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Cours Chapitre 16

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Cours de mathématiques
ECE 1ère année
Chapitre 16
Variables aléatoires
Adrien Fontaine
Année scolaire 2017–2018
Cours de mathématiques
ECE1
1. Généralités sur les variables aléatoires
Dans toute cette section, (Ω, T , P) désigne un espace probabilisé.
1.1. Définitions et exemples
Définition 1 :
Une variable aléatoire X sur (Ω, T , P) est une application X : Ω −→ R, telle que, pour
tout réel x,
{ω ∈ Ω ; X(ω) 6 x} ∈ T .
On appelle support de X, et on note X(Ω), l’ensemble des valeurs prises par X.
Remarque : On rappelle que la tribu désigne l’ensemble des ensembles dont on peut
calculer la probabilité. La condition imposée à X permet simplement de pouvoir calculer
la probabilité de plusieurs ensembles, du type {ω ∈ Ω ; X(ω) = x}. Sans cette dondition,
les ensembles qu’on manipule ne sont a priori pas dans la tribu T , et on ne peut donc
pas a priori calculer leur probabilité.
Exemple : Tout au long de ce chapitre, on s’appuiera sur les deux exemples suivants pour
illustrer les différentes notions rencontrées.
1. Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. Pour jouer une partie, on doit miser
1 e. On tire au hasard un jeton. Si on a le numéro 1, on gagne 4 e, si on a un
numéro pair on reçoit 2 e et rien sinon. On note X le gain (algébrique). X est une
variable aléatoire et X(Ω) = {−1; 1; 3}.
2. On lance un dé équilibré et on note X le nombre de lancers nécéssaires pour
obtenir 6. X est une variable aléatoire et X(Ω) = N∗ (il faut au moins un lancer
pour obtenir 6).
1.2. Évènements associés à une variable aléatoire
Définition 2 :
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, T , P) et x ∈ R. On note
[X = x] = {ω ∈ Ω , X(ω) = x}
[X < x] = {ω ∈ Ω , X(ω) < x}
[X 6 x] = {ω ∈ Ω , X(ω) 6 x}
[X > x] = {ω ∈ Ω , X(ω) > x}
[X > x] = {ω ∈ Ω , X(ω) > x}
Si x et y sont deux réels tels que x < y alors on note
[x 6 X 6 y] = {ω ∈ Ω ; x 6 X(ω) 6 y}
Plus généralement, si I désigne une partie de R, on note :
[X ∈ I] = {ω ∈ Ω ; X(ω) ∈ I} .
Remarque : Ces différents ensembles sont dans la tribu T par construction de X.
2
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ECE1
Exemple : Calculer P([X = 1]) et P ([X 6 2]) dans les deux exemples de la partie 1.1.
Proposition 1 :
Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, T , P). Alors,
{[X = x] ; x ∈ X(Ω)}
forme un système complet d’évènements. En particulier, on a :
X
P([X = x]) = 1 .
x∈X(Ω)
Remarque :
• Lorsque X(Ω) est fini, la somme précédente est une somme finie. En effet, dans ce
cas,
X(Ω) = {x1 ; x2 ; · · · ; xn } ,
et donc
n
X
P([X = xk ]) = 1 .
k=1
• Lorsque X(Ω) est dénombrable, la somme précédente est la somme d’une série
convergente. En effet, dans ce cas,
X(Ω) = {xk ; k ∈ N} ,
et donc
+∞
X
P ([X = xk ]) = 1 .
k=0
• Dans toute la suite, on convient d’alléger la notation P([X = x]) en P(X = x), et
de même pour les autres ensembles.
Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. {[X = −1] ; [X = 1] ; [X = 3]} forme un système complet d’évènements.
2. {[X = k] ; k ∈ N∗ } forme un système complet d’évènements.
1.3. Fonction de répartition d’une variable aléatoire
Définition 3 :
Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, T , P). On appelle fonction de répartition de
la variable aléatoire X, et on note FX la fonction définie sur R par :
FX
: R →
[0; 1]
,.
x 7→ P(X 6 x)
Exemple : Calculer la fonction de répartition de X dans les deux exemples de la partie
1.1.
3
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ECE1
Proposition 2 :
Soit X
•
•
•
une variable aléatoire définie sur (Ω, T , P) et soit FX sa fonction de répartition. Alors :
FX est croissante sur R.
FX est continue à droite en tout x de R.
lim FX (x) = 0 et lim FX (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
Corollaire 1 :
FX est continue en x si et seulement si P(X = x) = 0.
2. Variables aléatoires discrètes
2.1. Définition
Définition 4 :
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, T , P). On dit que :
• X est une variable aléatoire discrète si son support X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.
• X est une variable aléatoire discrète finie si son support X(Ω) est un ensemble
fini.
• X est une variable aléatoire discrète infinie si son support X(Ω) est un ensemble
dénombrable.
Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. On a vu que X(Ω) = {−1; 1; 3}. Ainsi, X est une variable aléatoire discrète finie.
2. On a vu que X(Ω) = N∗ . Ainsi, X est une variable aléatoire discrète infinie.
Proposition 3 :
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur (Ω, T , P), et soit λ ∈ R. Alors,
les variables aléatoires X + Y , XY , λX, max(X, Y ) et min(X, Y ) sont des variables aléatoires
discrètes.
Exemple : On lance deux fois de suites un dé non truqué et on note X le premier numéro
obtenu, et Y le second numéro obtenu. On a X(Ω) = Y (Ω) = J1; 6K. Alors :
• X +Y est la somme des deux nombres obtenus. C’est une variable aléatoire discrète,
et (X + Y )(Ω) = J2; 12K.
• max(X, Y ) est le maximum des deux nombres obtenus. C’est une variable aléatoire
discrète et max(X, Y )(Ω) = J1; 6K.
2.2. Loi d’une variable aléatoire discrète
Définition 5 :
Soit X une variable aléatoire sur (Ω, T , P). On appelle loi de la variable aléatoire X, la donnée
des P(X = x) pour tout réel x.
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Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
• On donne l’ensemble des valeurs X(Ω) des valeurs prises par X.
• On calcule P(X = x) pour tout x ∈ X(Ω).
Lorsque X(Ω) est fini, on résume souvent la loi sous la forme d’un tableau avec, sur la 1ère
ligne, les valeurs prises par X, et sur la 2ème ligne les probabilité correspondantes.
Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. La loi de la variable aléatoire X est donnée par :
2
1
2
P(X = 1) = ,
P(X = 3) = .
P(X = −1) = ,
5
5
5
Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant :
x
−1 1 3 Total
2
1
P(X = x) 25
1
5
5
2. La loi de la variable aléatoire X est donnée par :
k−1
1
5
∗
× .
∀k ∈ N ,
P(X = k) =
6
6
On peut vérifier au passage que :
+∞
X
P(X = k) = 1 .
k=1
Théorème 1 :
• Considérons n réels x1 , · · · , xn et n réels positifs p1 , · · · , pn tels que
n
X
pk = 1.
k=1
Alors, il existe un espace probabilisé (Ω, T , P) et une variable aléatoire discrète X telle
que X(Ω) = {x1 ; · · · ; xn } et :
∀i ∈ J1; nK ,
P(X = xi ) = pi .
• Considérons (Xn )n∈N une suite de réels et (pn )n∈N une suite de réels positifs telles que
+∞
X
pk = 1.
k=0
Alors, il existe un espace probabilisé (Ω, T , P) et une variable aléatoire discrète X telle
que X(Ω) = {xk ; k ∈ N} et :
∀i ∈ N ,
P(X = xi ) = pi .
Exercice résolu 1 :
Montrer que l’on définit bien la loi de probabilité d’une variable aléatoire X en posant :
X(Ω) = 3k ; k ∈ N
et
∀k ∈ N ,
P(X = 3k ) =
2
3k+1
.
Solution : Il s’agit d’appliquer le deuxième point du théorème ci-dessus dans le cas
où :
2
∀k ∈ N ,
xk = 3k et pk = k+1 .
3
5
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ECE1
Suite de la solution :
Il suffit donc ici de vérifier que :
+∞
X
2
= 1.
3k+1
k=0
On calcule donc la somme partielle :
n
n
n
X
X
1
2
2X 1
=
2
=
.
k+1
k+1
k
3
3
3
3
k=0
k=0
k=0
On reconnaît la somme partielle d’une série géométrique. Ainsi,
n
X
1
1
=
lim
k
n→+∞
3
1−
k=0
Donc, la série
1
3
=
3
.
2
X 2
converge et
n+1
3
n>0
+∞
X
2
2 3
= × = 1.
k+1
3
3 2
k=0
Le théorème s’applique donc : il existe un espace probabilisé (Ω, T , P) et une variable
aléatoire discrète X telle que X(Ω) = 3k ; k ∈ N et
∀k ∈ N ,
P(X = 3k ) =
2
3k+1
.
Autrement dit, on définit bien la loi de probabilité d’une variable aléatoire X en posant :
X(Ω) = 3k ; k ∈ N
et
∀k ∈ N ,
P(X = 3k ) =
2
3k+1
.
2.3. Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète
Proposition 4 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; · · · }
avec x1 < x2 < · · · . Alors :

0
si
x < x1

FX (x) =
P(X = x1 ) + · · · + P(X = xk ) si xk 6 x < xk+1 .

1
si x > maxi∈N xi
En particulier, FX est constante sur [xk ; xk+1 [.
6
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Exemple : On reprend les deux exemples de la partie 1.1.
1. On a vu que X(Ω) = {−1; 1; 3}. Dès lors,
• Si x < −1, alors FX (x) = 0.
2
• Si −1 6 x < 1, alors FX (x) = P(X = −1) = .
5
4
2 2
• Si 1 6 x < 3, alors FX (x) = P(X = −1) + P(X = 1) = + = .
5 5
5
• Si x > 3, alors FX (x) = 1.
Ce que l’on peut résumer par

0 si
x < −1


 2
si −1 6 x < 1
5
FX (x) =
.
4
si
16x<3


 5
1 si
x>3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. On a vu que X(Ω) = N∗ . Dès lors,
• Si x < 1, alors FX (x) = 0.
• Pour tout k ∈ N∗ , si k 6 x < k + 1, alors :
FX (x) =
k
X
P(X = j) =
j=1
k j−1
X
5
j=1
6
1
× =1−
6
k
5
.
6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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Proposition 5 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P). On suppose
que X(Ω) ⊆ Z. Alors :
∀k ∈ X(Ω) ,
P(X = k) = FX (k) − FX (k − 1) .
Remarque : La fonction de répartition d’une variable aléatoire X détermine parfaitement
la loi de X. Autrement dit, si deux variables aléatoires ont la même fonction de répartition
alors elles suivent la même loi.
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Cours de mathématiques
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Exemple : Un sac contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire deux boules avec remise :
on note X1 le numéro de la première boule et X2 le numéro de la deuxième boule. On
note Y le plus grand des deux nombres : Y = max(X1 , X2 ).
Déterminer la loi de Y .
2.4. Transformée d’une variable aléatoire discrète
Définition 6 :
Soit X une variable aléatoire discrètes définie sur (Ω, T , P). Soit g une application de X(Ω)
dans R. Alors, l’application Y définie sur Ω par Y (ω) = g(X(ω)) est une variable aléatoire
discrète que l’on note g(X).
Exemple :
1. Soit X une variable aléatoire discrète telle que : X(Ω) = {−1; 0; 1}.
Soit g la fonction carrée : g(x) = x2 et Y = g(X) = X 2 .
Les valeurs prises par Y = X 2 sont les images par g de −1, 0 et 1, c’est-à-dire 0 et
1. Par ailleurs, on a :
[Y = 0] = [X = 0] et [Y = 1] = X 2 = 1 = [X = 1] ∪ [X = −1] .
2. On lance un dé non truqué et non note X le numéro obtenu.
Soit g la fonction définie par g(x) = 2x + 3 et Y = g(X) = 2X + 3.
Les valeurs prises par Y = 2X + 3 sont les images par g des valeurs prises par X,
c’est-à-dire 5, 7, 9, 11, 13 et 15. Par ailleurs, on a :
[Y = 7] = [2X + 3 = 7] = [X = 2] , etc .
[Y = 5] = [2X + 3 = 5] = [X = 1] ,
Théorème 2 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). Soit g une application de X(Ω)
dans R. On note Y = g(X), ainsi que X(Ω) = {xi ; i ∈ I} avec I ⊆ N et Y (Ω) = {yj ; j ∈ J}
avec J ⊆ N. Alors, pour tout y dans Y (Ω) :
X
P(Y = y) = P(g(X) = y) =
P(X = xi ) .
xi ∈X(Ω)g(xi )=y
Exemple :
1. Soit X une variable aléatoire discrète telle que : X(Ω) = {−1; 0; 1}. On suppose
par ailleurs que :
P(X = −1) =
1
,
8
P(X = 0) =
1
,
2
et P(X = 1) =
3
.
8
Soit g la fonction carrée : g(x) = x2 et Y = g(X) = X 2 . Déterminer la loi de Y .
2. On lance un dé non truqué et non note X le numéro obtenu.
Soit g la fonction définie par g(x) = 2x + 3 et Y = g(X) = 2X + 3.
Déterminer la loi de Y .
8
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3. Moments d’une variable aléatoire discrète
3.1. Espérance
Définition 7 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P).
• Si X est une variable aléatoire discrète finie, avec X(Ω) = {x1 ; · · · ; xn }, alors X admet
une espérance, notée E(X), définie par :
E(X) =
n
X
xi P(X = xi ) .
i=1
• Si X est une variable aléatoire discrète infinie, avec X(Ω) {xk ; k ∈ N}, et si la série
de terme général xn P(xn ) est absolument convergente, alors on dit que X admet une
espérance, notée E(X), et définie par :
E(X) =
+∞
X
xk P(X = xk ) .
k=0
Remarque : L’espérance s’interprête comme une moyenne.
Exemple : Montrer que la variable aléatoire X, des deux exemples de la partie 1.1, admet
une espérance et la calculer.
Proposition 6 : Linéarité
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur (Ω, T , P) et admettant une
espérance. Soit a et b ∈ R. Alors, X + Y et aX + b admettent une espérance et :
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
et
E(aX + b) = aE(X) + b .
Exemple : On lance un dé non truqué et on note X le numéro obtenu. Soit g la fonction
définie par g(x) = 2x + 3 et Y = g(X) = 2X + 3.
Alors X(Ω) = J1; 6K et le dé étant non truqué, on est en situation d’équiprobabilité :
1
∀k ∈ J1; 6K , P(X = k) = .
6
X(Ω) est fini, donc X admet une espérance et
6
X
6
1X
7
E(X) =
kP(X = k) =
k= .
6 k=1
2
k=1
Y = 2X + 3 est aussi une variable finie, elle admet un espérance et
E(Y ) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 7 + 3 = 10 .
Proposition 7 : Positivité
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P) et admettant une espérance. Si pour
tout ω ∈ Ω, on a X(ω) > 0 alors E(X) > 0.
9
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Corollaire 2 : Croissance
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur (Ω, T , P) et admettant une
espérance. Si pour tout ω ∈ Ω, on a X(ω) 6 Y (ω) alors E(X) 6 E(Y ).
Théorème 3 : de transfert
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P). On note
X(Ω) = {xi ; i ∈ I} avec I ⊆ N. Soit g une application de X(Ω) dans R. Alors, la variable
aléatoire g(X) admet une espérance, si et seulement si, la série de terme général g(xn )P(X =
xn ) est absolument convergente. Dans ce cas, on a alors :
X
E(g(X)) =
g(xi )P(X = xi ) .
i∈I
Remarque :
• Si X est une variable aléatoire discrète finie, alors I est finie, donc l’espérance de
g(X) existe et la somme intervenant dans sa définition est une somme finie.
• Le théorème de transfert montre que pour calculer l’espérance de g(X), il est inutile
de déterminer la loi de g(X) : il suffit de connaître la loi de X.
Exercice résolu 2 :
On lance une pièce de monnaie non truquée jusqu’à obtenir pour la première fois « Pile ».
On note X le nombre de lancers effectués, et soit Y = X 2 . Justifier que Y admet une
espérance et la calculer.
k
1
∗
∗
. Pour appliquer
Solution : On a X(Ω) = N et pour tout k ∈ N , P(X = k) =
2
X
n2 P(X = n) est convergente.
le théorème de transfert, il faut justifier que la série
n>1
On calcule donc sa somme partielle :
n
X
k=1
2
k P(X = k) =
n
X
k 2 P(X = k)
k=1
n
X
k
1
k
=
2
k=1
2
k
k X
n
1
1
k(k − 1)
k
=
+
2
2
k=1
k=1
k
k X
n
n
X
1
1
k
k(k − 1)
+
=
2
2
k=1
k=2
k−1
n
n
k−2
1
1
1X
1X
k(k − 1)
k
=
+
4
2
2
2
n
X
k=2
k=1
On reconnaît les sommes partielles des séries géométriques dérivées premières et se1
condes de raison .
2
10
Cours de mathématiques
ECE1
Suite de la solution :
Donc,
n
X
k−2
1
2
k(k−1)
lim
=
1 3 = 16
n→+∞
2
)
(1
−
2
k=2
Donc, la série
X
k−1
n
X
1
1
=
k
lim
1 2 = 4.
n→+∞
2
)
(1
−
2
k=1
et
n2 P(X = n) converge et
n>1
+∞
X
k 2 P(X = k) =
k=1
1
1
× 16 + × 4 = 6 .
4
2
Ainsi, le théorème de transfert s’applique. Y admet une espérance et E(Y ) = 8.
3.2. Moments d’ordre r
Définition 8 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). On dit que X admet un moment
d’ordre r (avec r ∈ N∗ lorsque E(X r ) existe. On note alors mr (X) = E(X r ).
Remarque :
• Une variable aléatoire discrète finie admet des moments de tous ordres et par le
théorème de transfert :
mr (X) =
n
X
(xi )r P(X = xi )
avec X(Ω) {x1 ; · · · ; xn } .
i=1
• Une variable aléatoire discrète infinie admet un moment d’ordre r lorsque la série
de terme général (xn )r P(X = xn ) est absolument convergente et dans ce cas :
mr (X) =
+∞
X
(X − k)r P(X = xk )
avec X(Ω) {xk ; k ∈ N} .
k=0
Exemple :
1. On lance un dé équilibré à 6 faces et on note X le numéro obtenu . Alors, X(Ω) =
1
J1; 6K et pour tout k ∈ J1; 6K, P(X = k) = .
2
X est une variable aléatoire discrète finie, donc elle admet des moments de tous
ordre. Elle admet par exemple un moment d’ordre 2, et
6
X
6
X
6
1
1 X 2 91
k =
m2 (X) =
k P(X = k) =
k × =
.
2
2
2
k=1
k=1
k=1
2
2
2. Dans l’exercice résolu précédent, la variable aléatoire X admettait un moment
d’ordre 2 et
m2 (X) = 8 .
11
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Proposition 8 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). Si X admet un moment d’ordre r,
alors X admet des moments d’ordre s pour tout s 6 r.
Remarque : La contraposée de ce résultat est que si X n’admet pas de moment d’ordre r
alors elle n’admet pas de moment d’ordre supérieur à r. En particulier, si X n’admet pas
d’espérance, alors elle n’admet pas de moment d’ordre 2.
3.3. Variance
Définition 9 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P).
• Si X est une variable aléatoire discrète finie avec X(Ω) = {x1 ; x2 ; · · · ; xn }, alors X
admet une variance, notée V(X), et définie par :
V(X) =
n
X
(xi − E(X))2 P(X = xi ) .
i=1
• Si X est une variable aléatoire discrète infinie, avec X(Ω) = {xk ; k ∈ N} et si la série
de terme général (xn − E(X))2 P(X = xn ) est absolument convergente, alors on dit
que X admet une variance, notée V(X) et définie par :
V(X) =
+∞
X
(xk − E(X))2 P(X = xk ) .
k=0
Remarque :
X
• La série
(xn − E(X))2 P(X = xn ) étant à termes positifs, elle est absolument
n>0
convergente, si et seulement si, elle est convergente.
• Sous réserve d’existence, on a V(X) = E (X − E(X))2 ).
• La variance, si elle existe, est un réel positif ou nul.
• La variance mesure la dispersion de la variable aléatoire par rapport à son espérance.
Exemple : Montrer que la variable aléatoire X, des deux exemples de la partie 1.1, admet
une variance et la calculer.
Théorème 4 : Formule de König-Huygens
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). X admet une variance, si et seulement si, X admet un moment d’ordre 2, et dans ce cas :
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
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Méthode 2 : Répondre à la question « X admet-elle une variance ? Si oui, la calculer. »
• Si X n’admet pas d’espérance, alors elle n’admet pas de variance.
• Si X admet une espérance, il faut regarder si E(X 2 ) existe (grâce au théorème de
transfert).
⋄ Si non, alors X n’admet pas de variance.
⋄ Si oui, alors on utilise la formule de König-Huygens
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 ,
pour la calculer.
Exercice résolu 3 :
On lance une pièce de monnaie non truquée jusqu’à obtenir pour la première fois « Pile ».
On note X le nombre de lancers effectués. Justifier que X admet une variance et la
calcumer.
Solution : Commençons par montrer que X admet une espérance et calculons E(X).
On a (voir l’exercice résolu 2) :
k
1
.
X(Ω) = N
et
∀k ∈ N , P(X = k) =
2
X
Pour montrer que E(x) existe, il faut montrer que la série
|nP(X = n)| est conver∗
n>1
gente. On étudie donc sa somme partielle :
n
X
|kP(X = k)| =
n
X
kP(X = k)
k=1
k=1
k
n
X
1
k
=
2
k=1
k−1
n
1
1X
k
=
.
2 k=1
2
On reconnaît la somme partielle d’une série géométrique dérivée première. Donc,
k−1
n
X
1
1
lim
k
=
1 2 = 4.
n→+∞
2
)
(1
−
2
k=1
Donc, la série
X
|nP(X = n)| converge et
n>1
+∞
X
|kP(X = k)| =
k=1
1
×4 = 2.
2
Autrement dit, X admet une espérance et E(X) = 2.
13
Cours de mathématiques
ECE1
Suite de la solution :
Intéressons nous maintenant à l’existence de E(X 2 ). On a déjà vu (à l’exercice résolu
2) que X admet un moment d’ordre 2 et que E(X 2 ) = 6. Dès lors, la variance existe,
et d’après la formule de König-Huygens,
V(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 6 − 22 = 2 .
Proposition 9 :
Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre 2 et soient a et b dans
R. Alors :
V(aX + b) = a2 V(X) .
En particulier,
V(X + b) = V(X) .
Remarque : Contrairement à l’espérance, la variance n’est pas linéaire.
Exemple : On lance un dé non truqué et on note X le numéro obtenu. Soit Y = 2X + 3.
Calculer la variance de X puis celle de Y .
Définition 10 :
Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre 2. On appelle écart-type
de X, et on note σ(X) le réel :
p
σ(X) = V(X) .
3.4. Variable centrée réduite
Définition 11 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P).
• On dit que X est centrée lorsque X admet une espérance et que E(X) = 0.
• On dit que X est réduite lorsque X admet une variance et que V(X) = 1.
Proposition 10 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). On suppose que X admet une
espérance. Alors, Y = X − E(X) est une variable aléatoire centrée.
Proposition 11 :
Soit X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω, T , P). On suppose que X admet une
variance, et que cette variance est non nulle. Alors, la variable aléatoire
X∗ =
X − E(X)
,
σ(X)
est une variable centrée réduite. On l’appelle la variable aléatoire centrée réduite associée
à X.
14
Cours de mathématiques
ECE1
4. Lois discrètes usuelles
4.1. Lois discrètes finies
4.1.1
Loi uniforme
Définition 12 :
Soit (a, b) ∈ Z2 avec a < b. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur Ja; bK lorsque
X(Ω)Ja; bK et que :
1
∀k ∈ Ja; bK ,
P(X = k) =
.
b−a+1
On note :
X ֒→ U (Ja; bK).
Exemple : Deux exemples classiques :
1. On lance un dé non truqué et on note X le numéro obtenu. On a X ֒→ U(J1; 6K)
1
car X(Ω) = J1; 6K et pour tout k ∈ J1; 6K, P(X = k) = .
6
2. On tire au hasard une boule dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à
n, et on note X le numéro obtenu. On a X ֒→ U(J1; nK) car X(Ω) = J1; nK et pour
1
tout k ∈ J1; nK, P(X = k) = .
n
Proposition 12 :
Soit n ∈ N∗ . Si X ֒→ U (J1; nK) alors X admet une espérance et une variance et :
E(X) =
n+1
2
et
V(X) =
n2 − 1
.
12
Proposition 13 :
Soit (a; b) ∈ Z2 avec a < b. Si X ֒→ U (Ja; bK) alors X − a + 1 ֒→ U (J1; b − a + 1K) et donc :
E(X) =
4.1.2
a+b
2
et
V(X) =
(b − a + 1)2 − 1
.
12
Loi de Bernoulli
Définition 13 :
Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0; 1[ lorsque X(Ω) =
{0; 1} et :
P(X = 0) = 1 − p
et
P(X = 1) = p .
On note :
X ֒→ B(p).
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire qui comporte exactement deux issues :
une que l’on qualifie de « succès » de probabilité p et l’autre que l’on qualifie « d’échec »
de probabilité 1 − p. On réalise une fois cette épreuve de Bernoulli et si l’issue est un
15
Cours de mathématiques
ECE1
« succès », la variable aléatoire prend la valeur X = 1, et sinon X = 0.
Exemple : On lance une pièce équilibré et on note X la variable
aléatoire qui prend la
1
.
valeur 1 si le résultat est « Pile » et 0 sinon. Alors, X ֒→ B
2
Proposition 14 :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0; 1[. Alors, X
admet une espérance et une variance et on a :
et
E(X) = p
4.1.3
V(X) = p(1 − p) .
Loi binomiale
Définition 14 :
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈]0; 1[ lorsque
X(Ω) = J0; nK et que :
n k
∀k ∈ J0; nK ,
P(X = k) =
p (1 − p)n−k .
k
On note :
X ֒→ B(n, p).
On répète n épreuves identiques de Bernoulli indépendantes. La probabilité d’obtenir un
« succès » lors de la réalisation d’une épreuve est p. La variable aléatoire qui compte le
nombre de succès obtenus une fois que les n épreuves ont été réalisées suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Exemple : On lance 10 fois de suite un dé non truqué,
et
on note X le nombre de numéros
1
.
obtenus inférieurs ou égaux à 2. Alors, X ֒→ B 10,
3
Remarque : La loi de Bernoulli est le cas particulier de la loi binomiale avec n = 1.
Proposition 15 :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈]0; 1[.
Alors X admet une espérance et une variance et on a :
et
E(X) = np
V(X) = np(1 − p) .
Théorème 5 : Formule du binôme de Newton
Soient a et b dans R et soit n ∈ N. Alors :
n
(a + b) =
n X
n
k=0
16
k
ak bn−k .
Cours de mathématiques
ECE1
4.2. Lois discrètes infinies
4.2.1
Loi géométrique
Définition 15 :
Une variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0; 1[ lorsque X(Ω) =
N∗ et :
∀k ∈ N∗ ,
P(X = k) = p(1 − p)k−1 .
On note :
X ֒→ G(p).
Exemple : On lance indéfiniment un dé non truqué. On note X le rang du lancer qui donne
1
le nombre 1 pour la première fois. Alors, X suit une loi géométrique de paramètre .
6
Remarque :
• Cet exemple est typique de la loi géométrique dont le modèle est le suivant :
⋄ On réalise une succession d’épreuves indépendantes de Bernoulli de même paramètre p.
⋄ On note X le rang de l’épreuve qui a amené le premier succès. X est considéré
comme « le temps d’attente du premier succès ».
+∞
X
• On a bien
P(X = k) = 1.
k=1
Proposition 16 :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ∈]0; 1[. Alors X
admet une espérance et une variance et on a :
E(X) =
1
p
et
V(X) =
1−p
.
p2
Exemple : On effectue une succession de tirages avec remise d’une boule dans une urne
contenant 7 boules noires et 3 boules rouges et on note Y le rang de la première boule
rouge. Reconnaître la loi de Y puis déterminer l’espérance et la variance de Y .
4.2.2
Loi de Poisson
Définition 16 :
Soit λ un réel strictement positif. Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de
paramètre λ lorsque X(Ω) = N et :
∀k ∈ N ,
On note :
P(X = k) =
X ֒→ P(λ) .
17
λk −λ
e .
k!
Cours de mathématiques
ECE1
Remarque :
• La loi de Poisson est parfois appelée loi des évènements rares. Elle sert par
exemple à modéliser :
⋄ le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique dans un intervalle de
temps donné ;
⋄ le nombre de véhicules franchissant un poste de péage dans un intervalle de
temps donné ;
⋄ le nombre de clients se présentant dans un magasin dans un intervalle de temps
donné ;
⋄ le nombre de fautes de frappe dans les pages d’un cours de maths , etc.
+∞
X
P(X = k) = 1.
• On a bien
k=0
Proposition 17 :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Alors X admet
une espérance et une variance et on a :
E(X) = λ
et V(X) = λ .
Théorème 6 :
Soit λ > 0. Pour n ∈
N∗ ,
λ
. Alors pour tout k dans N, on a :
on considère Xn ֒→ B n,
n
lim P(Xn = k) = P(X = k) ,
n→+∞
où X est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
Remarque : En pratique, si n > 30, si p 6 0, 1 et si np 6 5, alors la loi B(n, p) est proche
de la loi P(np).
Exemple : Suite à une vaccination contre le paludisme, dans une population à risque, on
estime à 2%, compte tenu du délai d’immunisation, la proportion de personnes qui seront
pourtant atteintes de la maladie. Quelle est la probabilité de constater, lors d’un contrôle
d’un village de 100 habitants tous récémment vaccinés, plus d’une personne malade ?
18
Cours de mathématiques
ECE1
5. Exercices
16.1 Le nombre de pannes journalières d’une machine est une variable aléatoire X dont
la loi de probabilité est donnée par :
x
P(X = x)
0
0, 30
1
0, 20
2
0, 15
3
0, 15
4
0, 10
5
0, 05
6 et +
0, 05
1. Quelle est la fonction de répartition de X ? En donner une représentation graphique.
2. Quelle est la probabilité que la machine ait plus de 3 pannes ?
3. Trouver x0 tel que P(X > x0 ) = 0, 5.
4. Trouver x1 tel que P(X 6 x1 ) = 0, 7.
5. Calculer E(X) en donnant à « 6 et + » la valeur moyenne 7,5.
16.2 Une urne contient 4 boules blanches et 5 boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. On prend au hasard et simultanément trois boules de l’urne. On appelle
X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors du tirage.
1. Déterminer le support de X.
2. Donner la loi de probabilité de X.
3. Calculer l’espérance et l’écart-type de X.
16.3 Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue
des tirages d’une boule avec remise jusqu’à l’obtention d’une boule noire, en rajoutant à
chaque tirage une boule blanche supplémentaire. On note X la variable aléatoire correspondant au numéro du tirage final où apparaît une boule noire, si un tel tirage existe, et
à 0 si à chaque tirage une boule blanche est obtenue.
1. Déterminer X(Ω).
2. Déterminer la loi de X.
3. Montrer que :
+∞
X
P(X = k) = 1.
k=1
16.4
1. Soit (un )n∈N∗ la suite définie par :
∀n ∈ N∗ ,
un =
1
1
−
.
n n+1
a. Montrer que la suite (un )n∈N∗ définit bien une loi de probabilité.
b. Soit X une variable aléatoire de support N∗ , dont la loi est donnée par :
∀n ∈ N∗ ,
P(X = n) = un .
X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
19
Cours de mathématiques
ECE1
2. Soit (vn )n∈N∗ la suite définie par :
∀n ∈ N∗ ,
vn =
1
1
−
.
2
n
(n + 1)2
a. Montrer que la suite (vn )n∈N∗ définit bien une loi de probabilité.
b. Soit Y une variable aléatoire de support N∗ , dont la loi est donnée par :
∀n ∈ N∗ ,
P(Y = n) = vn .
Y admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
16.5 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ telle que
∀k ∈ N∗ , P(X = k) = a3−k .
1. Déterminer a pour que l’on définisse bien une loi de probabilité.
2. X a-t-elle plus de chance de prendre des valeurs paires ou impaires ?
3. Montrer que X admet une espérance et une variance, et les calculer.
4. On pose Y = X(X − 1). Montrer que Y admet une espérance et la calculer.
16.6 Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On effectue deux tirages
successifs, en remettant à chaque fois la boule tirée.
1. Soit X1 la variable aléatoire égale au rang de tirage de la première boule blanche.
Reconnaître la loi de X1 et donner sans calculs E(X1 ) et V(X1 ).
2. Soit X2 la variable aléatoire égale au rang de tirage de la deuxième boule blanche.
Donner la loi de X2 et calculer son espérance.
3. Comparer E(X1 ) et E(X2 ). Commentaire ?
16.7
1. Pour jouer à ce jeu, on mise 0,50 euro. On lance deux dés non truqués. Si on obtient
deux nombres 1, on reçoit 2 euros. Si on obtient deux nombres identiques autres
que 1, on reçoit 1 euro et sinon on ne reçoit rien. X est la gain algébrique.
a. Déterminer la loi de X.
b. Justifier que X admet une espérance et calculer E(X).
2. On lance une pièce de monnaie non truquée jusqu’à obtenir pour la première fois
« pile ». X est égal au nombre de lancers effectués.
a. Déterminer la loi de X.
b. Justifier que X admet une espérance et calculer E(X).
16.8 Un facteur est chargé de distribuer une lettre ne comportant que l’indication du
bureau de poste dont relève le destinataire. Il essaie donc au cous de ses tournées chacun
des n destinataires possibles de la lettre. Soit X − 1 le nombre de tentatives avant de
trouver le vrai destinataire de ce courrier. On demande de calculer la loi de probabilité
de la variable aléatoire X, son espérance mathématique et sa variance dans les deux cas
suivants :
20
Cours de mathématiques
ECE1
1. Le facteur élimine les personnes auxquelles il présente la lettre et qui n’en sont pas
le vrai destinataire.
2. Le facteur oublie à chaque tournée les personnes auxquelles il a déjà présenté la
lettre sans succès.
16.9 A chaque balade à cheval qu’il effectue, la probabilité que le cavalier soit désarçonné
est égale à p.
1. Quelle est la probabilité qu’il ait fait k chutes au terme de n balades ?
2. Sachant que r chutes entraînent obligatoirement une blessure grave, quelle est la
probabilité qu’il ne sit pas blessé après ces n balades ?
16.10 On considère une pièce dont la probabilité d’avoir pile est de 0,3.
1. On lance la pièce 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 piles ?
2. On lance la pièce jusqu’à obtenir pile. Combien en moyenne effectuera-t-on de
lancer ?
16.11 Soit X ֒→ G(p). Montrer que ∀k ∈ N∗ , P(X > k) = (1 − p)k . En déduire alors que
∀(k, l) ∈ N∗ × N∗ , P(X>l) (X > k + l) = P(X > k).
On dit que la variable aléatoire est sans mémoire.
16.12 Soit X ֒→ P(λ). On pose Y =
calculer.
1
.
X+1
Montrer que Y admet une espérance et la
16.13 Sur le marché du travail de l’agglomération dunkerquoise, le nombre moyen de
changements d’emploi d’un ouvrier dans une période de 5 ans est deux. Sachant que le
nombre de changements d’emploi en 5 ans suit une loi de Poisson, calculer la probabilité
des événements suivants :
1. Probabilité qu’un travailleur ne fasse aucun changement pendant 5 ans.
2. Probabilité qu’un travailleur fasse au moins un changement.
3. Probabilité qu’il fasse plus d’un changement, mais moins de 5.
4. Probabilité qu’il fasse au plus deux changements au cours de deux périodes de 5
ans. Sous quelle hypothèse peut-on effectuer ce calcul ?
16.14 Une urne contient 2 boules blanches et n−2 boules rouges. On effectue des tirages
sans remise de cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche,
Y le nombre de boules rouges restantes à ce moment dans l’urne et Z le rang de sortie de
la deuxième boule blanche.
1. Déterminer la loi de X et son espérance.
2. Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ).
3. Trouver un lien entre Z et X et en déduire la loi de Z.
16.15 [EDHEC 2005] Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d’un
axe d’origine O. Au départ, le mobile est à l’origine. Le mobile se déplae selon la règle
suivante : s’il est sur le point d’abscisse k à l’instant n, alors à l’instant n + 1 :
• il sera sur le point d’abscisse k + 1 avec une probabilité p (0 < p < 1)
21
Cours de mathématiques
ECE1
• il sera sur le point 0 avec une probabilité 1 − p.
Pour tout n, on note Xn l’abscisse de ce point à l’instant n et l’on a donc X0 = 0.
On admet que, pour tout n ∈ N, Xn est une variable aléatoire définie sur un espace
probabilisé (Ω, A, P). Par ailleurs, on note T l’instant auquel le mobile se trouve pour la
première dois à l’origine (sans compter son positionnement au départ).
Par exemple, les abscisses successives du mobile après son départ sont 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1 alors
T = 1. Si les abscisses successives sont 1, 2, 3, 0, 0, 1 alors T = 4.
On admet que T est une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P).
1. a. Pour tout k ∈ N∗ , exprimer l’événement (T = k) en fonction d’événements
mettant en jeu certaines des variables Xi .
b. Donner la loi de Xi .
c. En déduire P(T = k) pour tout k de N∗ .
2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Xn (Ω) = [|0, n|].
b. Pour tout n de N∗ , utiliser le système complet d’événements (Xn−1 = k)06k6n−1
pour montrer que P(Xn = 0) = 1 − p.
3. a. Etablir que
∀n ∈ N, ∀k ∈ {1, 2, ..., n + 1}, P(Xn+1 = k) = pP(Xn = k − 1).
b. En déduire que ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ {0, 1, 2, .., n − 1}, P(Xn = k) = pk (1 − p). En
déduire également la valeur de P(Xn = n). Donner une explication proabiliste
de ce dernier résultat.
c. Vérifier que
n
X
P(Xn = k) = 1.
k=0
4. a. Montrer que pour tout n > 2,
n−1
X
k=1
b. En déduire que E(Xn ) =
kp
k−1
(n − 1)pn − npn−1 + 1
.
=
(1 − p)2
p(1−pn )
.
1−p
5. a. Montrer en utilisant la question 3.a. que
2
∀n ∈ N, E(Xn+1
) = p(E(Xn2 ) + 2E(Xn ) + 1).
n+1
b. Pour tout entier naturel n, on pose un = E(Xn2 ) + (2n − 1) p1−p . Montrer que
un+1 = pun +
p(1+p)
.
1−p
c. En déduire l’expression de un , puis celle de E(Xn2 ) en fonction de p et n.
d. Montrer enfin que
V(Xn ) =
p
(1 − (2n + 1)pn (1 − p) − p2n+1 ).
(1 − p)2
16.16 On dispose de trois urnes numérotées 1, 2 et 3 qui contiennent chacune deux
boules.
22
Cours de mathématiques
ECE1
• L’urne numéro 1 contient deux boules blanches.
• L’urne numéro 2 contient une boule blanche et une boule rouge.
• L’urne numéro 3 contient deux boules rouges.
L’expérience consiste à choisir une fois pour toutes une urne « au hasard », puis à y
effectuer une succession de tirages d’une boule avec remise, jusqu’à l’éventuelle apparition
d’une boule blanche.
Pour tout entier k compris entre 1 et 3, on note Uk l’évènement : « on choisit l’urne numéro
k ». Par suite, on a P(U1 ) = P(U2 ) = P(U3 ) = 31 .
On considère la variable aléatoire X égale au rang du tirage où apparaît pour la première
fois une boule blanche. On attribue à X la valeur 0 si l’on n’obtient jamais de boule
blanche.
1. a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X.
b. Justifier les résultats suivants :
PU1 ([X = 1]) = 1,
PU2 ([X = 1]) =
1
2
et
PU3 ([X = 1]) = 0.
c. En utilisant le théroème des probabilités totales, établir la relation :
1
P([X = 1]) = .
2
2. a. Justifier que, pour tout entier j supérieur ou égal à 2, on a :
PU1 ([X = j]) = 0
et
PU3 ([X = j]) = 0.
b. Calculer, pour tout entier j supérieur ou égal à 2, PU2 ([X = j]).
c. Montrer, pour tout entier j supérieur ou égal à 2, la relation :
j
1 1
P([X = j]) =
.
3 2
3. Utiliser les résultats précédents pour calculer P([X = 0]). Proposer une interprétation de ce résultat.
4. On rappelle que, pour tout réel x de ]0, 1[, on a :
+∞
X
kxk−1 =
k=1
1
.
(1 − x)2
a. Justifier l’existence de l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire
X.
b. Calculer E(X).
23
6. Table des matières
1 Généralités sur les variables aléatoires
1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Évènements associés à une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Variables aléatoires discrètes
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Loi d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . .
2.3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète
2.4 Transformée d’une variable aléatoire discrète . . . . . .
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4
4
4
6
8
3 Moments d’une variable aléatoire discrète
3.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Moments d’ordre r . . . . . . . . . . . . .
3.3 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Variable centrée réduite . . . . . . . . . .
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9
. 9
. 11
. 12
. 14
4 Lois discrètes usuelles
4.1 Lois discrètes finies . .
4.1.1 Loi uniforme . .
4.1.2 Loi de Bernoulli
4.1.3 Loi binomiale .
4.2 Lois discrètes infinies .
4.2.1 Loi géométrique
4.2.2 Loi de Poisson .
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