Immersions, Submersions : Théorème d'inversion locale

CHAPITRE II
IMMERSIONS, SUBMERSIONS
§1. Le th´eor`eme d’inversion locale
1. Diff´eomorphismes locaux
Soient X et Y des vari´et´es diff´erentielles et fun morphisme de vari´et´es de X dans Y .
Soit aun point de X . On dit que fest un diff´eomorphisme local en a, ou encore que f
est ´etale en a, si finduit un diff´eomorphisme d’un voisinage ouvert de adans X sur un
ouvert de Y .
L’ensemble des points de X en lesquels fest ´etale est ouvert dans X . On dit que f
est un morphisme ´etale s’il est ´etale en tout point de X .
Un morphisme de vari´et´es ´etale et bijectif est un diff´eomorphisme.
2. Le th´eor`eme d’inversion locale
Th´ eor` eme 1. — Pour qu’un morphisme de vari´et´es diff´erentielles f: X →Ysoit ´etale
en un point ade X, il faut et il suffit que l’application tangente Ta(f)soit bijective.
La n´ecessit´e est claire. Pour d´emontrer la suffisance, on se ram`ene, en se pla¸cant dans
des cartes convenables, au cas o`u X et Y sont des ouverts d’espaces vectoriels de dimension
finie E et F . Le fait que l’application lin´eaire tangente en asoit bijective s’exprime dans
ce cas en disant que la d´eriv´ee de fen aest une application lin´eaire bijective de E dans
F , et l’on conclut en appliquant le th´eor`eme d’inversion locale d´emontr´e dans le cours de
calcul diff´erentiel.
Soit X une vari´et´e diff´erentielle et soit a∈X . On dit qu’une suite (u1, . . . , un) de
fonctions r´eelles de classe C∞d´efinies au voisinage de aest un syst`eme de coordonn´ees
local de Xen asi les diff´erentielles dauiforment une base de Ta(X)∗. Compte tenu du
th´eor`eme d’inversion locale, cela ´equivaut `a dire qu’il existe d’un voisinage ouvert U de a,
contenu dans le domaine de d´efinition des fonctions ui, dans lequel (u1|U, . . . , un|U) est
un syst`eme de coordonn´ees.
Remarque. — Soient X une vari´et´e diff´erentielle et aun point de X . Toute suite (u1,...,um) de
fonctions r´eelles de classe C∞d´efinies au voisinage de adont les diff´erentielles en asont lin´eairement
ind´ependantes peut ˆetre compl´et´ee en un syst`eme de coordonn´ees local de X en a.
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Corollaire. — Soit Xune vari´et´e diff´erentielle et soit (f1, . . . , fm)une suite de fonc-
tions de classe C∞sur X. Notons Yl’ensemble des z´eros communs des fi. Supposons
qu’en chaque point ade Y, les diff´erentielles dafisoient lin´eairement ind´ependantes.
Alors Yest une sous-vari´et´e de X. De plus, pour tout a∈Y, on a dima(Y) =
dima(X) −met Ta(Y) est l’intersection des noyaux des formes lin´eaires dafi.
Remarque. — On prendra garde que si les diff´erentielles dafisont lin´eairement d´ependantes, Y
peut malgr´e tout ˆetre une sous-vari´et´e de X : par exemple, l’ensemble des z´eros dans R2de la fonction
x2+y2est la sous-vari´et´e de R2r´eduite au seul point (0,0) , bien que la diff´erentielle de x2+y2en ce
point soit nulle.
3. Le th´eor`eme des fonctions implicites
Soient X , Y , Z des vari´et´es diff´erentielles et f: X ×Y→Z un morphisme de
vari´et´es. Soient aun point de X et bun point de Y . Notons T1
(a,b)(f) l’application
tangente en a`a x7→ f(x, b) et T2
(a,b)(f) l’application tangente en b`a y7→ f(a, y) .
Th´ eor` eme 2. — Supposons T2
(a,b)(f)bijective. Il existe alors des voisinages ouverts Ude
adans X,Vde bdans Yet Wde f(a, b)dans Zposs´edant les propri´et´es suivantes :
pour tout x∈Uet tout z∈W, il existe un unique ´el´ement yde Vtel que f(x, y) = z;
si g(x, z)d´esigne cet ´el´ement, l’application g: U ×W→Vest un morphisme de vari´et´es.
Consid´erons le morphisme de vari´et´es ϕ: (x, y)7→ (x, f (x, y)) de X ×Y dans X ×Z .
Son application lin´eaire tangente en (a, b) est l’application (h, k)7→ h, u(h) + v(k)de
Ta(X) ×Tb(Y) dans Ta(X) ×Tf(a,b)(Z) , o`u u= T1
(a,b)(f) et v= T2 (a,b)(f) . Elle est
bijective puisque vest bijective.
D’apr`es le th´eor`eme d’inversion locale, il existe des voisinages ouverts O de (a, b)
dans X ×Y et O0de (a, f (a, b)) dans X ×Z tels que ϕinduise un diff´eomorphisme de
O sur O0. Choisissons des voisinages ouverts U1de adans X et V de bdans Y tels
que U1×V⊂O , puis des voisinages ouverts U de adans X et W de f(a, b) dans Z
tels que U ×W⊂ϕ(U1×V) (ce qui entraˆıne U ⊂U1). Pour tout x∈U et tout z∈W ,
il existe un unique couple (x0, y)∈U1×V tel que ϕ(x0, y) = (x, z) , i.e. tel que x0=xet
f(x0, y) = z. En d’autres termes, il existe un unique ´el´ement y∈V tel que f(x, y) = z.
Si g(x, z) d´esigne cet ´el´ement, l’application (x, z)7→ (x, g(x, z)) de U ×W dans U ×V
est induite par ϕ−1, donc est un morphisme de vari´et´es, et il en est de mˆeme de g, qui
est sa seconde projection.
Remarque. — Soient U , V , W des ouverts satisfaisant les conclusions du th. 2.
L’ensemble D des (x, y)∈U×V tels que f(x, y)∈W est alors ouvert dans X ×Y , et
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les applications (x, y)7→ (x, f (x, y)) de D dans U ×W et (x, z)7→ (x, g(x, z)) de U ×W
dans D sont des diff´eomorphismes r´eciproques l’un de l’autre. En ´ecrivant que l’application
tangente au second en un point (x, z)∈U×W est bijective et r´eciproque de l’application
tangente au premier en (x, g(x, z)) , on obtient les r´esultats suivants : l’application lin´eaire
T2
x,g(x,z)(f) est bijective et l’on a
T1
(x,z)(g) = −T2 x,g(x,z)(f)−1◦T1 x,g(x,z)(f),
T2
(x,z)(g) = T2 x,g(x,z)(f)−1.
Corollaire. — Supposons T2
(a,b)(f)bijective. Posons c=f(a, b). Il existe des voisi-
nages ouverts Ude adans Xet Vde bdans Yet un morphisme de vari´et´es
h: U →Vposs´edant les propri´et´es suivantes : pour tout x∈U,h(x)est l’unique
´el´ement yde Vtel que f(x, y) = c, l’application T2
x,h(x)(f)est bijective et l’on a
Tx(h) = −T2
x,h(x)(f)−1◦T1 x,h(x)(f).
§2. Immersions et plongements
1. Immersions
Soient X et Y des vari´et´es diff´erentielles et f: Y →X un morphisme de vari´et´es.
On dit que fest une immersion en un point ade Y s’il existe une carte (V, ψ, F)
de Y en aet une carte (U, ϕ, E) de X en f(a) poss´edant les propri´et´es suivantes : on a
f(V) ⊂U , F est un sous-espace vectoriel de E et ψ(y) = ϕ(f(y)) pour tout y∈V .
L’ensemble des points de Y en lesquels fest une immersion est une partie ouverte
de Y . On dit que fest une immersion si fest une immersion en tout point de Y .
Remarques. — 1) Soient Y et Z des vari´et´es diff´erentielles, aun point de Y et bun point de Z .
Le morphisme y7→ (y,b) de Y dans Y ×Z est une immersion en (a,b) . Par suite, si g: Y ×Z→X
est un morphisme de vari´et´es qui est ´etale en (a,b) , y7→ g(y,b) est une immersion en a.
2) Soit f: Y →X une immersion en a. Il existe un voisinage ouvert Y0de adans Y , une
vari´et´e diff´erentielle Z , un diff´eomorphisme gde Y0×Z sur un ouvert de X et un point b∈Z tels
que f(y) = g(y,b) pour y∈Y0.
2. Caract´erisation diff´erentielle des immersions
Th´ eor` eme 3. — Pour qu’un morphisme de vari´et´es f: Y →Xsoit une immersion en
un point a∈Y, il faut et il suffit que l’application tangente `a fen asoit injective.
La n´ecessit´e est claire. Pour d´emontrer la suffisance, nous pouvons supposer que X
est un espace vectoriel E de dimension finie. Soit alors H un suppl´ementaire dans E de
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l’image de Ta(f) . Le morphisme (y, h)7→ f(y) + hde Y ×H dans E est ´etale en (a, 0) .
Il s’en suit (remarque 1 du no1) que fest une immersion en a.
Exemple. — Soit X une vari´et´e diff´erentielle. Pour qu’une courbe param´etr´ee (I,c) de classe C∞
dans X soit une immersion en un point t∈I , il faut et il suffit que l’on ait ˙c(t)6= 0 .
Corollaire. — Le compos´e de deux immersions est une immersion.
3. Plongements
On dit qu’un morphisme de vari´et´es f: Y →X est un plongement si f(Y) est une
sous-vari´et´e de X et que fd´efinit un isomorphisme de Y sur cette sous-vari´et´e. Si de
plus f(Y) est ferm´e dans X , on dit que fest un plongement ferm´e.
Th´ eor` eme 4. — Pour que fsoit un plongement, il faut et il suffit que fsoit une
immersion et que l’application Y→f(Y) induite par fsoit un hom´eomorphisme.
Ces conditions sont clairement n´ecessaires. Supposons les satisfaites. Soit bun point
de f(Y) et ale point de Y tel que f(a) = b. Choisissons une carte (V, ψ, F) de Y en a
et une carte (U, ϕ, E) de X en f(a) poss´edant les propri´et´es suivantes : on a f(V) ⊂U ,
F est un sous-espace vectoriel de E et ψ(y) = ϕ(f(y)) pour tout y∈V .
L’ensemble ψ(V) est ouvert dans F , donc est la trace sur F d’un ouvert O de E .
En rempla¸cant U par U ∩ϕ−1(O) , on se ram`ene au cas o`u ϕ(U) ∩F = ψ(V) .
Comme fd´efinit un hom´eomorphisme de Y sur f(Y) , f(V) est une partie ouverte
de f(Y) . Il existe donc un ouvert U0de X tel que U0∩f(Y) = f(V) . En rempla¸cant
U par U ∩U0, on se ram`ene au cas o`u U ∩f(Y) = f(V) (en conservant la relation
ϕ(U) ∩F = ψ(V) ).
On a alors ϕ(U ∩f(Y)) = ϕ(f(V)) = ψ(V) = ϕ(U) ∩F . Cela d´emontre tout d’abord
que f(Y) est une sous-vari´et´e de X , puis que fd´efinit un diff´eomorphisme de l’ouvert
V de Y sur l’ouvert f(V) de f(Y) . L’application bijective Y →f(Y) induite par fest
donc un diff´eomorphisme.
Corollaire. — Pour que fsoit un plongement ferm´e, il faut et il suffit que ce soit une
immersion injective et ferm´ee.
En effet, si fest injective, continue et ferm´ee, l’ensemble f(Y) est ferm´e dans X et
l’application de Y dans f(Y) induite par fest un hom´eomorphisme.
Remarques. — 1) Une immersion injective n’est pas n´ecessairement un plongement, mˆeme si son
image est ferm´ee, comme le montre l’exemple suivant : Y =] −1, + ∞[ , X = R2et fest l’application
t7→ (t2−1,t(t2−1)) (faire un dessin).
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2) Pour qu’une application injective et continue fd’un espace topologique Y dans une vari´et´e
diff´erentielle X induise un hom´eomorphisme de Y sur une partie ferm´ee de X , il faut et il suffit que
l’image r´eciproque par fde toute partie compacte de X soit une partie compacte de Y .
3) Pour qu’un morphisme de vari´et´es f: Y →X soit une immersion en un point a, il faut et il
suffit qu’il existe un voisinage ouvert V de adans Y tel que f|V soit un plongement de V dans X .
§3. Submersions
1. Submersions
Soient X et Y des vari´et´es diff´erentielles et f: X →Y un morphisme de vari´et´es.
On dit que fest une submersion en un point ade X s’il existe une carte (U, ϕ, E) de
X en a, une carte (V, ψ, F) de Y en f(a) et une application lin´eaire surjective u: E →F
telles que f(U) ⊂V et uϕ(x)=ψf(x)pour tout x∈U .
L’ensemble des points de X en lesquels fest une submersion est une partie ouverte
de X . On dit que fest une submersion si elle est une submersion en tout point de X .
Une submersion est une application ouverte.
Remarques. — 1) Soient Y et Z des vari´et´es diff´erentielles. La projection pr1: Y ×Z→Y est
une submersion. Par suite, si g: X →Y×Z est un morphisme de vari´et´es qui est ´etale en un point a
de X , pr1◦g: X →Y est une submersion en a.
2) Soit f: X →Y une submersion en a. Il existe un voisinage ouvert X0de adans X , un
voisinage ouvert Y0de f(a) dans Y , une vari´et´e diff´erentielle Z et un diff´eomorphisme gde X0sur
Y0×Z tels que f(x) = pr1g(x)pour x∈X0.
Soit f: X →Y une submersion. Soit Y0une sous-vari´et´e de Y . Alors X0=f−1(Y0)
est une sous-vari´et´e de X . Pour tout a∈X0, Ta(X0) est l’image r´eciproque par Ta(f) de
Tf(a)(Y0) . L’application X0→Y0induite par fest une submersion. En particulier, pour
tout b∈Y , f−1(b) est une sous-vari´et´e de X et, pour tout a∈f−1(b) , l’espace tangent
`a f−1(b) en aest le noyau de l’application lin´eaire Ta(f) .
Remarque 3. — Soient Y et Z des vari´et´es diff´erentielles, f: X →Y un morphisme de vari´et´es
et aun point de Y . Si fn’est pas une submersion, il se peut que f−1(a) ne soit pas une sous-vari´et´e
de X .
Exemple. — Soient B , X et Y des vari´et´es diff´erentielles, f: X →B et g: Y →B des
morphismes de vari´et´es. On appelle produit fibr´e de Xet Yau-dessus de B l’ensemble X ×BY des
couples (x,y)∈X×Y tels que f(x) = g(y) . Si fou gest une submersion, X×BY est une sous-vari´et´e
de X ×Y et, pour tout (x,y)∈X×BY , l’espace tangent `a X ×BY en (x; y) s’identifie `a l’ensemble
des couples (u,v)∈Tx(X) ×Ty(Y) tels que Tx(f)(u) = Ty(g)(v) .
En effet, supposons par exemple que gsoit une submersion. Alors IdX×g: X ×Y→X×B est
une submersion, et X ×BY est l’image r´eciproque par cette submersion du graphe de f, qui est une
sous-vari´et´e de X ×B , d’o`u le r´esultat. On notera que la premi`ere projection X ×BY→X est dans ce
cas une submersion.
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