Programme de la colle 30

PTSI Vinci - Programme de la colle 30 – Du 26 novembre au 30 novembre
Matrices et applications linéaires – 2018
Questions de cours :
1. Définition de la matrice d’un vecteur ou d’une famille de vecteurs dans une base B . Exemples.
Définition de la matrice d’une application linéaire de
E
dans
F
, munis de deux bases B et C . Exemples.
2.
E
et
F
étant deux K-ev de dimensions finies
*
p
∈
ℕ
et
*
n∈
ℕ
, isomorphisme entre L
(
)
,
E F
et M
,
n p
(K).
Explications. Dimension de L
(
)
,
E F
.
3. Soit
f
∈
L
(
)
,
E F
où
E
et
F
sont deux K-ev de dimensions finies
*
p
∈
ℕ
et
*
n∈
ℕ
.
Soit
(
)
,
x y E F
∈ ×
. Donner et démontrer l’interprétation matricielle de la relation vectorielle
(
)
y f x
= .
4. Citer le théorème concernant la matrice d’une composée d’applications linéaires.
5. Citer le théorème concernant les isomorphismes et les matrices inversibles.
6. Définition d’une matrice de passage. Interprétation comme matrice de l’identité.
Montrer qu’une matrice de passage est inversible.
7. Formules de changement de base pour un vecteur, une application linéaire, un endomorphisme.
Preuve au choix du colleur.
8. Le rang de la transposée est égal au rang de la matrice. Preuve.
Exercices à préparer :
1. Soit
f
l’application qui à tout polynôme
P
de
[
]
2
X
ℝ
associe
(
)
(
)
(
)
1 1 2
X P X P X
′
+ − − +
.
(a) Montrer que
f
est un endomorphisme de
[
]
2
X
ℝ
.
(b) Déterminer la matrice de
f
dans la base canonique B de
[
]
2
X
ℝ
.
(c) Justifier que C
(
)
2
1, 4 1,1
X X X= − − + + est une base de
[
]
2
X
ℝ
et déterminer Mat
(
)
f
.
2. Soit
( ) ( )
3 3
:
, , 2 , 2 , 2
f
x y z x y z x y z x y z
→
− − − + − − − +
ℝ ℝ
֏
.
(a) Ecrire la matrice
A
de
f
dans la base canonique B de
3
ℝ
.
(b) Déterminer
ker
f
et
Im
f
.
(c) Montrer que
ker
f
et
Im
f
sont supplémentaires dans
3
ℝ
.
(d) Ecrire la matrice
B
de
f
dans une base adaptée à la somme directe
3
ker Imf f⊕ =
ℝ
.
(e) Quelle relation matricielle lie
A
et
B
?
3. Soit
E
un
ℝ
-espace vectoriel de dimension 3 et B
(
)
1 2 3
, ,
e e e
= une base de
E
.
On considère les matrices
4 2 2
1 0 1
3 2 1
A
− −
= −
− −
et
000
0 1 0
0 0 2
D = .
f
est l’endomorphisme de
E
dont la matrice dans la base B est
A
.
(a) Montrer qu’il existe une base C
(
)
1 2 3
, ,
ε ε ε
= de
E
telle que Mat
(
)
f D
=
.
(b) Déterminer la matrice
(
)
3
P GL∈
ℝ
telle que
1
A PDP
−
=
. Déterminer
1
P
−
.
(c) Calculer
n
A
pour tout
*
n∈
ℕ
.
4. Dans
3
ℝ
, on considère
(
)
1,1,2
a=,
(
)
2, 1,3
b= − − et
(
)
0, 3, 1
c
= − −
. On note
(
)
vect ,
F a b
= et
(
)
vect
G c
=.
(a) Montrer que
3
F G⊕ =
ℝ
puis en déduire que B
(
)
, ,
a b c
= est une base de
3
ℝ
.
(b) Soit
p
le projecteur sur
F
parallèlement à
G
. Déterminer la matrice
M
de
p
dans la base B .
(c) On note B
C
la base canonique de
3
ℝ
. Déterminer la matrice
M
de
p
dans la base B
C
.
C
C