CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur C31 Résumé du cours d’Automatique RESUME DU COURS D'AUTOMATIQUE DE 1 ERE ANNEE 1- Transformation de Laplace 1-1 Rappel de la définition Soit f, fonction de la variable réelle t ; la transformée de Laplace F(p) de la fonction f est définie par : ∞ F ( p ) = ∫0 e − p.t . f (t ).dt notée F(p) = L[f(t)] avec p variable réelle ou complexe 1-2 Transformée de Laplace de la dérivée L[f’(t)] = p.F(p) – f(0+) f(0+) étant la limite à droite de f(t) lorsque t tend vers 0. Dans le cas où f et ses dérivées sont nulles à l'instant zéro, on obtient : L[f’(t)] = p.F(p) L[f’’(t)] = p2.F(p) et Nota : L'intérêt de la transformation de Laplace pour la résolution d'équations différentielles est de remplacer une opération de dérivation par un produit. 1-3 Transformée de Laplace d'une intégrale [ ] L ∫0 f ( y ).dy = t F ( p) p 1-4 Théorème de la valeur initiale, théorème de la valeur finale lim ( f (t )) = lim ( p.F ( p )) t →0 p →∞ lim ( f (t )) = lim ( p.F ( p )) t →∞ p →0 1-5 Théorème du retard L[f(t-τ)] = e-pτ.F(p) 1-6 Les transformées de fonctions à connaître Fonction f(t) Dirac (impulsion) Transf. De Laplace F(p) 1 Echelon : a.u(t) Rampe : a.t.u(t) Fonction f(t) -at Transf. De Laplace F(p) e a p sin(ω.t) a p2 cos(ω.t) 1 p+a ω p +ω2 2 p p +ω2 2 1-8 Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples M Salette- Lycée Brizeux- Quimper Soit une fraction rationnelle : F ( p) = N ( p) ; La méthode de décomposition est la suivante : D( p) 1) factoriser le dénominateur D(p) pour la suite, prenons en exemple le résultat de factorisation suivant : D(p) = p2 +(1+T.p) 2) exprimer F(p) en une somme de fraction rationnelles avec des coefficients inconnus ; (rappel : dans le cas où le pôle est multiple d'ordre n, les puissances successives doivent apparaître dans la décomposition ). Avec l'exemple ci dessus, on écrit l'égalité : N ( p) A B C = + 2+ D( p) p p (1 + T . p) 3) déterminer les coefficients inconnus : Méthode principale : Elle consiste à multiplier les deux membres de l'égalité par le dénominateur de la fraction dont on recherche le coefficient, puis à annuler le terme qui a été multiplié. Obtention de B : on multiplie les deux membres par "p2 " et on pose "p = 0" dans l'égalité. Obtention de C : on multiplie par (1+Tp) et on pose "p= - 1/T " dans l'égalité. Obtention de A : voir méthode 2. : C31_Resume Créé le 04/01/2011 – cours PCSI .doc- Page 1 sur 5 CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur C31 Résumé du cours d’Automatique Méthode 2 (dans le cas de pôles de puissance >1) : On fait tendre p vers l'infini après multiplication par l'un des dénominateurs de la décomposition. Pour notre exemple, développer : lim (1 + T . p).N ( p) = A.T + 0 + C p →∞ D( p ) Méthode de secours (souvent lourde ; conduit à des équations permettant de calculer les coefficients) : On réduit le terme de droite au même dénominateur et on identifie ensuite les numérateurs. Autre méthode de secours (permet de déterminer un des coefficients) : On donne une valeur numérique à p. par exemple, B et C étant connus (méthode 1), on prend p=1 pour obtenir une équation avec l'inconnue C. 2- Schémas fonctionnels 2-1 Fonction de transfert d'un système linéaire Equation(s) différentielle(s) et schéma décrivant le comportement du système : d n s(t ) d n−1s (t ) ds(t ) d m e (t ) de(t ) e(t) an . + a . + ... + a . + a . s ( t ) = b . + ... + b1. + b0 .e(t ) n −1 m 1 0 dt n dt n−1 dt dt m dt système s(t) En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, on obtient la fonction de transfert (ou transmittance) qui est une fraction rationnelle H(p) telle que : H ( p) = S ( p ) bm . p m + bm−1 . p m−1 + ... + b1 . p + b0 = E ( p ) an . p n + an−1 . p n−1 + ... + a1 . p + a0 E(p) H(p) S(p) Le degré (n) du dénominateur est appelé "ordre" de la fonction de transfert. Une autre forme de H(p) est la "forme canonique" : (1 + b'1 . p + ... + b' m−1 . p m−1 + bm . p m ) S ( p) H ( p) = = K. α E ( p) p .(1 + a '1 . p + ... + a ' n −1 . p n −1 + an . p n ) Le facteur K est appelé "gain statique" du système ou "gain" de la fonction de transfert. S'il existe une racine nulle d'ordre α de D(p), un terme pα apparaît au dénominateur ; la valeur de α est appelée la "classe" de la fonction de transfert. H ( p) = S ( p ) B.( p − z1 ).( p − z 2 ).....( p − z m ) = E ( p ) ( p − p1 ).( p − p2 ).....( p − p n ) Si on explicite les racines (réelles ou complexes conjuguées) des 2 polynômes constituant le numérateur et le dénominateur de la fonction de transfert, on a : Les racines zi du numérateur sont appelées "zéros" de la fonction de transfert ; Les racines pi du dénominateur sont appelées "pôles" de la fonction de transfert. 2-2 Systèmes bouclés Fonctions de transfert : E(p) + H(p) - S(p) -de la chaîne directe : H(p) - de la boucle ouverte : FTBO (p) = H(p).K(p) K(p) - de la boucle fermée :FTBF(p)= H ( p) 1 + H ( p ).K ( p ) Schémas à retour unitaire équivalents : E(p) + - : C31_Resume Créé le 04/01/2011 – H(p).K(p) cours PCSI .doc- 1/K(p) S(p) E(p) 1/K(p) S(p) + - H(p).K(p) Page 2 sur 5 CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur C31 Résumé du cours d’Automatique 2-3 Association de constituants ; schémas équivalents Constituants placés en série ; H1(p) E(p) H3(p) H2(p) S(p) H(p) E(p) S(p) H(p) = H1 (p) ⋅ H 2 (p) ⋅ H 3 (p) La fonction de transfert de l’ensemble est égale au produit des fonctions de transfert de chaque bloc. Constituants placés en parallèle: H1(p) H2(p) E(p) + + + S(p) H(p) E(p) S(p) H3(p) La fonction de transfert de l’ensemble est égale à la somme des fonctions de transfert de chaque bloc. H(p) = H1 (p) + H 2 (p) + H 3 (p) Déplacements des sommateurs E1(p) + H(p) + S(p) E2(p) E1(p) H(p) E2(p) H(p) + + S(p) Démo : On a : S(p) = H(p) ⋅ ( E 1(p) + E 2 (p)) ce qui s’écrit encore : S(p) = H(p) E 1(p) + H(p) E 2 (p) H(p) E1(p) + + S(p) E2(p) E1(p) E2(p) + + H(p) S(p) 1/H(p) Démo : On a : S(p) = H(p) E1 (p) + E 2 (p) ce qui s’écrit encore : S(p) = H(p) ⋅ E1(p) + 1 ⋅ E 2 (p) H(p) Déplacements des points de prélèvement Point de prélèvement H(p) E(p) S(p) E(p) H(p) S'(p) Démo : On a : S' (p) = E(p) ce qui s’écrit encore : S' (p) = E(p) = H(p) ⋅ : C31_Resume Créé le 04/01/2011 – cours PCSI .doc- S(p) 1/H(p) S'(p) 1 ⋅ E(p) H(p) Page 3 sur 5 CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur C31 Résumé du cours d’Automatique Point de prélèvement E(p) H(p) S(p) E(p) S'(p) H(p) S(p) H(p) S'(p) Démo : On a : S' (p) = S(p) = H(p) ⋅ E(p) 3- La réponse temporelle des systèmes 3-1 Réponse temporelle des systèmes du premier ordre : H ( p ) = Entrée en échelon : e(t) = E0.u(t) (E(p) = E0/p) T : constante de temps du système s(t)=K . E0. (1 - e-t/T) K 1+ T.p 2 Entrée en rampe : e(t) = a.t (pente : a) ; (E(p) = a/p ) εv est l'écart de traînage : εv = a T (lorsque K=1) s(t)=K . a. (t - T + T e-t/T) 3-2 Réponse temporelle des systèmes du deuxième ordre : K Avec ξ: coefficient d'amortissement ; H ( p) = ω 0 : pulsation propre non amortie. 2ξ 1 1+ p + 2 .p2 ω0 ω0 Si le dénominateur a 2 racines complexes : Cas : ξ < 1 : il y a des oscillations de période Tp = 2π/ωp la pulsation propre est : ω p = ω0 . 1 − ξ 2 le dépassement réel : D = smax - s∞ le dépassement pourcent est : D1 = : C31_Resume Créé le 04/01/2011 – cours PCSI .doc- smax − s∞ =e s∞ π .ξ 1−ξ 2 Page 4 sur 5 CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur C31 Résumé du cours d’Automatique 4- La réponse fréquentielle des systèmes 4-1 Généralités : soit un système représenté par la fonction de transfert H(p). On soumet le système à une entrée e(t) = E0 . sin(ω t) On observe la sortie : s(t) = S0 . sin(ω t + ϕ) On montre que si on remplace p par (j. ω) , on a H ( jω ) = S 0 .e j .ϕ et donc : E0 le "rapport d'amplitude" A(ω ) = H ( jω ) = S 0 E0 et le déphasage: ϕ (ω ) = arg( H ( jω )) de la sortie par rapport à l'entrée 4-2 Système du premier ordre 4-2 Système du deuxième ordre Si ξ < 0,7 : il y a résonance (pulsation ω r = ω 0 . 1 − ξ 2 ): Le coefficient de surtension est alors: Q= H ( jωr ) 1 = H (0) 2.ξ . 1 − ξ 2 ou Q(dB) = -20 log ( 2.ξ . : C31_Resume Créé le 04/01/2011 – cours PCSI .doc- 1−ξ 2 Page 5 sur 5 )
