VITESSE et ACCÉLÉRATION Le mouvement rectiligne Pour comparer les mouvements entre eux, on devrait comparer les déplacements faits dans un un même intervalle de temps, à savoir par unité de temps (seconde). Connaissant le déplacement Δ x effectué au cours de l’intervalle de temps Δ t , pour connaître le déplacement qui revient par unité de temps, nous devons diviser Δ x par Δ t . On obtient la vitesse moyenne sur l'intervalle de temps considéré : v m= Δ x déplacement = Δt durrée (1) La vitesse (1) a le même signe que le déplacement car Δ t =t 2 −t l est toujours positive. La vitesse est positive si le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe ( Δ x >0 , v m>0 ) et est négative si le mobile se déplace dans le sens négatif de l'axe ( Δ x <0 , v m<0 ). EXEMPLE Un cycliste part de Genève ( x 1 =0 km ) à l'heure t 1=8.0h et arrive à Sion ( x 2 =150 km ) à l'heure à t 2 =13h . La vitesse moyenne sur cette distance Δ x= x 2− x 1 =150 km ou sur l'intervalle de temps respectif Δ t =t 2 −t l =5.0 h est Δ x x 2 − x1 150 km km v m= = = =30 . Δ t t 2 −t 1 5 h h Mais le cycliste n’a pas toujours roulé à cette vitesse. Au début, il est probablement allé plus vite, puis plus lentement. Quand il s'est arrêté pour se reposer, la vitesse était nulle. Des fois qu’il a perdu quelque chose, il est revenu en arrière et la vitesse a été négative. La vitesse moyenne calculée pour d'autres intervalles de temps ou pour d'autres distances (par exemple, Genève-Aubonne, Lausanne-Martigny) a été différente. Pour connaître la vitesse à un moment t ou dans un certain point x de la trajectoire, par exemple la vitesse du vélo à Lausanne, au kilomètre x =60 km , nous mesurerons la vitesse moyenne du cycliste sur une petite distance, Δ x=10 m à proximité du kilométrage respectif. En prenant une distance encore pluspetite, Δ x=1 m , et en utilisant une horloge électronique, nous trouverons une vitesse très proche de la vitesse du cycliste lorsqu'il passe le point x =60 km . Par conséquent, dans la plage Δ t pour laquelle nous calculons la vitesse moyenne, le mobile peut aller plus vite ou plus lentement sur des sous-intervalles plus petits. Pour connaître la vitesse à un moment où la cellule passe par le point P ( x ) , on peut procéder comme suit: on considère un moment t 1 proche de moment tquand le mobile passe le point A( x 1 ) et on calcule la vitesse moyenne 1 1:Lemobilepartdupointinitialmarquésurl'axedutempsavecOetqui correspondàt=0.LemobileestreprésentéparlepointP. Atoutmomentilaunecoordonnéespatialexetunecoordonnéetemporalet:on écritqueàtoutmomentlapositiondumobileest P ( x ,t ) . IlpasseparlespointsA,B,C,Dcorrespondantauxcoordonnées x 1, 2,3,4 aux moments t 1,2,3,4 . Parex.aumomentoùilpasseparlepointA,ondit A( x 1, t 1 ) On note la vitesse du mobile dans le point v1= A( x 1 ) avec v 1 . x 1 − x PA = t 1 −t t 1 −t Mais ceci ne rend pas correctement la vitesse instantanée au point A : entre O et A le mobile a pu changer de vitesse. Si, par contre, on prend des moments t 2, t 3, t 4 de plus en plus proches de A et on calcule les vitesses instantanées on va obtenir des mesures de plus en plus précises : x2− x t 2 −t x −x v 3= 3 t 3−t x −x v 4= 4 t 4 −t v 2= Définition : On appelle la vitesse instantanée la vitesse moyenne calculée pour les intervalles Δ x et Δ t lorsque Δ x et Δ t sont très petits (vraiment très petits : ils sont infiniment petits). On dit qu’ils tendent vers 0 et on écrit ❑→ 0 . v= Δx quand Δ x →0 et Δ t → 0 Δt Dans cette définition le mot "infiniment" a une signification mathématique : ce n’est pas juste une figure de style : par "infiniment petit" on entend une valeur qui s’approche de 0 sans pour autant devenir 0 à aucun moment. De ce fait, une telle valeur pourra être ignorée dans un calcul : son apport au résultat sera infinitésimal et, par conséquent irrelévant. 2 NOTE IMPORTANTE: Δx a une signification mathématique quand les valeurs Δ x →0 et Δ t → 0 : le rapport Δt En fait toute l’opération Δx correspond à l’opération mathématique de dérivation. De fait, la vitesse d’un mobile àunmomentdonné est la Δt dérivée de la fonction position du mobile par rapport au temps. Mathématiquement on écrit: dx est l’opérateur différentiel appliqué à la fonction x (t) dans le point t . dt Formellement (dans l’écriture) le symbole Δ devient d . Dans ce qui suit nous avons choisi de garder la notation avec Δ pour ne pas alourdir le discours : il reste toujours vrai que la vitesse est le rapport d’une distance par rapport à un temps. On garde néanmoins à l’esprit que Δ parle ' v =x (t )= dx où dt d’intervalles finis alors que les valeurs instantanées sont calculées sur des intervalles infinimentpetits. Donc avec Δ on calcule que des valeurs moyennes, alors que les valeurs instantanées sont calculées avec l’opérateur différentiel d . EXEMPLES: 1. Prenons un mobile qui s’éloigne de son point de départ. On mesure la distance qu’il a parcouru toutes les secondes et on constate que la position du véhicule dépend du temps comme ceci : x (t )=4 t On veut savoir quelle est sa vitesse instantanée 10 secondes après le départ. Mais après 12secondes ? Mais après 15, 20, 30 secondes ? Utilisons la définition : v= Δx Δt avec Δ x → 0 et Δ t →0 On a x (t )=4 t Δ x= x 2− x 1 =x (t 2)− x (t 1 )=4 t 2−4 t 1=4(t 2−t 1)=4 Δ t Comme Δx v= ⇒ Δt v= 4Δt m =4 [ ] Δt s Ceci nous montre que une loidemouvementdu type décrit dans 1) est seulement possible si la vitesse du mobile est constante1. 1 On retrouve le même résultat directement en dérivant la fonction x(t)=4t par rapport à la variable t: ’ ’ v =x (t )=(4 t ) = 3 d (4 t )=4 dt Conclusion : une loi de mouvement donnée par une équation de premier degré décrit un mouvement rectiligne et uniforme (MRU). Donc après 10s sa vitesse sera 4 m/s. Exercice : répondre aux deux dernières questions. 2. Mêmes questions pour la loi du mouvement x (t )=4 t 2 +3 Exercice : Essayez de résoudre avant de lire la suite. La loi du mouvement est : x (t )=4 t 2 +3 On reprend la définition : v= Δx Δt ⇒ 2 2 x (t 2)− x (t 1) (4 t 2 +3)−( 4t 1 +3) v= = Δt Δt ⇔ Δt v= 4 t +3−4 t −3 4(t −t ) 4(t ⏞ −t ) (t +t ) = = 2 1 2 1 Δt Δt Δt v= 4 Δ t (t 2 +t 1) =4(t 2 +t 1 ) Δt 2 2 2 1 2 2 2 1 ⇔ (*) Étant donné que l’on cherche la vitesse instantanée on a Δ t →0 ⇔ t 2 −t 1 → 0 ⇔ t 2 →t 1≈t ⇔ t 2 +t 1 → 2 t Donc 4 (**) (*) (**) } ⇒ v =4⋅(2 t ) ⇒ v=8t 2 Ceci nous montre qu’une loi de mouvement donnée par 2) nous donne une loi de la vitesse qui dépend linéairementdetemps ! Ceci veut dire que la vitesse varie dans le temps (dans notre cas augmente) d’une manière linéaire. Ceci est la définition d’un mouvement uniformément accéléré, Conclusion : une loi de mouvement donnée par une équation de 2ème degré décrit un mouvement rectiligne et uniformément accéléré (MRUA). Exercice : répondre aux deux dernières questions. 2 Encore une fois, on retrouve ce résultat en faisant directement la dérivée de la fonction x(t) par rapport au temps: v= 5 dx d 2 = (4 t +3)=8 t dt dt Le mouvement en plus de une dimension Jusqu’ici nous avons vu le déplacement d’un mobile et sa vitesse le long d’unaxe. Autant dire que nous avons étudié le mouvement dans un espace à unedimension:1d. Nous avons effectivement eu besoin d’un seul nombre, un seul axe et une origine pour caractériser la position de notre mobile : (O ; x ,t ) . Nous pouvons maintenant généraliser les techniques utilisées pour les espaces à 2 et 3 dimensions. Le mouvement dans 2d: le plan On se rappelle que l’outil utilisé pour définir la position d’un point dans l’espace était le vecteur (Cours‘Opérationsavecdesvecteurs’). Dans ce qui suit nous allons regarder le déplacement d’un mobile le long d’une trajectoire plane mais pas rectiligne : 2:Ledéplacementrésultant ⃗ AC estlasomme vectorielledesdeuxvecteursdéplacements composants: ⃗ AB et ⃗ BC . Pour étudier le mouvement en 2d (analogue 3d et plus) nous allons caractériser la position de notre mobile en prenant son vecteurdeposition ⃗r =( x , y ) . Dans cette relation les coordonnées x et y varientdansletemps:on dit qu’elles sont des fonctions de temps : ⃗r =( x (t ) ; y (t )) La technique consiste à appliquer exactement les raisonnements du chapitre précédent aux deux sets des coordonnées séparément : Δx Δt Δy v ym= Δt v xm= Avec ça on obtient une paire de valeurs pour la vitesse moyenne v m : v xm et v ym . On se rappelle que toute paire de nombres réels peut définir un vecteur : on a obtenu le vecteur ⃗ vm de composantes v xm et v ym . 6 v m=(v xm ; v ym)=( Δx Δy ; ) Δt Δt Si on prend des intervalles de plus en plus petits de temps Δ t →0 , on obtient la vitesse instantanée du mobile comme : 3:Levecteurdéplacementdumobile ⃗ AB=⃗ Δ r =⃗ r 2 −⃗ r1 . Le vecteur déplacement du mobile est ⃗ AB=⃗ Δ r =⃗ r 2 −⃗ r 1=( x 2− x 1 ; y 2− y 1 ) . Il a comme composantes Δ x= x 2− x 1 et Δ y= y 2− y 1 obtenues en tirant des projections sur les deux axes. Donc la vitesse instantanée du mobile est 3: ⃗ v m= } ⃗ AB ⃗ Δr Δx Δy = =( ; ) Δt Δt ⏟ Δt ⏟ Δt Δ t →0 v xm ⃗ v ym ⃗ ⇒ ⃗v = ⃗ AB ⃗ Δr = Δt Δt La direction du vecteur vitesse moyenne est celle donnée par la sécante à la trajectoire entre les points A et B entre lesquels on calcule la vitesse moyenne, et le sens est donné par le sens du mouvement. Le vecteur vitesse moyenne pour un mouvement sur une trajectoire curviligne, a la direction et le sens du vecteur déplacement, et son module (longueur) est égal au module du vecteur déplacement divisé par le temps. 3 7 En se rappelant la NOTE IMPORTANTE on écrit pour la vitesse instantanée: ⃗v = d ⃗r d = (⃗r (t )) . dt dt Lorsque l’on rapproche A et B infiniment ( Δ t →0 ) on voit le vecteur vitesse moyenne pivoter jusqu’à ce qu’il devienne tangent à la courbe. Le vecteur vitesse instantanée sur une trajectoire curviligne est tangent à la courbe dans le point sélectionné et son module est obtenu en faisant Δ t tendre vers 0. Le sens du vecteur vitesse instantanée est le sens du déplacement dans ce point. Le mouvement en 3d: l’espace Tout le raisonnement du chapitre précédent s’applique au déplacements en 3d. r⃗ =( x ; y ; z ) ⇒ Δ r=(Δ x ; Δ y ; Δ z ) ⃗ v m≝ ⃗ Δr Δx Δy Δz =( ; ; ) Δt ⏟ Δt ⏟ Δt ⏟ Δt Δ t →0 ⃗ v xm ⃗ v ym ⃗ v zm } ⇒ v i= ⃗ ⃗ Δr Δx Δy Δz =( ; ; ) Δt Δt Δt Δt Les vecteurs vitesse moyenne et vitesse instantanée ont exactement les mêmes directions et sens que ceux démontrés en 2d. Note En utilisant l’opérateur différentiel (la dérivée de la fonction r⃗ (t) ) : d ⃗r d ∂x ∂y ∂z ; ; ) où les objets ∂ s’appellent les dérivées partielles ⃗v = = ( x (t ) ; y (t ); z (t ))=( ∂t dt dt ∂t ∂t ∂t de la fonction de position ⃗r par rapport au temps. 8 Accélération On a analysé les mouvements pendant lesquels le vecteur vitesse ne change pas le long du déplacement. En général ceci n’est pas le cas : le vecteur vitesse peut changer • en grandeur : la trajectoire ne change pas mais la vitesse diminue ou augmente : mouvement accéléré ou freiné. • en direction : déplacement sur une trajectoire curviligne. Un même changement du vecteur vitesse, qu’il soit en direction ou grandeur, peut avoir lieu dans un temps plus ou moins long. Pour pouvoir comparer la ‘non-uniformité’ des différents déplacements où la vitesse change, nous allons calculer la variation de la vitesse dans le même intervalle de temps. Nous allons donc diviser la variation de la vitesse par le temps nécessaire pour faire cette variation, et on va obtenir la variation de la vitesse par unité de temps. Nous allons appeler ce résultat l’accélération du mouvement. Définition On appelle accélération d’un mouvement la vitesse de variation de la vitesse de déplacement du point mobile considéré. Accélération lors d’un déplacement rectiligne On définit une accélération moyenne comme la variation de la vitesse Δ v qui a lieu sur un intervalle de temps Δ t . Δ v=v 2 −v 1 Δ t=t 2−t 1 Δ v la variation de la vitesse am = = Δt l ' interval de temnps L’accélération peut être positive ou négative selon le signe de Δ v : • • v 2 >v 1 ⇒ Δ v=v 2 −v 1 >0 Δ t >0 toujours v 2 <v 1 ⇒ Δ v=v 2 −v 1 <0 Δ t >0 toujours } } ⇒ ⇒ Δv >0 mouvement accéléré Δt Δv a m= <0 mouvement décéléré (freiné) Δt a m= L’accélération moyenne caractérise la variation de la vitesse sur l’intervalle Δ t , mais pour des intervalles plus courts elle pourrait être différente (e.g. : on appuie plus ou moins fort sur la pédale de l’accélérateur dans la voiture). Pour caractériser la variation de la vitesseàunmomentdonné nous allons calculer le rapport en faisant Δ t →0 : on obtient ainsi l’accélérationinstantanée. 9 a= Δv Δt avec Δt→0 . Note Dans le cas du mouvement rectiligne (et seulement dans le cas du mouvement rectiligne !!!) le vecteur accélération est parallèle à la vitesse. Note L’accélération mesure la variation du vecteur vitesse par rapport au temps, et non pas la vitesse !!! Note La discussion sur Δ et d s’applique ici aussi : L’accélération instantanée s’écrit rigoureusement comme la première dérivée de la fonction v (t ) par rapport au temps. Ceci donne comme conséquence que l’accélération instantanée est la deuxième dérivée de la fonction x (t) par rapport au temps : a=v '(t )=( x ' (t ))'=x ' ' (t ) ou encore 2 dv d dx d x a=v '(t )= = ( )= 2 dt dt dt dt EXEMPLE : Un train qui se déplace à une vitesse de 90 km/h est freiné tel que, en 20 s, sa vitesse descend à 18 km/h. Calculez l’accélération de ce mouvement. Discutez le résultat. Essayez de résoudre avant de lire plus loin 10 km h km v 1 =18 h Δ t =20 s ___________________ a=? ___________________ v 0 =90 Δv Δt v −v a= 1 0 Δt km 90⋅10³ m v 0 =90 = =25 h 3600 s km m v 1 =18 =5 h s a= } ⇒ a= 5−25 m =−1 2 20 s Discussion : L’accélération calculée est négative. Ceci indique un mouvement uniformément décéléré (freiné) ce qui concorde avec les données initiales : la vitesse initiale est plus grande que la vitesse finale. Si vous avez l’appareil mathématique nécessaire, adressez l’exercice suivant en utilisant l’opérateur différentiel : Des mobiles suivent des lois de mouvement comme celles-ci : a) b) x (t )=4 t x (t )=4 t 2 +3 Quelles sont les accélérations de mobiles décrits dans a) et b) ? Quels types de mouvement suivent-ils ? Essayezderésoudreavantdelireplusloin m s2 a) a=x ' ' (t )=( x ' (t ))'=((4 t )')'=(4 )'=0 b) a=x ' ' (t )=( x ' (t ))'=((4 t +3)')'=(8 t )'=8 2 m s2 Le mobile a) se déplace uniforme (MRU) : l’accélération est nulle Le mobile b) se déplace uniformément accéléré (MRUA) : l’accélération est non-nulle et constante : 8. 11 Mouvement en 2 et 3 d Dans le cas du mouvement multidimensionnel ( dans le plan ou dans l’espace), si on divise la variation du vecteur vitesse par l’intervalle de temps on obtient lavariationmoyennedelavitesseparrapport autemps. Ceci est l’accélérationmoyenne. a m= ⃗ v −⃗ v la variation du vecteur vitesse Δ ⃗v ⃗ = 2 1= Δ t t 2−t 1 l ’ intervalle de temps Pour comprendre l’accélération instantanée on exécute un raisonnement similaire à celui du chapitre précédent : on rend l’intervalle de temps infiniment petit : Δ t →0 . Δ v dans 4:Lavariationduvecteurvitesse ⃗ l'intervalledetemps Δ t ,levecteur Δv a m= accélérationmoyenne ⃗ et Δt l'accélérationinstantanée ⃗ a . Δv quand Δ t →0 Δt Δ ⃗v Δ v x Δ v y Δ v z a⃗ = =( ; ; ) Δt Δt Δt Δt a= ⃗ Note On constate que, dans le cas d’un mouvement le long d’une courbe, l’accélération instantanée est un vecteur perpendiculaire sur la vitesse instantanée et orienté vers l’intérieur de la courbe (le long du rayon de courbure dans le point sélectionné). Note En utilisant l’opérateur différentiel (la dérivée de la fonction v⃗ (t ) ) : ∂ v ∂v ∂v d ⃗v d a= = (v x (t) ; v y (t) ; v z (t))=( x ; y ; z ) où les objets ∂ s’appellent les dérivées ⃗ ∂t dt dt ∂t ∂t ∂t partielles de la fonction ⃗v par rapport au temps. 12 Classification des mouvements du point matériel rectiligne uniforme (MRU) ⃗v =ct la vitesse est constante en module et direction la trajectoire est une droite rectiligne Le mouvement du point matériel curviligne rectiligne varié |⃗v|≠ct le module de la vitesse varie mais la direction est gardée on a une accélération a ≠0 ⃗ la trajectoire est une droite curviligne uniforme |⃗v|=ct la vitesse est constante en module mais pas en direction la trajectoire est une courbe e.g.: le mouvement circulaire et uniforme curviligne non-uniforme ⃗v ≠ct la vitesse n'est pas constante ni en module ni en direction trajectoire est une courbe uniformément varié (MRUA) a =ct l'accélération est constante ⃗ la trajectoire est une droite non-uniformément varié a ≠ct l'accélération n'est pas constante ⃗ la trajectoire est une droite uniformément accéléré a =ct et |⃗ ⃗ a|>0 uniformément décéléré (freiné) a =ct et |⃗ ⃗ a|<0
