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VITESSE PISTON

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QUELLE EST LA VITESSE MAXIMUM D'UN PISTON
DANS UN CYLINDRE DE MOTEUR?
par Pierre Bouchard
Département de mathÇmatiques
Université du Québec â Montréa1
Introduction.
Le probli?me qui fait l'objet de ce travail me fut pos15
pour la premicre fois par un étudiant qLi, comme moi, suivait un
cours de mécanique automobile au Cégep CU Vieux Montréal: il voulait
savoir, 3 regime constant, quelle est la vitesse maximum qu'atteint
un piston dans un cylindre et a quel moment de la course est-elle
atteinte.
Le problème s'est avéré plu s riche qu'il n'y paraissait
ZI prime abord, tant mathématiquement, par l'exploration qu'il nous
force a faire du c0té des équations du troisième degré, que didactiquement bien qu'il soit difficile de communiquer ce dernier aspect:
le mieux serait de suggÇrer au lecteur de lire et d'essayer le probleme;
il se rendra vite compte de l'importance d'un exemple concret qui
non seulement sert de support 3 l'intuition pour trouver une solution
mais aussi permet de venir souvent, en cours de calculs, confronter
les résultats trouvés avec le bon sens (du rÇsultat donné par le
graphique par exemple), permettant ainsi de corriger de nombreuses
erreurs de calculs "avec des lettres" mais aussi de voir les limitations
de l'approche intuitive (cf. section 2). Mentionnons aussi que sans
une calculatrice de poche programable, je n'aurais jamais eu la patience de faire ladite confrontation; bien que cet outil soit assez peu
mentionné dans le travail présenté ici, il s'est avéré très important
en fait durant que je faisais les calculs.
A: Axe du piston
M: Maneton Ctoum.e autour de Z'axe du
viZebreqwin)
T: Axe du vilebrequin ~perpmdiculaire ÙT
la feuil,ZeJ
m:
Bielle
b: Longueur de la bielle
r: Longueur de m
Cragon de la rotation du
maneton autour de lraxe
du vilebrequin)
0: Angle AT14
t: Temps 6c1~~16 depuis le PMH
CPMH:"poht mort haut", moment OÙ Ze
pis?on est en haut de sa course)
U: Vi tesse angulaire du moteur (0 = titj
x(t): Longueur de n
Cdistanee, au temps t,
entre Z?axe du piston
et eehi du viZebrequinJ
v(t): Vitesse du piston dans le cylindre
Cv(t) = :C(t), négative quand Ze piston descend)
a(t): Accéléra$ion du piston dans le cylindre
Ca(t) = t/'(t) = x"(t), négative quand
Za vitesse du piston diminue)
PROBLÈME
Le moteur tourne a vitesse (angulaire)
constante. On desire savoir, pour
un moteur donne (c'est-a-dire pour
b et r connus), ZI quel moment (ce qui
revient a dire "pour quel angle 0")
la vitesse du piston dans le cylindre
kt-elle maximum.
7
-3-
Deux approches peuvent Etre tentees pour rÇsoudre ce problsme.
a) Approche formelle: on traduit tout en êquations et on tente de rr?soudre.
b) Approche intuitive: d'aprk la situa.:ion dkrite, on formule
une conjecture vraisemblable, puis on tente
de la vérifier.
Dans les pages qui suivent, rious allons raconter l'histoire de
notre solution du probleme de la vitesse maximale du piston.
1. DÇbut d'approche formelle.
La vitesse v(t) sera maximale quand l'accélération a(t) sera nulle.
Comme a(t) = x"(t), on trouve x(t), on dérive deux fois et on resoud
l'equation a(t) = 0.
x(t) = t-w.&
4. &L-rLt(rcosut)L
(07:abafsse Za pe~~pendieuhk
MP
à AT, Za connaissance de r et 0 (=Ut)
pumet de eaZeuZer TP et MP tandis que
wZZe de b et MP permet de ealeuler PA
et:partant x(t)
(=TA).
rcostit
x'(t) = -r~sin&.(i +
1)
Jb2-r2t(rcosut)z
x'(t) = -ti2(rcos&
t
1
(r2-(rcos~t)2)(rcos~t)2t*~rcos~t~2_r2~
b2-r2+(rcosb1t)2
1
1
/b2-r2+(rcostit)2
Trouver un t qui annule x"(t) ne semkile pas a premiere vue facile..
Essayons plut6t une approche intuitive.
2. Début d'approche intuitive.
Il semble que le maneton va tirer d'autant plus sur la bielle que
cette dernike est tangente Z! son moLvernent. Il semble donc plausible que la vitesse maximum du pistcn soit quand AM est perpendiculaire a MT.
2.1 Vêrificat-ion sur un exemple concret.
Pour mieux sentir ce qui se passe. On regarde un exemple concret.
r=5cm
b = 23 cm
(mesures prises sur un vrai moteur)
f_0
= 2000 tours par minute
lvraisembtabte sur un vrai moteur)
On a programmé une calculatrice de poche pour qu'elle donne la
valeur de v(t) pour t variant par sauts de 100 PS jusquI 15 ms
(c'est-à-dire un demi-tour) et fait le graphique.
-4-
l-l
7
l
-5-
D'autre part, on a calcule le temps donne par notre conjecture:
en effet, si AMLMT, alors on a
6 = Arctg(F) = Arctg(q)
= 1,3!j7 rad = 77'44'
ce qui donne
to= i = 6,478 ms.
C'est assez encourageant car notre graph,ique, lui, donne
v(6,4$msj)= -10,71 m/s = v(6,5ms)
et c'est bien la que semble se situer le maximum de (la valeur absolue)
de v(t).
On est assez encourage pour passer a la IGrification.
Bien que l'équation a(t) = 0 semble diff,icile a rÇsoudre a premiere vue,
on a trouvé ici, par un moyen intuitif, ce qui pourrait bien en iXre
la solution, a savoir
to=
?rctg(F).
Pour compléter notre vérification, on a qu'a remplacer cette valeur de t
dans a(t) et voir que ça donne zéro. Faites-le et ça va vous donner
a(to) = -$$-JW
# 0
(car r et b sont non-nuls).
Qu'a-t-il pu arriver ? Erreurs de calcul? On refait les calculs: même chose.
Erreur dans le graphique? Si oui, trës petite.
On calcule dans le cas de notre exemple
a(to) = -23 m/s2
(plus de deux fois ZraeeéZération
de la pesanteur!)
En retournant a notre calculatrice, on s' aperçoit, (en y allant par
sauts de 1 ns cette fois), que
~(6,521 ms) = -10,717 m,'s
a(6,521 ms) = 0,009 m/s"
pour un angle 0 de 78'15' et un angle TMA de 89'27', tres pres de 90':
notre conjecture n'était pas si mauvaise, d'autant.plus que l'erreur sur
la vitesse qu'on obtient ainsi est trës .'aible. Est-ce d0 au fait
qu'on a et@ chanceux dans notre exemple? Nous y reviendrons.
-6-
3. Retour a l'approche formelle.
Il s'agit de se rÇsoudre a rÇsoudre l'Çquation a(t) = 0.
(Où a(t) = x"(t) est donnee par la formule de la page 3).
On pose z = rcosut et on divise par u", z doit satisfaire
(r2-z2)z2
0 = z + Ip
r2+zz
t
Zz2-r2}
'
Jb2-r2tz2
ET lzl 5 r Cear ]~~SU~~~I~.
qui, apres addition de -z a chaque membre
mise au carré des deux membres
et manipulations,
(ATTENTION:
donne
Quand on met au
caxw5, on ajoute
parfois des sohtions)
z6tz4(b2-3r*)-z2(b2-r2)(b2t3r2)+r'+(b2-r2) = 0.
On s'aperçoit que cette derniere equa.:ion ne comporte que des puissances
paires de z, on pose y=~*, ce qui nous mene a
y3+(b2-3r2)y2-(b2-r2)(b2t3r2)ytr4(b2-r2)
= 0
ET 0 5 y 2 r*
Mais ceci est une équation du troisierle degrÇ et nous savons rÇsoudre
des Çquations du troisieme degre... le savons-nous?
Rappelons un peu de faits concernant -es Çquations du 3e degré.
4. Çquations du troisieme degré. (a coefl'icients rÇels)
Une équation du troisieme degré a toujours au moins une racine
réelle (pourquoi?). Comme, d'autre part, les racines complexes
(qui sont non-réelles) apparaissent par paires (si un nombre complexe
est racine d'une équation a coefficients reels, son conjugué l'est
aussi, pourquoi?), une telle équation a oubien 1 racine réelle,
oubien trois (re pourquoi?).
La mÇthode de solution des Çquations du 3e(et du 4e degré)a vu le
jour dans des circonstances parfois cocasses: il serait intÇressant
d'aller la lire dans un livre d'histo-'re des mathématiques.
Elle consistela éliminer d'abord le terme de degré 2 en faisant
un changement de variable du genre y =:w t constante oti on
doit arranger la constante pour ne plus avoir de terme en w2,
c'est-a-dire, pour annuler le coeffic-ent de w2 dans l'expression en w
que ça donne.
b2
Ici, on s'aperçoit qu'il faut poser y = w t r 2 -?Y
ce qui donne
’
Dans le cas des équations du 3e degré
(*) w3 +
(-$b4)wt
Ouvrons ici une
de la forme
$llb2-Z7r2)
= 0
Cl)
(Nz perdons pas de vue que w vient de y
q!ciest le earré de z qui est rcoswt)
assez longue) parenthèse pour discuter de l'Çquation
w3 + pw t q = o<
Une méthode d'attaque de cette Çquation consiste a exprimer d'abord
l'inconnue w sous la forme
w=utv
ce qui donne
u3 + v3 + (p + 3uv)(u + v) + q = 0
puis a choisir u et v de façon que
p t 3uv = 0
(ce qui va simplifier l'a llure de (2)).
(3)
Remarquant que la condition
p t 3uv = 0
est la même chose que
nous avons ramer-6 le probleme de la solution de (1) a celui de la
solution du systeme
c
u3 t v3 = -q
(4)
(5)
(012Z'équation (41 provient de (21 eomptz tenu de (3));
mais, mettant au cube chaque membre de (j),
on a que chaque solution
du systeme (S) sera aussi une solution dj systeme
l’)
En généra2 dans ay t by2 t cy t d = 0, on pose y = w - &
pour obtenir une équation en w sans ?erme de degré 2.
(4)
(6)
Attention: Toutes les solutions (u, v) de (S) sont parmi les solutions
m
(T) mais il peut y avoir des !;olutions de (T) qui ne sont pas
solutions de (S).
À partir de (T), un vieux truc vu a l'école secondaire nous permet
de retrouver, non pas tout de suite u el: v mais au moins u3 et v3:
en effet, donnÇs deux nombres A et B, i-s sont racines de l'Çquation
(en s)
qui s'krit
s* - (A i-B)s i-AB =:0;
donc, si on conna'Ît la somme et le produit de deux nombres, on peut
trouver une Çquation du second degrÇ dont ils sont racines, il ne
restera ensuite qu'a rÇsoudre cette équ;.tion du second degré pour trouver
l'ensemble formé de ces deux nombres.
Ici, posant u3 = A, v3 = B, le systsme (T) nous place dans cette
situation et il n'y a plus, qu'a résoudw l'Çquation
s* - (A i-B)s t AB = 0
c'est-a-dire
(7)
pour trouver A = u3, B = v3;
r@solvant (7) a l'aide de la formule pour rf%oudre une Çquation du second
degrÇ on trouve
Comme le système (S) que nous voulons à la fin résoudre est symétrique
en u et v, on ne perd pas de géneralité en posant
u3 = A =-s+/$zg
v3 = B
-9-
Remarquons que A et B peuvent être complexes non-rÇels (ils le seront
quand
et si nous designons par N un nombre complexe quelconque, et par
une (fixee) des racines cubiques de N, alors les autres seront
fl
Où
-r=
-1 t i0
2
et T2 ---z
_ -1 - i43
2
F
sont les deux racines cubiques de 1 autres que 1. (cf.
figure
&-dessous)
Notant ,% l'un des nombres u tels que u3 = A,
fi l'un des nombres v tels que v3
l
B,
il y a a priori neuf possibilitÇs pour l,i solution (u, v) de (S)
Pu isqu'on a 3 choix pour u et 3 choix pour v:
u=?Kou
u=T97ïouu=-r2?7ï
v=%ou
v=T%ouv=T2%;
cependant, le systeme (S) prÇcise que UV = -$ fef. (LT)). Comme notre
8? est une racine cubique fixe mais arbiwaice
de B, choisissons de
-lO-
noter %
celle des trois pour laquelle
WL=-$
CZ?une des trois racines eubiques de B Tatisfait l'&quation ci-dessus
car, rappelons-le, les solutions de (Sj sont parmi Zes sohtions de CT)
ZesqueZZes sont données par Zes neuf pxsibiZités mentionnées h-dessus).
Comme on a dejZ!
le couple (u, v) où
u =
est solution de (S).
n,
v = 5
Pour u = 8?, la valeur v = %
trois valeurs possibles de v qui fasse de (u,
est la seule des
une solution de (S)
v)
si p # 0 car
si v = 637, alors UV = ?R-(+E) = -3
z -$-
si v = -r2$iT,alors UV = $K(?$IT) = -9
8 -5
(quant à la supposition p * 0, on peut se la permettre pour deux bonnes
raisons:
2'un.ethéorique: si p = 0, l'équation (1) devient w3 = -q et ses solutions
deviennent w = G,
W = Tfi,
W = ~~~
lavee répétitions
si q = O), on peut done eonsidérer Ze probZème résoh
Ze eus p = 0 et ne traiter que Ze cas p # 0;
l'autre pratique: icf, dans notre problzme de pistion, lléquation (1)
est ZIéquation f*J Cd2 la page 7) et p = -3"
non nul
car
est
la bieZZe d'un moteur est de Longueur b
non miZZe!J.
De meme, pour u = T%, la seule des troi:; valeurs de v qui fasse de
(u, v) une solution de (S) sera v = -r2% et pour u = -r2,%, la seule
des trois valeurs de v qui fasse de (u, 11) une solution de (S) sera
v = -r%
Des neuf possibilit& initialement envisagees, il n'en reste
plus que trois qui sont solutions de (S) a savoir
dans
-ll-
u=fietv=$E
u = ~?Ket
v = ~~3:
u = -ï2?IT
et v = -S%T
ce qui donne comme solutions de l'equaticln
W3+
QW
t q =o:
rappelons-le, T =
-1 tifi
2
A=-$tfw
B = -8
-m
et fiet
$'IT
sont choisies de façon que fi,% = - : .
Remarque importante:
Si A n'est pas Me1
(et si Q et q le sont), disons A = a t bi, a c IR, b c IR,
on est pas sOr en general de pouvoir exprimer fi = a' + b'i, a' E il?,b' E Il?
avec a' et b' dÇcrits seulement a l'aide de radicaux (cubiques, carres ou
autres) de nombres reels obtenus a l'aide de a, de b et des opÇrations
d'addition, soustraction, multiplication et division par un nombre non nul:
on se trouve alors dans ce que les mathÇmaticiens de la renaissance appelaient
le "casus irreducibilis".
Le lecteur interesse a en savoir davantage sur
ce cas pourra consulter le livre Algebra de Van der Waerden (Ungar 1977)
OÙ il trouvera à la section 8.8 du chapitre sur la théorie de Galois, la
preuve qu'il est impossible de rÇsoudre l'Çquation (1) par radicaux réels
dans le cas où les racines ne sont pas exprimables deja en quotients de
QolynOmes en Q et
q a coefficients entiers.
Dans ce cas, la valeur de I%
doit être %' (l).
(') Rappelons que le conjugue d'un nombre complexe c = a t bi, a E IR, b E l??
est F = a - bi, que la partie rÇelle et la partie imaginaire de c sont
respectivement les nombres rÇels Re(c) = a et Zm(c) = b, le module de c est
-le nombre réel Ici = m
E IR; on vérifie CT = ic12 et c-d = cd.
-lZ-
En effet, A n'etant pas rÇel alors que p et q le sont, on a B = r, puis
--(?%)3 = ,%*m*$%.=
(,%)3 =A=
B
ce qui montre que x
est bien une des racines cubiques de B; de plus,
= /Ai2 c II!
(m-(%i)
or, pour les deux autres choix possibles de a,
soit TX
et TIR,
on
trouve
(K)+Q
BR
et ne peut donc êgaler - $ c R.
Les racines de l'Çquation (1) sont alors
( Wl
=
Z-RCL(%)~
%+E=
w2 = TJ?Ti- T2E
NJ) 1
= T,% + -rfi = CRC+?%)
6W
car 2
= T
ce qui nous donne trois racines rÇelles precisement dans le cas où
A n'est pas r$el!
Il est maintenant temps de refermer la pc.renthi?seouverte a la page 7 et
de retrouver l'Çquation (*).
5. Solution de l'equation (*).
w3 t (- $44
b4
)w t dllb2
- 27r2) = 0
Avec les notations de la section précéderte, on trouve
_ 8 = (27r2 - llb2)t4
54
ainsi que
-
- Z
c
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n
c
e
ee
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et b > O
d
u
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m
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o
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Za figure de la page 2).
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Cear
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Zm(A) > 0
= /
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fear b > r : on a mZne observé ei-haut b > 2
- l&
)
)7 r
&
(
(
b
Le Zeeteur
courageux 6
véri,fierales eaZeuls; le lecteur
attentif se rappeZlera quz
[
l
f
qu'ieip=-3
l m A et ique A
d
8
b
Z
= /- g
ti - :s
39 , -273
A s
-
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/
l
A = $
p
q
nd e
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t
)
droù IA1 = $6.
d
c
CsystSme
3
CT), page 8
es r l
e
l
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C
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O
6
Rc(A) .C0 et Im(A) > 0.
od
cu o '
sh
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lr a ao
ne
-a
er u a
sa
Ù
'r
cr
n
c
r
ic
oe
Posons
Où
$Z7r2C$ = Arccos
(cap COS($)
=
llb2)
[Ai
[A[*I&T(A)].
Prenons pour fi la valeur qui se situe dans le premier quadrant (2)
( ‘) Formule
de De Moivre:
OÙ k E 10, 1, 21.
les racines
eubiques
de A sont y
e'
Les trois racines de (*) Cvofr Zes &quabions CU) pagel2) restent 8
être exatninf5es:
/A\cos(7~/3)< Re(A) .C [A~cos(T/~)
(voir
figure
préeédente)
d'où
2b2
-=
3
2b2 1
2 y-07
< 2=Re(A:l = wl.
Si wl mh-te a une solution de notre problsme, alors
d'où
(Revoir Zes définitions
z=f+
b2
Cear y et 3
de y et ~5 Za page 6)
t r2 sont positifs)
cosLlJt
=
$ > /gzl
une contradiction pour le cosinus d'un nombre rÇel; donc
wl ne mh-te pas à une solution de notre problème.
w2
= 2*Re(T=%)
--------------v
Or
(voir figure)
Si wz mGne à une solution de notre probleme, alors
-16-
y
=
w2
r2 -
t
g2c-2b2&,
3
r2 _ F
b2(2n
_--..-
r2
+ 1)
3
< r2 -b2<0
mais y = z2 et z = cos&_ étant réel, son carr6 ne peut Gtre
négatif; donc w 2 ne mène pas à une solution de notre probl$.me.
= 2*&?(T2*9K)
(e?est Za seuZe possikiZité qui reste!)
---~~~~~--~~~~~~
w3
Alors fef. équation (9))
~~fl=
e-(2W3).2b2_$W)
3
= 2tt.ei(W
7
b
yfcos($- $q t
- 2~r/3)
i*sin(+ - $1
d'où
w3
z
~.Rc(T~~
z
($
-
9)
4b2 -~OS($. _ $?L) + r2 - g
y=w3+r-2-F=T
rcos0 = rcoshxt = &
8 = Arccos
$$OS
z z2
fef.section 3.)
=
= Arccos(r
ZZjZZ$-
p)
tr2
- g)
Se rappelant Cef. page 14) que
27 r2
$ = ArccosC(E)(E)
--11
l&
on peut finalement écrire la réponse a notre problsme
Capès substitution de (11) dans (10))
L'ANGLE 6 =Ut
POUR LEQUEL LA VITESSE DU PISTON DANS LE CYLINDRE EST
MAXIMUM EST DONNÉ PAR LA FORMULE
0
=
Arccos
1 t 3:)
2
C4cos{$rccosC$k)
2
- El
- p1
- 11.
l
-17-
6. Conclusion.
On constate finalement que l'angle 8 pour lequel la vitesse
maximale est atteinte ne depend que ciu quotient r/b.
La formule qui donne 0 exactement est assez horrible! Cependant,
nous avons remarquÇ a la fin de la section 2 que, au moins sur
l'exemple concret envisage, 6 n'etait pas loin de l'angle
Arctg(F)
qui rend l'angle TMA êgal a un angle droit. Nous nous sommes
demande s'il ne s'agissait que de chance dans ce cas...
Eh bien non! Pas uniquement de chance. Nous laissons au lecteur
le soin de montrer que plus r/b est petit, plus prGs d'un angle
droit se trouve l'angle TMA, de sortes qu'on peut se faire une
bonne idÇe de la vitesse maximale du piston en se contentant de
remplacer ut par Arctg(b/r) dans la f'ormule de la vitesse x'(t)
donnee en page 3. Comme dans ce cas TMA est un triangle rectangle,
d'où la formule approximative pour la vitesse maximale:
(en valeur absolue)
VAPP = +%'r'
i b'-.
Qu'on la compare a la formule qui dorne la vitesse maximale exacte:
(obtenue en remplaçant ut
(en valeur absohe)
par Za valeur exacte de 8 dans x’(t))
n'y G pas de place ici
pour eerire VEXA au complet:
allez vcir le tableau en
annexe)
(il
VEXA =
et on comprendra pourquoi on se contente souvent d'approximations
dans des problemes du genre.. d'autant plus que dans le cas
prÇsent, l'approximation est assez bonne dans tous les cas
mÇcaniquement vraisemblables (b/r au moins 3) comme on pourra
s'en faire une idée en regardant l'annexe OÛ on trouvera, pour
diverses valeurs de r et b (par ordre déeroissant de valeurs
de r/bj, calculees (l)
les valeurs de 6, de l'angle TMA, de VAPP
ainsi que de VEXA.
(‘)
P l'aide de l'ordinateur Cyber 171 de l'universitÇ du Québec.
Bien qu'on ait rÇsolu le probleme pose, bien des questions
meriteraient encore de l'attention; nous terminons ce travail
en en soumettant quelques unes a la reflexion du lecteur.
Themes de reflexions et exercices.
1. 6 et TMA, en tant que fonctions de r/b semblent (à l'examen
de l'annexe II) tendre vers un angle droit quand r/b tend
vers zero. Prouvez. Sont-elles croissantes?
2. Expliquez intuitivement, a la lumiere de notre conjecture
de la section 2 et du rÇsultat final, pourquoi notre intuition
premier-e devait Wre modifiÇe et comment il se fait que le
resultat final soit quand même, numÇriquement, si pres
de notre intuition premiere. (Regarder les exemples en
annexe II).
3. Calculez des valeurs de 6, de VAPP et de VEXA a l'aide
d'une calculatrice de poche. Arrivez-vous aux mêmes
rÇsultats en changeant de calculatrice?
Votre valeur
de VAPP est-.elle plus fiable que celle de VEXA? Perdez
vous de la prëcision en ëvaluant beaucoup de fonctions
trigonometriques.
Pouvez-vous estimer cette perte.
4. Donner un estime de l'erreur (pourcentage d'erreur) de
VAPP par rapport a la valeur exacte VEXA. En d'autres
mots, quelle est l'erreur maximum (indÇpendante de b et r)
qui peut se produire. Le prouver (a l'aide de 1. ?).
5. Demandez-vous si vous auriez pu rÇpondre aux questions 2 et 4
en ne vous servant que des formules a l'annexe 1 sans voir
les exemples a l'annexe II.
6. Consultez les spÇcifications d'une voiture (votre voiture
si vous en avez une) et calculez la vitesse maximale a
laquelle le piston peut se deplacer dans le cylindre.
Compte tenu des metaux dans lequels sont fabriques piston
et cylindre, calculer le rÇgime maximum auquel votre
moteur de voiture peut tourner sans dommage cause par
une friction trop rapide des metaux.
7. Expliquez intuitivement ce que vous avez trouvÇ en 1.
ANNEXE 1
L'ANGLE 0 (=Ut) POUR LEQUEL LA VITESSE DU PISTON DANS LE CYLINDRE EST MAXIMUM:
8 = Arccos
z
1 t i(b) [4cos{!jArccos[$$-(ff)2
- SI
+-11
L'ANGLE TMA ENTRE LA BIELLE ET LE RAYON TM:
2
TMA
=
Arccos $$$--C!! l+?4r2
[
1
z
ttj-4 !!l)(b2 s $-C!!l)}
où C!!l désigne [4cosf$xcosC$$ff)
VAPP = Fr'
2 11
- ~1
-+11
t bT
LA VITESSE MAXIMALE EXACTE DU PISTON DANS LE CYLINDRE:
L
t
,!
VEXA = ub - $_4cos{$kccosC$$t)
!$4cos{$ArccosC~(~) - $1
-+11
- $1
1 t 2$4cos{+rccos[+$~)
- El
2z
-+11
7
-
A
I
L
N
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a
a
I
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b
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0
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0 . 30 7
0
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0
0
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