 0 .: 47
.? . C+
+
%
: T Q F # +/
/1
r R1
=- # +"
> 0
?$
/
T Q N.
.: 47 (
r R2
)( . )
?,
> 0 ?$
/
Université de BECHAR
LMD1/SM_ST
46
Electrostatique
2/ En déduire le potentiel dans tout l’espace. Où sont
rapprochées les surfaces équipotentielles le plus?
.2
?
*
. R1 r R2
L - /2
R .
> 0
$
1
:23.1
Exercice 1.23
Soit le potentiel à symétrie sphérique suivant :
:
A
F A=
1
1
e
V (r ) =
k + exp ( 2kr ) (1)
V (r ) =
k + exp ( 2kr ) (1)
4 0
r
4 0
r
où désigne la distance entre l’origine O et un point
) M .$
O
%;
M , où k désigne une constante et où e désigne la
: 7"
%e
1 %k;
19
charge élémentaire : e = 1, 6.10 C . Ce potentiel
L
=( . e = 1, 6.10 19 C
est créé par une distribution de charges inconnue et
.J
; A= ? 0,
que l’on cherche à caractériser.
1/ Quelle est la dimension de la constante k ? Quelle
,
+
(
* k 1 +" (
/1
est son unité dans le système international ?
* +
2/ Calculer l’expression du champ électrique créé par
=(
L
> 0 ?$
C
/2
la distribution de charges. On rappelle que le vecteur
1
+
H
S
+
K
"
=
.
gradient en coordonnées sphériques s’écrit :
:
f
1 f
1
f
grad f = ur +
u +
u
f
1 f
1
f
r
r
r sin
grad f = ur +
u +
u
r
r
r sin
3/ En appliquant le théorème de Gauss à la sphère S
= SC
%
T Q
F 6 . /3
de centre O et de rayon , montrer que la charge
q ( r ) contenue dans cette sphère s’écrit :
q (r )
V )
.$ 47
O
:
C
J=( ?/ + C+,
q ( r ) = e (1 + 2kr + 2k 2 r 2 ) exp ( 2kr ) ( 2 )
2 2
( 2)
4/ Montrer que la distribution étudiée contient une q ( r ) = e (1 + 2kr + 2k r ) exp ( 2kr )
charge ponctuelle e placée en O .
e .$
A
! +
V /4
5/ Calculer la lim q ( r ) et en déduire qu’en outre la
.
O
r
H
L
lim q ( r ) 0
/5
charge ponctuelle placée en O , il existe dans tout % -
e
l’espace une densité volumique de charge non nulle.
Expliquez pourquoi le potentiel donné par l’équation
(1)
peut être utilisé pour modéliser un atome
d’hydrogène.
( 2 ) , montrer que la densité
( r ) s’écrit :
r
2
C =
+, ) O
R - . +"
"
?
=
,=
6/ A partir de la relation
volumique de charge
e
(r ) =
q e
4
a une constante positive.
0
r/a
r
avec
.O J
a
1/ Déterminer le champ électrostatique en ce
A.FIZAZI
+"
Université de BECHAR
e
A
OM = r
1
%."
. , +(
:5. /6
(r )
:
(r ) =
OM = r et
(1)
,
V ) ( 2 ) :5"
1
k 3 exp ( 2kr )
Exercice 1.24
On considère une distribution de charges à symétrie
sphérique de centre O. Le potentiel en un point M de
l'espace est: V ( r ) =
,
.$
Q
k 3 exp ( 2kr )
24.1
F A= "
"
: (2
M .$
q e r/a
KV ( r ) =
4 0 r
.
LMD1/SM_ST
47
Electrostatique
point M .
2/ Calculer le flux du champ à travers une sphère de
centre O et de rayon . Faire tendre successivement
vers O , puis vers l'infini. Conclure.
3/ Déterminer la densité volumique de charge .
4/ Etudier la fonction
z (r ) = 4 r2
( r ) .Quelle est
la signification de cette fonction?
. M .$ J=(
47
O (
C
#1 ) O
%
.
? +
(
Exercice 1.25
Soit un dipôle D , son moment étant p et a la
distance entre ses deux charges q et + q . (Figure cidessous)
1/ Calculer le champ et le potentiel électriques
produits par le dipôle D au point M en fonction
de p, et , sachant que a
.
2/ Trouver l’équation des surfaces équipotentielles
ainsi que l’équation des lignes de champ.
. z (r ) = 4 r2
0 ?$
/1
6+
/2
+ + #: . ( .:
*T /
= . >05
,
1 ++ /3
(r )
+ ! + /4
* + J=(
25.1
.: > 1
a
p
)D
(
? ) . +q
q
,
> 0
?$
p,
M+ M .$ + D
.
A
R .
7
/1
.$ > 1
.a
+ " +, /2
M
1
2
A
+q
A.FIZAZI
a
q
B
Université de BECHAR
LMD1/SM_ST