Cours Chapitre 16

Cours de mathématiques
ECE 1ère année
Chapitre 16
Variables aléatoires
Adrien Fontaine
Année scolaire 2017–2018

Cours de mathématiques ECE1
1. Généralités sur les variables aléatoires
Dans toute cette section, (Ω,T,P)désigne un espace probabilisé.
1.1. Définitions et exemples
Définition 1 :
Une variable aléatoire Xsur (Ω,T,P)est une application X: Ω −→ R, telle que, pour
tout réel x,
{ω∈Ω ; X(ω)6x} ∈ T .
On appelle support de X, et on note X(Ω), l’ensemble des valeurs prises par X.
Remarque : On rappelle que la tribu désigne l’ensemble des ensembles dont on peut
calculer la probabilité. La condition imposée à Xpermet simplement de pouvoir calculer
la probabilité de plusieurs ensembles, du type {ω∈Ω ; X(ω) = x}. Sans cette dondition,
les ensembles qu’on manipule ne sont a priori pas dans la tribu T, et on ne peut donc
pas a priori calculer leur probabilité.
Exemple : Tout au long de ce chapitre, on s’appuiera sur les deux exemples suivants pour
illustrer les différentes notions rencontrées.
1. Un sac contient 5 jetons numérotés de 1à5. Pour jouer une partie, on doit miser
1e. On tire au hasard un jeton. Si on a le numéro 1, on gagne 4 e, si on a un
numéro pair on reçoit 2 eet rien sinon. On note Xle gain (algébrique). Xest une
variable aléatoire et X(Ω) = {−1; 1; 3}.
2. On lance un dé équilibré et on note Xle nombre de lancers nécéssaires pour
obtenir 6. Xest une variable aléatoire et X(Ω) = N∗(il faut au moins un lancer
pour obtenir 6).
1.2. Évènements associés à une variable aléatoire
Définition 2 :
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,T,P)et x∈R. On note
[X=x] = {ω∈Ω, X(ω) = x}
[X < x] = {ω∈Ω, X(ω)< x}
[X6x] = {ω∈Ω, X(ω)6x}
[X > x] = {ω∈Ω, X(ω)> x}
[X>x] = {ω∈Ω, X(ω)>x}
Si xet ysont deux réels tels que x < y alors on note
[x6X6y] = {ω∈Ω ; x6X(ω)6y}
Plus généralement, si Idésigne une partie de R, on note :
[X∈I] = {ω∈Ω ; X(ω)∈I}.
Remarque : Ces différents ensembles sont dans la tribu Tpar construction de X.
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Exemple : Calculer P([X= 1]) et P([X62]) dans les deux exemples de la partie 1.1.
Proposition 1 :
Soit Xune variable aléatoire définie sur (Ω,T,P). Alors,
{[X=x] ; x∈X(Ω)}
forme un système complet d’évènements. En particulier, on a :
X
x∈X(Ω)
P([X=x]) = 1 .
Remarque :
•Lorsque X(Ω) est fini, la somme précédente est une somme finie. En effet, dans ce
cas,
X(Ω) = {x1;x2;··· ;xn},
et donc n
X
k=1
P([X=xk]) = 1 .
•Lorsque X(Ω) est dénombrable, la somme précédente est la somme d’une série
convergente. En effet, dans ce cas,
X(Ω) = {xk;k∈N},
et donc +∞
X
k=0
P([X=xk]) = 1 .
•Dans toute la suite, on convient d’alléger la notation P([X=x]) en P(X=x), et
de même pour les autres ensembles.
Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. {[X=−1] ; [X= 1] ; [X= 3]}forme un système complet d’évènements.
2. {[X=k] ; k∈N∗}forme un système complet d’évènements.
1.3. Fonction de répartition d’une variable aléatoire
Définition 3 :
Soit Xune variable aléatoire définie sur (Ω,T,P). On appelle fonction de répartition de
la variable aléatoire X, et on note FXla fonction définie sur Rpar :
FX:R→[0; 1]
x7→ P(X6x), .
Exemple : Calculer la fonction de répartition de Xdans les deux exemples de la partie
1.1.
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Proposition 2 :
Soit Xune variable aléatoire définie sur (Ω,T,P)et soit FXsa fonction de répartition. Alors :
•FXest croissante sur R.
•FXest continue à droite en tout xde R.
•lim
x→−∞ FX(x) = 0 et lim x→+∞FX(x) = 1.
Corollaire 1 :
FXest continue en xsi et seulement si P(X=x) = 0.
2. Variables aléatoires discrètes
2.1. Définition
Définition 4 :
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,T,P). On dit que :
•Xest une variable aléatoire discrète si son support X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.
•Xest une variable aléatoire discrète finie si son support X(Ω) est un ensemble
fini.
•Xest une variable aléatoire discrète infinie si son support X(Ω) est un ensemble
dénombrable.
Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. On a vu que X(Ω) = {−1; 1; 3}. Ainsi, Xest une variable aléatoire discrète finie.
2. On a vu que X(Ω) = N∗. Ainsi, Xest une variable aléatoire discrète infinie.
Proposition 3 :
Soient Xet Ydeux variables aléatoires discrètes définies sur (Ω,T,P), et soit λ∈R. Alors,
les variables aléatoires X+Y,XY ,λX,max(X, Y )et min(X, Y )sont des variables aléatoires
discrètes.
Exemple : On lance deux fois de suites un dé non truqué et on note Xle premier numéro
obtenu, et Yle second numéro obtenu. On a X(Ω) = Y(Ω) = J1; 6K. Alors :
•X+Yest la somme des deux nombres obtenus. C’est une variable aléatoire discrète,
et (X+Y)(Ω) = J2; 12K.
•max(X, Y )est le maximum des deux nombres obtenus. C’est une variable aléatoire
discrète et max(X, Y )(Ω) = J1; 6K.
2.2. Loi d’une variable aléatoire discrète
Définition 5 :
Soit Xune variable aléatoire sur (Ω,T,P). On appelle loi de la variable aléatoire X, la donnée
des P(X=x)pour tout réel x.
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Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
•On donne l’ensemble des valeurs X(Ω) des valeurs prises par X.
•On calcule P(X=x)pour tout x∈X(Ω).
Lorsque X(Ω) est fini, on résume souvent la loi sous la forme d’un tableau avec, sur la 1ère
ligne, les valeurs prises par X, et sur la 2ème ligne les probabilité correspondantes.
Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. La loi de la variable aléatoire Xest donnée par :
P(X=−1) = 2
5,P(X= 1) = 2 5,P(X= 3) = 1 5.
Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant :
x−1 1 3 Total
P(X=x)2
5
2
5
1
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2. La loi de la variable aléatoire Xest donnée par :
∀k∈N∗,P(X=k) = 5
6k−1
×1
6.
On peut vérifier au passage que :
+∞
X
k=1
P(X=k) = 1 .
Théorème 1 :
•Considérons nréels x1,··· , xnet nréels positifs p1,··· , pntels que
n
X
k=1
pk= 1.
Alors, il existe un espace probabilisé (Ω,T,P)et une variable aléatoire discrète Xtelle
que X(Ω) = {x1;··· ;xn}et :
∀i∈J1; nK,P(X=xi) = pi.
•Considérons (Xn)n∈Nune suite de réels et (pn)n∈Nune suite de réels positifs telles que
+∞
X
k=0
pk= 1.
Alors, il existe un espace probabilisé (Ω,T,P)et une variable aléatoire discrète Xtelle
que X(Ω) = {xk;k∈N}et :
∀i∈N,P(X=xi) = pi.
Exercice résolu 1 :
Montrer que l’on définit bien la loi de probabilité d’une variable aléatoire Xen posant :
X(Ω) = 3k;k∈Net ∀k∈N,P(X= 3k) = 2
3k+1 .
Solution : Il s’agit d’appliquer le deuxième point du théorème ci-dessus dans le cas
où :
∀k∈N, xk= 3ket pk=2
3k+1 .
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