Filtre

Filtres passifs
DS : filtres, page 1
I24. Amplificateur sélectif.
1) Un amplificateur sélectif est représenté ci-contre. Il
comporte une source de courant commandée par la
tension d’entrée, une résistance, une inductance et un
condensateur ; g est une constante réelle. On suppose qu’il débite sur une impédance infinie. Exprimer sa fonction
de transfert en tension s
e
v
Hv = en fonction de g, R , L, C et de la pulsation ω.
2) La mettre sous la forme 0
0
1
A
H
jQ
=⎛ω ω ⎞
⎟
⎜
+−⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ωω
et exprimer en fonction de g, R, L et C.
0
,AQet ω
3) Calculer L, C et g pour que A = 1, R = 100 Ω, Q = 100 et pour que la fréquence correspondant à soit
0
ω
05
f
MHz=.
4) Quel type de filtrage réalise cet amplificateur ?
5) Déterminer le domaine de fréquence où il déphase vs par rapport à ve de moins de ϕ = 10°.
6) Quel est dans ce domaine la variation extrême du rapport des amplitudes ? /
sm em
VV
II30. Filtre passif.
Un générateur, non représenté, applique au montage une tension
; le montage applique la tension vcos
eem
vV=ωts à un appareil non représenté
équivalent à une résistance infinie.
1) Calculer la fonction de transfert complexe H = vs/ve en fonction de R, L, C et
ω.
2) Montrer que l’on peut écrire
()
1
1
1
H où
jQ x x
=
+−0
xet où ω
ω
=ω0 et Q s
fonction de R, L et C.
vs
R
C
L
ve
ve(t) L C gve(t) R
vs(t)
ont deux constantes à exprimer en
3) Pour quelle valeur de ω le gain G = |H| est-il maximum ? Quel est sa valeur maximale Gmax ?
4) On suppose pour cette question Q grand. Déterminer une expression approximative simple de x – 1/x au voisinage de
x = 1. En déduire des expressions approximatives, mais simples des pulsations ω1 et ω2 (ω1 < ω2) délimitant la bande
passante à –3 dB, c’est-à-dire l’intervalle de ω pour lequel le gain est supérieur à max /2G.
5) Ecrire les équations rigoureuses donnant ω1 et ω2 pour Q quelconque et les résoudre.
6) Comparer les expressions de 2
0
ω−ω
ω
1
obtenues à partir des résultats des questions 4) et 5).
7) Exprimer vs(t) dans les deux cas ω = ω0 et ω = ω1.
8) Tracer schématiquement les graphes de G et φ en fonction de ω.
9) Cette théorie est-elle valable si le générateur branché à l’entrée a une résistance non nulle ? si le récepteur branché à
la sortie a une résistance finie ?
III39.
Un filtre comportant des résistances R, des capacités C et d’autres composants linéaires a pour fonction de transfert
222
ω
1
() 12 2
s
e
v
Hj vjRC R C
ω==
+ω−
où e
v et s v sont les représentations complexes des tensions vV et vV à l’entrée et
à la sortie du filtre.
cos
eem t=ωt=ω+ϕ
ωV=
cos( )
ssm
1) Exprimer en fonction de RC le coefficient d’amplificationHV pour ce filtre. ,, /
sm em
2) On souhaite écrire la fonction de transfert sous la forme : 2
00
1
()
12
s
e
v
Hj vj
ω== ω⎛ω⎞
⎟
⎜
+σ− ⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ωω
. Exprimer les
constantes (coefficient d’amortissement du filtre) et en fonction de et C. σ0
ωR
3) Déterminer en fonction de le déphasage ϕ par sa tangente. ,,RC ω
4) Donner le tableau de variation de en fonction de . ϕ ω
5) Quelle est la nature du filtre, passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande ?
6) Donner la définition du gain G exprimé en décibel en fonction de H.
dB
7) Déterminer le comportement asymptotique de G pour ;
dB 0
ωω

8) et pour .
0
ωω
9) Définir la bande passante du filtre.
10) Calculer cette bande passante.
11) La tension d’entrée est désormais la tension triangulaire représentée ci-contre,
de fréquence 0
02
fω =π, où a la valeur calculée à la question 2 et dont la
décomposition de Fourier est
0
ω
00 0
22 2
811
( ) cos cos(3 ) cos(5 )
35
m
e
E
vt t t t
⎡⎤
=ω+ω+ω+
⎢⎥
π⎣⎦
… où .
On constate expérimentalement que la tension de sortie est sensiblement sinusoïdale :
. Expliquer ce fait.
1 volt
m
E=
0
cos( )
ssm
vV t≈ω+ϕm
E−
m
Ee
v
t
12) Calculer .
sm
V
13) Calculer . ϕ
14) La tension d’entrée est à présent une fonction quelconque du temps. En utilisant l’expression de la fonction de
transfert, déterminer l’équation différentielle du second ordre qui relie et .
s
ve v
15) La tension d’entrée est à présent un échelon de
tension, c’est-à-dire que pour et
pour , où E est une constante. La
figure ci-contre donne le graphe de la tension de sortie
en fonction du temps. Quelle est la valeur numérique
de ?
() 0
e
vt=0t<
()
e
vt E=0t>
s
v
E
16) Commenter le graphe de représenté ci-
contre : nature du régime ? est-il proche ou éloigné du
régime critique ? conditions initiales ?
()
s
vt
IV40.
1) Calculer la fonction de transfert 1/
se
Hv=v du filtre ci-contre quand sa sortie
débite sur une charge d’impédance infinie. vs
C
R
ve
2) Définir et calculer son impédance d’entrée e
Z.
3) Définir et calculer son impédance de sortie s
Z moyennant une certaine
hypothèse.
C vs C
R R
ve
4) Calculer la fonction de transfert 2/
s
Hv=e v du filtre ci-contre quand
sa sortie débite sur une charge d’impédance infinie.
5) Expliquer pourquoi 2
21
HH. ≠
=
=
t=ω=
V t=+ ω
t
6) Calculer la bande passante du premier filtre pour et C. 1000R=Ω100 nF
7) On applique à l’entrée du premier filtre la tension continue V. Quelle est la tension à la sortie ? 2volts
e
8) On applique à l’entrée du premier filtre la tension vV , où V et . Quelle
est la tension à la sortie ?
cos
eem 2volts em 5
10 rad/sω=
9) On applique à l’entrée du premier filtre la tension vV . Quelle est approximativement la tension
à la sortie, sous forme numérique ? cos
eeem
10) Si et v sont les valeurs minimales et maximales de vet
1
v2
()
s s
v sa valeur moyenne, le taux d’ondulation de
est
s
v21
2s
vv
v
−
λ=. Calculer λ.
11) On branche à la sortie un voltmètre de bonne qualité, donc « rms », réglé en continu. Qu’indique-t-il ?
12) On règle ce voltmètre en alternatif. Qu’indique-t-il ?
s
v
R R
L L
t
A
cos
eem
vV=ω
V36. d’après petites mines 2003.
1) Le filtre ci-contre débite sur une résistance d’utilisation infinie. En
considérant son comportement asymptotique à haute et basse fréquence,
déterminer sans calcul sa nature, passe bas, passe haut, passe bande ou
coupe bande.
2) Exprimer sa fonction de transfert /
se
Hvv= en fonction de . /xLR=ω
Nota : ne pas transformer l’expression obtenue sans raison.
3) Tracer qualitativement le diagramme de Bode de ce filtre, c’est-à-dire les deux graphes de 20 log
dB
GH et =
()
arg Hϕ= en fonction de . On précisera les équations des asymptotes. log x
4) Quel est le plus grand, la pulsation de coupure ou R ? /L
DS : filtres, page 2

5) On peut considérer ce filtre comme constitué par la mise en série de deux cellules formées par une résistance R et
une bobine L. Comment modifier ce montage pour obtenir un filtre dont la fonction de transfert est le carré de celle
d’un filtre ne comportant qu’une cellule ? ,RL
Réponses
I. 1)
1
Rg
HjR
jRC L
=
+ω− ω
; 2) ; ARg=0
1
LC
ω= ; C QR
L
= ; 3) 0, 01 S
A
gR == ;
8
0
3, 18.10 H
2
R
L
f
Q
−
==
π ; 8
0
3, 18.10 F
Q
CR
−
==
ω ; 4) passe-bande ; 5) 10
tan
(1 ) 4, 9956 MHz
2
ff Q
ϕ
=−= ;
20
tan
(1 ) 5, 0044 MHz
2
ff Q
ϕ
=+ = ; 6) de 1 à 0,9848.
II. 1)
()
1
1
1
H
jR C L
=
+ω− ω
; 2) 0
1
LC
ω= ; C QR
L
= ; 3) ; ; 4)
0
ω=ωmax 1G=
10 20
11
11
22QQ
⎛⎞ ⎛
⎟⎟
⎜⎜
ω=ω− <ω<ω=ω+
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
⎠
; 5) 0
12
11
4
2Q
Q
⎡
⎤
ω
⎢
⎥
ω=+−
⎢
⎥
⎣
⎦ ; 0
22
11
4
2Q
Q
⎡⎤
ω⎢⎥
ω=++
⎢⎥
⎣⎦
; 6)
21
0
1
Q
ω−ω=
ω ; 7) si , ; si ,
0
ω=ωcos
seem
vvV== ωt1 ω=ω
()
cos 4
2
em
s
V
vt
π
=ω+ ;
G
0
w ω
2
π
2
π
−
0
ω
0
ω
φ
1
0
8)
9) valables si le générateur branché à l’entrée a une résistance ; non valables si l’appareil branché à la sortie a une
impédance finie.
g
r
III. 1) 444
1
14
HRC =+ω ; 2) 0
1
2RC
ω= ; 1
2
σ= ; 3) 0
222 2 2
0
2/
2
tan 21/
RC
RC
ωω
ω
ϕ==
ω− ω ω−
1
; 4)
ω 0 0
ω +∞
tan ϕ 0 −∞ +∞ 0
ϕ 0/2−π −π
5) passe bas ; 6) GH ; 7) G ; 8) 20 log
dB =0 dB ≈
(
)
0
40 log /
dB
G ; 9) si H est la valeur maximale de
la fonction H, la bande passante est le domaine de fréquence pour lequel H est supérieur à
≈− ω ω
ω
max
() max 2H ; 10)
l’intervalle de fréquence
(
1
0, 22RC
π
)
; 11) les composantes de la série de Fourier de fréquence 30
f
,0 5
f
... sont
davantage atténuées que la composante de fréquence 0
f
; 12) 2 42 / 0,573 volt
sm m
=π=VE ; 13) ;
14)
/2ϕ=−π
2
22
2
22 ; 15)
ss
se
dv dv
RC RC v v
dt
dt ++= 1
voltE ; 16) régime pseudopériodique proche du régime critique ;
et
=
(0) 0
s
v=(0) 0
s
dv
dt =.
IV. 1) 1
1
1
H ; 2) le montage équivaut vis à vis de l’entrée à une impédance
jRC
=+ω
1
e
ZR ; 3)
l’ensemble du circuit branché à l’entrée et du filtre équivaut à une source de tension en série avec une impédance
jC
=+ ω
1
1
s
Z
jC
R
=
+ω
ou 1
1
s
g
Z ; 4)
jC
Rr
=
+ω
+
2222
1
13
H ; 6) du continu à 159 ; 7)
jRC R C
=+ω− ω 2 Hz
DS : filtres, page 3

DS : filtres, page 4
)
2V
s
v= ; 8) approximativement ou ; 9)
en volts ; 10) ; 11) 2 volts ; 12) 0,14 volts.
()
5
0, 2 sin 10
s
vt=
()
5
0,199 cos 10 1, 471 rad
s
vt=−
(
5
20,2sin10
s
vt=+ 0, 1λ=

Corrigés
I.
1) 11 1
e
se
gv Rg
vZgv H jR
jC jRC
RjL L
== ⇒=
++ω+ω−
ωω
2) En identifiant les deux formules, on obtient 0
0
QR
ARgRC Q
L
===ω
ω, d’où en formant le produit et le
quotient membre à membre de ces deux dernières formules 0
1C
QR
L
LC
ω==
3) 88
00
0, 01S 3,18.10 H 3,18.10 F
2
AR Q
gL C
RfQ R
−−
== = = = =
πω
4) C’est un passe-bande.
5) Posons
00
f
x
f
ω
==
ω. Les limites correspondent à 1
tan ( )Qx x ϕ=± −.
Comme le domaine est étroit, le calcul est plus simple en approximant la fonction 1
xx − par
1
(1/)
1(1) 2(1
x
dx x
xx x
xdx
=
−
−≈ − =−)
10 20
tan tan tan
1 (1 ) 4, 9956 MHz (1 ) 5, 0044 MHz
22 2
xff ff
QQ Q
ϕϕ ϕ
≈±=−==+=
6) Le gain reste très voisin de 1 ; sa valeur extrême a lieu pour ; alors il vaut 10ϕ=°
2
1cos 0,9848
1tan =ϕ= +ϕ ; il varie donc de 1 à 0,9848.
II. Filtre passif.
1) D’après le théorème de Millman,
()
1
11 1
1
e
s
v
R
vH
jC jR C
RjL L
=⇒=
++ω+ω−
ωω
2) Il faut identifier les deux expressions de
()
0
0
0
0
11
1
1
1
H
jR C
jQ L
QR
RC Q L
==
⎛ω ω ⎞
⎟
⎜+ω−
+−⎟
⎜⎟
⎜ω
⎝⎠
ωω
=ω=
ω
En prenant le produit et le rapport membre à membre , on obtient : 2
22
00
0
1RC R
QQR
LC L L
ω====ω
ωC
Remarquons que l’expression de Q n’est pas celle d’un circuit RL série. C
3)
()
2
2
1
1
1
GH
Qx x
==
+−
est maximum quand 10xx
−= soit ou . Sa valeur maximale
est .
1x=0 ω=ω
max 1G=
4)
(
)
()
2
max 22
2
2
11 1 1
1/ 1
22
211/
G
GG Qxxx
xQ
Qx x
>> >−<−<
+−
1
)
Soit
() ()
()
(
2
1/ 1 1/
f
xx xdfx xd=−=+ x. En remplaçant les différentielles par des petites variations au
voisinage de , on obtient, 1x=
()
() ( )
12 1
f
xf x−≈−. Si Q est grand, la bande passante est sensiblement
l’intervalle de fréquence pour lequel :
()
121020
11 1 1
21 1 1 1 1
222
xx xx
QQ Q Q
⎛⎞ ⎛
⎟⎟
⎜⎜
−<=−<< =+ ω=ω− <ω<ω=ω+
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝
1
2Q
⎞
⎠
DS : filtres, page 5