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CINÉMATIQUE
1
Ballon de football
Un footballeur shoote dans un ballon de telle manière
que celui-ci suive la trajectoire ci-contre.
1) Quelle courbe parmi les courbes proposées ci-dessous correspond le mieux à l’évolution de
v = ~v (t).~uz au cours du temps ?
2) Commenter l’allure générale de la courbe retenue.
2
Analyse de graphiques
Une voiture roulant sur une route horizontale rectiligne se déplace d’un point
A vers un point B distant de 300 m
(sa vitesse est donc nulle au point de
départ A choisi comme origine de l’axe
Ox et nulle au point d’arrivée B).
On donne des informations partielles
sur la position x, la vitesse v = ẋ
et l’accélération a = ẍ de la voiture
pendant ce trajet.
– Compléter les graphiques en indiquant les valeurs numériques utiles et
le type de courbes tracées.
– Calculer la durée totale T du parcours
AB.
1
3
Évaluation d’une accélération
Dans un article de Pour la science 1 , on s’intéresse aux accéléromètres placés sur une commande
de jeu vidéo. Il y est écrit : "Elle mesure précisément les accélérations de la poignée jusqu’à
des valeurs atteignant trois fois l’accélération de la pesanteur. Des mouvements très rapides
de la main sont ainsi enregistrés, car un aller-retour d’une main sur un mètre en une seconde
correspond à une accélération d’environ 2g."
Pouvez-vous, à l’aide d’un modèle simple, retrouver la valeur de 2g avancée dans l’article ?
4
Parcours nautique
À l’origine des temps, les deux navires (A) d’Arsène et (B) de Bastien sont situés sur un
même méridien ; A est au nord de B à la distance d. On assimilera localement la surface de
la Terre à un plan.
1) B se dirige vers le nord à la vitesse constante VB alors que A se dirige vers l’est à la vitesse
constante VA . Quelle sera la distance minimale entre les deux navires ?
A.N : d = 10 km ; VB = 36 km/h ; VA = 27 km/h.
2) A est animé du même mouvement que précédemment. Quel cap (direction) devra prendre
B pour rejoindre A en ligne droite ? Quelle sera la durée de son trajet ?
5
Spirale logarithmique
L’équation horaire du mouvement plan d’un point en polaire est la suivante :
t
r = b e− τ
et θ = ωt avec b, ω et τ constants
1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération de ce point.
2) En déduire leur norme.
3) Déterminer l’angle entre le vecteur position et le vecteur vitesse à tout instant.
6
Trajectoire cycloïdale
Une roue de rayon r et de centre C roule sans glisser sur l’axe Ox en restant dans le plan
(Oxz). Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. À l’instant t = 0, M est
confondu avec l’origine O. La vitesse de C est constante et égale à v.
z
C
Μ
θ
O
x
1. Jean-Michel Courty, Édouard Kierlik, Accéléromètres en mission, Pour la Science, Juillet 2007
2
1) Exprimer mathématiquement la condition de roulement sans glissement de la roue.
2) Déterminer à l’instant t :
a) la position de M ;
−
b) le vecteur vitesse →
v de M dans le référentiel lié à Oxz.
−
c) le vecteur accélération →
a de M dans ce même référentiel.
→
−
→
−
3) Déterminer v et a lorsque M est en contact avec l’axe Ox.
7
Recherche de la trajectoire la plus rapide
Un homme est sur la plage en un point A et se propose d’atteindre le plus rapidement possible
un point B immobile situé dans l’eau, AB n’étant pas perpendiculaire au bord de mer. Sachant qu’il décrit une trajectoire rectiligne sur la plage à vitesse v1 et une trajectoire rectiligne
dans l’eau à la vitesse v2 , ces trajectoires faisant des angles i1 et i2 avec la normale au bord
de mer, déterminer la relation entre i1 , i2 , v1 et v2 pour que la durée du trajet soit minimum.
La relation trouvée correspond-elle à celle de l’optique ?
A
i1
i2
B
Réponse : v2 sin i1 = v1 sin i2
8
Coordonnées sphériques : calcul du plus court chemin
Sur une sphère de rayon R, le grand cercle (c’est à dire un cercle de rayon R et de centre, le
centre de la sphère) est le plus court chemin entre deux points.
λ étant la latitude et ψ la longitude, déterminer la longueur du plus court chemin entre Paris
(λ1 = 48o 520 N ; ψ1 = 2o 200 E) et Tokyo (λ2 = 35o 420 N ; ψ1 = 139o 300 E).
Donnée : rayon terrestre : (6, 37 ± 0, 01).106 m (la Terre n’est pas rigoureusement sphérique).
3
9
Mouvement d’une tige
Le système représenté sur la figure ci-dessous est en
mouvement dans le plan (xOy). Il est constitué de deux
roues tournant dans le sens trigonométrique à la vitesse
angulaire ω autour de leurs axes respectifs (O1 , ~uz ) et
(O2 , ~uz ), reliées par une tige T de longueur `, de centre
C. Les axes sont fixes et les liaisons en A et B sont
articulées. On donne O1 A = O2 B = a. À t = 0, les
−−→ −−→
vecteurs O1 A et O2 B font le même angle θ0 avec ~ux . Le
référentiel d’étude est R(O, ~ux , ~uy , ~uz ).
Quelle est la nature du mouvement de la tige [AB] ? Représenter graphiquement et déterminer les expressions
de ~vA/R , ~vB/R et ~vC/R .
10
Saisons terrestres
Quelle caractéristique du mouvement de la Terre par rapport au Soleil est à l’origine des
saisons ?
11
Face cachée de la Lune
Dans le référentiel géocentrique, la Lune effectue une révolution circulaire centrée sur la Terre en 27, 3 jours. La
distance du centre de la Terre au centre de la Lune est
environ égale à DT L = 3, 84.105 km. Au cours de cette
révolution, la Lune montre toujours la même face à la
Terre.
1) Décrire le mouvement de la Lune dans le référentiel
géocentrique. On s’attachera particulièrement à distinguer s’il s’agit d’un mouvement de translation circulaire
ou de rotation.
2) En déduire la vitesse angulaire θ̇0 de révolution de
centre du la Lune sur sa trajectoire.
3) Déterminer la vitesse et l’accélération du centre de la
Lune sur sa trajectoire géocentrique. Calculer numériquement la norme de sa vitesse.
4) Décrire le mouvement de la Lune dans le repère sélénocentrique qui a ses axes parallèles à ceux du référentiel
géocentrique mais qui a pour origine L le centre de la
Lune.
5) Déterminer la vitesse angulaire θ̇P de rotation de la
Lune sur elle-même.
4
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