Espaces normés

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E=C0([0 ; 1],R)
N(f) = Z1
0f(t)dt
a, b 0u, v > 0
a+b= 1 =1
u+va
u+b
v
f, g E f, g > 0
N((f+g)1)N(f)2N(f1) + N(g)2N(g1)
(N(f) + N(g))2
N(f+g)N((f+g)1)max(N(f)N(f1), N(g)N(g1))
(E, k·k)K K =R C
x, y E
kxk+kyk ≤ 2 maxkx+yk,kxyk
x6= 0 y6= 0
x, y E
kxk+kyk ≤ 2 maxkx+yk,kxyk
2
nNn2k · k Mn(C)
(A, P )∈ Mn(C)×GLn(C),kAk=
P1AP
nNk·k [1 ; 1]
Tnn
θR, Tn(cos θ) = cos()
P n
kPk ≥ 1
2n1
P Tncos(kπ/n)kZ
kPk=1
2n1P=1
2n1Tn
A= (ai,j )∈ Mn,p(K)
kAk1=
n
X
i=1
p
X
j=1|ai,j |,kAk2=v
u
u
t
n
X
i=1
p
X
j=1|ai,j |2kAk= max
1in,1jp|ai,j |
k·k1k·k2k·kMn,p(K)
A= (ai,j )∈ Mn(R)
kAk= n
X
i,j=1
a2
i,j !1/2
k · k Mn(R)
A, B ∈ Mn(R),kABk≤kAkkBk
A= (ai,j )∈ Mn(C)
kAk= sup
1in
n
X
j=1|ai,j |
k · k Mn(C)
A, B ∈ Mn(C),kABk≤kAkkBk
A= (ai,j )∈ Mn(C)
kAk= sup
1in
n
X
j=1|ai,j |
k · k Mn(C)
λ A |λ| ≤ kAk
x= (x1, . . . , xn)Knp1
kxkp= n
X
i=1|xi|p!1/p
kxk= lim
p+kxkp
f1, . . . , fn: [0 ; 1] R
N: (x1, . . . , xn)7→ kx1f1+··· +xnfnk
Rn
N:R2R
N(x1, x2) = sup
t[0;1]|x1+tx2|
R2
k·k
`1(N,K)u= (un)nNKN
`1(N,K) = nuKNX|un|<+o
`1(N,K)K
kuk1=
+
X
n=0|un|
IRL1(I, K)
f:IK
L1(I, K) = f∈ C(I, K)ZI|f|<+
L1(I, K)K
kfk1=ZIf(t)dt
IRL2(I, K)
f:IK
L2(I, K) = f∈ C(I, K)ZI|f|2<+
L2(I, K)K
kfk2=ZIf(t)2dt1/2
k · k Mn,1(R)
kXk= max
1in|xi|
SMn,1(R)
A∈ Mn(R)
sup
XSkAXk
N(A) = sup
XSkAXk
X∈ Mn,1(R)kAXk ≤ N(A)kXk
NMn(R)
N(A) = sup
1in
n
X
j=1|ai,j |
B(N,R)k·k
eC0
B(N,R)k·k
u= ((1)n)nNC
B(N,R)k·k
x∈ B(N,R) ∆x
x(n) = x(n+ 1) x(n)
F=xx∈ B(N,R)
e F
E[1 ; 1] R
kfk= sup
x[1;1]f(x)
f:x7→
1x]0 ; 1]
0x= 0
1x[1 ; 0[
F E [1 ; 1] R
E=C0([0 ; 1],R)k·k1k·k2k·k
kfk1=Z1
0f(t)dt, kfk2=Z1
0
f(t)2dt1/2
kfk= sup
[0;1]|f|
k·kk·k1k·k2
k·k1k·k2
E=C1([1 ; 1],R)N1, N2N3
N1(f) = sup
[1;1]|f|, N2(f) = f(0)+ sup
[1;1]|f0|N3(f) = Z1
1|f|
N1, N2N3E
N1N2N1N3
E=C1([0 ; 1],R)N:ER+
N(f) = sf2(0) + Z1
0
f02(t) dt
N E
Nk·k
R[X]N1N2
N1(P) =
+
X
k=0P(k)(0)N2(P) = sup
t[1,1]P(t)
N1N2R[X]
Pn=1
nXn
N1N2
R(N)
k·k1k·k2k·kR(N)
kuk1=
+
X
n=0|un|,kuk2= +
X
n=0
u2
n!1/2
kuk= sup
nN|un|
k·k1k·k
k·k1k·k2
`1(N,R)
kuk1=
+
X
n=0|un|
u`1(N,R)u
k·k
kuk= sup
nN|un|
k·k1k·k
u`1(N,R)u
k·k2
kuk2= +
X
n=0
u2
n!1/2
k·k1k·k2
B(N,R)k·k
a= (an)
a
Na:x7→
+
X
n=0
an|xn|
B(N,R)
Nak·k
E u = (un)nNu0= 0
N(u) = sup
nN|un|N(u) = sup
nN|un+1 un|
E
N(u)2N(u)uE
E=f∈ C1([0 ; 1],R)f(0) = 0N1, N2
E
N1(f) = kf0kN2(f) = kf+f0k
N1N2E
N2N1
f(x)=exZx
0f(t) + f0(t)etdt
N1N2
ERf: [0 ; 1] RC1
f(0) = 0 fE
N1(f) = sup
x[0;1]f(x)+ sup
x[0;1]f0(x)N2(f) = sup
x[0;1]f(x) + f0(x)
N1N2E
E=f∈ C2([0 ; π],R)f(0) = f0(0) = 0
N:f7→ kf+f00k
E
N
ν:f7→ kfk+kf00k
E=C([0 ; 1],R)E+E
ϕE+
fE
kfkϕ= sup
t[0;1]nf(t)ϕ(t)o
k·kϕE
ϕ1ϕ2E+
k·kxk·kx2
NMn(R)c > 0
N(AB)cN(A)N(B)
dNE=Rd[X]X
d
ξ= (ξ0, . . . , ξd)d+ 1 PE
Nξ(P) =
d
X
k=0P(ξk)
NξE
(Pn)E n N
Pn=
d
X
k=0
ak,nXk
(Pn)R
(Pn)R
k∈ {0, . . . , d}(ak,n)
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