Sur la cohomologie et le spectre des variétés localement symétriques

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA ENSAIOS MATEM´
ATICOS
2006, Volume 11, 1–105
Sur la cohomologie et le spectre
des vari´et´es localement
sym´etriques
Nicolas Bergeron
Abstract. This volume is intended as an expository account of some re-
sults and problems concerning the cohomology of locally symmetric spaces
(especially arithmetic ones) and the relationship with the spectral theory
of automorphic forms. The discussion is divided into four chapters:
– A general introduction to arithmetic manifolds, Matsushima’s formula
and cohomological representations;
– Cohomology of hyperbolic manifolds;
– Isolation properties in the automorphic spectrum;
– Cohomology of arithmetic manifolds.
However this presentation will be very unbalanced: it is a slightly revised
version of my habilitation thesis. It is nevertheless my hope that the reader
will not be too much disappointed by the incompleteness of this acount
and hopefully find it useful.
2000 Mathematics Subject Classification: 11F75, 58J50, 57M50, 53C22,
53C23, 14G35, 22E47, 22E55.

Table des mati`eres
1 Introduction........................... 5
1.1 Vari´et´es arithm´etiques et non arithm´etiques . . . . . 9
1.2 Formule de Matsushima . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Repr´esentations cohomologiques . . . . . . . . . . . 13
2 Cohomologie des vari´et´es hyperboliques . . . . . . . . . . . 15
2.1 Un bref survol de la litt´erature . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Effeuillage des vari´et´es hyperboliques . . . . . . . . . 21
2.3 Cohomologie L2.................... 25
2.4 Restriction ....................... 37
2.5 Propri´et´es de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Spectre automorphe des vari´et´es localement sym´etriques . . 51
3.1 Le cas des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Repr´esentations non isol´ees et r´eponses n´egatives `a
laQuestion3.1 ..................... 54
3.3 Contraintes locales et contraintes automorphes . . . 56
4 Cohomologie des vari´et´es arithm´etiques . . . . . . . . . . . 61
4.1 Th´eor`emes d’annulation et de non annulation de la
cohomologie....................... 69
4.2 Restriction de la cohomologie d’une vari´et´e de Shi-
mura `a une sous-vari´et´e de Shimura plus petite . . . 73
4.3 Restriction au niveau local et cohomologie L2. . . . 80
4.4 Propri´et´es de Lefschetz automorphes . . . . . . . . . 85
4.5 G´en´eralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Bibliographie 96

Cohomologie et spectre des vari´et´es localement sym´etriques 5
1 Introduction
Une vari´et´e riemannienne Xest dite sym´etrique si la sym´etrie centrale dans
les coordonn´ees g´eod´esiques autour d’un point quelconque de X
s’´etend en une isom´etrie globale de X. L’importance de cette notion d´egag´ee
par Cartan provient du fait 1) qu’un espace sym´etrique (et donc une
g´eom´etrie de Klein) est naturellement associ´e(e) `a chaque groupe
de Lie r´eductif r´eel connexe G(et notamment `a tous les groupes clas-
siques GL(n, R), O(p, q), U(p, q), ...) : l’espace X=G/ZK, o`u Kest
un sous-groupe compact maximal de Get Zle centre de G; et 2) que
r´eciproquement le groupe des isom´etries d’un espace sym´etrique est tou-
jours un groupe de Lie r´eductif. En dehors de ce bel exemple de pont entre
la g´eom´etrie (riemannienne) et l’alg`ebre, la notion de vari´et´e sym´etrique
englobe toute une s´erie de g´eom´etries de Klein dont elle permet un trai-
tement uniforme. Parmi ces g´eom´etries citons la g´eom´etrie hyperbolique
(matrice de toutes ces g´eom´etries) associ´ee au groupe O(n, 1) (n≥2),
sa g´en´eralisation complexe, la g´eom´etrie hyperbolique complexe, associ´ee
au groupe U(n, 1) (n≥1), mais aussi, l’espace des formes quadratiques
d´efinies positives de d´eterminant 1 associ´e au groupe GL(n, R) (n≥2).
La majeure partie du texte sera consacr´ee aux espaces sym´etriques as-
soci´es aux groupes unitaires U(p, q) et orthogonaux O(p, q). Mais avant
cela, commen¸cons par placer cette ´etude dans son contexte historique.
´
Etant donn´e un espace sym´etrique X, Clifford et Klein posent la question
de l’existence d’espaces compacts (ou de volumes finis) localement model´es
sur cette g´eom´etrie (mani`ere de mesurer l’“utilit´e” de celle-ci) : les vari´et´es
localement sym´etriques. Comme souvent face `a la demande de constructions
explicites, le g´eom`etre a recours `a l’arithm´etique. Les premiers exemples de
vari´et´es localement sym´etriques sont des vari´et´es arithm´etiques, c’est-`a-dire
quotients de Xpar un groupe arithm´etique.
La notion de groupe arithm´etique a pour origine l’´etude d’une famille
sp´eciale d’´equations diophantiennes, `a savoir la recherche d’une matrice
M∈Mn×m(Z) (n, m ≥1) v´erifiant une ´equation du type :
tMSM =T, (1.1)
o`u S(resp. T) est une matrice sym´etrique `a coefficients entiers de taille n
(resp. m). Lorsqu’une telle solution existe on dit de Tqu’elle est repr´esent´ee
par S.` A titre d’exemple consid´erons le cas n= 2, m= 1,
S=a b
b c , T = (t) et M=x
y.
L’´equation (1.1) devient alors
ax2+ 2bxy +cy2=t
dont des cas sp´eciaux comme
x2+y2=tou x2−Dy2= 1