SERIE 1 CINEMATIQUE TS1 2016 - 2017

SERIE DE TD N°1 : CINEMATIQUE DU POINT
TERMINALES S1 2016 - 2017
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EXERCICES D’APPLICATION, DE MAITRISE ET DE RECHERCHE
Exercice 1.1 : Mouvement 1D d’un point
On étudie le mouvement d’un point M, évoluant sur un axe (Ox). Il est décrit par son abscisse x(t), sa vitesse
v(t) et son accélération a(t). Pour chacune des situations proposées, on souhaite calculer :
 L’équation horaire
 L’expression de la vitesse
 L’expression de l’accélération
Et on souhaite également représenter la trajectoire, ainsi que les
vitesses et accélérations aux points atteints aux temps t=0s et t=2s.
Attention : Préciser à chaque fois les unités des constantes α et β
1. x = α 5. v = α avec x(0)=x0
2. x = α t + β 6. v = α t + β avec x(0)=x0.
3. x = α t2 7. a = α avec x(0)=x0 et v(0)=v0
4. x = α cos (ωt) 8. a = α t + β avec x(0)=x0 et v(0)=v0
Exercice 1.2 : Mouvement rectiligne 1D d’une voiture
On étudie le mouvement d’une voiture, considérée comme un point M, et qui évolue sur une longue ligne
droite (l’axe Ox). A l’instant t = 0, elle est arrêtée à l’abscisse x = 0.
1. Pendant une durée τ1, la voiture a une accélération constante a1>0.
Exprimer sa vitesse v1 au bout de ce temps τ1. Représenter les évolutions de v(t), de x(t) et de a(t).
(Réserver de la place à droite pour continuer la courbe avec les questions suivantes).
2. Puis, pendant une durée τ2, la voiture ralentit avec une accélération a2<0.
Exprimer la vitesse v2 de la voiture au bout du temps τ1+τ2. Compléter les courbes.
3. Enfin, il ralentit avec une accélération a3<a2 pendant une durée τ3 avant de s’arrêter.
Déterminer a3 pour que la vitesse v3 de la voiture au bout du temps τ1+τ2+τ3 soit nulle.
Compléter les courbes.
4. Calculer la distance d parcourue par la voiture.
5. AN avec a1=1m.s-2, a2=-0,05m.s-2, τ1=10s, τ2=20s et τ3=5s
Exercice 1.3 : Mouvement rectiligne - Etude graphique
Le graphe suivant représente le diagramme des espaces d’un mobile se déplaçant sur une trajectoire
rectiligne.
1- Tracer, qualitativement le diagramme des espaces en fonction du temps.
2- Tracer le graphe de l’accélération en fonction du temps.
3- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier.
4- Quelle est la distance parcourue par le mobile entre 0 et 7 s
5- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t= 3 et 6 s.
Exercice 1.4 : Mouvement rectiligne - Dépassement
Une voiture A est arrêtée à un feu rouge .Le feu devient vert et A démarre au même moment, une deuxième
voiture B la dépasse, roulant à vitesse constante. Leurs courbes de vitesse en fonction du temps sont
représentées sur la même figure ci-dessous.

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1°)- Combien de temps la voiture A a-t-elle mis pour avoir la même vitesse que la voiture B ?
2°)- A ce moment, à quelle distance en avant de la voiture A se trouve la voiture B ?
3°)- Quelle est la voiture qui est en tête et de combien après 0.01h ?
4°)- A quel instant la voiture A rattrape –t- elle la voiture B ?
Exercice 1.5 : Distance de sécurité ?
On étudie le mouvement de deux voitures, considérées comme ponctuelles, sur un axe (Ox), qui se suivent
à une distance d, les deux voitures se déplacent à la vitesse constante v0. A t = 0s, la première voiture freine
avec une décélération a. La seconde ne commence à freiner qu'au bout d'un temps tr = 0.6s avec une
décélération b.
1. Quelle condition doit satisfaire d pour que la 2nde voiture s'arrête derrière la 1ere ?
2. AN avec v0 = 108km/h, a = 7.5m.s-2 et b = 6 m.s-2.
3. Comparer la valeur de cette distance d avec la distance d’arrêt de chacune des voitures prises
séparément.
4. Et dans le cas où les deux voitures ont même décélération ?
Exercice 1.6 : Relais 4 x 400
Un coureur X arrive avec un mouvement uniforme v=7,5 ms-1. A 10 m devant lui, le coureur Y s'élance d'un
mouvement uniformément accéléré a=2 ms-2.
1. Quel temps s'écoule entre le moment où Y démarre et le passage du témoin.
2. Pendant cette durée quelles sont les distances parcourues par X et Y.
3. Tous les coureurs ont une accélération de 2 ms-2 jusqu'à atteindre une vitesse v= 7,5 ms-1 qu'il
conserve jusqu'au passage du témoin. Les passages du témoin se font tous les 400 m. Quelle est la
durée de la course ?
Exercice 1.7 : Mouvement en 2D – Equation – Vitesse et accélération
Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère
orthonormé (O,,) sont : x = 3t et y = - t2 +2t
1) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile, quelle est la nature de la trajectoire ?
2) Calculer la vitesse du mobile au sommet de sa trajectoire.
3) Calculer la vitesse du mobile au point d'ordonnée y = 1 m.
4) Calculer l'accélération du mobile. Pour quelle(s) valeur(s) de t le mouvement est-il accéléré ? Retardé ?

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Exercice 1.8 : Mouvement en 2D – Vitesse et accélération
Les équations paramétriques (en unités S.I.) d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère
orthonormé (O, , ) sont : x = 3t et y = t2 -1
1) Calculer la vitesse du mobile à l' instant t = 2 s.
2) Calculer les composantes tangentielle aT et normale aN de l'accélération  du mobile dans la base de
Frenet (M, , ) à l' instants t = 2 s. En déduire la valeur du rayon de courbure ρ de la trajectoire à t = 2 s.
3) Calculer l’accélération a du mobile à la date t = 1 s.
Exercice 1.9 : Mouvements rectilignes simultanés
Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un trottoir rectiligne xx’. Un piéton décide de
traverser la route au moment où la voiture se trouve a une distance D. Le mouvement du piéton est
rectiligne, uniforme, de vitesse v, inclinée d’un angle φ par rapport a l’axe Oy.
1. La voiture se déplace à  =V
x constante. Dans le cas ou φ = 0 (il marche perpendiculairement au
trottoir), quelle doit être la vitesse v0 du piéton pour que la collision soit évitée ?
2. Dans le cas d’un angle φ quelconque, exprimer la vitesse v1 du piéton, les équations horaires de son
mouvement, et en déduire la condition sur L, D, v1, V et l’angle φ pour que la collision soit évitée.
3. En déduire la vitesse minimale vmin à laquelle peut marcher le piéton, avec l’angle φmin correspondant.
Exprimer vmin en fonction de L, D et V.
Exercice 1.10 : Description de mouvements en base cartésienne
Un point M décrit l’espace avec les coordonnées cartésiennes suivantes :
1. Déterminez les expressions du vecteur vitesse  et du vecteur accélération .
2. Quelle est la nature de la trajectoire ? La représenter ainsi que  et  à t=0s.
Exercice 1.11 : Tir balistique dans un champ de pesanteur
A l’instant t = 0, une particule ponctuelle M est
lancée du point O avec une vitesse initiale 
0
située dans le plan (Oxz) et faisant avec
l’horizontale un angle α > 0 susceptible d’être
ajusté.
Le mouvement de ce point, étudié dans le
référentiel terrestre (0; 
x, y,  z, t), est tel que son
accélération est constante :
1. Exprimer les composantes du vecteur vitesse  (M /) à l’instant t puis les équations horaires du
mouvement.
2. En déduire l’équation de la trajectoire de M et préciser la nature de celle-ci.
3. A quel instant tS le sommet S de cette trajectoire est-il atteint ? Quelle sont ses coordonnées xS et zS ?

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4. Quelle est la portée OP du projectile, c'est-à-dire le point P où la trajectoire coupe l’axe (Ox). A quel
instant tP ce point est-il atteint ? Quelle est la norme du vecteur vitesse en P ?
5. A v0 fixe, quelle est la portée maximale ? De quoi dépend-elle ?
6. Calculer pour chaque angle α {15°,30°,45°,60°,75°,90°}, avec un même v0, le sommet et la portée de la
trajectoire (faire un tableau). Représenter toutes ces trajectoires.
7. Montrer qu’il existe deux valeurs de α pour lesquelles ces trajectoires issues de l’origine O atteignent une
même cible C dans le plan (Oxy).
8. Rechercher l’ensemble des points du plan (Oxy) accessibles au projectile lancé de O avec une vitesse
initiale 
0 de norme constante mais de direction quelconque. Vous déterminerez pour cela l’équation de la
 parabole de sureté  séparant les points du plan pouvant être atteint par le projectile de ceux qui ne le
seront jamais.
Exercice 1.12 : Mouvement en 3D – Equation – Vitesse
Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,,,  ) est :
(x, y et z en mètres et t en secondes)
1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan.
2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile , quelle est la nature de la trajectoire ?
3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m ? calculer sa vitesse à cet instant.
4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la distance d = 5 m ?
Exercice 1.13 : Mouvement rectiligne particulier – Base de Projection
Dans un référentiel  (0; 
x, y,  z, t), un mobile ponctuel M se déplace le long
d’un axe (Δ) passant par les points A(D,0,0) et B(0,D,0) (voir figure ci-
contre).
On note  le vecteur unitaire de l’axe (Δ). Le mobile part du point A à
l’instant t=0s avec une vitesse initiale 
0 = v0 
. Ce mobile se déplace avec
une accélération  constante, dirigée vers A, de norme a.
1. Justifier que la vitesse de M dans le référentiel  peut s’écrire :
2. Déterminer  en fonction de t
3. Quelle est la condition sur a, v0 et D pour que le mobile puisse atteindre B ?
Exercice 1.14 : Equation horaire – Trajectoire d’un ballon sonde
Un ballon-sonde M, lâché à l’instant t=0 au niveau du sol au point O, s’élève
avec une vitesse verticale v0 supposée constante. Le vent lui communique
une vitesse horizontale vx orientée suivant l’axe (Ox) proportionnelle à son
altitude z : vx=z/τ, où τ>0. On note (x(t), z(t)) les coordonnées cartésiennes
du point M.
1. En utilisant le vecteur vitesse  du ballon, écrire les deux équations reliant
les dérivées et les coordonnées x et z.
2. En déduire les équations horaires x(t) et z(t) en fonction de v0, τ et t.
3. Déterminer l’équation de la trajectoire du ballon-sonde et sa nature
4. Calculer l’expression du vecteur accélération  du ballon.

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Exercice 1.15 : Mouvement hélicoïdal
Un point matériel M, repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) a un mouvement d’équations
horaires :
1. Déterminer les équations horaires r (t), θ (t), z (t) en coordonnées cylindriques.
Quel renseignement l’équation r(t) apporte-t-elle ? Montrer que le mouvement peut se déduire de la
superposition de deux mouvements que l’on précisera.
2. Exprimer les vecteurs vitesses  , et accélération  dans la base cylindrique (
r, z,  θ).
2. Donner la norme de la vitesse.
3. Représenter l’allure de la trajectoire
4. Montrer que l’angle α formé par  avec le plan horizontal est constant.
Exercice 1.16 : Mouvement rectiligne sinusoïdal
I) Un mobile se déplace sur un segment de droite de longueur L = 4cm. Il est animé d’un mouvement
rectiligne sinusoïdal et met 0,1s pour parcourir ce segment.
1) A la date t = 0, le mobile se trouve à l’élongation maximale positive. Ecrire l’équation horaire du
mouvement du mobile.
2) A quelles dates le mobile passe-t-il par l’élongation x = 1cm ?
II) Une particule effectue un mouvement rectiligne sinusoïdale tel que son accélération à la fin de sa
trajectoire ait une intensité de 8.103m.s-2 et que sa vitesse à la position d’équilibre soit de 4m.s-1 en valeur
absolue. Trouver pour ce mouvement :
1) La fréquence N.
2) L’amplitude Xm.
3) L’équation horaire, sachant qu’à la date t = 0s elle passe par la position d’élongation x = - 
 en allant
dans le sens négatif.
III) Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdale sur un axe x’x. Son élongation à la date t
est : x (t) = A cosωt + B sinωt, x est en mètres et t en secondes.
A la date t = 0s, le mobile passe par l’élongation x = 4m, se déplace dans le sens positif avec une vitesse
initiale Vo = 15m.s-1 et une accélération initiale d’intensité 102m.s-2.
1) Déterminer les valeurs numériques de A, B et ω.
2) Mettre l’équation horaire du mouvement sous la forme x (t) = Xm cos (ωt + φ).
3) A quelle date t1, le mobile passe-t-il pour la première fois par l’abscisse x1 = 2,5m en allant dans le sens
positif ?
4) Le mouvement du mobile à la date t1 est-il accéléré ou retardé?
5) Exprimer en fonction de n, la date à laquelle le mobile passe par l’abscisse x1 = 2,5m pour la nième fois en
allant le sens négatif.
Exercice 1.17 : Mouvement circulaire
Le plan est rapporté à un repère orthonormé xOy d'origine O et de base (  ; ). Les coordonnées s et y d'un
point M mobile dans le plan (O ;  ; ) varient avec le temps suivant : x = 2 cos (5t) et y = 2 sin (5 t).
1. Déterminer la nature de la trajectoire.
2. Déterminer les composantes du vecteur vitesse  .
3. Déterminer l'expression de la vitesse ds/dt ainsi que de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant
t, en prenant comme condition initiale s=0 quand t=0
4. Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
5. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire.