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TP Prisme

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Union générale des étudiants de Tunisie
Bureau de l’institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis
Modèle de compte-rendu de TP
Le goniomètre
à prisme
Ce document a été publié pour l’unique but d’aider les étudiants , il est donc strictement
interdit de l’utiliser intégralement en temps que compte-rendu à rendre aux professeurs .
Union générale des étudiants de Tunisie
Bureau de l’institut Préparatoire Aux Etudes D'ingénieurs De Tunis
I. Objectifs de la séance :
 Etablir les formules du prisme.
 Déterminer les conditions d’émergence : condition sur l’angle du prisme et
sur l’angle d’incidence i.
 Exploiter l’étude de la déviation en fonction de i.
 Déterminer graphiquement le minimum de déviation.
 Calculer l’indice d’un prisme à partir du minimum de déviation
 Connaître les différentes couleurs du spectre ainsi que leurs déviations
respectives
 Utiliser le goniomètre pour mesurer l’angle au sommet d’un prisme
 Mesurer la déviation en fonction de i.
 Mesurer les angles d’un prisme au goniomètre à prisme.
 Mesurer l’indice d’un prisme correspondant à une certaine longueur
d’onde, par le minimum de déviation.
Ce document a été publié pour l’unique but d’aider les étudiants , il est strictement interdit de
l’utiliser intégralement en temps que compte-rendu à rendre aux professeurs .
Modèle de compte-rendu de TP
II. Matériel utilisé :
1. Le prisme :
a. Définition :
Un prisme est un élément optique utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir
ou la disperser en ses constituants (les différents rayonnements de l'arc-en-ciel
pour la lumière blanche). C'est traditionnellement un prisme (solide) droit à
base triangulaire, constitué d'un matériau transparent réfringent : verre,
plexiglas, notamment dont les deux surfaces sont inclinées, l’une par rapport à
l’autre. La partie la plus mince au bord du prisme (S), s’appelle le « sommet » et
la
partie la plus épaisse (B), la « base ». L’angle d’inclinaison
entre les deux surfaces est appelé « l’angle au
sommet » du prisme, il est souvent noté A.
b.
Principe :
Lorsque la lumière passe de l'air au verre, par exemple, elle est réfractée.
Lorsqu'elle ressort par l'autre face, elle est de nouveau réfractée. Le rayon ou
faisceau incident est donc dévié. Mais l'indice de réfraction n'est pas le même
pour les différentes longueurs d'onde. De sorte que, un faisceau de lumière
blanche est séparé en ses composantes : le bleu est plus dévié que le jaune, luimême plus dévié que le rouge. Il s’agit du phénomène de dispersion de la
lumière polychromatique. Dans ces conditions, le prisme peut être
utilisé pour analyser un rayonnement visible
polychrome (spectroscopie).
Dispersion de la lumière blanche à
travers un prisme
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
c. Géométrie.
Les formules du prisme :
i. Réfraction sur la face d'entrée :
Appliquons la loi de Snell-Descartes
sin
sin
ii. Réfraction sur la face de sortie :
Appliquons encore la loi de Snell-Descartes
sin
sin
sin
sin
iii. Angle A :
Dans le triangle IJK, la somme des mesures
angles est d’où :
(
)
r r
D’où :
r r
iv. Déviation D :
Dans le triangle IJS Dans le triangle IJS, la
somme des mesures angles est d’où :
(
) (
) (
)
(
) or
Donc
r r
D’où
Conclusion :
Pour un prisme plonge dans l'air, la théorie complète du prisme est contenue
dans les quatre formules que l'on vient
d'établir.
Ces relations sont générales si l'on adopte les
conventions des signes suivantes :
 i et i' sont comptés positivement.
 Lorsque les normales extérieures sont
situées entre le sommet et les rayons, on
donne à r et r' le même signe que i et i'.
D ne dépend que de i, n, et A ⇒ On pourra s'en servir pour connaitre n.
Si i>0 et i>r (car n>1), on a i'>r' donc
d’où i
i
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.
Modèle de compte-rendu de TP
 Si i>0 (conventions présentées avant), alors D>0 et la déviation se fait
toujours vers la base.

Discussion des formules du prisme :
i. Conditions d’émergence :
Condition sur « r »
En pénétrant par la première face du prisme, le rayon incident est réfracté puis
tombe sur la deuxième face sous l’angle
. Pour qu’il puisse émerger, il
faut que | |
(défini par sin
)
. Or | |
|
| |
|
.
On en conclut donc que :
Condition sur « A»
On a
r’ r et | |
et | |
ii. Etude de la déviation du prisme :
Variation de D avec l’angle A du prisme :
La différenciation des lois du prisme on obtient
 n sin r
sin i
 d
dr’
 dD di’-dA
cos i di
n cos r dr’ et dr=0.
D’où :
dD
d
Or n>1, alors
>0 car | |
di
dr
n cos r
cos i
| | ce qui entraine cos i
cos r et donccos i
n cos r .
La déviation D est donc une fonction croissante de A.
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Variation de D avec l’indice n du prisme :
La variation d’indice peut être obtenue en changeant de prisme, tout en
conservant A et i, ou en considérant les indices relatifs à plusieurs radiations
monochromatiques. En effet nous avons vu que la vitesse de propagation d’une
vibration lumineuse dépend de sa longueur d’onde ; or λ
, n dépend de λ
selon une loi qui peut s’écrire dans le domaine visible il s’agit de la loi de
Cauchy:
n
a
a, b : constantes.
Donc n diminue si λ augmente, du violet (0,4 µm) au rouge (0,8 µm).
Qu’en est-il de D ? Cherchons la variation dD de D si n varie de dn, en
différenciant les formules du prisme, A et i étant constants :
sin i
n sin r
n sin r
sin i
D
n cos r dr
cos i di
dr
sin r dn
n cos r dr
r
r
i
i
dD
dD
dn
sin
cos i cos r
sin r dn
dr
di
D’où:
Donc la déviation augmente si l’indice n augmente. Par conséquent la déviation
D augmente si la longueur d’onde λ diminue, c’est-à-dire si l’on passe du rouge
au violet. C’est le phénomène de dispersion de la lumière par le prisme mis en
évidence par Isaac Newton (1642- 1727)
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iii. Minimum de déviation :
La courbe
( ) est représentée avec, comme vu,
ce qui conduit à
.
Cette valeur correspond à un minima
de la courbe ou asymptote horizontale
ce qui se traduit par :
se nomme minimum de déviation.
En dérivant les lois du prisme, on
obtient :
sin i
n sin r
cos i di
n sin r
sin i
cos i di
r
D
i
r
dr
i
n cos r dr
n cos r dr
dr
dD
di
di
On a donc :
di
di
n cos r
cos i
n cos r
cos i
dr
dr
cos r
cos i
cos r
cos i
cos i
( )
cos r
cos i
cos r
D’où on obtient :
dD
di
Pour D extrémale on a
cos r
cos i
cos r cos i
En élevant au carré et en injectant les expressions de i et i
en fonction de
r et r :
cos r
On a donc r
r
(
n sin r )
cos r (
n sin r
)
(par symétrie et par la 3ème formule du prisme).
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Finalement, on obtient à partir de (*) :
sin
n
(D
)
sin( )
Calculons l'incertitude sur la détermination de l'indice n :
Appliquons la fonction logarithme à n :
Ln n
Ln (sin
Ln(sin )
)
Nous poserons que :
u
sin
et v
sin
Calculons la différentielle totale de ln (n) :
Ln n
Ln (u)
Ln(v) par conséquent
Déterminons du et dv :
du
du
D’où :
cot
(cot
d
d
cot
cot d )
Remplaçons les "d" par des
|cot
cot |
Or A et D étant positifs, cot
D
cos
d
cos
v
cos d
dD
cot d
cot
D
dD
dD
et nous mettons des valeurs absolues :
|cot
| D
cot
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D’où :
n
n
(cot
D
cot )
cot
D
D
Cependant A et D ont été mesuré avec le même appareil donc ΔA = ΔD ; il en
résulte que :
n
n
(cot )
iv. Dispersion angulaire :
On définit la dispersion angulaire comme étant d= .
Au minimum de déviation :
dD
⇒
dλ
sin
cos
D
dn
sin dn
cos i dλ
2. Le goniomètre à prisme :
a. Définition :
Un goniomètre à prisme est un appareil qui permet de réaliser à la fois des
mesures d’angle de déviation. Il permet de déterminer l'indice de réfraction d’un
prisme.
b. Description de l'appareil
 un collimateur C, fixe.
 une lunette mobile autour d’un axe vertical, dont
la position est repérée sur le cercle gradué en
degrés et minutes.
 une plate-forme tournante, support du prisme.
Tous ces objets vont être détaillés par la suite.
La présence de ces éléments dans le
goniomètre et les réglages se justifient à partir des
deux conditions d’utilisation suivantes :
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) On éclaire le prisme avec un faisceau de lumière parallèle. C’est à cette
condition que l’image d’un point est un point. On dit qu’il y a stigmatisme. Par
conséquent, l’image d’une fente fine sera vue à travers le prisme avec la même
finesse.
2)
La direction du faisceau incident doit être perpendiculaire à l’arête du
prisme. Le plan de section principale ainsi défini contient le rayon émergent
correspondant à un rayon incident donné et l’angle D
de déviation des rayons.
Collimateur C : il est formé
d’une fente fine F, réglable
en largeur, placée dans le
plan focal objet d’une lentille L1.
Cette fente est éclairée par la lampe
spectrale. La position de F par rapport à
L1 (mise au point, netteté) se règle en
agissant sur le tirage du collimateur, à
l’aide de la bague moletée.
Lunette d’observation L : c’est une lunette astronomique, c’est-à-dire qu’elle est
formée d’un objectif (L2) et d’un oculaire (L3), que l’on règlera de telle sorte que
le plan focal objet de L3 , matérialisé par un réticule (croix) soit confondu avec le
plan focal image de L2. Dans ces conditions, un faisceau incident de rayons
parallèles donnera un faisceau émergent parallèle, qui sera donc vu sans
accommoder par l’observateur (dont l’œil est sensé être normal).
La lunette est mobile autour d’un axe vertical, d’un mouvement rapide
puis d’un mouvement lent si la vis de blocage V1 est serrée ; elle est mobile
autour d’un axe horizontal à l’aide de la vis V2.
Plate-forme support de prisme : elle est réglable en hauteur et doit être
maintenue à la hauteur par serrage de la vis V3. Le plateau supérieur est muni de
trois vis calantes qui permettent de rendre
b. Réglages du goniomètre :
Il est important de faire les réglages dans l’ordre exposé.
 Réglage de la lunette sur l’infini
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i.
Réglage de l’oculaire : on éclaire le plan du réticule à l’aide de la source
auxiliaire S, latérale à la lunette. Pour cela on place (à l’aide du bouton
b) une lame semi-transparente à 45° de l’axe de la lunette, et on règle le
tirage de l’oculaire de manière à voir nettement le réticule.
ii.
Réglage de l’objectif de la lunette par autocollimation : la source
auxiliaire S envoie un faisceau de lumière qui émerge de la lunette. Ce
faisceau est réfléchi sur un miroir plan, ou sur une face du prisme. On
observe alors une image du plan réticulaire : cercle lumineux dont R’ est
l’image du réticule R. On met au point cette image en agissant sur le
tirage de la lunette jusqu’à voir nettement le réticule R et son image R’.
 Réglage du collimateur sur l’infini :
Il s’agit de placer la fente-source F au foyer objet de l’objectif du
collimateur. On escamote la lame d’autocollimation, et on vise la fente F, éclairée
par la lampe spectrale, avec la lunette réglée. En agissant sur la bague moletée,
on met au point l’image de la fente F, et on règle la finesse de celle-ci de manière
à garder un éclairage suffisant.
 Réglage de l’axe optique de l’ensemble
Pour que les raies observées soient nettes, il faut :
 que les axes optiques du collimateur et de la lunette soient confondus
 que cet axe commun soit perpendiculaire à la fente-source et à l’arête du
prisme
La fente du collimateur possède un fil marquant son milieu, dont l’image
devra être superposée au fil horizontal du réticule ; ceci se fait à l’aide de la vis
se trouvant sous la lunette.
 Réglage de l’horizontalité de la plate-forme
On place alors le prisme sur la plate-forme, l’arête utilisée doit être au
centre du platine. Par autocollimation sur chaque face du prisme, on règle
l’horizontalité de celle-ci. On vise l’image du réticule réfléchie par une face du
prisme et en agissant sur les vis calantes de la plate-forme on amène en
coïncidence l’image du fil horizontal du réticule avec le fil lui-même. Par
tâtonnements successifs sur chaque face du prisme on obtient l’horizontalité de
la plate-forme.
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Figure représentative d’un goniomètre à prisme
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3. Manipulation :
1. Mesure de l’angle au sommet du prisme :
Montrons que
On sait que
D’où on a :
Donc :
On obtient finalement :
Le plateau est orienté de façon à ce que le faisceau envoyé par le
collimateur éclaire les deux faces du prisme en même temps.
Procéder de la façon suivante :
 Repérer à l'œil nu l'image réfléchie de la fente source par
chaque face du prisme.
 Viser successivement ces deux images qui sont dans les
directions faisant un angle = 2A.
 La mesure de l'angle = 2A est faite avec une incertitude
absolue qui vaut 2 Δ0, car elle est le résultat de la mesure
de deux angles. Par conséquent, la mesure de l'angle au
sommet A du prisme s'effectue avec une incertitude de
Δ0=0°1’.
On en conclut que :
°
°
5 °5
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2.
Courbe de dispersion :
Le but est de mesurer la déviation minimale Dm obtenue pour des
longueurs d'onde λ connues et d'en déduire ainsi l'indice du prisme
par la relation :
n
sin
(D
)
sin( )
On procède de la façon suivante pour mesurer le minimum de
déviation D correspondant à chaque raie λ :







L'angle incident i est d'abord repéré : c'est la direction du faisceau
sans déviation. (On rappelle qu'on a intérêt à éclairer le prisme en
incidence rasante (
) pour être sûr de trouver des rayons
émergents.
On observe à l'œil nu le rayon réfracté.
On tourne le prisme de manière à faire diminuer l'angle d'incidence
tout en observant l'image réfractée.
Pour un certain angle, on voit l'image s'arrêter et repartir dans
l'autre sens : c'est le minimum de déviation.
On repère la position de l'image en la pointant avec la lunette
(position 0 de la lunette). On note 0 l'angle ainsi mesuré.
On procède de la même manière en éclairant l'autre face avec le
collimateur (position β1 de la lunette). On note β1 l'angle ainsi
mesuré.
L'angle entre les deux positions de la lunette est 2Dm. On en déduit
alors la valeur de l’indice n du prisme.
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A la suite de la série de mesures effectuées expérimentalement
suivant le processus précédent on a obtenu le tableau suivant :
Couleur
Jaune
Vert
Bleu –vert
Indigo
Violet
α0
117°53’
116°32’
115°03’
112°58’
111°02’
Dm
38°40’30’’
38°51’30’’
39°10’
39°34’
39°54’30’’
n
1,5175
1.5196
1.5230
1.5276
1.5314
( ) (m-²)
3,013.1012
3,353.1012
4,137.1012
5,265.1012
6.013.1012
Δ Dm
1’
1’
1’
1’
1’
Δn
7.645
7.656
7.673
7.686
7.715
Traçons maintenant la courbe d’étalonnage Dm=f(λ).
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3.
Vérification de la loi de Cauchy :
Et maintenant traçons la courbe de dispersion n= ( )
On remarque que la courbe qui correspond à n= ( )est une
demi-droite décroissante qui ne passe pas par l’origine, donc on
peut écrire n(λ) b
avec b=n0 l’ordonnée à l’origine et a= la
pente de la courbe.
On a donc bien vérifié la loi de Cauchy.
n(λ)
Le baron Augustin-Louis Cauchy
(1789-1857)
n
λ
avec n0 et de même dimension que n (adimensionné) donc
même dimension que c'est-à-dire en M² .
de
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