Notes-de-cours-Panorama-11 (2)

Nom : _____________________________________________
Groupe : _________
Enseignant(e) : ________________________________________________
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Les taux, les rapports et les proportions
Comment compare-t-on les prix d’un même produit vendu dans des formats différents?
Comment détermine-t-on la distance réelle entre deux villes sur une carte routière? Comment
dessine-t-on le plan d’un salon en respectant les dimensions réelles des objets? Dans toutes
ces situations, on utilise des rapports, des taux et des proportions. Mais qu’est-ce qu’une
proportion? Comment reconnait-on une situation de proportionnalité? Dans ce panorama, tu
apprendras à utiliser des rapports, des taux et des proportions, tant en arithmétique qu’en
géométrie, afin de comparer, de mesurer et de représenter divers éléments.
1
Cours #1
Rapport
Taux
Comparaison entre deux quantités de nature
différente.
Ex : 525$ / 6 jours
13L / 100 km
On doit toujours
réduire un
rapport
Taux unitaire
Lorsque le dénominateur d’un taux est 1, on
parle alors de taux unitaire et on omet le 1 dans
la notation.
Ex : On a roulé à 90km en 1 heure : 90km/h
Les pommes coûtent 1,59$ pour une livre : 1,59$/lb
Les taux les plus utilisés
Vitesse = distance / temps
Taux horaire = Salaire pour 1 heure
Prix unitaire = Coût pour un article (ou 1kg, ou 1lb)
Débit = quantité / temps (l/min ou mg/sec)
2
Lorsque le rapport représente des mesures, il faut avoir les mêmes
unités
.
Ex : Écris sous la forme d’un rapport les énoncés suivants.
a) Corine a travaillé 2 heures pour 120 secondes de repos.
b) Sur une carte routière, 2 cm représente 4 km.
RAPPORTS ÉQUIVALENTS ET COMPARAISON DE RAPPORTS
Deux rapports sont équivalents s’ils correspondent au même quotient.
Méthode 1 : On les porte au même dénominateur.
Ex : Indique si les rapports ou les taux suivants sont équivalents.
a)
b) Rapport pommes : oranges 70 : 4 et
95 : 6
c)
d) Rapport filles : garçons 11 : 20 et
77 : 140
3
Méthode 2 : Retour à l’unité. (Calculer le quotient)
Ex : Indique si les rapports ou les taux suivants sont équivalents.
Non
b) Rapport élèves : surveillants
600 : 5 et 500 : 4
Non
Non
4
Exercices :
#1. Dans un plat de fruits, le rapport du nombre de pommes au nombre de bananes est de 5 : 4.
a) Y a-t-il plus de pommes ou plus de bananes?
pommes
b) Quel est le nombre minimal de fruits dans le panier?
Est-il possible qu’il y ait
9
25 fruits dans ce panier?
non
27 fruits dans ce panier?
oui
c) S’il y a 12 bananes dans ce panier, combien y a-t-il de pommes?
15 pommes
#2. On aime son café avec 25g de sucre dans 200ml de café. À l’aide de calculs, détermine si les cafés
suivants sont aussi sucrés, plus sucrés ou moins sucrés.
a) 20g de sucre dans 195ml de café.
Moins
sucré
b) 30g de sucre dans 250ml de café.
Moins
sucré
FIN DU COURS
5
Cours #2
LES PROPORTIONS
C’est une égalité entre deux rapports ou deux taux. Ex :
On peut travailler les proportions comme des fractions équivalentes :
Dans toutes proportions, le
extrêmes
.
produit
des moyens est égal au produit des
Extrêmes
Moyens
Moyens
Extrêmes
Moyens
1:3=2:6
Extrêmes
Produit des extrêmes = Produit des
On définit souvent cette opération par le PRODUIT
CROISÉ
moyens
.
6
Exercices : En utilisant le produit des moyens et le produit des extrêmes, vérifie si les
rapports suivants forment une proportion. Coche la case appropriée.
Proportionnel
Non proportionnel
Proportionnel
Non proportionnel
Proportionnel
Non proportionnel
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RECHERCHE D’UN TERME MANQUANT DANS UNE PROPORTION
On fait le produit croisé, on multiplie la diagonale et on divise par le terme restant.
Exercice :
#1. Trouve la valeur de la variable dans les proportions suivantes.
8
#2. Dans chaque cas, détermine la valeur qui permet de former une proportion.
#3. Dans une recette, je dois mettre 500ml de lait, 210ml de sucre et 140ml de farine. S’il me reste
seulement 275ml de lait et que je veux tout l’utiliser :
a) combien de farine ai-je besoin de mettre afin de garder les proportions dans la recette ?
Il faut 77 ml de farine
b) combien de sucre ai-je besoin de mettre afin de garder les proportions dans la recette ?
Il faut 115.5 ml de sucre
9
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L’AIDE D’UNE PROPORTION
Utiliser des titres et ne pas oublier que la difficulté
c’est de bien établir la proportion!
#1 Au hockey, pour 7 tirs effectués vers le but, 5 touchent au gardien. Combien de fois touchera-t-il au
gardien s’il y a eu 28 tirs et qu’il garde le même ratio?
Tirs au but au hockey
En 28 tirs, il touchera au
gardien
20 fois
.
#2 Si le débit d’eau de la rivière l’Assomption est de 1 800 L en 9 minutes, combien d’eau s’écoule en
15 minutes?
Le débit d’eau de la rivière l’Assomption
Il s’écoulera
3 000 L
en 15 minutes.
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#3 Pour exploiter un terrain agricole à son meilleur, le rapport entre la surface cultivée et la surface
totale doit être de 4 : 5.
a) Si M. Gendron, un cultivateur, a une terre de 3.5 hm², quelle superficie doit-il exploiter?
Exploitation du terrain agricole de M. Gendron
Il doit exploiter une
surface de
2.8
hm2
b) Son voisin, M. Tremblay, a cultivé 2.7 hm² de ses 3.375 hm². Respecte-t-il le rapport 4 : 5?
Exploitation du terrain agricole de M. Tremblay
Oui
Non
#4 Un peintre a créé une nouvelle couleur de peinture en mélangeant 50 mL de bleu avec 375 ml de
jaune. Si un client aime le résultat obtenu et décide d’en acheter 4.25 L, quel mélange le peintre
devra-t-il faire?
Mélange de couleur de peinture
FIN DU COURS
11
Cours #3
TROIS TYPES DE RELATIONS
Cette année, on classera les relations en 3 types : proportionnelles, inversement proportionnelles et
les autres types de relations. Voici la description de chacun de ces types de relations ainsi que leur
allure graphique.
Tables de valeurs
 Les valeurs de y sont obtenues en
appelé le
multipliant
coefficient de proportionnalité
X
0
2
3
Y
0
8
12
les valeurs de x par un même nombre
;
5
Coefficient de
X
32
proportionnalité
Graphique
C’est une droite oblique qui passe par
l’origine
.
12
Tables de valeurs
 le produit de x et de y est
constant
.
 si l’une des variables est zéro, alors l’autre variable est
aussi zéro
X
1
2
5
Y
50
25
10
.
20
2
Graphique
C’est une courbe qui tend à s’approcher des axes
Toutes les relations qui ne sont ni
proportionnelles
x et y
ni
.
inversement proportionnelles
.
Graphique
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RECONNAÎTRE LE TYPE DE RELATION DONT IL S’AGIT DANS UN CONTEXTE
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Exemples : Dans chacune des situations suivantes, détermine de quel type de relation il s’agit.
a) En voiture, Sara parcourt en moyenne 21km en 15 min. Si elle conserve la même vitesse, en
combien de temps parcourra-t-elle 28km?
Relation de proportionnalité
b) Trois personnes peuvent construire un garage en quatre jours. En combien de temps deux
personnes travaillant au même rythme peuvent-elles construire un garage identique?
Relation de proportionnalité
c) On vide la piscine à un débit régulier de 3L/sec afin de la fermer pour l’hiver.
Autres types
d) Lors d’une fête, on a loué une Wii au coût de 45$. Si 7 amis viennent à la fête, quel est le coût
par personne pour jouer à la Wii?
Relation inversement proportionnelle
e) Julien a un devoir de mathématiques comportant 25 numéros. Après 5 minutes il a fait 3
numéros. Si tous les numéros sont semblables, combien de temps peut-il prévoir pour terminer son
devoir?
Relation de proportionnalité
f) Le coût d’un stationnement comporte un coût d’entrée de 5$ puis on doit payer 3$ de l’heure
pour y laisser notre voiture. Combien en coûtera-t-il pour laisser sa voiture 5h?
Autres types
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EXEMPLE 1 : La table de valeurs suivante montre la relation qui existe entre le nombre d’heures de
travail d’un employé et son salaire.
Nb d’heures de travail
Salaire ($)
Le salaire d’un employé
5
10
15
41.25
82.50
123.75
20
165.00
25
206.25
a) Logiquement, le contexte permet-il de croire que c’est une situation de proportionnalité?
Oui , car le salaire normalement augmente de façon
constante
.
b) Vérifions si c’est une relation proportionnelle. Trouve le coefficient de proportionnalité.
c) Quel est le salaire horaire?
d) Représente la situation dans le graphique ci-dessous.
e) Puisque cette situation est une situation de
proportionnalité
PROPORTIONS
, ON PEUT UTILISER LES
POUR RÉPONDRE À DES QUESTIONS.
Quel salaire obtiendra-t-il pour 37 h de travail?
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EXEMPLE 2 : La table de valeurs suivante montre la relation qui existe entre l’âge d’une personne et
sa masse.
Le poids d’une personne selon son âge
Âge (Année)
10
15
20
25
Masse (kg)
34
48
54
56
30
57.5
a) Logiquement, le contexte permet-il de croire que c’est une situation de proportionnalité?
Non , la masse ne varie pas proportionnellement avec l’âge, sinon on deviendrait
immense !
b) Vérifions si c’est une relation proportionnelle. Trouve le coefficient de proportionnalité.
c) Représente la situation dans le graphique ci-contre.
d) Une personne a 55 ans. Quel est son poids?
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EXEMPLE 3 :
Une anomalie possible de l’œil s’appelle la vision en tunnel. La table de valeurs suivante montre les
résultats d’une expérience qui simule ce genre d’anomalie. Elle consiste à regarder dans des tuyaux
de différentes longueurs et de noter la grandeur du champ de vision. Complète cette table et ce
graphique.
Expérience pour comprendre la vision en tunnel
Longueur du tuyau (cm)
2
3
4
6
Hauteur du champ visuel (cm)
12
8
6
4
12
Vérifions si c’est une relation proportionnelle :
24
Non
Vérifions si c’est une relation inversement proportionnelle :
Oui
Maintenant, complétons la table de valeurs
FIN DU COURS
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Cours #4
RÉSOLUTION D’UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ
Il existe plusieurs stratégies pour résoudre les problèmes qui comportent une situation
de proportionnalité. En voici quatre :
Lorsque le contexte
s’y prête, on a
tendance à utiliser
cette méthode.
Cette stratégie consiste à déterminer, à partir d’un
rapport ou d’un taux déjà connu, le rapport ou le taux
équivalent
est 1
dont le numérateur ou le dénominateur
qu’on utilise ensuite pour déduire les valeurs
manquantes.
Ex : On veut connaître le prix de 11 kg de bœuf haché, sachant que 4 kg coûtent 15.40 $.
On effectue le retour à l’unité en déterminant le prix de 1 kg de bœuf haché.
On détermine la valeur manquante comme suit :
Le prix de
11 kg
de bœuf haché est de
42.35 $
.
19
Méthode efficace dans
une table de valeurs
pour trouver les
données manquantes.
Cette stratégie consiste à déterminer, à partir d’un rapport ou
d’un taux déjà connu, le coefficient de proportionnalité qu’on
utilise ensuite pour déduire les valeurs manquantes.
Ex : On veut connaître le prix d’une dinde surgelée de 3.8 kg sachant qu’une dinde surgelée de 5
kg coûte 23.25 $.
On détermine le
coefficient de proportionnalité
en cherchant le nombre par lequel il faut
multiplier 5 pour obtenir 23.25 $.
On détermine la valeur manquante comme suit :
Le prix d’une dinde surgelée de 3.8 kg est donc de
17.67 $
.
20
Cette stratégie consiste à déterminer, à partir d’un rapport ou
Surtout efficace
pour résoudre
mentalement.
d’un taux déjà connu, un rapport ou un taux équivalent en
multipliant son
numérateur
et son
dénominateur
par
un même nombre différent de zéro.
Ex : On veut connaître le prix d’un jambon fumé de 7.5 kg, sachant qu’un jambon fumé de 2.5 kg
coûte 6.45 $.
On détermine le
facteur de changement
permettant de passer de 2.5 à 7.5.
On détermine la valeur manquante comme suit :
Le prix d’un jambon fumé de 7.5 kg est donc de
19.35$
.
21
Dans une proportion, le produit des extrêmes égale le produit
des
trois
moyens
Méthode très
efficace !
. On peut donc déterminer, à partir de
des quatre termes d’une proportion, la valeur du terme
manquant.
Ex : On veut connaître le prix d’un poulet de 3.7 kg, sachant qu’un poulet de 1.4 kg coûte 11.06 $.
On détermine la valeur manquante dans la proportion suivante :
Le prix d’un poulet de 3.7 kg est donc de
29.23 $
.
22
POURCENTAGE
Exprimer un rapport en pourcentage c’est trouver le rapport équivalent sur 100.
Rappel : un % c’est
une
fraction
sur
cent
Calculer le pourcentage d’un nombre
Ex1. 15% de 120$.
Rappel : Le trait
dans une fraction
signifie
DIVISER!
Ex2. Quel est le prix final de cet article si on lui
applique une taxe de 15,2%?
650$
Secondaire 1 :
Secondaire 1 :
Secondaire 2 :
Secondaire 2 :
Le prix final est de
748.80 $
.
23
Ex3. Quel pourcentage de 88 donne 10.56 ?
Ex4. Un chandail se vend 35$ à prix régulier.
On a droit à un rabais de 5,25$. Quel
pourcentage de rabais a été appliqué?
Le rabais du chandail est de
15%
.
RETROUVER LE 100% D’UN NOMBRE
Lorsqu’on a besoin de retrouver la quantité totale, il faut rechercher le cent pourcent d’un nombre.
On peut établir une proportion pour trouver l’inconnu.
Ex1. Ma famille possède 34% des terres à l’Assomption, soit 57 hm2. Quelle est la superficie
totale des terres à l’Assomption?
La superficie totale des terres à l’Assomption est de
167.65 hm2
.
24
Ex2. Dans notre école, le comité étudiant est composé de 8 élèves, ce qui représente environ 0,5%
des élèves totaux. Combien d’élèves y a-t-il à l’école?
Il y a un total de
1 600
élèves dans l’école.
Ex3. Après des taxes de 12,5%, un chandail coûte 54,84$. Quel était le prix du chandail sans les
taxes?
Le prix de départ c’est toujours 100%
Le total c’est
54.84
$
à
112.5%
Le prix du chandail sans les taxes est de
48.75 $
.
25
Ex4. Après un rabais de 25%, un chandail coûte 16,87$. Quel était le prix initial?
Le prix de départ c’est toujours 100%
Le prix total c’est
16.87
$
Le prix initial du chandail est de
à
75%
22.49 $
.
FIN DU COURS ET MINIT-TEST DANS 2 COURS
26
Cours #7
FIGURES SEMBLABLES
Deux figures sont semblables si l’une est un
reproduction
agrandissement
, une
réduction
ou une
exacte de la figure initiale.
Propriétés :
 Conserve la mesure des
 Les côtés sont
k : rapport de
proportionnels
similitude
Si k > 1 : il y a
Si 1 > k > 0 : il y a
angles
ou rapports des
longueurs
un agrandissement
une réduction
Pour trouver des mesures manquantes sur des figures semblables, il suffit d’établir une
proportion.
27
Ex1. Les deux rectangles sont semblables, trouve la mesure manquante et le rapport de similitude.
B’
7m
C’
3m
A’
Si on fait le produit croisé, on a que :
La mesure du côté manquant est de
9
m et le rapport de similitude est de
1:3
.
28
Ex2. Les deux figures sont semblables, trouve les mesures manquantes.
Ex3. Les deux figures suivantes sont semblables. Trouve les mesures manquantes.
29
Ex4. Les figures suivantes sont semblables, trouve les mesures manquantes.
a)
b)
c)
d)
30
REPRODUCTION À L’ÉCHELLE
L’échelle s’exprime de différentes façons.
Pour trouver des mesures manquantes mettant en relation une échelle, il suffit
d’établir une proportion.
Ex1. Une maison de poupée est une reproduction d’une maison selon l’échelle 3 : 200. Si la largeur
de la maison réelle mesure 15 m, quelle est la largeur de la maison de poupée en cm?
15 m =
1 500 cm
Ex2. On a construit un avion miniature selon le rapport 8 : 450. Si l’envergure des ailes de l’avion
miniature est de 25 cm, quelle est l’envergure des ailes de l’avion en mètres ?
25 cm =
0.25 m
FIN DU COURS
31
Cours #8
RAPPORT DE SIMILITUDE ET RAPPORT DES AIRES
Élever au carré
Rapport de similitude = k
(rapport de longueur)
Rapport d’aire = k2
(rapport des longueurs au carré)
32
Ex1.
Quel est le rapport de similitude :
Calcule l’aire de ces deux rectangles
Quel est le rapport des aires :
Ex2.
Quel est le rapport de similitude (k) :
Calcule l’aire de ces deux rectangles
Quel est le rapport des aires (k2):
33
Ex3.
Quel est le rapport de similitude (k):
Calcule l’aire de ces deux rectangles
Quel est le rapport des aires (k2) :
Ex4. Trouve les rapports de similitude ou d’aire.
34
Étape1 :
Trouver les deux rapports
Étape2 :
Si l’inconnu est une

longueur
Si l’inconnu est une aire 
#1.
k et k2
Utiliser le rapport k pour établir une proportion.
Utiliser le rapport k2 pour établir une proportion.
Voici deux triangles semblables. Trouve le rapport des aires de ces figures.
Le rapport des aires est donc de
0.64
35
#2. Voici deux hexagones semblables. Si l’aire de l’image est de 39 cm2, quelle est l’aire de l’hexagone
initial ?
L’aire de l’hexagone initial est de
243.75 cm2
#3 Le rapport des aires de 2 figures semblables est de
mesure du côté A’B’ ?
La mesure du côté A’B’ est donc de
18 cm
.
. Si le côté AB mesure 14 cm, quelle est la
.
36
#4. Ces deux figures sont semblables. Quelle est l’aire de la plus grande?
L’aire de la plus grande figure est de
193.75 cm2
.
FIN DU COURS ET EXAMEN DANS 2 COURS
37