Polynômes et Fractions : Cours d'Algèbre pour STPI

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Chapitre : Polynôme et Fractions
1. Définitions
1.1. Définitions
Définition 1.
Un polynôme à coefficients dans Kest une expression de la forme
P(X) = a
n
Xn+a
n1Xn1+···+a2
X2+a1
X+a0
,
avec nNet a0
,a1
, .. ., a
nK.
L’ensemble des polynômes est noté K[X].
Les a
isont appelés les coefficients du polynôme.
Si tous les coefficients a
isont nuls, Pest appelé le polynôme nul, il est noté 0.
On appelle le
degré
de
P
le plus grand entier
i
tel que
a
i6
=0 ; on le note
deg P
.P o u r le degré du polynôme nul
on pose par convention deg(0) = −∞.
Un polynôme de la forme P=a0avec a0Kest appelé un polynôme constant. Si a06 =0, son degré est 0.
Exemple 1.
X35X+3
4est un polynôme de degré 3.
Xn+1 est un polynôme de degré n.
Module Mathèmatiques I : Algèbre I
Filière: Cycle Préparatoire
Sciences et Techniques Pour
l’Ingénieur (STPI)
POLYNÔMES 1. DÉFINITIONS 2
2 est un polynôme constant, de degré 0.
1.2. Opérations sur les polynômes
Égalité.
Soient
P
=
anXn
+
an1Xn1
+
···
+
a1X
+
a0
et
Q
=
bnXn
+
bn1Xn1
+
···
+
b1X
+
b0
deux polynômes à
coefficients dans K.
P=Q⇒ ∀i ai=bi
et on dit que Pet Qsont égaux.
Addition. Soient P=anXn+an1Xn1+···+a1X+a0et Q=bnXn+bn1Xn1+···+b1X+b0.
On définit :
P+Q= (an+bn)Xn+ (an1+bn1)Xn1+···+ (a1+b1)X+ (a0+b0)
Multiplication.
Soient
P
=
anXn
+
an1Xn1
+
···
+
a1X
+
a0
et
Q
=
bmXm
+
bm1Xm1
+
···
+
b1X
+
b0
. On définit
P×Q=crXr+cr1Xr1+···+c1X+c0
avec r=n+met ck=X
i+j=k
aibjpour k∈ {0,.. . , r}.
Multiplication par un scalaire. Si λKalors λ·Pest le polynôme dont le i-ème coefficient est λai.
Exemple 2.
Soient
P
=
aX 3
+
bX 2
+
cX
+
d
et
Q
=
αX2
+
βX
+
γ
. Alors
P
+
Q
=
aX 3
+ (
b
+
α
)
X2
+ (
c
+
β
)
X
+ (
d
+
γ
),
P×Q
= (
aα
)
X5
+ (
aβ
+
bα
)
X4
+ (
aγ
+
bβ
+
cα
)
X3
+ (
bγ
+
cβ
+
dα
)
X2
+ (
cγ
+
dβ
)
X
+
dγ
. Enfin
P
=
Q
si et
seulement si a=0, b=α,c=βet d=γ.
La multiplication par un scalaire λ·Péquivaut à multiplier le polynôme constant λpar le polynôme P.
L’addition et la multiplication se comportent sans problème :
Proposition 1.
Pour P,Q,RK[X]alors
0+P=P, P +Q=Q+P, (P+Q) + R=P+ (Q+R);
1·P=P, P ×Q=Q×P, (P×Q)×R=P×(Q×R);
P×(Q+R) = P×Q+P×R.
Pour le degré il faut faire attention :
Proposition 2.
Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K.
deg(P×Q) = deg P+degQ
deg(P+Q)6max(deg P,degQ)
On note Rn[X] = PR[X]|deg P6n. Si P,QRn[X]alors P+QRn[X].
1.3. Vocabulaire
Complétons les définitions sur les polynômes.
Définition 2.
Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type akXk) sont appelés monômes.
Soit
P
=
anXn
+
an1Xn1
+
···
+
a1X
+
a0,
un polynôme avec
an6
=0. On appelle
terme dominant
le monôme
anXn. Le coefficient anest appelé le coefficient dominant de P.
Si le coefficient dominant est 1, on dit que Pest un polynôme unitaire.
Exemple 3.
P
(
X
) = (
X
1)(
Xn
+
Xn1
+
···
+
X
+1). On développe cette expression :
P
(
X
) =
Xn+1
+
Xn
+
···
+
X2
+
XXn
+
Xn1
+
···
+
X
+1
=
Xn+1
1.
P
(
X
)est donc un polynôme de degré
n
+1, il est unitaire et est somme de deux
monômes : Xn+1et 1.
POLYNÔMES 2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES 3
Remarque.
Tout polynôme est donc une somme finie de monômes.
Mini-exercices.
1.
Soit
P
(
X
) = 3
X3
2,
Q
(
X
) =
X2
+
X
1,
R
(
X
) =
aX
+
b
. Calculer
P
+
Q
,
P×Q
,(
P
+
Q
)
×R
et
P×Q×R
. Trouver
aet bafin que le degré de PQR soit le plus petit possible.
2. Calculer (X+1)5(X1)5.
3. Déterminer le degré de (X2+X+1)naX 2nbX 2n1en fonction de a,b.
4.
Montrer que si
deg P6
=
degQ
alors
deg
(
P
+
Q
) =
max
(
deg P,degQ
). Donner un contre-exemple dans le cas où
deg P=degQ.
5. Montrer que si P(X) = Xn+an1Xn1+··· alors le coefficient devant Xn1de P(Xan1
n)est nul.
2. Arithmétique des polynômes
Il existe de grandes similitudes entre l’arithmétique dans
Z
et l’arithmétique dans
K
[
X
]. Cela nous permet d’aller
assez vite et d’omettre certaines preuves.
2.1. Division euclidienne
Définition 3.
Soient A,BK[X], on dit que Bdivise As’il existe QK[X]tel que A=BQ. On note alors B|A.
On dit aussi que Aest multiple de Bou que Aest divisible par B.
Outre les propriétés évidentes comme A|A, 1|Aet A|0 nous avons :
Proposition 3.
Soient A,B,CK[X].
1. Si A|B et B|A, alors il existe λKtel que A =λB.
2. Si A|B et B|C alors A|C.
3. Si C|A et C|B alors C|(AU +BV ), pour tout U,VK[X].
Théorème 1 (Division euclidienne des polynômes).
Soient A,BK[X], avec B 6=0, alors il existe un unique polynôme Q et il existe un unique polynôme R tels que :
A=BQ +R et degR<deg B.
Qest appelé le quotient et Rle reste et cette écriture est la division euclidienne de Apar B.
Notez que la condition degR<deg Bsignifie R=0 ou bien 0 6degR<deg B.
Enfin R=0 si et seulement si B|A.
Démonstration.
Unicité.
Si
A
=
BQ
+
R
et
A
=
BQ0
+
R0
, alors
B
(
QQ0
) =
R0R
. Or
deg
(
R0R
)
<deg B
. Donc
Q0Q
=0. Ainsi
Q=Q0, d’où aussi R=R0.
Existence. On montre l’existence par récurrence sur le degré de A.
Si
degA
=0 et
deg B>
0, alors
A
est une constante, on pose
Q
=0 et
R
=
A
. Si
degA
=0 et
deg B
=0, on pose
Q=A/Bet R=0.
On suppose l’existence vraie lorsque
degA6n
1. Soit
A
=
anXn
+
···
+
a0
un polynôme de degré
n
(
an6
=0). Soit
B=bmXm+···+b0avec bm6=0. Si n<mon pose Q=0 et R=A.
Si
n>m
on écrit
A
=
B·an
bmXnm
+
A1
avec
degA16n
1. On applique l’hypothèse de récurrence à
A1
: il existe
Q1,R1K[X]tels que A1=BQ1+R1et degR1<deg B. Il vient :
A=Ban
bm
Xnm+Q1+R1.
Donc Q=an
bmXnm+Q1et R=R1conviennent.
POLYNÔMES 2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES 4
Exemple 4.
On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si
A
=2
X4X3
2
X2
+3
X
1 et
B
=
X2X
+1. Alors on trouve
Q
=2
X2
+
X
3 et
R
=
X
+2. On n’oublie pas de
vérifier qu’effectivement A=BQ +R.
2X4X32X2+3X1X2X+1
2X2+X3
2X42X3+2X2
X34X2+3X1
X3X2+X
3X2+2X1
3X2+3X3
X+2
Exemple 5.
Pour X43X3+X+1 divisé par X2+2 on trouve un quotient égal à X23X2 et un reste égale à 7X+5.
X43X3+X+1X2+2
X23X2
X4+2X2
3X32X2+X+1
3X36X
2X2+7X+1
2X24
7X+5
2.2. pgcd
Proposition 4.
Soient
A,BK
[
X
], avec
A6
=0ou
B6
=0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois
A et B.
Cet unique polynôme est appelé le pgcd (plus grand commun diviseur) de Aet Bque l’on note pgcd(A,B).
Remarque.
pgcd(A,B)est un polynôme unitaire.
Si A|Bet A6=0, pgcd(A,B) = 1
λA, où λest le coefficient dominant de A.
Pour tout λK, pgcd(λA,B) = pgcd(A,B).
Comme pour les entiers : si A=BQ +Ralors pgcd(A,B) = pgcd(B,R). C’est ce qui justifie l’algorithme d’Euclide.
Algorithme d’Euclide.
Soient Aet Bdes polynômes, B6=0.
On calcule les divisions euclidiennes successives,
POLYNÔMES 2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES 5
A=BQ1+R1degR1<deg B
B=R1Q2+R2degR2<degR1
R1=R2Q3+R3degR3<degR2
.
.
.
Rk2=Rk1Qk+RkdegRk<degRk1
Rk1=RkQk+1
Le degré du reste diminue à chaque division. On arrête l’algorithme lorsque le reste est nul. Le pgcd est le dernier
reste non nul Rk(rendu unitaire).
Exemple 6.
Calculons le pgcd de A=X41 et B=X31. On applique l’algorithme d’Euclide :
X41= (X31)×X+X1
X31= (X1)×(X2+X+1) + 0
Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X41, X31) = X1.
Exemple 7.
Calculons le pgcd de A=X5+X4+2X3+X2+X+2 et B=X4+2X3+X24.
X5+X4+2X3+X2+X+2= (X4+2X3+X24)×(X1) + 3X3+2X2+5X2
X4+2X3+X24= (3X3+2X2+5X2)×1
9(3X+4)14
9(X2+X+2)
3X3+2X2+5X2= (X2+X+2)×(3X1) + 0
Ainsi pgcd(A,B) = X2+X+2.
Définition 4.
Soient A,BK[X]. On dit que Aet Bsont premiers entre eux si pgcd(A,B) = 1.
Pour
A,B
quelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : si
pgcd
(
A,B
) =
D
alors
A
et
B
s’écrivent : A=DA0,B=DB0avec pgcd(A0,B0) = 1.
2.3. Théorème de Bézout
Théorème 2 (Théorème de Bézout).
Soient
A,BK
[
X
]des polynômes avec
A6
=0ou
B6
=0. On note
D
=
pgcd
(
A,B
). Il existe deux polynômes
U,VK
[
X
]
tels que AU +BV =D.
Ce théorème découle de l’algorithme d’Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le voit sur l’exemple
suivant.
Exemple 8.
Nous avons calculé
pgcd
(
X4
1
,X3
1) =
X
1. Nous remontons l’algorithme d’Euclide, ici il n’y avait qu’une ligne :
X4
1= (
X3
1)
×X
+
X
1, pour en déduire
X
1= (
X4
1)
×
1+ (
X3
1)
×
(
X
). Donc
U
=1 et
V
=
X
conviennent.
Exemple 9.
Pour
A
=
X5
+
X4
+2
X3
+
X2
+
X
+2 et
B
=
X4
+2
X3
+
X2
4 nous avions trouvé
D
=
pgcd
(
A,B
) =
X2
+
X
+2. En
partant de l’avant dernière ligne de l’algorithme d’Euclide on a d’abord :
B
= (3
X3
+2
X2
+5
X
2)
×1
9
(3
X
+4)
14
9D
donc
14
9D=B(3X3+2X2+5X2)×1
9(3X+4).
La ligne au-dessus dans l’algorithme d’Euclide était :
A
=
B×
(
X
1) + 3
X3
+2
X2
+5
X
2. On substitue le reste pour
obtenir :
14
9D=BAB×(X1)×1
9(3X+4).
On en déduit
14
9D=A×1
9(3X+4) + B1+ (X1)×1
9(3X+4)
Donc en posant U=1
14 (3X+4)et V=1
14 9+ (X1)(3X+4)=1
14 (3X2+X+5)on a AU +BV =D.
Le corollaire suivant s’appelle aussi le théorème de Bézout.
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