Cynématique Vitesse

VITESSE et ACCÉLÉRATION
Le mouvement rectiligne
Pour comparer les mouvements entre eux, on devrait comparer les déplacements faits dans un un même
intervalle de temps, à savoir par unité de temps (seconde).
Connaissant le déplacement
Δ x
effectué au cours de l’intervalle de temps
Δt
, pour connaître le
déplacement qui revient par unité de temps, nous devons diviser
Δx
par
Δt
. On obtient la
vitesse moyenne sur l'intervalle de temps considéré :
vm =Δ
x
Δ t
=
déplacement
durrée
(1)
La vitesse (1) a le même signe que le déplacement car
Δ t = t2 − tl
est toujours positive.
La vitesse est positive si le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe (
Δx>0
,
v
m
>0
)
et est négative si le mobile se déplace dans le sens négatif de l'axe (
Δ x < 0
,
vm < 0
).
EXEMPLE
Un cycliste part de Genève (
x1=0km
) à l'heure
t1=8.0h
et arrive à Sion (
x
2
=150 km
) à
l'heure à
t2 = 13h
. La vitesse moyenne sur cette distance
Δ x = x2 − x1 = 150 km
ou sur l'intervalle
de temps respectif
Δt=t
2
−t
l
=5.0 h
est
vm =Δ
x
Δ t 
=
x2 − x1
t2 − t1
=
150 km
5h
= 30 km
h
.
Mais le cycliste n’a pas toujours roulé à cette vitesse.
Au début, il est probablement allé plus vite, puis plus lentement. Quand il s'est arrêté pour se reposer,
la vitesse était nulle. Des fois qu’il a perdu quelque chose, il est revenu en arrière et la vitesse a été
négative.
La vitesse moyenne calculée pour d'autres intervalles de temps ou pour d'autres distances (par exemple,
Genève-Aubonne, Lausanne-Martigny) a été différente.
Pour connaître la vitesse à un moment t ou dans un certain point x de la trajectoire, par exemple la
vitesse du vélo à Lausanne, au kilomètre
x=60 km
, nous mesurerons la vitesse moyenne du cycliste
sur une petite distance,
Δx=10 m
à proximité du kilométrage respectif. En prenant une distance
encore pluspetite,
Δx=1m
, et en utilisant une horloge électronique, nous trouverons une vitesse
très proche de la vitesse du cycliste lorsqu'il passe le point
x=60 km
.
Par conséquent, dans la plage
Δt
pour laquelle nous calculons la vitesse moyenne, le mobile peut
aller plus vite ou plus lentement sur des sous-intervalles plus petits. Pour connaître la vitesse à un
moment où la cellule passe par le point
P ( x )
, on peut procéder comme suit: on considère un
moment
t
1
proche de moment tquand le mobile passe le point
A ( x1 )
et on calcule la vitesse
moyenne
1

On note la vitesse du mobile dans le point
A ( x1 )
avec
v
1
.
v1 =
x1 − x
t1 − t
=
PA
t1 − t
Mais ceci ne rend pas correctement la vitesse instantanée au point A : entre O et A le mobile a pu
changer de vitesse. Si, par contre, on prend des moments
t2, t3, t4
de plus en plus proches de A et on
calcule les vitesses instantanées on va obtenir des mesures de plus en plus précises :
v2=x2−x
t2−t
v3=x3−x
t3−t
v4=x4−x
t4−t
Définition :
On appelle la vitesse instantanée la vitesse moyenne calculée pour les intervalles
Δx
et
Δt
lorsque
Δx
et
Δt
sont très petits (vraiment très petits : ils sont infiniment petits). On dit
qu’ils tendent vers 0 et on écrit
❑→0
.
v =Δ
x
Δ tquand
Δ x → 0 et Δ t → 0
Dans cette définition le mot "infiniment" a une signification mathématique : ce n’est pas juste une
figure de style :
par "infiniment petit" on entend une valeur qui s’approche de 0 sans pour autant devenir 0 à aucun
moment. De ce fait, une telle valeur pourra être ignorée dans un calcul : son apport au résultat sera
infinitésimal et, par conséquent irrelévant.
2
1:Lemobilepartdupointinitialmarquésurl'axedutempsavecOetqui
correspondàt=0.LemobileestreprésentéparlepointP.
Atoutmomentilaunecoordonnéespatialexetunecoordonnéetemporalet:on
écritqueàtoutmomentlapositiondumobileest
P ( x ,t )
.
IlpasseparlespointsA,B,C,Dcorrespondantauxcoordonnées
x
1, 2,3,4
aux
moments
t1,2,3,4
.
Parex.aumomentoùilpasseparlepointA,ondit
A ( x1, t1 )

NOTE IMPORTANTE:
En fait toute l’opération
Δx
Δt
a une signification mathématique quand les valeurs
Δ x → 0 et Δ t → 0
: le rapport
Δ x
Δ t
correspond à l’opération mathématique de dérivation. De fait, la vitesse d’un mobile àunmomentdonné est la
dérivée de la fonction position du mobile par rapport au temps. Mathématiquement on écrit:
v = x
'
( t )=
dx
dt
où
dx
dt
est l’opérateur différentiel appliqué à la fonction
x(t)
dans le point
t
.
Formellement (dans l’écriture) le symbole
Δ
devient
d
.
Dans ce qui suit nous avons choisi de garder la notation avec
Δ
pour ne pas alourdir le discours : il reste toujours
vrai que la vitesse est le rapport d’une distance par rapport à un temps. On garde néanmoins à l’esprit que
Δ
parle
d’intervalles finis alors que les valeurs instantanées sont calculées sur des intervalles infinimentpetits. Donc avec
Δ
on calcule que des valeurs moyennes, alors que les valeurs instantanées sont calculées avec l’opérateur
différentiel
d
.
EXEMPLES:
1. Prenons un mobile qui s’éloigne de son point de départ. On mesure la distance qu’il a parcouru
toutes les secondes et on constate que la position du véhicule dépend du temps comme ceci :
x ( t )= 4t
On veut savoir quelle est sa vitesse instantanée 10 secondes après le départ.
Mais après 12secondes ?
Mais après 15, 20, 30 secondes ?
Utilisons la définition :
v =Δ
x
Δ tavec
Δ x → 0et Δ t → 0
On a
x(t)=4t
Δx=x2−x1=x(t2)−x(t1)=4t2−4t1=4(t2−t1)=4Δt
Comme
v=Δx
Δt⇒
v=4Δt
Δt=4[m s]
Ceci nous montre que une loidemouvementdu type décrit dans 1) est seulement possible si la vitesse
du mobile est constante1.
1 On retrouve le même résultat directement en dérivant la fonction x(t)=4t par rapport à la variable t:
v = x
’
( t )=( 4 t )
’
=
d
dt
( 4 t )= 4
3

Conclusion : une loi de mouvement donnée par une équation de premier degré décrit un mouvement
rectiligne et uniforme (MRU).
Donc après 10s sa vitesse sera 4 m/s.
Exercice : répondre aux deux dernières questions.
2. Mêmes questions pour la loi du mouvement
x(t)=4t2+3
Exercice : Essayez de résoudre avant de lire la suite.
La loi du mouvement est :
x(t)=4t2+3
On reprend la définition :
v=Δx
Δt⇒
v=x(t2)−x(t1)
Δt=(4t2
2+3)−(4t1 2+3)
Δt⇔
v=4t2
2+3−4t1 2−3
Δt=4(t2
2−t1 2)
Δt=4(t2−t1)
⏞
Δt
(t2+t1)
Δt⇔
v=4Δt(t2+t1)
Δt=4(t2+t1) (*)
Étant donné que l’on cherche la vitesse instantanée on a
Δt→0⇔
t2−t1→0⇔
t2→t1≈t⇔
t2+t1→2t(**)
Donc
4

( * )
( ** )
}
⇒ v = 4 ⋅( 2t ) ⇒ v = 8t
2
Ceci nous montre qu’une loi de mouvement donnée par 2) nous donne une loi de la vitesse qui dépend
linéairementdetemps !
Ceci veut dire que la vitesse varie dans le temps (dans notre cas augmente) d’une manière linéaire.
Ceci est la définition d’un mouvement uniformément accéléré,
Conclusion : une loi de mouvement donnée par une équation de 2ème degré décrit un mouvement
rectiligne et uniformément accéléré (MRUA).
Exercice : répondre aux deux dernières questions.
2 Encore une fois, on retrouve ce résultat en faisant directement la dérivée de la fonction x(t) par rapport au temps:
v =
dx
dt
=
d
dt
( 4 t
2
+ 3 )= 8 t
5