Méthodes Numériques pour Ingénieurs : Note de Cours

Note de cours en m´ethodes num´eriques pour ing´enieurs
(Version provisoire ! Merci pour toute remarque.)
David Jaur`es FOTSA MBOGNE
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23 f´evrier 2017

Table des mati`eres
Avant propos iii
1 R´esolution de l’´equation f(x)=0dans RN,N≥11
1.1 La m´ethode de la bissection (ou Dichotomie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 La m´ethode de la s´ecante (ou Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Racine comme valeur interm´ediaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Racine comme extremum d’une fonction localement positive convexe ou lo-
calement n´egative concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 La m´ethode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 M´ethode Newton-Cˆote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 R´esolution des ´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 PivotdeGauss ................................. 11
1.4.2 M´ethode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 M´ethode LU oudeCrout ........................... 15
1.4.4 M´ethode LLToudeCholeski ......................... 17
1.4.5 M´ethodesit´eratives............................... 19
2 R´esolution des ´equations aux d´eriv´ees 23
2.1 D´erivationnum´erique.................................. 23
2.1.1 Diff´erence finies progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Diff´erence finies regressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Diff´erence finies centr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Probl`emes aux conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Discr´etisation .................................. 27
2.3 Probl`emesdeCauchy.................................. 28
2.3.1 M´ethoded’Euler ................................ 28
2.3.2 M´ethodedeTaylor ............................... 29
2.3.3 M´ethode de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4 Probl`emes de Cauchy aux conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Interpolation et extrapolation 32
3.1 MatricedeVandermonde................................ 32
3.2 Polynˆome d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Polynˆome d’interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Diff´erencesdivis´ees............................... 33
3.3.2 Polynˆome d’interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 M´ethode d’interpolation d’Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i

TABLE DES MATI ` ERES TABLE DES MATI ` ERES
4 Int´egration num´erique dans R38
4.1 Approximation par des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 M´ethodedeSimpson .................................. 40
4.3 M´ethodedeRomberg.................................. 41
ii

Avant propos
Ce polycopi´e est une tentative de plus, peut-ˆetre mˆeme de trop, en ce qui concerne l’introduc-
tion aux m´ethodes num´eriques. Les m´ethodes num´eriques constituent un moyen de rentabiliser
les grandes capacit´es de calcul des ordinateurs, pour r´esoudre le plus pr´ecisement possible les
probl`emes math´ematiques rencontr´es dans les applications (ing´enierie par exemple). Ce docu-
ment s’adresse en particulier, aux lecteurs non famili´es aux m´ethodes num´eriques, mais en quˆete
de motivations ; les ing´enieurs pourront y porter un certain int´erˆet. Pour simplifier l’expos´e les
d´emonstrations math´ematiques sont omises. Cependant, des commentaires (peut-ˆetre ennuyeux
...) sont faits pour guider l’´eventuel utilisateur, quant aux conditions d’applicabilit´e efficace des
m´ethodes pr´esent´ees. Quelques exercices simples sont propos´es imm´ediatement `a la suite de la
pr´esentation de chaque m´ethode, ceci pour une facilit´e une n´ecessaire familiarisation, `a travers le
cacul manuel. L’´etape du calcul manuel ´etant incontournable pour la maˆıtrise personnelle des
instructions, qui plutard, dans les applications (o`u plus tˆot, en travaux pratiques), seront destin´ees
aux ordinateurs, `a causes de la grandeurs des donn´ees et des calculs.
iii

Chapitre 1
R´esolution de l’´equation f(x)=0dans
RN,N≥1
Soit une fonction f:R→R, une fonction. L’objectif est de retrouv´e dans Df, le domaine de
d´efinition de la fonction f, s’il existe, un x∞tel que f(x∞) = 0. Le principe g´en´eral est, lorsqu’on
a la garantie de l’existence d’un tel point x∞, de construire une suite (xn)n∈N∗de points dans
Dfqui converge vers x∞. Dans ce chapitre nous faisons l’hypoth`ese que la fonction fest continue
et s’annule au moins une fois. En pratique, pour s’assurer de la v´erification de cette hypoth`ese,
on pourra repr´esent´e le graphe de f; cela contribuera ´egalement au choix ad´equat des conditions
initiales de la suite mentionn´ee ci-avant, en vue d’acc´el´erer la convergence, pour limiter les coˆuts
de calculs. Voici deux r´esultats basiques d’analyse dont on peut se servir :
Th´eor`eme 1.0.1 (des valeurs interm´ediaires)
Soit une application continue gd´efinie d’un intervalle [a;b]vers R, telle que g(a)< g (b).
Alors, il existe au moins un point c∈]a;b[tel g(a)< g (c)< g (b).
Corollaire 1.0.2 Soit une application continue gd´efinie d’un intervalle [a;b]vers R, telle que
g(a)g(b)<0. Alors, il existe au moins un point c∈]a;b[tel g(c) = 0.
1.1 La m´ethode de la bissection (ou Dichotomie)
La m´ethode de Dichotomie consiste, `a partir de deux points xAet xBv´erifiant f(xA)f(xB)
strictement inf´erieur `a 0, `a obtenir un troisi`eme point xCen g´en´eral ´egal `a xA+xB
2. Par la suite
on trouve un autre point xC`a partir de xAet xC, ou de xBet xC, selon qu’on a respectivement
f(xA)f(xC)<0, ou f(xB)f(xC)<0. Le diam`etre des intervalles contenant la racine, d’apr`es le
corollaire 1.0.2, constitue donc une suite g´eom´etrique de premier terme |xB−xA|et de raison 1
2.
On construit ainsi une suite de Cauchy (xn)n∈N∗qui converge vers une racine x∞.
x1=a
x2=b
xn=xn−1+xn−2
2, n ≥3
La convergence de la suite (xn)n∈N∗est obtenue `a l’infini ; ceci ne correspond pourtant pas au
besoin de finitude (algorithmique). En pratique on supposera que la limite est atteinte au rang
n, si |f(xn)|est inf´erieur ou ´egale `a un r´eel strictement positif ε.εest appel´e tol´erance. Notons
1