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SERIE 1 CINEMATIQUE TS1 2016 - 2017

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SERIE DE TD N°1 : CINEMATIQUE DU POINT
TERMINALES S1
2016 - 2017
EXERCICES D’APPLICATION, DE MAITRISE ET DE RECHERCHE
Exercice 1.1 : Mouvement 1D d’un point
On étudie le mouvement d’un point M, évoluant sur un axe (Ox). Il est décrit par son abscisse x(t), sa vitesse
v(t) et son accélération a(t). Pour chacune des situations proposées, on souhaite calculer :
 L’équation horaire
 L’expression de la vitesse
 L’expression de l’accélération
Et on souhaite également représenter la trajectoire, ainsi que les
vitesses et accélérations aux points atteints aux temps t=0s et t=2s.
Attention : Préciser à chaque fois les unités des constantes α et β
1. x = α
5. v = α avec x(0)=x0
2. x = α t + β
6. v = α t + β avec x(0)=x0.
3. x = α t2
7. a = α avec x(0)=x0 et v(0)=v0
4. x = α cos (ωt)
8. a = α t + β avec x(0)=x0 et v(0)=v0
Exercice 1.2 : Mouvement rectiligne 1D d’une voiture
On étudie le mouvement d’une voiture, considérée comme un point M, et qui évolue sur une longue ligne
droite (l’axe Ox). A l’instant t = 0, elle est arrêtée à l’abscisse x = 0.
1. Pendant une durée τ1, la voiture a une accélération constante a1>0.
Exprimer sa vitesse v1 au bout de ce temps τ1. Représenter les évolutions de v(t), de x(t) et de a(t).
(Réserver de la place à droite pour continuer la courbe avec les questions suivantes).
2. Puis, pendant une durée τ2, la voiture ralentit avec une accélération a2<0.
Exprimer la vitesse v2 de la voiture au bout du temps τ1+τ2. Compléter les courbes.
3. Enfin, il ralentit avec une accélération a3<a2 pendant une durée τ3 avant de s’arrêter.
Déterminer a3 pour que la vitesse v3 de la voiture au bout du temps τ1+τ2+τ3 soit nulle.
Compléter les courbes.
4. Calculer la distance d parcourue par la voiture.
5. AN avec a1=1m.s-2, a2=-0,05m.s-2, τ1=10s, τ2=20s et τ3=5s
Exercice 1.3 : Mouvement rectiligne - Etude graphique
Le graphe suivant représente le diagramme des espaces d’un mobile se déplaçant sur une trajectoire
rectiligne.
1- Tracer, qualitativement le diagramme des espaces en fonction du temps.
2- Tracer le graphe de l’accélération en fonction du temps.
3- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier.
4- Quelle est la distance parcourue par le mobile entre 0 et 7 s
5- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t= 3 et 6 s.
Exercice 1.4 : Mouvement rectiligne - Dépassement
Une voiture A est arrêtée à un feu rouge .Le feu devient vert et A démarre au même moment, une deuxième
voiture B la dépasse, roulant à vitesse constante. Leurs courbes de vitesse en fonction du temps sont
représentées sur la même figure ci-dessous.
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1°)- Combien de temps la voiture A a-t-elle mis pour avoir la même vitesse que la voiture B ?
2°)- A ce moment, à quelle distance en avant de la voiture A se trouve la voiture B ?
3°)- Quelle est la voiture qui est en tête et de combien après 0.01h ?
4°)- A quel instant la voiture A rattrape –t- elle la voiture B ?
Exercice 1.5 : Distance de sécurité ?
On étudie le mouvement de deux voitures, considérées comme ponctuelles, sur un axe (Ox), qui se suivent
à une distance d, les deux voitures se déplacent à la vitesse constante v0. A t = 0s, la première voiture freine
avec une décélération a. La seconde ne commence à freiner qu'au bout d'un temps tr = 0.6s avec une
décélération b.
1. Quelle condition doit satisfaire d pour que la 2nde voiture s'arrête derrière la 1ere ?
2. AN avec v0 = 108km/h, a = 7.5m.s-2 et b = 6 m.s-2.
3. Comparer la valeur de cette distance d avec la distance d’arrêt de chacune des voitures prises
séparément.
4. Et dans le cas où les deux voitures ont même décélération ?
Exercice 1.6 : Relais 4 x 400
Un coureur X arrive avec un mouvement uniforme v=7,5 ms-1. A 10 m devant lui, le coureur Y s'élance d'un
mouvement uniformément accéléré a=2 ms-2.
1. Quel temps s'écoule entre le moment où Y démarre et le passage du témoin.
2. Pendant cette durée quelles sont les distances parcourues par X et Y.
3. Tous les coureurs ont une accélération de 2 ms-2 jusqu'à atteindre une vitesse v= 7,5 ms-1 qu'il
conserve jusqu'au passage du témoin. Les passages du témoin se font tous les 400 m. Quelle est la
durée de la course ?
Exercice 1.7 : Mouvement en 2D – Equation – Vitesse et accélération
Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère
orthonormé (O,i⃗,j⃗) sont : x = 3t et y = - t2 +2t
1) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile, quelle est la nature de la trajectoire ?
2) Calculer la vitesse du mobile au sommet de sa trajectoire.
3) Calculer la vitesse du mobile au point d'ordonnée y = 1 m.
4) Calculer l'accélération du mobile. Pour quelle(s) valeur(s) de t le mouvement est-il accéléré ? Retardé ?
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Exercice 1.8 : Mouvement en 2D – Vitesse et accélération
Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère
orthonormé (O, ⃗i, ⃗j) sont : x = 3t et y = t2 -1
1) Calculer la vitesse du mobile à l' instant t = 2 s.
2) Calculer les composantes tangentielle aT et normale aN de l'accélération a⃗⃗ du mobile dans la base de
⃗⃗,N
⃗⃗⃗) à l' instants t = 2 s. En déduire la valeur du rayon de courbure ρ de la trajectoire à t = 2 s.
Frenet (M,T
3) Calculer l’accélération a du mobile à la date t = 1 s.
Exercice 1.9 : Mouvements rectilignes simultanés
Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un trottoir rectiligne xx’. Un piéton décide de
traverser la route au moment où la voiture se trouve a une distance D. Le mouvement du piéton est
rectiligne, uniforme, de vitesse v, inclinée d’un angle φ par rapport a l’axe Oy.
1. La voiture se déplace à v
⃗⃗ =Ve⃗⃗x constante. Dans le cas ou φ = 0 (il marche perpendiculairement au
trottoir), quelle doit être la vitesse v0 du piéton pour que la collision soit évitée ?
2. Dans le cas d’un angle φ quelconque, exprimer la vitesse v1 du piéton, les équations horaires de son
mouvement, et en déduire la condition sur L, D, v1, V et l’angle φ pour que la collision soit évitée.
3. En déduire la vitesse minimale vmin à laquelle peut marcher le piéton, avec l’angle φmin correspondant.
Exprimer vmin en fonction de L, D et V.
Exercice 1.10 : Description de mouvements en base cartésienne
Un point M décrit l’espace avec les coordonnées cartésiennes suivantes :
1. Déterminez les expressions du vecteur vitesse 𝑣⃗ et du vecteur accélération 𝑎⃗.
2. Quelle est la nature de la trajectoire ? La représenter ainsi que 𝑣⃗ et 𝑎⃗ à t=0s.
Exercice 1.11 : Tir balistique dans un champ de pesanteur
A l’instant t = 0, une particule ponctuelle M est
lancée du point O avec une vitesse initiale v
⃗⃗0
située dans le plan (Oxz) et faisant avec
l’horizontale un angle α > 0 susceptible d’être
ajusté.
Le mouvement de ce point, étudié dans le
référentiel terrestre (0; e⃗⃗x, e⃗⃗y, e⃗⃗z, t), est tel que son
accélération est constante :
1. Exprimer les composantes du vecteur vitesse v
⃗⃗ (M /ℛ) à l’instant t puis les équations horaires du
mouvement.
2. En déduire l’équation de la trajectoire de M et préciser la nature de celle-ci.
3. A quel instant tS le sommet S de cette trajectoire est-il atteint ? Quelle sont ses coordonnées xS et zS ?
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4. Quelle est la portée OP du projectile, c'est-à-dire le point P où la trajectoire coupe l’axe (Ox). A quel
instant tP ce point est-il atteint ? Quelle est la norme du vecteur vitesse en P ?
5. A v0 fixe, quelle est la portée maximale ? De quoi dépend-elle ?
6. Calculer pour chaque angle α ∈{15°,30°,45°,60°,75°,90°}, avec un même v0, le sommet et la portée de la
trajectoire (faire un tableau). Représenter toutes ces trajectoires.
7. Montrer qu’il existe deux valeurs de α pour lesquelles ces trajectoires issues de l’origine O atteignent une
même cible C dans le plan (Oxy).
8. Rechercher l’ensemble des points du plan (Oxy) accessibles au projectile lancé de O avec une vitesse
initiale v
⃗⃗0 de norme constante mais de direction quelconque. Vous déterminerez pour cela l’équation de la
≪ parabole de sureté ≫ séparant les points du plan pouvant être atteint par le projectile de ceux qui ne le
seront jamais.
Exercice 1.12 : Mouvement en 3D – Equation – Vitesse
Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗, ⃗j, ⃗⃗
k) est :
x = 2t
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM {y = 2t 2 − 5t
z=3
(x, y et z en mètres et t en secondes)
1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan.
2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile , quelle est la nature de la trajectoire ?
3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m ? calculer sa vitesse à cet instant.
4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la distance d = 5 m ?
Exercice 1.13 : Mouvement rectiligne particulier – Base de Projection
Dans un référentiel ℛ (0; e⃗⃗x, e⃗⃗y, e⃗⃗z, t), un mobile ponctuel M se déplace le long
d’un axe (Δ) passant par les points A(D,0,0) et B(0,D,0) (voir figure cicontre).
On note u
⃗⃗ le vecteur unitaire de l’axe (Δ). Le mobile part du point A à
l’instant t=0s avec une vitesse initiale v
⃗⃗0 = v0 u
⃗⃗. Ce mobile se déplace avec
une accélération a⃗⃗ constante, dirigée vers A, de norme a.
1. Justifier que la vitesse de M dans le référentiel ℜ peut s’écrire :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de t
2. Déterminer AM
3. Quelle est la condition sur a, v0 et D pour que le mobile puisse atteindre B ?
Exercice 1.14 : Equation horaire – Trajectoire d’un ballon sonde
Un ballon-sonde M, lâché à l’instant t=0 au niveau du sol au point O, s’élève
avec une vitesse verticale v0 supposée constante. Le vent lui communique
une vitesse horizontale vx orientée suivant l’axe (Ox) proportionnelle à son
altitude z : vx=z/τ, où τ>0. On note (x(t), z(t)) les coordonnées cartésiennes
du point M.
1. En utilisant le vecteur vitesse v
⃗⃗ du ballon, écrire les deux équations reliant
les dérivées et les coordonnées x et z.
2. En déduire les équations horaires x(t) et z(t) en fonction de v0, τ et t.
3. Déterminer l’équation de la trajectoire du ballon-sonde et sa nature
4. Calculer l’expression du vecteur accélération a⃗⃗ du ballon.
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Exercice 1.15 : Mouvement hélicoïdal
Un point matériel M, repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) a un mouvement d’équations
horaires :
1. Déterminer les équations horaires r (t), θ (t), z (t) en coordonnées cylindriques.
Quel renseignement l’équation r(t) apporte-t-elle ? Montrer que le mouvement peut se déduire de la
superposition de deux mouvements que l’on précisera.
2. Exprimer les vecteurs vitesses v
⃗⃗, et accélération a⃗⃗ dans la base cylindrique (e⃗⃗r, e⃗⃗z, e⃗⃗θ).
2. Donner la norme de la vitesse.
3. Représenter l’allure de la trajectoire
4. Montrer que l’angle α formé par v
⃗⃗ avec le plan horizontal est constant.
Exercice 1.16 : Mouvement rectiligne sinusoïdal
I) Un mobile se déplace sur un segment de droite de longueur L = 4cm. Il est animé d’un mouvement
rectiligne sinusoïdal et met 0,1s pour parcourir ce segment.
1) A la date t = 0, le mobile se trouve à l’élongation maximale positive. Ecrire l’équation horaire du
mouvement du mobile.
2) A quelles dates le mobile passe-t-il par l’élongation x = 1cm ?
II) Une particule effectue un mouvement rectiligne sinusoïdale tel que son accélération à la fin de sa
trajectoire ait une intensité de 8.103m.s-2 et que sa vitesse à la position d’équilibre soit de 4m.s-1 en valeur
absolue. Trouver pour ce mouvement :
1) La fréquence N.
2) L’amplitude Xm.
3) L’équation horaire, sachant qu’à la date t = 0s elle passe par la position d’élongation x = -
Xm
2
en allant
dans le sens négatif.
III) Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdale sur un axe x’x. Son élongation à la date t
est : x (t) = A cosωt + B sinωt, x est en mètres et t en secondes.
A la date t = 0s, le mobile passe par l’élongation x = 4m, se déplace dans le sens positif avec une vitesse
initiale Vo = 15m.s-1 et une accélération initiale d’intensité 102m.s-2.
1) Déterminer les valeurs numériques de A, B et ω.
2) Mettre l’équation horaire du mouvement sous la forme x (t) = Xm cos (ωt + φ).
3) A quelle date t1, le mobile passe-t-il pour la première fois par l’abscisse x1 = 2,5m en allant dans le sens
positif ?
4) Le mouvement du mobile à la date t1 est-il accéléré ou retardé?
5) Exprimer en fonction de n, la date à laquelle le mobile passe par l’abscisse x1 = 2,5m pour la nième fois en
allant le sens négatif.
Exercice 1.17 : Mouvement circulaire
Le plan est rapporté à un repère orthonormé xOy d'origine O et de base ( ⃗i ; ⃗j). Les coordonnées s et y d'un
point M mobile dans le plan (O ; ⃗i ; ⃗j) varient avec le temps suivant : x = 2 cos (5t) et y = 2 sin (5 t).
1. Déterminer la nature de la trajectoire.
2. Déterminer les composantes du vecteur vitesse v
⃗⃗.
3. Déterminer l'expression de la vitesse ds/dt ainsi que de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant
t, en prenant comme condition initiale s=0 quand t=0
4. Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
5. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire.
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6. La trajectoire reste la même, mais maintenant le point M subit une accélération angulaire
d²θ/dt²=θ" = 0,2 t. A quelle date le point M atteint-il une vitesse de 10 m/s , sachant qu'il est parti
du repos. Quelle distance a-t-il alors parcouru ?
Exercice 1.18 : La ronde d’un poisson rouge
Un poisson rouge se promène dans son bocal. Le mouvement de son centre d’inertie M dans un repère
orthonormal (O ,i , j ,k ) est décrit par les équations paramétriques suivantes :
1. Etablir l’équation paramétrique de la trajectoire du centre d’inertie du poisson et préciser sa nature.
2. Déterminer le vecteur vitesse correspondant (cartésienne).
Calculer sa norme. Quelle caractéristique le mouvement présente-t-il et que représente la constante ω ?
3. Etablir une relation simple entre les vecteurs, position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM et accélération a⃗⃗ (toujours en cartésienne)
4. Refaire tous ces calculs en coordonnées polaires : trouver les expressions de r et de θ, puis de v
⃗⃗ et de a⃗⃗ et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
la relation entre OM et a⃗⃗.
5. Las d’effectuer toujours le même trajet, le poisson décide d’ajouter une petite composante verticale z (t)
= v0 t au mouvement précèdent (v0 est une constante positive).
Quelle est alors la nature du mouvement du centre d’inertie du poisson ?
6. Et si il rajoute une composante z (t) = z0cos wz t ? Quelle est la nature du mouvement ?
Exercice 1.19 : Rotation d’un tourne-disque
Un tourne-disque, posé sur une table fixe (choix du référentiel du laboratoire R) comporte un plateau de
centre O, de rayon R = 16cm tournant à la vitesse de 33 tours.min-1 supposée constante.
1. Quel est le mouvement d’un point M du plateau tel que OM=r=10cm dans R ?
2. Quelle est la vitesse angulaire ω0 de rotation du point M en rad.s-1 ou en °.s-1 dans R ?
3. Quelle est la vitesse instantanée du point M et celle d’un point P de la périphérie du plateau dans R ?
4. Quelle est la distance parcourue par le point M en t1=2min30s dans R ? Quelle est la valeur de l’angle
balayé par le rayon OM pendant ces 2min30s ?
5. Quel est le vecteur accélération du point M à la date t1 dans R ?
6. A l’instant t1, une phase de freinage débute et le plateau s’immobilise à t2=2min40s. Dans cette phase, ω
est donné par α-βt. Déterminer les paramètres de freinage α et β. Quels sont la vitesse instantanée du point
M et le vecteur accélération à la date t dans R ?
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7. Faire l’AN à t3 = 2min35s pour 𝑎⃗M.
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Exercice 1.20 : Mouvement circulaire sinusoidal
I)- Soit un mobile, A, se déplaçant sur un axe ox suivant la loi horaire : XA(t) =R Cos (ωt +φ) ; R= 0.5m
Le mouvement est sinusoïdal d’amplitude R, de pulsation ω et de phase ϕ = (ωt + φ).
On suppose qu’à t = 0s, XA = R et qu’à t = (𝝅/2ω) s, la vitesse est VA = -(𝝅/2) m/s.
1°)- Calculer φ, la phase à l’origine des temps et ω, la pulsation. En déduire la période T= 2π/ω et la
fréquence f =1/T. Expliquer brièvement à quoi correspondent T et f.
2°)- Etablir une relation entre xA(t) et l’accélération aA (t).
3°)- Représenter qualitativement sur une période T les graphes xA(t), vA(t) et aA(t)
II)- Soit un deuxième mobile M, astreint à se déplacer sur une trajectoire
circulaire de centre O et de rayon R (Voir figure ci-contre).
Sa vitesse angulaire est ω = dθ/dt.
On suppose qu’à t = 0s, θ = 0rad.
1°)- Ecrire, dans le repère (o, x, y), les coordonnées de M, xM(t) et yM(t). Préciser
la nature du mouvement.
2°)- Comment, à partir du mouvement de M, peut-on définir le mouvement de A ?
3°)-Représenter, à t=0.75s, les vecteurs position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀, vitesse 𝑣⃗ et accélération 𝑎⃗.
Echelle: 1cm → 0.1 m ; 1cm → (π/4) m/s et 1cm → π²/2 =5m/s²
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EXERCICES DE RENFORCEMENT
Exercice 1.21 : Equations Horaires (2D et 3D)
Un point M décrit l’espace avec les coordonnées cartésiennes suivantes :
1- Tracer la trajectoire du point M et trouver son équation.
2- Déterminez les expressions du vecteur vitesse 𝑣⃗ et du vecteur accélération 𝑎⃗.
Exercice 1.22 : Echelle Double
Une échelle double est posée sur le sol. Un de ses points d’appui reste constamment
en contact avec le coin O d’un mur. La position de l’échelle à l’instant t est repérée
par l’angle α(t) forme par la portion OA de l’échelle avec le mur. L’extrémité B de
l’échelle glisse sur le sol. L’échelle est telle que OA = AB = l.
1. Exprimer les vecteurs vitesse 𝑣⃗ A et du vecteur accélération 𝑎⃗A du point A dans la
base polaire en fonction de l, α, 𝛼̇ , 𝛼̈ .
2. Exprimer dans la base cartésienne les composantes des vecteurs vitesse 𝑣⃗ B et
accélération 𝑎⃗B du point B.
Exercice 1.23 : Mouvements rectiligne exponentiel
Un point mobile M se déplace le long de l’axe Ox. Son abscisse x est fonction du temps :
1. Quelles sont les dimensions des paramètres a et τ ?
2. Quelle est la valeur finale de x, au bout d’un temps très long ?
3. Calculer la vitesse moyenne entre les dates t1=0,400τ et t2=0,600τ. On l’exprimera en fonction du rapport
a/τ et d’un coefficient numérique que l’on calculera.
4. Un capteur mesure les dates de passages ti en différents points d’abscisses xi. Les résultats sont reportés
sur le tableau suivant :
4.a) D’après la loi exponentielle de x en fonction du temps, comment exprime-t-on t en fonction de x ?
4.b) Vérifier que les valeurs mesurées vérifient bien une telle loi. Par identification, calculer les valeurs de a
et de τ.
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Exercice 1.24 : Mouvement rectiligne sinusoïdal
Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal sur l’axe x’x. Son élongation à la date t est
donnée par x(t) = Acos (ωt) + Bsin (ωt). x est en mètres et t en secondes.
A la date t = 0 le mobile passe par l’élongation x = 4 cm à la vitesse V0 = 6 π cm. s-1 et se déplace dans le sens
positif de l’axe x’x. L’accélération du mobile à cette date t = 0 est a = -16 π2 cm. s-2.
1) Calculer la valeur de A, B et ω.
2) Mettre l’équation horaire du mouvement sous la forme x(t) = Xm cos (ωt + ϕ). Donner son expression
numérique.
Exercice 1.25 : Mouvement circulaire
Les équations horaires du mouvement d’un mobile sont :
x = Acos4πt
y = Acos (4πt – π/2) avec A = 50cm
1- Montrer que la valeur du vecteur vitesse est constante. La calculer.
2- Même question pour le vecteur accélération.
3- Quelle est la nature de la trajectoire de M ? Que représente A pour cette trajectoire ?
4- Préciser la direction et le sens du vecteur accélération.
Exercice 1.27 : Mouvement sur un cône
Présentation du problème :
On étudie le mouvement d’un point M dans le référentiel
M se déplace sur un cône comme représente sur la figure ci-contre. On utilisera les coordonnées
cylindriques (r, θ, z). On connait l’équation horaire donnant l’angle θ ci – dessous, ainsi que la hauteur
initiale z(0)=z0 et l’angle du cône α.
Première partie : le point reste a z = z0 constante
1. Reproduire la figure et représenter pour le point M les vecteurs de la base cylindrique
, en laissant les traits de constructions permettant de tout définir clairement.
2. Si le point M reste au contact du cône, donner la relation liant r(t), z(t), et l’angle α.
3. Supposons un instant que le point reste à la même hauteur z0 et donc au même rayon r0 correspondant,
Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse 𝑣⃗ (M/ℜ) en fonction de r et de θ. En déduire l’expression de la
vitesse orthoradiale vθ correspondante. Combien de temps met-il pour faire un tour complet ?
4. Et si il est la hauteur z0/2 ? Donner vθ correspondante. Combien de temps met-il ? Interpréter.
Seconde partie : le point chute à vz = vz0 constante
On suppose maintenant que le point tombe de la hauteur initiale z(0)=z0 avec une vitesse verticale
constante vZ0<0.
5. Exprimer l’équation horaire de z(t), puis en déduire toutes les autres équations horaires.
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6. Représenter l’allure de ces coordonnées en fonction du temps, ainsi que l’allure de ω(t). On note tf
l’instant où le point atteint le fond. Le calculer.
7. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse 𝑣⃗ (M/ℜ) tout d’abord en fonction de (r, θ, z), puis en
fonction de z0, vZ0, ω0, α et t.
8. Exprimer les coordonnées du vecteur accélération 𝑎⃗ (M/ℜ) tout d’abord en fonction de (r, θ, z), puis en
fonction de z0, vZ0, ω0, α et t.
9. Représenter pour le point M les vecteurs 𝑣⃗ (M/ℜ) et 𝑎⃗ (M/ℜ) sur 2 schémas différents (faire un zoom et
représenter chacune des composantes), ainsi que la trajectoire (sur le même schéma que la vitesse).
10. Interpréter chacune des composantes de ces vitesses et accélération (sens et direction).
Exercice 1.26 : Mouvement rectiligne – Etude graphique
Le diagramme des vitesses d’un mobile animé d’un mouvement rectiligne est donné par la figure cidessous. On donne à t=0s, x=0m.
1°)- Tracer le diagramme des accélérations dans l’intervalle de temps [0s, 10s] .
Echelle: 1cm → 0.5m/s² ; 1cm → 1s
2°)- Tracer le diagramme des espaces du mobile entre les instants t=0s et t=10s.
Echelle: 1cm → 1m; 1cm → 1s
3°)- Evaluer la distance parcourue par le mobile entre les instants t=0s et t=10s.
4°)- Décrire le mouvement du mobile dans l’intervalle de temps (0s, 10s).
5°)- Représenter sur la trajectoire, les vecteurs positions, vitesse et accélération à l’instant t=8s
Echelle : 1cm → 1m ; 1cm → 1m/s ; 1cm → 1m/s².
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Exercice 1.27 : Mouvement rectiligne – Etude graphique
Soit un mobile se déplaçant suivant un axe x'ox. Son diagramme des vitesses est donné ci-dessous. A
l’instant t = 0s, le mobile se trouve à x = 0 m.
1- Représenter le diagramme des accélérations.
2- Préciser les différentes phases du mouvement. Justifier.
3- Déterminer la distance parcourue entre les instants t = 0s et t =9s.
4- Donner les positions du mobile aux instants t=6s et t=9s.
5- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations à ces mêmes instants.
1cm 4 m/s et 1cm 2 m/s2
Exercice 1.28 : Mouvement rectiligne – Etude graphique
On donne sur la figure ci-dessous le diagramme des accélérations d’un mobile animé d’un mouvement
rectiligne.
1°)- Tracer le graphe V(t) entre t=0 et t=30s. Préciser les phases du mouvement. On donne V(0)=15m/s.
2°)- Tracer, sur la trajectoire, les vecteurs positions, vitesse et accélérations aux instants t1=5(s) et t2=15s
sachant qu’à t=0s, x=0m. Echelle : 4cm → 25m ; 2cm → 5m/s ; 1cm → 1m/s².
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TERMINALES S1
2016 - 2017
Exercice 1.29 : Mouvement rectiligne - Dépassement
Une voiture A est arrêtée sur une route horizontale rectiligne à une distance d1=3 m d’un feu rouge.
Lorsque le feu passe au vert, à l’instant t=0, la voiture démarre avec une accélération constante a1=3 m /s2.
Au même moment un motard M roulant à une vitesse constante v2=54 km/h se trouve à une distance
d2=24 m de la voiture. La voiture et le motard considérés comme des points matériels sont repérée à
l’instant t à l’aide de leurs vecteurs positions respectifs et . On choisira comme origine O des abscisses la
1° Déterminer les équations horaires x1(t) et x2(t) de la voiture et du motard respectivement.
2° Déterminer les instants des dépassements ainsi que les positions de la voiture et du motard à ces
instants.
3° Si le motard roulait à la vitesse v2=36 km/h pourrait-il rattraper la voiture ?
4° - a- Calculer, dans ce cas, l’instant pour lequel la distance qui sépare le motard de la voiture est minimale.
- b- En déduire cette distance.
Exercice 1.30 : Mouvement rectiligne sinusoïdal
Dans le repère orthonormé R (O, 𝑖⃗, 𝑗⃗) les équations paramétriques du mouvement d’un point mobile M sont
: x = A cosωt et y = A sinωt avec A = 10 cm et ω = 10 rad/s
a- Donner les composantes de la vitesse v. Que peux- t- on dire de v ?
b- Donner les composantes du vecteur accélération. Que peux – t – on dire de a ?
c- Calculer le produit 𝑎⃗.𝑣⃗ . Que peux –t- on en conclure ?
d- Calculer et représenter les vecteurs 𝑎⃗ et 𝑣⃗ à t = π/20 s. Préciser l’échelle choisie.
Exercice 1.31 : Comète autour du soleil
Une comète se déplace dans le système solaire. Sa position a pour expression :
Où O est l'origine du repère (le soleil) et t représente le temps exprimé en secondes. On suppose que la
comète reste dans le plan (x O y) (z=0).
1. Déterminez les composantes du vecteur vitesse 𝑣⃗et du vecteur accélération 𝑎⃗.
2. En partant de l'expression de l'accélération normale en fonction du rayon de courbure ρ, démontrez la
𝑣3
relation : ρ = ‖𝑣⃗⃗𝑥𝑎⃗⃗‖
En déduire le rayon de courbure ρ de la trajectoire en fonction de t.
3. Déterminez les composantes de l'accélération tangentielle 𝑎⃗t.
4. En déduire les composantes de l'accélération normale 𝑎⃗n. Vérifiez que :
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Exercice 1.32 : Mouvement 2D
Un point P se déplace dans un plan Oxy, ses coordonnées à l’instant t sont données par :
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Avec α = 1 m/s et τ = 1 s.
On demande de :
a) trouver l’équation cartésienne de la trajectoire, de représenter la courbe correspondante entre 0 et 4 s;
b) calculer les composantes cartésiennes de 𝑣⃗ et 𝑎⃗ ainsi que leurs normes ;
c) calculer les composantes intrinsèques de 𝑎⃗ (at et an) ;
d) déterminer les caractéristiques du mouvement d’après le tableau des variations de v et at ;
e) calculer le rayon de courbure lorsque t =3 s.
Exercice 1.33 : Particule sur piste curviligne
Une particule décrivant une trajectoire curviligne dans le plan (ox, oy) est repérée, en coordonnées
polaires par les équations :
𝑡
et θ = 𝑎 (r0 et a sont des constantes positives)
1- Donner l’expression du vecteur vitesse de cette particule.
⃗⃗ , ⃗U⃗θ) est constant. Quelle est sa valeur ?
2- Montrer que l’angle (V
3- Donner l’expression du vecteur accélération.
⃗⃗N) est constant. Donner sa valeur
4- Montrer que l’angle entre le vecteur accélération et la normale (a⃗⃗ , U
(On se servira de la question 2).
5- Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
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