Devoir maison : convexité

2010-2011 MA 402
Universit´e Paul C´ezanne Calcul Diff´erentiel
Devoir maison : convexit´e
Corrig´e
Exercice 1. On dit qu’un ensemble Cde Rdest convexe s’il v´erifie
pour tous x, y ∈Cet pour tout t∈[0,1], (1 −t)x+ty ∈C.
1. (i) Montrer que tout sous-espace vectoriel de Rdest convexe.
(ii) Montrer qu’un intervalle de Rest convexe.
2. Soit Cest un ensemble convexe de Rd.
(i) On suppose que Ccontient deux boules (ouvertes) de rayon r > 0 de centres respectifs xet y.
Montrer alors que Ccontient toutes les boules de rayon r > 0 de centres (1 −t)x+ty,t∈[0,1].
(ii) En d´eduire que l’int´erieur de Cest convexe.
3. Montrer que l’adh´erence d’un ensemble convexe de Rnest aussi convexe.
Correction 1. 1. (i) Si Cest un sous-espace vectoriel de Rd, alors pour tout x, y ∈Cet pour tout
λ, µ ∈R, on a λx +µy ∈C. On peut donc prendre λ= 1 −tet µ=tavec t∈[0,1], ce qui donne la
propri´et´e de convexit´e de C.
1. (ii) Soit Iun intervalle de R; on note I= [a, b]. Soit x, y ∈Iet t∈[0,1]. Alors on a
(1 −t)a≤(1 −t)x≤(1 −t)bet ta ≤ty ≤tb
(les in´egalit´es sont conserv´ees car t≥0 et 1 −t≥0). En additionnant ces deux in´egalit´es, on obtient
a= (1 −t)a+ta ≤(1 −t)x+ty ≤(1 −t)b+tb =b, ce qui montre alors que (1 −t)x+ty ∈Iet donc I
est convexe.
2. (i) Soit x, y ∈C(Cconvexe) et r > 0 tels que B(x, r)⊂Cet B(y, r)⊂C. Soit t∈[0,1] ; on pose
z= (1 −t)x+ty. On veut montrer que B(z, r)⊂C. Soit z′∈B(z, r). Alors on v´erifie facilement que
z′= (1−t)(x+z′−z)+t(y+z′−z). Comme ∥z−z′∥< r,x+z′−z∈B(x, r)⊂Cet y+z′−z∈B(y, r)⊂C,
C´etant convexe, z′∈C. Ce qui montre que B(z, r)⊂C.
2. (ii) Soit Cun ensemble convexe. Soit x, y ∈
◦
C. Alors il existe r1>0 tel que B(x, r1)⊂Cet r2>0
tel que B(y, r2)⊂C. On note r= min{r1, r2}et donc B(x, r)⊂Cet B(y, r)⊂C. Soit t∈[0,1] et
z= (1 −t)x+ty. On applique la question 2.(i) pour conclure alors que B(z, r)⊂C, ce qui montre que
z∈
◦
C. Ainsi, on a montr´e que
◦
Cest convexe.
3. Soit Cun ensemble convexe. Soit x, y ∈C. Alors il existe (xn)n∈Nune suite de Cqui converge vers xet
(yn)n∈Nune suite de Cqui converge vers y. Soit t∈[0,1] et z= (1 −t)x+ty. Soit zn= (1 −t)xn+tyn
pour n∈N. Alors il est facile de voir que zn∈Cpour tout n∈Net que zn−−−→
n→∞
z. Ainsi, z∈C. Ce qui
montre que Cest un convexe.
Exercice 2. On dit qu’une fonction f:C→Rd´efinie sur un ensemble Cconvexe de Rdest convexe si
elle v´erifie
pour tous x, y ∈Cet pour tout t∈[0,1], f((1 −t)x+ty)≤(1 −t)f(x) + tf(y).

1. (i) Montrer que toute fonction convexe sur un intervalle Ide Rest continue.
(ii) Montrer que si f:I→Rest convexe, alors pour tous x, y, z ∈I, avec x < y < z, on a
f(x)−f(y)
x−y≤f(y)−f(z) y−z.
Indication : Faites un dessin !
(iii) En posant y= (1−t)x+tz, puis en faisant tendre tvers 0, puis vers 1 dans l’in´egalit´e ci-dessus,
en d´eduire qu’une fonction convexe d´erivable sur Ia une d´eriv´ee croissante.
2. (i) Soit Nune norme sur Rd. Montrer que Nest une fonction convexe.
(ii) En d´eduire qu’une boule (ouverte ou ferm´ee) de Rdpour une norme Nest convexe.
3. Soit Nune norme sur Rdet Cune partie convexe de Rd. On d´efinit pour x∈Rd
d(x, C) = inf
y∈CN(x−y).
Montrer que la fonction x7→ d(x, C) est une fonction convexe sur Rd.
Correction 2. 1. (i) Soit aun point de l’intervalle ouvert Iet soit φ:I\ {a} → Rla fonction d´efinie
par φ(x) = f(x)−f(a)
x−a. On montre que φest une fonction croissante. En effet, soit x, y ∈I\ {a}tels que
x≤y. Alors il y a trois cas : x≤y < a ou x<a<you a<x≤y. Dans le premier cas, on peut ´ecrire
y= (1−t)x+ta avec t=y−x
a−x∈[0,1] et donc par convexit´e de la fonction fon a f(y)≤(1−t)f(x)+tf (a),
ce qui donne alors f(y)−f(a)≤(1 −t)(f(x)−f(a)) = a−y
a−x(f(x)−f(a)) et comme a−y > 0, cela
´equivaut `a φ(x)≤φ(x). Dans le deuxi`eme cas, on ´ecrit a= (1 −t)x+ty avec t=a−x
y−x∈[0,1] et on a
f(a)≤(1 −t)f(x) + tf(y) ce qui donne alors y−a
y−x(f(x)−f(a)) + a−x y−x(f(y)−f(a)) ≥0 et comme y−x > 0,
y−a > 0 et a−x > 0, on a φ(x)≤φ(y). Enfin, dans le dernier cas, on peut ´ecrire x= (1 −t)a+ty avec
t=x−a
y−a∈[0,1] et donc f(x)≤(1 −t)f(a) + tf(y), ce qui donne φ(x)≤φ(y).
Soit (xn)n∈Nune suite croissante de Itelle que xn< a pour tout n∈Net xn−−−→
n→∞
a. Alors la suite
(φ(xn))n∈Nest croissante et major´ee par φ(y) pour un y > a. C’est donc une suite convergente ; on note ℓ
sa limite. On a alors φ(xn)∼
n→∞
ℓ, ce qui donne f(xn)−f(a)∼
n→∞ (xn−a)ℓet donc f(xn)−f(a)−−−→ n→∞ 0.
Ainsi, fest continue `a gauche en a. Pour montrer la continuit´e `a droite de fen a, il suffit de consid´erer
une suite d´ecroissante (yn)n∈Nde Itelle que yn> a pour tout n∈Net yn−−−→
n→∞
a. La suite (φ(yn))n∈Nest
d´ecroissante et minor´ee par φ(x) pour un x < a. C’est donc une suite convergente ; on note ℓ′sa limite.
On a alors φ(yn)∼
n→∞
ℓ′, ce qui donne f(yn)−f(a)∼
n→∞ (yn−a)ℓ′et donc f(yn)−f(a)−−−→ n→∞ 0. Ainsi, f
est continue `a droite en a.
1. (ii) L’in´egalit´e demand´ee est un cas particulier de ce qu’on a montr´e dans la premi`ere question en
prenant a=ydans la d´efinition de φet z`a la place de ydans le deuxi`eme cas.
1. (iii) Lorsque y= (1 −t)x+tz (x < z), l’in´egalit´e montr´ee dans la question 1.(ii) devient
f(x)−f((1 −t)x+tz)
t(x−z)≤f((1 −t)x+tz)−f(z) (1 −t)(x−z).
Lorsque t→1, le membre de gauche de l’in´egalit´e converge vers f(x)−f(z)
x−zet f((1−t)x+tz)−f(z) (1−t)(x−z)−−→
t→1f′(z).
Lorsque t→0, f(x)−f((1−t)x+tz)
t(x−z)−−→
t→0f′(x) et le membre de droite de l’in´egalit´e converge vers f(x)−f(z)
x−z.
Comme les in´egalit´es sont conserv´ees par passage `a la limite, on vient de montrer que
f′(x)≤f(x)−f(z)
x−z≤f′(z) pour x < z,
2

ce qui montre bien que f′est croissante.
2. (i) Soit x, y ∈Rdet t∈[0,1]. On a alors N((1 −t)x+ty)≤N((1 −t)x) + N(ty) par l’in´egalit´e
triangulaire v´erifi´ee par Net N((1 −t)x) = (1 −t)N(x), N(ty) = tN (y) par homog´en´eit´e de la norme N
et 1 −t≥0, t≥0. Ainsi, N((1 −t)x+ty)≤(1 −t)N(x) + tN (y), ce qui montre que Nest convexe.
2. (ii) On va faire le raisonnement sur les boules ouvertes. Le cas des boules ferm´ees se traite de la mˆeme
mani`ere. Soit a∈Rdet r > 0. Soit B=B(a, r) = {x∈Rd;N(x−a)< r}. Prenons deux points x, y ∈B
et t∈[0,1]. On veut montrer alors que le point z= (1 −t)x+ty est dans B, ce qui montrera que Best
convexe. On a N(z−a) = N((1 −t)(x−a) + t(y−a)) car (1 −t)a+ta =aet par convexit´e de N, cela
donne N(z−a)≤(1 −t)N(x−a) + tN(y−a). Comme x, y ∈B, on a N(x−a)< r et N(y−a)< r, ce
qui implique alors N(z−a)<(1 −t)r+tr =ret donc z∈B.
3. Soit Cun convexe de Rd. Soit x, y ∈Rdet d(x, C) = infz∈CN(x−z), d(y, C) = infz∈CN(y−z). Soit
(xn)n∈Nune suite minimisante pour d(x, C), c’est-`a-dire que xn∈Cpour tout n∈Net N(x−xn)−−−→
n→∞
d(x, C). De mˆeme, on choisit (yn)n∈Nune suite minimisante pour d(y, C), soit donc yn∈Cpour tout n∈N
et N(y−yn)−−−→
n→∞
d(x, C). Alors pour tout t∈[0,1], si on pose z= (1 −t)x+ty,zn= (1 −t)xn+tyn,
n∈Nest une suite de C(car Cest convexe) et
d(z, C)≤N(z−zn) = N((1−t)(x−xn)+t(y−yn)) ≤(1−t)N(x−xn)+tN(y−yn)−−−→
n→∞ (1−t)d(x, C)+td(y, C)
la premi`ere in´egalit´e provenant du fait que d(z, C) est la plus petite valeur des N(z−z′) pour z′∈Cet
zn∈C. L’´egalit´e qui suit provient de la d´efinition de zet de celle de zn. L’in´egalit´e suivante provient de la
convexit´e de la norme Net la convergence lorsque n→ ∞ provient du choix des suites (xn)n∈Net (yn)n∈N.
Ce qui montre que x7→ d(x, C) est une fonction convexe de Rd.
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