Telechargé par Lapin Chaman

Cynématique Vitesse

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VITESSE et ACCÉLÉRATION
Le mouvement rectiligne
Pour comparer les mouvements entre eux, on devrait comparer les déplacements faits dans un un même
intervalle de temps, à savoir par unité de temps (seconde).
Connaissant le déplacement Δ x effectué au cours de l’intervalle de temps Δ t , pour connaître le
déplacement qui revient par unité de temps, nous devons diviser Δ x par Δ t . On obtient la
vitesse moyenne sur l'intervalle de temps considéré :
v m=
Δ x déplacement
=
Δt
durrée
(1)
La vitesse (1) a le même signe que le déplacement car Δ t =t 2 −t l est toujours positive.
La vitesse est positive si le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe ( Δ x >0 , v m>0 )
et est négative si le mobile se déplace dans le sens négatif de l'axe ( Δ x <0 , v m<0 ).
EXEMPLE
Un cycliste part de Genève ( x 1 =0 km ) à l'heure t 1=8.0h et arrive à Sion ( x 2 =150 km ) à
l'heure à t 2 =13h . La vitesse moyenne sur cette distance Δ x= x 2− x 1 =150 km ou sur l'intervalle
de temps respectif Δ t =t 2 −t l =5.0 h est
Δ x x 2 − x1 150 km
km
v m=
​=
=
=30
.
Δ t ​ t 2 −t 1
5 h
h
Mais le cycliste n’a pas toujours roulé à cette vitesse.
Au début, il est probablement allé plus vite, puis plus lentement. Quand il s'est arrêté pour se reposer,
la vitesse était nulle. Des fois qu’il a perdu quelque chose, il est revenu en arrière et la vitesse a été
négative.
La vitesse moyenne calculée pour d'autres intervalles de temps ou pour d'autres distances (par exemple,
Genève-Aubonne, Lausanne-Martigny) a été différente.
Pour connaître la vitesse à un moment t ou dans un certain point x de la trajectoire, par exemple la
vitesse du vélo à Lausanne, au kilomètre x =60 km , nous mesurerons la vitesse moyenne du cycliste
sur une petite distance, Δ x=10 m à proximité du kilométrage respectif. En prenant une distance
encore plus​petite, Δ x=1 m , et en utilisant une horloge électronique, nous trouverons une vitesse
très proche de la vitesse du cycliste lorsqu'il passe le point x =60 km .
Par conséquent, dans la plage Δ t pour laquelle nous calculons la vitesse moyenne, le mobile peut
aller plus vite ou plus lentement sur des sous-intervalles plus petits. Pour connaître la vitesse à un
moment où la cellule passe par le point P ( x ) , on peut procéder comme suit: on considère un
moment t 1 proche de moment t​quand le mobile passe le point A( x 1 ) et on calcule la vitesse
moyenne
1
1:​Le​mobile​part​du​point​initial​marqué​sur​l'axe​du​temps​avec​O​et​qui​
correspond​à​t=0.​Le​mobile​est​représenté​par​le​point​P.
A​tout​moment​il​a​une​coordonnée​spatiale​x​et​une​coordonnée​temporale​t​:​on​
écrit​que​à​tout​moment​la​position​du​mobile​est​ P ( x ,t ) .
Il​passe​par​les​points​A,​B,​C,​D​correspondant​aux​coordonnées​ x 1, 2,3,4 ​aux​
moments​ t 1,2,3,4 .
Par​ex.​au​moment​où​il​passe​par​le​point​A,​on​dit​ A( x 1, t 1 )
On note la vitesse du mobile dans le point
v1=
A( x 1 ) avec v 1 .
x 1 − x PA
=
t 1 −t t 1 −t
Mais ceci ne rend pas correctement la vitesse instantanée au point A : entre O et A le mobile a pu
changer de vitesse. Si, par contre, on prend des moments t 2, t 3, t 4 de plus en plus proches de A et on
calcule les vitesses instantanées on va obtenir des mesures de plus en plus précises :
x2− x
t 2 −t
x −x
v 3= 3
t 3−t
x −x
v 4= 4
t 4 −t
v 2=
Définition :
On appelle la vitesse instantanée la vitesse moyenne calculée pour les intervalles Δ x et Δ t
lorsque Δ x et Δ t sont très petits (vraiment très petits : ils sont infiniment petits). On dit
qu’ils tendent vers 0 et on écrit ❑→ 0 .
v=
Δx
quand Δ x →0 et Δ t → 0
Δt
Dans cette définition le mot "infiniment" a une signification mathématique : ce n’est pas juste une
figure de style :
par "infiniment petit" on entend une valeur qui s’approche de 0 sans pour autant devenir 0 à aucun
moment. De ce fait, une telle valeur pourra être ignorée dans un calcul : son apport au résultat sera
infinitésimal et, par conséquent irrelévant.
2
NOTE IMPORTANTE:
Δx
a une signification mathématique quand les valeurs Δ x →0 et Δ t → 0 : le rapport
Δt
En fait toute l’opération
Δx
correspond à l’opération mathématique de dérivation. De fait, la vitesse d’un mobile à​un​moment​donné est la
Δt
dérivée de la fonction position du mobile par rapport au temps. Mathématiquement on écrit:
dx
est l’opérateur différentiel appliqué à la fonction x (t) dans le point t .
dt
Formellement (dans l’écriture) le symbole Δ devient d .
Dans ce qui suit nous avons choisi de garder la notation avec Δ pour ne pas alourdir le discours : il reste toujours
vrai que la vitesse est le rapport d’une distance par rapport à un temps. On garde néanmoins à l’esprit que Δ parle
'
v =x (t )=
dx
où
dt
d’intervalles finis alors que les valeurs instantanées sont calculées sur des intervalles infiniment​petits. Donc avec
Δ on calcule que des valeurs moyennes, alors que les valeurs instantanées sont calculées avec l’opérateur
différentiel d .
EXEMPLES:
1.
Prenons un mobile qui s’éloigne de son point de départ. On mesure la distance qu’il a parcouru
toutes les secondes et on constate que la position du véhicule dépend du temps comme ceci :
x (t )=4 t
On veut savoir quelle est sa vitesse instantanée 10 secondes après le départ.
Mais après 12secondes ?
Mais après 15, 20, 30 secondes ?
Utilisons la définition :
v=
Δx
Δt
avec Δ x → 0 et Δ t →0
On a
x (t )=4 t
Δ x= x 2− x 1 =x (t 2)− x (t 1 )=4 t 2−4 t 1=4(t 2−t 1)=4 Δ t
Comme
Δx
v=
⇒
Δt
v=
4Δt
m
=4 [ ]
Δt
s
Ceci nous montre que une loi​de​mouvement​du type décrit dans 1) est seulement possible si la vitesse
du mobile est constante1.
1
On retrouve le même résultat directement en dérivant la fonction x(t)=4t par rapport à la variable t:
’
’
v =x (t )=(4 t ) =
3
d
(4 t )=4
dt
Conclusion : une loi de mouvement donnée par une équation de premier degré décrit un mouvement
rectiligne et uniforme (MRU).
Donc après 10s sa vitesse sera 4 m/s.
Exercice : répondre aux deux dernières questions.
2.
Mêmes questions pour la loi du mouvement
x (t )=4 t 2 +3
Exercice : Essayez de résoudre avant de lire la suite.
La loi du mouvement est :
x (t )=4 t 2 +3
On reprend la définition :
v=
Δx
Δt
⇒
2
2
x (t 2)− x (t 1) (4 t 2 +3)−( 4t 1 +3)
v=
=
Δt
Δt
⇔
Δt
v=
4 t +3−4 t −3 4(t −t ) 4(t
⏞
−t ) (t +t )
=
= 2 1 2 1
Δt
Δt
Δt
v=
4 Δ t (t 2 +t 1)
=4(t 2 +t 1 )
Δt
2
2
2
1
2
2
2
1
⇔
(*)
Étant donné que l’on cherche la vitesse instantanée on a
Δ t →0 ⇔
t 2 −t 1 → 0 ⇔
t 2 →t 1≈t ⇔
t 2 +t 1 → 2 t
Donc
4
(**)
(*)
(**)
}
⇒
v =4⋅(2 t ) ⇒
v=8t
2
Ceci nous montre qu’une loi de mouvement donnée par 2) nous donne une loi de la vitesse qui dépend
linéairement​de​temps !
Ceci veut dire que la vitesse varie dans le temps (dans notre cas augmente) d’une manière linéaire.
Ceci est la définition d’un mouvement uniformément accéléré,
Conclusion : une loi de mouvement donnée par une équation de 2ème degré décrit un mouvement
rectiligne et uniformément accéléré (MRUA).
Exercice : répondre aux deux dernières questions.
2
Encore une fois, on retrouve ce résultat en faisant directement la dérivée de la fonction x(t) par rapport au temps:
v=
5
dx d
2
= (4 t +3)=8 t
dt dt
Le mouvement en plus de une dimension
Jusqu’ici nous avons vu le déplacement d’un mobile et sa vitesse le long d’un​axe. Autant dire que nous
avons étudié le mouvement dans un espace à une​dimension​:​1d. Nous avons effectivement eu besoin
d’un seul nombre, un seul axe et une origine pour caractériser la position de notre mobile : (O ; x ,t ) .
Nous pouvons maintenant généraliser les techniques utilisées pour les espaces à 2 et 3 dimensions.
Le mouvement dans 2d: le plan
On se rappelle que l’outil utilisé pour définir la position d’un point dans l’espace était le vecteur​
(Cours​‘Opérations​avec​des​vecteurs’).
Dans ce qui suit nous allons regarder le déplacement d’un mobile le long d’une trajectoire plane mais
pas rectiligne :
2:​Le​déplacement​résultant​ ⃗
AC est​la​somme​
vectorielle​des​deux​vecteurs​déplacements​
composants: ⃗
AB ​et​ ⃗
BC .
Pour étudier le mouvement en 2d (analogue 3d et plus) nous allons caractériser la position de notre
mobile en prenant son vecteur​de​position ⃗r =( x , y ) . Dans cette relation les coordonnées x et y​
varient​dans​le​temps:on dit qu’elles sont des fonctions de temps :
⃗r =( x (t ) ; y (t ))
La technique consiste à appliquer exactement les raisonnements du chapitre précédent aux deux sets
des coordonnées séparément :
Δx
Δt
Δy
v ym=
Δt
v xm=
Avec ça on obtient une paire de valeurs pour la vitesse moyenne v m : v xm et v ym .
On se rappelle que toute paire de nombres réels peut définir un vecteur : on a obtenu le vecteur ⃗
vm
de composantes v xm et v ym .
6
v m=(v xm ; v ym)=(
Δx Δy
;
)
Δt Δt
Si on prend des intervalles de plus en plus petits de temps Δ t →0 , on obtient la vitesse instantanée
du mobile comme :
3:​Le​vecteur​déplacement​du​mobile​ ⃗
AB=⃗
Δ r =⃗
r 2 −⃗
r1 .
Le vecteur déplacement du mobile est ⃗
AB=⃗
Δ r =⃗
r 2 −⃗
r 1=( x 2− x 1 ; y 2− y 1 ) .
Il a comme composantes Δ x= x 2− x 1 et Δ y= y 2− y 1 obtenues en tirant des projections sur les
deux axes.
Donc la vitesse instantanée du mobile est 3:
⃗
v m=
}
⃗
AB ⃗
Δr
Δx Δy
=
=(
;
)
Δt Δt ⏟
Δt ⏟
Δt
Δ t →0
v xm
⃗
v ym
⃗
⇒
⃗v =
⃗
AB ⃗
Δr
=
Δt Δt
La direction du vecteur vitesse moyenne est celle donnée par la sécante à la trajectoire entre les points
A et B entre lesquels on calcule la vitesse moyenne, et le sens est donné par le sens du mouvement.
Le vecteur vitesse moyenne pour un mouvement sur une trajectoire curviligne, a la direction et le
sens du vecteur déplacement, et son module (longueur) est égal au module du vecteur
déplacement divisé par le temps.
3
7
En se rappelant la NOTE IMPORTANTE on écrit pour la vitesse instantanée:
⃗v =
d ⃗r d
= (⃗r (t )) .
dt dt
Lorsque l’on rapproche A et B infiniment ( Δ t →0 ) on voit le vecteur vitesse moyenne pivoter
jusqu’à ce qu’il devienne tangent à la courbe.
Le vecteur vitesse instantanée sur une trajectoire curviligne est tangent à la courbe dans le point
sélectionné et son module est obtenu en faisant Δ t tendre vers 0. Le sens du vecteur vitesse
instantanée est le sens du déplacement dans ce point.
Le mouvement en 3d: l’espace
Tout le raisonnement du chapitre précédent s’applique au déplacements en 3d.
r⃗ =( x ; y ; z ) ⇒
Δ r=(Δ x ; Δ y ; Δ z )
⃗
v m≝
⃗
Δr
Δx Δy Δz
=(
;
;
)
Δt ⏟
Δt ⏟
Δt ⏟
Δt
Δ t →0
⃗
v xm
⃗
v ym
⃗
v zm
}
⇒
v i=
⃗
⃗
Δr
Δx Δy Δz
=(
;
;
)
Δt
Δt Δt Δt
Les vecteurs vitesse moyenne et vitesse instantanée ont exactement les mêmes directions et sens que
ceux démontrés en 2d.
Note
En utilisant l’opérateur différentiel (la dérivée de la fonction r⃗ (t) ) :
d ⃗r d
∂x ∂y ∂z
;
; ) où les objets ∂ s’appellent les dérivées partielles
⃗v = = ( x (t ) ; y (t ); z (t ))=(
∂t
dt dt
∂t ∂t ∂t
de la fonction de position ⃗r par rapport au temps.
8
Accélération
On a analysé les mouvements pendant lesquels le vecteur vitesse ne change pas le long du
déplacement.
En général ceci n’est pas le cas : le vecteur vitesse peut changer
• en grandeur : la trajectoire ne change pas mais la vitesse diminue ou augmente : mouvement
accéléré ou freiné.
• en direction : déplacement sur une trajectoire curviligne.
Un même changement du vecteur vitesse, qu’il soit en direction ou grandeur, peut avoir lieu dans un
temps plus ou moins long.
Pour pouvoir comparer la ‘non-uniformité’ des différents déplacements où la vitesse change, nous
allons calculer la variation de la vitesse dans le même intervalle de temps.
Nous allons donc diviser la variation de la vitesse par le temps nécessaire pour faire cette variation, et
on va obtenir la variation de la vitesse par unité de temps.
Nous allons appeler ce résultat l’accélération du mouvement.
Définition
On appelle accélération d’un mouvement la vitesse de variation de la vitesse de déplacement du
point mobile considéré.
Accélération lors d’un déplacement rectiligne
On définit une accélération moyenne comme la variation de la vitesse Δ v qui a lieu sur un
intervalle de temps Δ t .
Δ v=v 2 −v 1
Δ t=t 2−t 1
Δ v la variation de la vitesse
am =
=
Δt
l ' interval de temnps
L’accélération peut être positive ou négative selon le signe de Δ v :
•
•
v 2 >v 1 ⇒ Δ v=v 2 −v 1 >0
Δ t >0 toujours
v 2 <v 1 ⇒ Δ v=v 2 −v 1 <0
Δ t >0 toujours
}
}
⇒
⇒
Δv
>0 mouvement accéléré
Δt
Δv
a m=
<0 mouvement décéléré (freiné)
Δt
a m=
L’accélération moyenne caractérise la variation de la vitesse sur l’intervalle Δ t , mais pour des
intervalles plus courts elle pourrait être différente (e.g. : on appuie plus ou moins fort sur la pédale de
l’accélérateur dans la voiture).
Pour caractériser la variation de la vitesse​à​un​moment​donné nous allons calculer le rapport en faisant
Δ t →0 : on obtient ainsi l’accélération​instantanée.
9
a=
Δv
Δt
avec
Δt→0 .
Note
Dans le cas du mouvement rectiligne (et seulement dans le cas du mouvement rectiligne !!!) le
vecteur accélération est parallèle à la vitesse.
Note
L’accélération mesure la variation du vecteur vitesse par rapport au temps, et non pas la
vitesse !!!
Note
La discussion sur Δ et d s’applique ici aussi :
L’accélération instantanée s’écrit rigoureusement comme la première dérivée de la fonction
v (t ) par rapport au temps. Ceci donne comme conséquence que l’accélération instantanée est la
deuxième dérivée de la fonction x (t) par rapport au temps :
a=v '(t )=( x ' (t ))'=x ' ' (t )
ou encore
2
dv d dx d x
a=v '(t )= = ( )= 2
dt dt dt
dt
EXEMPLE :
Un train qui se déplace à une vitesse de 90 km/h est freiné tel que, en 20 s, sa vitesse descend à 18
km/h.
Calculez l’accélération de ce mouvement.
Discutez le résultat.
Essayez de résoudre avant de lire plus loin
10
km
h
km
v 1 =18
h
Δ t =20 s
___________________
a=?
___________________
v 0 =90
Δv
Δt
v −v
a= 1 0
Δt
km 90⋅10³
m
v 0 =90
=
=25
h 3600
s
km
m
v 1 =18
=5
h
s
a=
}
⇒ a=
5−25
m
=−1 2
20
s
Discussion :
L’accélération calculée est négative. Ceci indique un mouvement uniformément décéléré (freiné) ce qui
concorde avec les données initiales : la vitesse initiale est plus grande que la vitesse finale.
Si vous avez l’appareil mathématique nécessaire, adressez l’exercice suivant en utilisant
l’opérateur différentiel :
Des mobiles suivent des lois de mouvement comme celles-ci :
a)
b)
x (t )=4 t
x (t )=4 t 2 +3
Quelles sont les accélérations de mobiles décrits dans a) et b) ?
Quels types de mouvement suivent-ils ?
Essayez​de​résoudre​avant​de​lire​plus​loin
m
s2
a)
a=x ' ' (t )=( x ' (t ))'=((4 t )')'=(4 )'=0
b)
a=x ' ' (t )=( x ' (t ))'=((4 t +3)')'=(8 t )'=8
2
m
s2
Le mobile a) se déplace uniforme (MRU) : l’accélération est nulle
Le mobile b) se déplace uniformément accéléré (MRUA) : l’accélération est non-nulle et constante : 8.
11
Mouvement en 2 et 3 d
Dans le cas du mouvement multidimensionnel ( dans le plan ou dans l’espace), si on divise la variation
du vecteur vitesse par l’intervalle de temps on obtient la​variation​moyenne​de​la​vitesse​par​rapport​
au​temps. Ceci est l’accélération​moyenne.
a m=
⃗
v −⃗
v la variation du vecteur vitesse
Δ ⃗v ⃗
= 2 1=
Δ t t 2−t 1
l ’ intervalle de temps
Pour comprendre l’accélération instantanée on exécute un raisonnement similaire à celui du chapitre
précédent : on rend l’intervalle de temps infiniment petit : Δ t →0 .
Δ v ​dans​
4:​La​variation​du​vecteur​vitesse​ ⃗
l'intervalle​de​temps​ Δ t ,​le​vecteur​
Δv
a m=
accélération​moyenne​ ⃗
​et​
Δt
l'accélération​instantanée​ ⃗
a .
Δv
quand Δ t →0
Δt
Δ ⃗v Δ v x Δ v y Δ v z
a⃗ =
=(
;
;
)
Δt
Δt Δt Δt
a=
⃗
Note
On constate que, dans le cas d’un mouvement le long d’une courbe, l’accélération instantanée est
un vecteur perpendiculaire sur la vitesse instantanée et orienté vers l’intérieur de la courbe (le long du
rayon de courbure dans le point sélectionné).
Note
En utilisant l’opérateur différentiel (la dérivée de la fonction v⃗ (t ) ) :
∂ v ∂v ∂v
d ⃗v d
a=
= (v x (t) ; v y (t) ; v z (t))=( x ; y ; z ) où les objets ∂ s’appellent les dérivées
⃗
∂t
dt dt
∂t ∂t ∂t
partielles de la fonction ⃗v par rapport au temps.
12
Classification des mouvements du point matériel
rectiligne uniforme (MRU)
⃗v =ct la vitesse est constante en module et direction
la trajectoire est une droite
rectiligne
Le mouvement du point matériel
curviligne
rectiligne varié
|⃗v|≠ct le module de la vitesse varie mais la direction est gardée
on a une accélération
a ≠0
⃗
la trajectoire est une droite
curviligne uniforme
|⃗v|=ct la vitesse est constante en module mais pas en direction
la trajectoire est une courbe
e.g.: le mouvement circulaire et uniforme
curviligne non-uniforme
⃗v ≠ct
la vitesse n'est pas constante ni en module ni en direction
trajectoire est une courbe
uniformément varié (MRUA)
a =ct l'accélération est constante
⃗
la trajectoire est une droite
non-uniformément varié
a ≠ct l'accélération n'est pas constante
⃗
la trajectoire est une droite
uniformément accéléré
a =ct et |⃗
⃗
a|>0
uniformément décéléré (freiné)
a =ct et |⃗
⃗
a|<0
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