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MethodNumIng

Note de cours en méthodes numériques pour ingénieurs
(Version provisoire ! Merci pour toute remarque.)
David Jaurès FOTSA MBOGNE
Me contacter à david jamesf@yahoo.fr
Aller à ma page web https://sites.google.com/site/mjdavidfotsa/home
23 février 2017
Table des matières
Avant propos
iii
1 Résolution de l’équation f (x) = 0 dans RN , N ≥ 1
1.1 La méthode de la bissection (ou Dichotomie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La méthode de la sécante (ou Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Racine comme valeur intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Racine comme extremum d’une fonction localement positive convexe ou
calement négative concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Méthode Newton-Côte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Résolution des équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Méthode LU ou de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Méthode LLT ou de Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Résolution des équations aux dérivées
2.1 Dérivation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Différence finies progressives . . . . . . . . .
2.1.2 Différence finies regressives . . . . . . . . . .
2.1.3 Différence finies centrées . . . . . . . . . . .
2.2 Problèmes aux conditions limites . . . . . . . . . .
2.2.1 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Problèmes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Méthode de Taylor . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Méthode de Runge-Kutta . . . . . . . . . .
2.3.4 Problèmes de Cauchy aux conditions limites
3 Interpolation et extrapolation
3.1 Matrice de Vandermonde . . . . . . . . . . .
3.2 Polynôme d’interpolation de Lagrange . . .
3.3 Polynôme d’interpolation de Newton . . . .
3.3.1 Différences divisées . . . . . . . . . .
3.3.2 Polynôme d’interpolation de Newton
3.4 Méthode d’interpolation d’Aitken . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES
4 Intégration numérique dans R
4.1 Approximation par des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
38
38
40
41
Avant propos
Ce polycopié est une tentative de plus, peut-être même de trop, en ce qui concerne l’introduction aux méthodes numériques. Les méthodes numériques constituent un moyen de rentabiliser
les grandes capacités de calcul des ordinateurs, pour résoudre le plus précisement possible les
problèmes mathématiques rencontrés dans les applications (ingénierie par exemple). Ce document s’adresse en particulier, aux lecteurs non familiés aux méthodes numériques, mais en quête
de motivations ; les ingénieurs pourront y porter un certain intérêt. Pour simplifier l’exposé les
démonstrations mathématiques sont omises. Cependant, des commentaires (peut-être ennuyeux
...) sont faits pour guider l’éventuel utilisateur, quant aux conditions d’applicabilité efficace des
méthodes présentées. Quelques exercices simples sont proposés immédiatement à la suite de la
présentation de chaque méthode, ceci pour une facilité une nécessaire familiarisation, à travers le
cacul manuel. L’étape du calcul manuel étant incontournable pour la maı̂trise personnelle des
instructions, qui plutard, dans les applications (où plus tôt, en travaux pratiques), seront destinées
aux ordinateurs, à causes de la grandeurs des données et des calculs.
iii
Chapitre 1
Résolution de l’équation f (x) = 0 dans
RN , N ≥ 1
Soit une fonction f : R → R, une fonction. L’objectif est de retrouvé dans Df , le domaine de
définition de la fonction f , s’il existe, un x∞ tel que f (x∞ ) = 0. Le principe général est, lorsqu’on
a la garantie de l’existence d’un tel point x∞ , de construire une suite (xn )n∈N∗ de points dans
Df qui converge vers x∞ . Dans ce chapitre nous faisons l’hypothèse que la fonction f est continue
et s’annule au moins une fois. En pratique, pour s’assurer de la vérification de cette hypothèse,
on pourra représenté le graphe de f ; cela contribuera également au choix adéquat des conditions
initiales de la suite mentionnée ci-avant, en vue d’accélérer la convergence, pour limiter les coûts
de calculs. Voici deux résultats basiques d’analyse dont on peut se servir :
Théorème 1.0.1 (des valeurs intermédiaires)
Soit une application continue g définie d’un intervalle [a; b] vers R, telle que g (a) < g (b).
Alors, il existe au moins un point c ∈ ]a; b[ tel g (a) < g (c) < g (b).
Corollaire 1.0.2 Soit une application continue g définie d’un intervalle [a; b] vers R, telle que
g (a) g (b) < 0. Alors, il existe au moins un point c ∈ ]a; b[ tel g (c) = 0.
1.1
La méthode de la bissection (ou Dichotomie)
La méthode de Dichotomie consiste, à partir de deux points xA et xB vérifiant f (xA ) f (xB )
B
. Par la suite
strictement inférieur à 0, à obtenir un troisième point xC en général égal à xA +x
2
on trouve un autre point xC à partir de xA et xC , ou de xB et xC , selon qu’on a respectivement
f (xA ) f (xC ) < 0, ou f (xB ) f (xC ) < 0. Le diamètre des intervalles contenant la racine, d’après le
corollaire 1.0.2, constitue donc une suite géométrique de premier terme |xB − xA | et de raison 12 .
On construit ainsi une suite de Cauchy (xn )n∈N∗ qui converge vers une racine x∞ .

 x1 = a
x2 = b

n−2
xn = xn−1 +x
, n≥3
2
La convergence de la suite (xn )n∈N∗ est obtenue à l’infini ; ceci ne correspond pourtant pas au
besoin de finitude (algorithmique). En pratique on supposera que la limite est atteinte au rang
n, si |f (xn )| est inférieur ou égale à un réel strictement positif ε. ε est appelé tolérance. Notons
1
2
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
que par souci de limiter le nombre d’itérations (n) et par conséquent le temps de calcul, on utilise
plutôt la condition d’arrêt |xn − xn−1 | ≤ ε. Cette condition se justifie par le fait que par continuité
de f , et par convergence de (xn )n∈N∗ vers x∞ , (f (xn ))n∈N∗ converge vers f (x∞ ) qui vaut 0. On
peut également prendre la condition mixte ”|f (xn )| ≤ εf et |xn − xn−1 | ≤ εx ”. Enfin, on peut fixer
le nombre d’itérations, surtout lorsqu’on n’est pas sûre de la convergence, ou qu’on veut calculer
manuellement, pour s’habituer par exemple à la méthode.
Figure 1.1 – xA = −1, 1, xB = −0, 8 et xC = −0, 95 (point sécant rouge avec l’axe des abscisses)
Voici une proposition (non standard) d’algorithme :
Algorithme 1.1.1 (Racine Dichotomie)
1. f ←donnée de la fonction f ; // Paramètre de l’utilisateur
2. a ←valeur de a ; // Paramètre de l’utilisateur
3. b ←valeur de b ; // Paramètre de l’utilisateur
4. ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
5. n ← 0 ; // Compteur d’itération
6. c ← a; // la racine peut être a !
7. Si f (b) = 0 faire // la racine peut être b !
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE
3
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
(a) c ← b ;
8. Finsi
9. Tantque (f (a) f (b) < 0 et |f (c)| > ε) faire // si la racine n’est ni a, ni b ;
(a) c ←
b+a
2
;
(b) Si f (c) f (b) < 0 faire
i. a ← b ;
(c) Finsi
(d) b ← c ;
(e) n ← n + 1 ;
10. FinTantque
11. Afficher (c) ;// ”la racine”
12. Afficher (f (c)) ; l’image de la ”racine”
13. Afficher (n) ; // le nombre d’itérations
Exercice 1.1.1 Soit la fonction f : x 7→ x3 − 1.
1. Vérifier que 1 est une racine de f .
2. Exécuter l’algorithme 1.1.1, en prenant a = 0, 8, b = 1, 1 et ε = 0, 1. Quel est le nombre
d’itérations ? Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
3. Exécuter l’algorithme 1.1.1, en prenant a = 0, 8, b = 1, 1, ε = 0, 1, et en remplaçant la
condition |f (c)| > ε par une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | > ε. Quelle est
l’erreur absolue |c − 1| ?
4. Exécuter l’algorithme 1.1.1, en prenant a = 0, 8, b = 1, 1 et en remplaçant la condition
|f (c)| > ε par n ≤ 5. Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
Exercice 1.1.2 Soit la fonction f : x 7→ x3 − x. Chercher une approximation d’un point fixe de
la fonction f avec une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | < 10−2 . On prendra x0 = 0, 8,
x1 = 1, 1.
Exercice 1.1.3 Donner une approximation d’une solution à l’équation x3 − 0, 75x = −0, 25 avec
une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | < 10−2 . On prendra x0 = −1, 1, x1 = −0, 8.
Exercice 1.1.4 Donner une approximation d’un point de rencontre entre les graphes des fonctions
f : x 7→ x2 et g : x 7→ x, avec une condition d’arrêt de la forme |f (xn ) − g (xn )| < 10−2 . On prendra
x0 = −1, 1, x1 = 0, 8.
Exercice 1.1.5 Ecrire toutes les variantes de l’algorithme 1.1.1, relativement aux différentes
conditions d’arrêt abordées ci-avant.
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
4
1.2
La méthode de la sécante (ou Lagrange)
La méthode de Lagrange consiste, à partir de deux points A (xA , f (xA )) et B (xB , f (xB )) du
graphe de f , à obtenir un troisième point C (xC , 0) situé sur l’axe des abscisses. Ce point est
le point d’intersection de la droite (AB) avec l’axe des abscisses. Il est évident que l’existence
d’un tel C nécessite que les deux droites précédentes ne soient pas parallèles, c’est à dire, de
manière équivalente, que f (xA ) − f (xB ) 6= 0. On peut distinguer deux cas de figure : celui où
f (xA ) f (xB ) < 0 et celui où f ne change pas de signe et admet pour minimum 0. Ces deux cas
donnerons lieu à des variantes légèrement distinctes de la construction de la suite (xn )n∈N∗ .
1.2.1
Racine comme valeur intermédiaire
Dans cette sous section on suppose qu’il existe deux points A (xA , f (xA )) et B (xB , f (xB ))
du graphe de f , tels que f (xA ) f (xB ) < 0. Le corollaire 1.0.2 garantit qu’une racine de f est
contenue dans ]xA , xB [. En utilisant à nouveau le corollaire 1.0.2 pour la droite (AB), on déduit
l’existence d’un point C, élément du segment [AB], qui est l’intersection de la droite (AB) avec
l’axe des abscisses. Le point C est relativement facile à retrouver, vu que son ordonnée est nulle.
Pour son abscisse, il suffit d’écricre de deux façon la pente de la droite (AB).
0 − f (xB )
f (xB ) − f (xA )
=
xB − xA
xC − xB
Ainsi,
xC = xB − f (xB )
xB − xA
f (xB ) − f (xA )
La donnée du point C partitionne le segment [AB] en deux segments [AC] et [BC], dont l’un
au moins contient une racine de f . La garantie de cette existence sera encore le fait d’avoir les
extrémités du segment ayant des abscisses d’images des signes contraires. On construit ainsi une
suite

 x1 = a
x2 = b
 x =x
xn−1 −xn−2
n
n−1 − f (xn−1 ) f (xn−1 )−f (xn−2 ) , n ≥ 3
L’assurance de la convergence de la suite (xn )n∈N∗ vient du fait qu’à chaque fois, l’intervalle est
divisé un deux intervalles plus petits. La suite étant de Cauchy, elle converge. Les conditions
d’arrêt restent les mêmes.
Voici une proposition d’algorithme :
Algorithme 1.2.1 (Racine Lagrange)
1. f ←donnée de la fonction f ; // Paramètre de l’utilisateur
2. a ←valeur de a ; // Paramètre de l’utilisateur
3. b ←valeur de b ; // Paramètre de l’utilisateur
4. ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
5. n ← 0 ; // Compteur d’itération
6. c ← a; // la racine peut être a !
7. Si f (b) = 0 faire // la racine peut être b !
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
Figure 1.2 – xA = −1, 1, xB = −0, 9 et xC = −0, 99 (point sécant rouge)
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
(a) c ← b ;
8. Finsi
9. Tantque (f (a) f (b) < 0 et |f (c)| > ε) faire // si la racine n’est ni a, ni b ;
(a) c ← b − f (b) ∗
b−a
f (b)−f (a)
;
(b) Si f (c) f (b) < 0 faire
i. a ← b ;
(c) Finsi
(d) b ← c ;
(e) n ← n + 1 ;
10. FinTantque
11. Afficher (c) ;// ”la racine”
12. Afficher (f (c)) ; l’image de la ”racine”
13. Afficher (n) ; // le nombre d’itérations
Remarque 1.2.2 La résolution du problème f (x) = a (respectivement f (x) = x, f (x) = g (x))
revient à résoudre l’équation k (x) = 0, où k (x) = f (x)−a (respectivement f (x)−x, f (x)−g (x)).
Exercice 1.2.1 Soit la fonction f : x 7→ x3 − 1.
1. Vérifier que 1 est une racine de f .
2. Exécuter l’algorithme 1.2.1, en prenant a = 0, 9, b = 1, 1 et ε = 0, 1. Quel est le nombre
d’itérations ? Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
3. Exécuter l’algorithme 1.2.1, en prenant a = 0, 9 et b = 1, 1, ε = 0, 1, et en remplaçant
la condition |f (c)| > ε par une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | > ε. Quelle est
l’erreur absolue |c − 1| ?
4. Exécuter l’algorithme 1.2.1, en prenant a = 0, 9 et b = 1, 1 et en remplaçant la condition
|f (c)| > ε par n ≤ 5. Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
Exercice 1.2.2 Soit la fonction f : x 7→ x3 − x. Chercher une approximation d’un point fixe de
la fonction f avec une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | < 10−2 . On prendra x0 = 0, 8,
x1 = 1, 1.
Exercice 1.2.3 Donner une approximation d’une solution à l’équation x3 − 0, 75x = −0, 25 avec
une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | < 10−2 . On prendra x0 = −1, 1, x1 = −0, 8.
Exercice 1.2.4 Donner une approximation d’un point de rencontre entre les graphes des fonctions
f : x 7→ x2 et g : x 7→ x, avec une condition d’arrêt de la forme |f (xn ) − g (xn )| < 10−2 . On prendra
x0 = −1, 1, x1 = 0, 8.
Exercice 1.2.5 Ecrire toutes les variantes de l’algorithme 1.2.1, relativement aux différentes
conditions d’arrêt abordées ci-avant.
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David Jaurès FOTSA MBOGNE
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
7
1.2.2
Racine comme extremum d’une fonction localement positive
convexe ou localement négative concave
Dans cette sous section on suppose que la fonction f est localement positive convexe et s’annule.
Cela se justifie par le fait que si f est négative concave alors −f est positive convexe, et les deux
fonction s’annulent en même temps. La racine x∞ est donc un point où f atteint un extremum
(local). Par conséquent d’un côté comme de l’autre de x∞ , au moins localement, f est monotone.
Soit S (x∞ , 0). On suppose que A est un point du segment [BS] et que f (xA ) 6= f (xB ). Puisque
f (xA ) 6= f (xB ), la pente de la droite (AB) est non nulle ; elle rencontre par conséquent l’axe des
abscisses en point C (xC , 0). Grâce à la convexité de f , C appartient également au segment [BS] ;
pour s’en convaincre, il faut étudier les positions relatives des droites (AB) et (BS). La monotonie
de f de part et d’autre de x∞ implique que xC est plus proche de x∞ que xA et xB . Cela constitue
une garantie de la convergence de la suite construite en répétant la méthode. On remarque en
observant l’expression de xC , que le rapprochement est plus important lorsque la pente (ou taux
(xA )
est plus grande. Cette remarque permet de choisir par la suite s’il
d’accroissement) f (xxBB)−f
−xA
faut déterminer le prochain xC à partir de xA et xC , ou de xB et xC . La relation de récurrence et
les conditions d’arrêts demeurent les mêmes.
Figure 1.3 – xA = −1, 1, xB = −0, 9 et xC = −0, 99 (point sécant des droites en rouge)
Voici une proposition d’algorithme :
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE
8
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
Algorithme 1.2.3 (Racine Lagrange2)
1. f ←donnée de la fonction f ; // Paramètre de l’utilisateur
2. a ←valeur de a ; // Paramètre de l’utilisateur
3. b ←valeur de b ; // Paramètre de l’utilisateur
4. ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
5. n ← 0 ; // Compteur d’itération
6. c ← a; // la racine peut être a !
7. Si f (b) = 0 faire // la racine peut être b !
(a) c ← b ;
8. Finsi
9. Tantque (|f (c)| > ε et f (b) 6= f (a)) faire // si la racine n’est ni a, ni b ;
(a) c ← b − f (b) ∗
(b) Si
f (c)−f (a)
c−a
<
b−a
f (b)−f (a)
;
f (c)−f (b)
c−b
faire //meilleur la pente
i. a ← b ;
(c) Finsi
(d) b ← c ;
(e) n ← n + 1 ;
10. FinTantque
11. Afficher (c) ;// ”la racine”
12. Afficher (f (c)) ; l’image de la ”racine”
13. Afficher (n) ; // le nombre d’itérations
Remarque 1.2.4 La variante de la méthode de Lagrange utilisée dans cette sous-section, a en
réalité tendance à déterminer des points en lesquels f admet des extrema locaux. On pourra dont
déterminer un de ces points x∗ , en résolvant f (x) − f (x∗ ) = 0 ; cela suppose qu’on connaı̂t
l’extremum local f (x∗ ).
Exercice 1.2.6 Soit la fonction f : x 7→ x2 − 2x + 1.
1. Vérifier que 1 est une racine de f .
2. Exécuter l’algorithme 1.2.3, en prenant a = 1, 1, b = 1, 2 et ε = 0, 1. Quel est le nombre
d’itérations ? Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
3. Exécuter l’algorithme 1.2.3, en prenant a = 1, 1 et b = 1, 2, ε = 0, 1, et en remplaçant
la condition |f (c)| > ε par une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | > ε. Quelle est
l’erreur absolue |c − 1| ?
4. Exécuter l’algorithme 1.2.3, en prenant a = 1, 1 et b = 1, 2 et en remplaçant la condition
|f (c)| > ε par n ≤ 5. Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
Exercice 1.2.7 Ecrire toutes les variantes de l’algorithme 1.2.3, relativement aux différentes
conditions d’arrêt abordées ci-avant.
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
9
1.3
La méthode de Newton-Raphson
Que faire lorsqu’on ne peut appliquer ni la méthode de Dichotomie, ni celle de Lagrange ? Il
y a en effet une alternative. Cependant celle-ci nécessite que la fonction f soit dérivable. Il s’agit
de la méthode de Newton. Cette méthode consiste à exploiter la monotonie locale de f pour se
rapprocher de la racine. On choisit un point initial A (x1 , f (x1 )) qui n’est pas un extremum local
0
(f (x1 ) 6= 0) et on cherche B (x2 , 0), qui est le point de rencontre entre la tangente au graphe
de f passant par A ((TA )), et l’axe des abscisses. Le calcul de la pente de la droite (TA ) donne
0
(x1 )
. On a donc la relation de récurrence
f (x1 ) = 0−f
x2 −x1
(
x1 = a
xn = xn−1 −
f (xn−1 )
,
f 0 (xn−1 )
n≥2
Figure 1.4 – xA = −1, 1, xB = −0, 9 et xC = −0, 99 (point sécant des droites en rouge)
La méthode de Newton présente l’avantage de ne nécessiter qu’un point de départ et de prendre
en compte toute les situations précédemment abordées. Son inconvénient est l’exigence par rapport
à la régularité de f et la condition sur la dérivée, pour calculer le terme suivant. On risque à tout
moment de tomber sur un extremum local. La convergence de la méthode de Newton n’est garantie
que dans les cas d’utilisation possible des variantes la méthode de Langrange.
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
10
Algorithme 1.3.1 (Racine Newton)
f ←donnée de la fonction f ; // Paramètre de l’utilisateur
a ←valeur de a ; // Paramètre de l’utilisateur
ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
n ← 0 ; // Compteur d’itération
s ← a; // la racine peut être a !
Tantque (f 0 (s) 6= 0 et |f (s)| > ε) faire // si la racine n’est ni a, ni b ;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(a) s ← s −
f (s)
f 0 (s)
;
(b) n ← n + 1 ;
7.
8.
9.
10.
FinTantque
Afficher (s) ;// ”la racine”
Afficher (f (s)) ;// l’image de la ”racine”
Afficher (n) ; // le nombre d’itérations
Remarque 1.3.2 Ladite méthode tend également à déterminer les minimum locaux et peut donc
être exploitée à cet effet. Cepedant le risque est de tomber sur une racine. On pourra alors, lorque
l’extremum f (x∗ ) est connu, résoudre f (x) − f (x∗ ) = 0.
Exercice 1.3.1 Soit la fonction f : x 7→ x2 − 2x + 1.
1. Vérifier que 1 est une racine de f .
2. Exécuter l’algorithme 1.3.1, en prenant a = 0, 9 et ε = 0.1. Quel est le nombre d’itérations ?
Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
3. Exécuter l’algorithme 1.3.1, en prenant a = 1, 1, ε = 0, 1, et en remplaçant la condition
|f (c)| > ε par une condition d’arrêt de la forme |xn+1 − xn | > ε. Quelle est l’erreur absolue
|c − 1| ?
4. Exécuter l’algorithme 1.3.1, en prenant a = 1, 2 et en remplaçant la condition |f (c)| > ε
par n ≤ 5. Quelle est l’erreur absolue |c − 1| ?
Exercice 1.3.2 Ecrire toutes les variantes de l’algorithme 1.3.1, relativement aux différentes
conditions d’arrêt abordées ci-avant.
Exercice 1.3.3 Ecrire un algorithme de détermination d’un extremum local. Déterminer un minimum local de la fonction f : x 7→ x2 − 1.
1.3.1
Méthode Newton-Côte
La méthode de Newton-Côte est l’application de la méthode de newton pour une fonction
f définie de RN vers RN . Il s’agit simplement de remplacer la dérivée de la fonction f , par sa
différentielle (ou sa matrice jacobienne). Soit x = (x1 , · · · , xN ) ∈ RN tel que f (x) = (f1 (x) , · · · , fN (x)).
La matrice jacobienne de f appliquée à x donne

 ∂f1
∂f1
(x)
·
·
·
(x)
∂x1
∂xN

.. 
..
Jf (x) =  ...
.
. 
∂fN
∂x1
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(x) · · ·
∂fN
∂xN
(x)
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
11
On la récurrence
xn = xn−1 − [Jf (xn−1 )]−1 · f (xn−1 )
La condition f 0 (s) 6= 0 est remplacée par det [Jf (s)] 6= 0. La condition de non nullité du
déterminant de la matrice Jf (s) assure l’inversibilté de ladite matrice.
Exercice 1.3.4 Soit la fonction f : (x, y) 7→ (x + y, x − y). Résoudre f (x, y) = 0 ;
1.4
Résolution des équations linéaires
Dans cette section on considère le problème AX = B, où A est une matrice carrée d’ordre
n, X et B sont des vecteurs colonne de longueur n. Les matrices A et B sont connues, et on
recherche l’inconnue X. La solution existe et est unique si et seulement si A est inversible, c’est à
dire de déterminant non nul. On supposera, sauf mention explicite du contraire, que det (A) 6= 0.
L’inversion d’une matrice est une opération très coûteuse lorsque sa taille devient grande. Pour
cela, il faut l’éviter au maximum. Des méthodes alternatives ont donc étés proposées.
1.4.1
Pivot de Gauss
Cette méthode consiste à transformer la matrice augmentée M = (A|B) en une matrice augmenté N = (T |C), où T est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), et C est un vecteur
de la même nature que B. La transformation consiste à choisir à chaque fois (n − 1 fois au total)
une ligne pivot, et de remplacer chaque ligne précédente ou suivante (selon la forme triangulaire
voulue), par une combinaison linéaire d’elle même avec la ligne pivot. Cette transformation a pour
objectif d’annuler les coefficients sur la même colonne que le premier coefficient non nul de la
ligne pivot. Le choix de la ligne j comme i-ème ligne pivot nécessite le fait ses i − 1 premiers
coefficients tous nuls et pas le i-ème. Après obtention de la matrice augmentée (T |C) on résoud
plus facilement, par substitution, le nouveau système obtenu.
Voici une proposition d’algorithmes respectivement pour les formes triangulaires inférieures et
supérieures.
Algorithme 1.4.1 (Pivot de Gauss inférieur)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. M ← (A|B) ;
4. n ←longueur de B ;
5. Pour P ivot ← 1 jusque n − 1 faire
(a) BonP ivot ← P ivot
(b) Tantque (A (BonP ivot, BonP ivot) = 0) faire
i. BonP ivot ← BonP ivot + 1 ;
(c) FinTantque
(d) Permuter (M (P ivot, .), M (BonP ivot, .)) ; // choix de la bonne ligne pivot
(e) Pour Compteur ← P ivot + 1 jusque n faire
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12
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
i. M (Compteur, .) ← M (P ivot, P ivot) × M (Compteur, .) − A (Compteur, P ivot) ×
M (P ivot, .) ; // où M (i, ) désigne la ligne i de la matrice augmentée M .
(f ) FinPour
6. FinPour
7. Pour Compteur ← n jusque 1 faire
(a) X (Compteur) ← M (Compteur, n + 1) ;
(b) Si Compteur 6= n faire
i. Pour Compteur2 ← n jusque Compteur + 1 faire
ii.
X (Compteur) ← X (Compteur)−M (Compteur, Compteur2)×X (Compteur2) ;
iii. FinPour
(c) FinSI
(d) X (Compteur) ← X (Compteur) /M (Compteur, Compteur) ;
8. FinPour
9. Afficher (X) ;
Algorithme 1.4.2 (Pivot de Gauss supérieur)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. M ← (A|B) ;
4. n ←longueur de B ;
5. Pour P ivot ← n jusque 2 faire
(a) BonP ivot ← P ivot
(b) Tantque (A (BonP ivot, BonP ivot) = 0) faire
i. BonP ivot ← BonP ivot − 1 ;
(c) FinTantque
(d) Permuter (M (P ivot, .), M (BonP ivot, .)) ; // choix de la bonne ligne pivot
(e) Pour Compteur ← P ivot − 1 jusque 1 faire
i. M (Compteur, .) ← M (P ivot, P ivot) × M (Compteur, .) − A (Compteur, P ivot) ×
M (P ivot, .) ; // où M (i, ) désigne la ligne i de la matrice augmentée M .
(f ) FinPour
6. FinPour
7. Pour Compteur ← 1 jusque n faire
(a) X (Compteur) ← M (Compteur, n + 1) ;
(b) Si Compteur 6= 1 faire
i. Pour Compteur2 ← 1 jusque Compteur − 1 faire
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13
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
X (Compteur) ← X (Compteur)−M (Compteur, Compteur2)×X (Compteur2) ;
ii.
iii. FinPour
(c) FinSI
(d) X (Compteur) ← X (Compteur) /M (Compteur, Compteur) ;
8. FinPour
9. Afficher (X) ;

 2x − y − z = −1
x − 0, 5y + z = 1 . Utiliser les deux variantes de la méthode
Exercice 1.4.1 Résoudre le système

x+y+z =4
de Gauss.
Calcul du déterminant
Le calcul du déterminant se base sur les trois faits suivants :
— Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux.
— L’ajout à une ligne d’une combinaison linéaires des autres ne modifie pas le déterminant.
— La permutation de deux lignes multiplie le déterminant par −1.
Etant donnée une matrice A, voici un algorithme de calcul du déterminant de A.
Algorithme 1.4.3 (Calcul du déterminant)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. n ←nombre de ligne de A ;
3. determinant ← 1 ;
4. P ivot ← 1 ;
5. BonP ivot ← P ivot ;
6. Tantque (P ivot < n et BonP ivot ≤ n) faire
(a) Tantque (A (BonP ivot, BonP ivot) = 0 et BonP ivot ≤ n) faire
i. BonP ivot ← BonP ivot + 1 ;
(b) FinTantque
(c) Si (BonP ivot ≤ n) faire
i. Permuter (A(P ivot, .), A(BonP ivot, .)) ; // choix de la bonne ligne pivot
ii. determinant ← −determinant ;
iii. Pour Compteur ← P ivot + 1 jusque n faire
iv.
ivot)
× A(P ivot, .) ; // où A (i, )
A(Compteur, .) ← A(Compteur, .) − A(Compteur,P
A(P ivot,P ivot)
désigne la ligne i de la matrice augmentée M .
v. FinPour
vi. P ivot ← P ivot + 1 ;
vii. BonP ivot ← P ivot ;
(d) FinSi
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
14
7. FinTantque
8. Pour Compteur ← 1 jusque n faire
determinant ← determinant ∗ A (Compteur, Compteur) ;
(a)
9. FinPour
10. Afficher (determinant) ;


2 −1 −1
Exercice 1.4.2 Calculer de trois façons distinctes le déterminant de la matrice 2 −1 2 .
1 1
1
1.4.2
Méthode de Gauss-Jordan
La méthode de Gauss-Jordan est similaire au pivot de Gauss. La différence fondamentale est
qu’au bout de la transformation, au lieu d’une matrice seulement triangulaire, on a la matrice
augmentée (Id|X), où Id est la matrice identité et X la solution. Pour arriver à ce résultat, on ne
se contente plus de modifier exclusivement les lignes supérieures (respectivement inférieures) ; on
modifie toutes les lignes distinctes de la ligne pivot et on normalise cette dernière.
Voici une proposition d’algorithme.
Algorithme 1.4.4 (Gauss-Jordan)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. M ← (A|B) ;
4. n ←longueur de B ;
5. Pour P ivot ← 1 jusque n − 1 faire
(a) BonP ivot ← P ivot
(b) Tantque (A (BonP ivot, BonP ivot) = 0) faire
i. BonP ivot ← BonP ivot + 1 ;
(c) FinTantque
(d) Permuter (M (P ivot, .), M (BonP ivot, .)) ; // choix de la bonne ligne pivot
(e) M (P ivot, .) ←
1
M (P ivot,P ivot)
× M (P ivot, .) ;
(f ) Pour Compteur ← 1 jusque n faire
i. Si (Compteur 6= P ivot) faire
ii.
M (Compteur, .) ← M (Compteur, .) − M (Compteur, P ivot) × M (P ivot, .) ; //
où M (i, ) désigne la ligne i de la matrice augmentée M .
iii. FinSi
(g) FinPour
6. FinPour
7. X (Compteur) ← M (, n + 1) ; // où M (, j) désigne la colonne j de la matrice augmentée
M.
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
15
8. Afficher (X) ;

 2x − y − z = −1
2x − y + 2z = 2 .
Exercice 1.4.3 Résoudre par la méthode de Gauss-Jordan le système

x+y+z =4
Inversion d’une matrice
L’inversion d’une matrice A consiste à appliquer la méthode de Gauss-Jordan
augmentée (A|Id). A la fin on obtient la nouvelle matrice augmentée (Id|A−1 ).

2 −1

Exercice 1.4.4 Calculer de deux façons distinctes l’inverse de la matrice 2 −1
3 3
1.4.3
à la matrice

−1
2 .
3
Méthode LU ou de Crout
La méthode de consiste à écrire la matrice A comme le produit de deux matrices L et U , où L
est une matrice triangulaire inférieure (L signifie Lower) ayant tous ses termes diagonaux égaux
à 1, et U est une matrice triangulaire supérieure (U signifie Upper). Cette décomposition nous
amène à résoudre successivement deux systèmes, en posant Y = U X :
LY = B
UX = Y
Comment se calcule les matrices L et U ?


 

a11 · · · a1N
1
0 0 u11 · · · u1N
 ..

..  =  ..
.. 
..
..
..
 .
.
. 0  0
.
.   .
. 
lN 1 · · · 1
aN 1 · · · aN N
0
0 uN N
Pour tout couple (i, j), on a
aij =
=
Xn
Xk=1
lik × ukj
1≤k≤min{i,j}
lik × ukj
Ainsi,
lii = 1, 1 ≤ i ≤ n
u1i = a1i , li1 = ai1 /a11 , 1 ≤ i ≤ n
X
uij = aij −
lik × ukj , 1 ≤ i ≤ j ≤ n
1≤k≤i−1
h
i
X
lji = aji −
ljk × uki /uii , , 1 ≤ i ≤ j ≤ n
1≤k≤i−1
On peut donc implémenter l’agorithme suivant :
Algorithme 1.4.5 (Méthode LU)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
16
2.
3.
4.
5.
6.
B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
n ←longueur de B ;
L ← 0 ; //Matrice carrée nulle (initialisation)
U ← 0 ; //Matrice carrée nulle (initialisation)
Pour i ← 1 jusque n faire
(a) Pour j ← i jusque n faire
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
U (i, j) ← A (i, j) ;
Si (i = 1 ) faire
L (j, i) ← A (j, i) /A (1, 1) ;
Sinon
L (j, i) ← A (j, i) ;
Pour k ← 1 jusque i − 1 faire
U (i, j) ← U (i, j) − L (i, k) × U (k, j) ;
L (j, i) ← L (j, i) − L (j, k) × U (k, i) ;
FinPour
L (j, i) ← L (j, i) /U (i, i) ;
FinSi
(b) FinPour
7. FinPour
8. Pour Compteur ← 1 jusque n faire
(a) X (Compteur) ← B (Compteur) ;
(b) Si Compteur 6= 1 faire
i. Pour Compteur2 ← 1 jusque Compteur − 1 faire
ii.
X (Compteur) ← X (Compteur)−L (Compteur, Compteur2)×X (Compteur2) ;
iii. FinPour
(c) FinSi
9. FinPour
10. Pour Compteur ← n jusque 1 faire
(a) Si Compteur 6= n faire
i. Pour Compteur2 ← n jusque Compteur + 1 faire
ii.
X (Compteur) ← X (Compteur)−U (Compteur, Compteur2)×X (Compteur2) ;
iii. FinPour
(b) FinSi
(c) X (Compteur) ← X (Compteur) /U (Compteur, Compteur) ;
11. FinPour
12. Afficher (X) ;

 −x + 2y − 3z = 1
−2x + 8y − 11z = 9
Exercice 1.4.5 Résoudre par la méthode LU le système
.

−3x + 22y − 35z = 25
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
17
1.4.4
Méthode LLT ou de Choleski
La méthode de Choleski est une variante de la méthode de Crout en prenant U égale à la
transposée de L et n’imposant plus la diagonale de L. L’avantage de cette méthode est qu’elle
réduit la complexité (coût) en temps et en mémoire, vu qu’on ne calcule qu’une seule matrice
triangulaire. Cependant la décomposiotion LLT de la matrice A n’est pas toujours possible, par
exemple si un élément diagonale est inférieur ou égal à 0. Par contre, si la matrice A est symétrique
et à valeurs diagonales toutes positives ou nulles, on peut éspérer la mettre sous la forme LLT .
Toutefois, la condition nécessaire et suffisante est que la matrice A soit symétrique et définie
positive. Cette décomposition, lorsqu’elle est possible, nous amène à résoudre successivement deux
systèmes, en posant Y = LT X :
LY = B
LT X = Y
Comment se calcule les matrices L ?

 


a11 · · · a1N
l11 0
0
l11 · · · lN 1
 ..

..  =  ..
.. 
...
..
..
 .
.
.
.   .
0  0
. 
aN 1 · · · aN N
lN 1 · · · lN N
0
0 lN N
Pour tout couple (i, j), on a
aij =
=
Xn
Xk=1
lik × lkj
1≤k≤min{i,j}
lik × lkj
Ainsi,
√
l11 = a11
li1 = ai1 /l11 , 1 ≤ i ≤ n
r
X
l2 , 1 ≤ i ≤ n
lii = aii −
1≤k≤i−1 ik
h
i
X
lij = aij −
lik × ljk /lii , 1 < j < i ≤ n
1≤k≤i−1
On peut donc implémenter l’agorithme suivant :
Algorithme 1.4.6 (Méthode LLT)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. n ←longueur de B ;
4. L ← 0 ; //Matrice carrée nulle (initialisation)
5. Pour j ← 1 jusque n faire
(a) Pour i ← j jusque n faire
i. L (i, j) ← A (i, j) ;
ii. Si (j 6= 1) faire
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18
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
iii. Pour k ← 1 jusque i − 1 faire
iv.
L (i, j) ← L (i, j) − L (i, k) × L (j, k) ;
v. FinPour
vi. FinSi
vii. Si (i = j) faire
viii.
L (i, j) ←
p
L (i, j) ;
ix. Sinon
x.
L (i, j) ← L (i, j) /L (i, i) ;
xi. FinSi
(b) FinPour
6. FinPour
7. Pour Compteur ← 1 jusque n faire
(a) X (Compteur) ← B (Compteur) ;
(b) Si Compteur 6= 1 faire
i. Pour Compteur2 ← 1 jusque Compteur − 1 faire
ii.
X (Compteur) ← X (Compteur)−L (Compteur, Compteur2)×X (Compteur2) ;
iii. FinPour
(c) FinSi
(d) X (Compteur) ← X (Compteur) /L (Compteur, Compteur) ;
8. FinPour
9. Pour Compteur ← n jusque 1 faire
(a) Si Compteur 6= n faire
i. Pour Compteur2 ← n jusque Compteur + 1 faire
ii.
X (Compteur) ← X (Compteur)−L (Compteur2, Compteur)×X (Compteur2) ;
iii. FinPour
(b) FinSi
(c) X (Compteur) ← X (Compteur) /L (Compteur, Compteur) ;
10. FinPour
11. Afficher (X) ;

 x − 2y + 3z = 1
T
−2x + 20y − 26z = 18 .
Exercice 1.4.6 Résoudre par la méthode LL le système

3x − 26y + 70z = 86
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CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
19
1.4.5
Méthodes itératives
Méthode de Jacobi
La méthode de Jacobi consiste à décomposer la matrice A sous la forme D − M , où D est
une matrice diagonale inversible (aucun terme diagonal n’est nul) et M est la différence D − A.
Une solution s’exprime alors X = D−1 [M X. + B] ; elle est un point fixe d’une l’application affine
X 7→ D−1 [M X. + B]. Considérons la suite (Xn )n∈N∗ définie par la relation
X1 , avec AX1 6= B
Xn = D−1 [M Xn−1 + B] , n ≥ 2
Lorsque ladite suite converge vers une limite X∞ , celle-ci n’est autre qu’un point fixe, et par
conséquent une solution. De façon explicite,
Xn−1 n−1
k−1 −1
Xn = D−1 M
X1 +
D−1 M
D B
k=1
La suite (Xn )n∈N∗ converge donc si et seulement si le rayon spectral ρ (D−1 M ), de la matrice
D−1 M est strictement inférieure à 1 ; le rayon spectral étant ici le module maximal des valeurs
propres. P
Cette condition est vérifiée en particulier, si pour tout entier i compris
Pn entre 1 et N ,
n
|M
|,
ou
si
pour
tout
entier
i
compris
entre
1
et
N
,
|D
|
>
|Dii | >
ij
ii
j=1 |Mji |. Cette
j=1
affirmation est basée sur le fait que le rayon spectral d’une matrice minore sa norme, et que le
maximum des sommes des modules des lignes (ou des colonnes) est une norme.
général, lorsque
PEn
n
A est diagonale dominante (pour tout entier P
i compris entre 1 et N , 2 |Aii | > j=1 |Aij |, ou si pour
tout entier i compris entre 1 et N , 2 |Aii | > nj=1 |Aji |), on choisit la diagonale de D égale à celle
de A ; M est par conséquent de diagonale nulle. Très souvent, quitte à transformer le problème
sous une forme équivalente, on choisit la matrice D égale à Id la matrice identité, ceci pour éviter
l’inversion (qui nous l’avons dit, a un coût). Comme la limite est atteinte à l’infini, il faut une
condition d’arrêt. La suite étant convergente, elle est de Cauchy. La condition d’arrêt pourra être
de la forme kAXn − Bk ≤ ε, ou kXn − Xn−1 k ≤ ε, ou tout simplement l’atteint d’un rang n choisi.
On peut considérer l’algorithme suivant
Algorithme 1.4.7 (Méthode Jacobi)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. M ←valeur de M ; // Paramètre de l’utilisateur
4. D ←valeur de D ; // Paramètre de l’utilisateur
5. ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
6. n ←longueur de B ;
7. X ← X1 ; //Valeur initiale
8. Tantque kAX − Bk > ε faire
(a) Pour i ← 1 jusque n faire
i.
X (i) ← (M (i, .) ∗ X + B (i)) /D (i, i) ;
(b) FinPour
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20
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
9. FinTantque
10. Afficher (X) ;
Exercice 1.4.7 Soit le système
x+y =2
.
x + 5y = 6
1. Vérifier que la solution est (x, y) = (1, 1).
2. Montrer que le système ci-avant est équivalent à
5x + y = 6
.
x + 5y = 6
3. Faire 5 itérations de la méthode de Jacobi sur le dernier système en prenant (x1 , y1 ) =
(1, 1; 0, 9). Donner l’erreur absolue.
4. Résoudre par la méthode de Jacobi sur le dernier système en prenant (x1 , y1 ) = (1, 1; 0, 9)
et une tolérance de 0, 01.
Méthode de Gauss-Seidel
La méthode de Gauss-Seidel est une variante de la méthode de Jacobi. La matrice diagonale
D est alors constituée de la diagonale de la matrice A. La matrice M , est décomposée en une
somme L + U , où L est triangulaire inférieure à diagonale nulle ,et U est triangulaire supérieure.
On a A = D − L − U et comme pour la méthode de Jacobi on a une récurrence :
X1 , avec AX1 6= B
Xn = D−1 [LXn + U Xn−1 + B] , n ≥ 2
On calcule les composantes du terme Xn de façon progressive. La méthode de Gauss-Seidel
converge si et seulement si ρ (D−1 U ) < 1 ; ce sera le cas si ∀i = 1, · · · , n, |Dii | > |Uii |.
On peut considérer l’algorithme suivant
Algorithme 1.4.8 (Méthode Gauss-Seidel)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. L ←valeur de L ; // Paramètre de l’utilisateur
4. U ←valeur de U ; // Paramètre de l’utilisateur
5. D ←valeur de D ; // Paramètre de l’utilisateur
6. ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
7. n ←longueur de B ;
8. X ← X1 ; //Valeur initiale
9. Tantque kAX − Bk > ε faire
(a) Y ← X ;
i. Pour i ← 1 jusque n faire
ii.
X (i) ← (L (i, .) ∗ X + U (i, .) ∗ Y + B (i)) /D (i, i) ;
iii. FinPour
10. FinTantque
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21
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
11. Afficher (X) ;
Exercice 1.4.8 Soit le système
x+y =2
.
x + 5y = 6
1. Vérifier que la solution est (x, y) = (1, 1).
2. Faire 5 itérations de la méthode de Gauss-Seidel en prenant (x1 , y1 ) = (1, 1; 0, 9). Donner
l’erreur absolue.
3. Résoudre par la méthode de Gauss-Seidel en prenant (x1 , y1 ) = (1, 1; 0, 9) et une tolérance
de 0; 01.
Méthode de Richardson
La méthode de Richardson, aussi connu sur le nom de méthode du gradient est basé sur une
récurrence de la forme
X1 , avec AX1 6= B
pour un α ∈ R.
Xn = (I − αA) Xn−1 + αB, n ≥ 2
La méthode de Richardson converge si et seulement si ρ (I − αA) < 1. Posons λmin et λmax les
valeurs propres de module minimal et maximal respectivement. La condition ρ (I − αA) < 1 sera
satisfaite si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
— Toutes les valeurs propres de la matrice A sont non-nulles et de même signe ;
— Le signe de α est le même que celui de la partie réelle de λmin ;
2
2
avec pour valeur optimale |α∗ | = |λmin +λ
.
— |α| < |λmax
|
max |
On peut considérer l’algorithme suivant
Algorithme 1.4.9 (Méthode de Richardson)
1. A ←valeur de A ; // Paramètre de l’utilisateur
2. B ←valeur de B ; // Paramètre de l’utilisateur
3. α ←valeur de α ; // Paramètre de l’utilisateur
4. ε ←valeur de ε ; // Paramètre de l’utilisateur
5. n ←longueur de B ;
6. X ← X1 ; //Valeur initiale
(a) Tantque kAX − Bk > ε faire
i. X ← X − α (AX − B)
(b) FinTantque
7. Afficher (X) ;
Remarque 1.4.10 (Variante généralisée)
Comme la détermination des valeurs propres peut être difficile, celles-ci peuvent être de signes
distinct, la méthode de Richardson telle que présentée peut être difficile à mettre en oeuvre. Une
variante lorsque la matrice A est à diagonale dominante est de considérer une récurrence de la
forme
X1 , avec AX1 6= B
.
Xn = (I − DA) Xn−1 + DB, n ≥ 2
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22
CHAPITRE 1. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION F (X) = 0 DANS RN , N ≥ 1
Dans cette récurrence, D désigne une matrice (carrée) diagonale inversible telle que ∀i = 1, · · · , n,
n
P
2
Dii Aii > 0, 2 |Aii | >
|Aij | et |Dii | < P
.
n
|Aij |
j=1
j=1
Exercice 1.4.9 Soit le système
x+y =3
.
x + 5y = 7
1. Vérifier que la solution est (x, y) = (2, 1).
2. Faire 5 itérations de la méthode de Richardson en prenant (x1 , y1 ) = (0, 9; 1, 1) et α = 13 .
Donner l’erreur absolue.
3. Résoudre par la méthode de Richardson en prenant (x1 , y1 ) = (0, 9; 1, 1) et une tolérance
de 0, 01.
x + 5y = 7
Exercice 1.4.10 Soit le système
.
−2x + y = −3
1. Vérifier que la solution est (x, y) = (2, 1).
2. En permutant les équations du système, cela change-t-il la solution ?
3. Appliquer 5 itérations de la variante de la méthode de Richardson donnée en remarque,
sans opération préalable allant au delà d’une permutation, en prenant (x1 , y1 ) = (0, 9; 1, 1).
4. Résoudre par la méthode ci-avant en prenant (x1 , y1 ) = (0, 9; 1, 1) et une tolérance de 0, 01.
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Chapitre 2
Résolution des équations aux dérivées
La résolution numérique des équations aux dérivées consiste en général à transformer le
problème en un problème de la forme AX = B. Lorsqu’il s’agit d’un problème évolutif, on calcule
les termes d’une suite, avec la relation de récurrence Xn = AXn−1 + B. Au lieu de chercher l’expression analytique de la solution, on évalue la solution en un nombre fini de points ; l’idée étant
qu’en augmentant le nombre de points, l’on atteigne finalement tout l’espace de résolution. Le
fait de se restreindre à un nombre fini de points s’appelle discrétisation de l’espace. La distance
entre deux points est appelée pas. Le pas peut être régulier ou non. La discrétisation d’un système
passe par le choix d’un nombre fini de points et par remplacement des opérateurs de dérivation
par des opérateurs discrets, comme ceux des différences finies. Cela passe par des approximation
dont la légitimité provient de la régularité supposée de la fonction inconnue (continue, dérivable,
continûment dérivable, de classe C k , de classe C ∞ , ...).
2.1
Dérivation numérique
Dans cette section, nous présentons quelques opérateurs discrets qui serviront d’approximation
pour les opérateurs différentiels. Nous utilisons pour la suite le développement limité à l’ordre n,
suivant la formule de Taylor
f (x + h) = f (x) + hf
(1)
(x) +
h3
hn (n)
h2 (2)
(3)
f (x) +
f (x) + · · · + f (x) + hn O (h)
2×1
3×2×1
n!
avec lim O (h) = 0. Nous présenterons la dérivation dans R, sachant que cela peut être facilement
h→0
étendu à RN , en choisissant successivement les directions de dérivation. On considère donc une
subdivision x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn , avec un pas régulier h = xi+1 − xi . On définit
l’opérateur linéaire de dérivation et ses puissances (composées multiples) de la façon suivante
D:f →
7 Df = f (1)
D0 f = f
(k)
Dk f = f , k ≥ 1
2.1.1
Différence finies progressives
Dans cette sous section, on considère l’opérateur de différence finie progressive (ou croissante)
∆ défini par
∆ : f 7→ ∆f : x 7→ f (x + h) − f (x) ,
23
24
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
où h désigne le pas utilisé ci-avant. On definit en outre les puissances entières de l’opérateur ∆
(au sens de la composition) par ∆0 f (x) = f (x) et ∆k+1 f (x) = ∆ ∆k f (x) . Considérant la
subdivision x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn et notant fi+j = f (xi + jh), on peut ainsi construire
de manière récursive la matrice des différences finies progressives comme il suit :


fi+k fi+k − fi+k−1 · · · M1,k−1 − M2,k−1 M1,k − M2,k
fi+k−1

···
· · · M2,k−1 − M3,k−1
−


.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
−
−
M =


 fi+1

fi+1 − fi
−
−
−
fi
−
−
−
−
Proposition 2.1.1
∆k fi =
Exercice 2.1.1 On donne le tableau
x
−3 −2 −1 0 1 2
f (x) 11 6
3
2 3 6
Dresser la matrice des différences
Xk
j=0
(−1)j Ckj fi+k−j .
de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 2.
3
11
finies croissantes.
D’après la formule de Taylor
(∆ + Id ) f (x) = ∆f (x) + f (x)
= f (x + h)
h3 (3)
hn (n)
h2 (2)
f (x) + f (x) + · · · + f (x) + · · ·
2
6
n!
2
3
h 2
h 3
hn n
0
= D f (x) + hDf (x) + D f (x) + D f (x) + · · · + D f (x) + · · ·
2
6
n!
2
3
n
h
h
h
= D0 + hD + D2 + D3 + · · · + Dn + · · · f (x)
2
6
n!
"
#
2
3
nn
(hD)
(hD)
(hD)
= D0 + hD +
+
+ ··· +
+ · · · f (x)
2
6
n!
= f (x) + hf
(1)
(x) +
= exp (hD) f (x)
D’où hD = ln (∆ + Id ).
En utilisant le développement limité de la fonction ln (x + 1) au voisinage de 0, il vient que
hD = ∆ −
∆2 ∆3 ∆4
+
−
+ ···
2
3
4
Une approximation de l’opérateur de dérivation à l’orde 1 est D ≈ h1 ∆. Ainsi,
f
(1)
(x) = Df (x)
1
≈ ∆f (x)
h
f (x + h) − f (x)
=
h
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25
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
(k)
On retrouve l’expression du taux d’accroissement. En posant f (k) (xi ) = fi , et en appliquant à
xi , on a
fi+1 − fi
(1)
fi ≈
h
2
Une approximation de l’opérateur de dérivation à l’orde 2 est D ≈ h1 ∆ − ∆2 . Ainsi,
f
(1)
(x) = Df (x)
1
≈
(2Id − ∆) ∆f (x)
2h
(2Id − ∆) (f (x + h) − f (x))
=
2h
2 (f (x + h) − f (x)) − ∆f (x + h) + ∆f (x)
=
2h
2 (f (x + h) − f (x)) − (f (x + 2h) − f (x + h)) + (f (x + h) − f (x))
=
2h
f (x + 2h) − 4f (x + h) + 3f (x)
=−
2h
En appliquant à xi , on a
fi+2 − 4fi+1 + 3fi
2h
On peut de la même façon faire une approximation de la dérivée seconde à l’ordre 2, en estimant
D2 .
f
(1)
(xi ) ≈ −
∆2 ∆3 ∆4
(hD) = ∆ −
+
−
+ ···
2
3
4
≈ ∆2
2
2
D’où,
f
(2)
(x) = D2 f (x)
1
≈ 2 ∆2 f (x)
h
∆ (f (x + h) − f (x))
=
h2
f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)
=
h2
En appliquant à xi , on a
f
2.1.2
(2)
(xi ) ≈
fi+2 − 2fi+1 + fi
h2
Différence finies regressives
Dans cette sous section, on considère l’opérateur de différence finie regressive (ou décroissante)
∇ défini par
∇ : f 7→ E − f : x 7→ f (x) − f (x − h)
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26
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
où h désigne le pas utilisé ci-avant. On definit en outre les puissances entières de l’opérateur ∇
(au sens de la composition) par ∇0 f (x) = f (x) et ∇k+1 f (x) = ∇ ∇k f (x) . Considérant la
subdivision xn > xn−1 > xn−2 > · · · > x2 > x1 et notant fi−j = f (xi − jh), on peut ainsi
construire de manière récursive la matrice des différences finies regressives comme il suit :


fi
−
−
−
−
 fi−1

fi − fi−1
−
−
−


.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
−
−
N =


fi−k+1

···
· · · Nk−1,k−1 − Nk,k−1
−
fi−k fi+k+1 − fi−k · · · Nk,k−1 − Nk+1,k−1 Nk,k − Nk+1,k
Proposition 2.1.2
∇k fi = ∆k fi−k =
Exercice 2.1.2 On donne le tableau
x
−3 −2 −1 0 1 2
f (x) 11 6
3
2 3 6
Dresser la matrice des différences
Xk
j=0
(−1)j Ckj fi−j .
de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 2.
3
11
finies décroissantes.
En utilisant la formule de Taylor, on obtient comme dans la section précédente que
hD = ∇ +
∇2 ∇3 ∇4
+
+
+ ···
2
3
4
A l’ordre 1, on a
(1)
fi
≈
fi − fi−1
h
A l’ordre 2, on a
f
(1)
(xi ) ≈
3fi − 4fi−1 + fi−2
2h
(xi ) ≈
fi − 2fi−1 + fi−2
h2
et
f
2.1.3
(2)
Différence finies centrées
Dans cette sous section, on considère l’opérateur de différences finies regressives δ défini par
δ : f 7→ δf : x 7→ f (x + h) − f (x − h)
En utilisant la formule de Taylor, il vient que
δ = (exp (hD) − exp (−hD)) = 2 sinh (hD)
d
d
dD
δ=
(2 sinh (hD)) = 2h cosh (hD)
dδq dδ
dδ
√
dD
dD
= 2h sinh2 (hD) + 1
= h δ2 + 4
dδ
dδ
1=
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27
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
D’où
− 1
1
dD
1 2
= √
δ +4 2
=
dδ
h
h δ2 + 4
On a ainsi le développement
1
1
hD = δ − δ 3 + · · ·
2
48
A l’ordre 1, on a
(1)
fi
≈
fi+1 − fi−1
2h
A l’ordre 2, pour la dérivée seconde
f
(2)
(xi ) ≈
fi+2 − 2fi + fi−2
4h2
Cependant, vu que cette formule nécessite un grand nombre de points pour le calcul, on peut
reserrer le pas en prenant h2 . De cette façon, on a la formule couramment utilisée
f
(2)
(xi ) ≈
fi+1 − 2fi + fi−1
h2
Proposition 2.1.3
δ k fi =
2.2
Xk
j=0
(−1)j Ckj fi+k−2j
Problèmes aux conditions limites
Les problèmes aux conditions limites interviennent dans plusieurs phénomènes. Pour un apprentissage pratique, nous considérerons dans cette section le problème
 ..
 u (x) = 3, x ∈ ]0, 1[
.
u (1) = 0
(2.1)

u (0) = 1
C’est un problème aux conditions limites mixtes dont la solution est u (x) = (x − 1)2 . L’utilisation d’une méthode numérique pour résoudre un problème, sous-tend qu’on a la preuve théorique
(même si abstraite) de l’existence de la solution. Dans le cas général, il est difficile d’obtenir
l’expression analytique de la solution ; on l’estime en un nombre fini de points.
2.2.1
Discrétisation
On considère la subdivision à pas regulier 0 = x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = 1. On évalue
le problème (2.1) en chaque xi , on remplace les opérateurs de dérivation par leurs approximations
(différences centrées d’ordre 2, pour la dérivée seconde, et différences regressives d’ordre 2, pour
la dérivée première), et on obtient
 ui+1 −2ui +ui−1
= 3, 2 ≤ i ≤ n − 1

h2




+un−2
(2.2)
− un −2un−1
=0
2h





u1 = 1
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28
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
Le système (2.2) correspond à n équations linéaires

u1 = 1




u1 − 2u2 + u3 = 3h2




u2 − 2u3 + u4 = 3h2

···


ui−1 − 2ui + ui+1 = 3h2




···



un−2 − 2un−1 + un = −2h
Comme on connaı̂t que u1 = 1, on se restreint à n − 1 équations, en remplaçant u1 par sa valeur.
La seconde équation devient
−2u2 + u3 = 3h2 − 1
On peut reécrire le problème sous la forme AU

−2 1
0
 1 −2 1

0
1 −2

0
0
1

A=
0
0
0

0
0
0

0
0
0
0
0
0
= B en prenant

0
0 0
0 0
0
0 0
0 0

1
0 0
0 0

−2 1 0
0 0

.. .. ..
. 0 0
.
.


.. .. ..
. 0
.
.
0

0
0 1 −2 1
0
0 1 −2 1
T
B = 3h2 − 1, 3h2 , 3h2 , · · · , 3h2 , 3h2 , −2h
U = [u2 , u3 , · · · , un ]T
La résolution du problème linéaire AU = B se fait à l’aide des méthodes étudiées au chapitre 1.
La matrice A est dite creuse, relativement à sont grand nombre de zéros. L’un des avantages de
l’utilisation des différences finies est d’avoir des matrices creuses, plus facile à inverser.
2.3
Problèmes de Cauchy
Les problèmes de Cauchy modélisent les phénomènes qui évoluent dans le temps, et ont une
condition initiale. Pour un apprentissage pratique, nous considérerons dans les deux premières
sous-sections l’équation
..
u (t) − 4u (t) = 3, t ∈ ]0, 5]
.
(2.3)
u (0) = u (0) = 0
2.3.1
Méthode d’Euler
Dans cette sous-section l’on s’intéresse aux équations au dérivées de premier ordre. Le problème
.
(2.3) est du second ordre, mais on peut y remédier en posant u = v. On aura de cette façon le
système équivalent
 .
 u (t) = v (t) , t ∈ ]0, 5]
.
(2.4)
v (t) = 4u (t) + 3, t ∈ ]0, 5]

u (0) = 1, v (0) = 0
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29
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
La méthode d’Euler utilise le développement limité d’ordre 1, ou de façon équivalente les
différences finies regressives d’ordre 1. On considère la subdivision de temps, à pas regulier, 0 =
t1 < t2 < t3 < · · · < tn−1 < tn = 5. En discrétisant le problème (2.4), on obtient
 ui −ui−1
= vi , 2 ≤ i ≤ n

h
vi −vi−1
(2.5)
= 4ui + 3, 2 ≤ i ≤ n
h

u1 = 1, v1 = 0
Le problème (2.5) nous donne la récurrence
( T T
u1 v1 = 1 0
T
T
ui vi = A ui−1 vi−1 + B, n ≥ i ≥ 2
avec
1 h
A=
4h 1
et
2.3.2
T
B= 0 3
Méthode de Taylor
La méthode de taylor généralise la méthode d’Euler. Elle utilise la différentiabilité et les
développement limités en séries de Taylor. On obtient à la fin une réccurrence. Pour illustrer,
considérons l’équation différentielle ordinaire (EDO)
·
u = f (t, u)
u (0) = u0
où la fonction f est assez régulière. On a
hn
h2 (2)
u + · · · + u(n) + · · ·
2
n!
h2 ∂
∂u
∂
= u + hf (t, u) +
f (t, u) +
×
f (t, u) + · · ·
2 ∂t
∂t
∂u
h2 ∂
∂
= u + hf (t, u) +
f (t, u) + f (t, u) ×
f (t, u) + · · ·
2 ∂t
∂u
u (t + h) = u + hu(1) +
Si on s’arrête à l’ordre 1, on retrouve la méthode d’Euler. A l’ordre 2, on obtient en ti ,
h2 ∂
∂
ui+1 = ui + hf (ti , ui ) +
f (ti , ui ) + f (ti , ui ) ×
f (ti , ui )
2 ∂t
∂u
Exercice 2.3.1 Résoudre par les méthodes d’Euler et de Taylor à l’ordre 2, le problème
·
u = 2tu + 4t , ]0, 1]
u (0) = 1
2
Prendre le pas 0.2, puis 0.1. Evaluer les erreurs relativement à la solution exacte u (t) = 3et − 2.
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30
2.3.3
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
Méthode de Runge-Kutta
La méthode de Runge-Kutta est similaire à la méthode de Taylor, dans l’expression de la
relation de récurrence. L’application de la méthode de Runge-Kutta à un ordre n conduit à une
expression
Xn
ui+1 = ui +
pj kij
j=1
où
(
ki1 = hf (ti , ui )
kij = hf ti + αj h, ui +
Pj−1
l=1
βjl kil , 2 ≤ j ≤ n
Les αj , βjl et pj sont choisis de
Pntelle sorte que les dérivées successives, jusqu’à l’ordre n, de l’erreur
E (h) = u (t + h) − u (t) − j=1 pj kij , s’annulent toutes. Remarquons qu’au premier ordre, on
retrouve la méthode d’Euler. A l’ordre 2, on a la méthode du point milieu, avec

 β21 = 0, 5
α2 = 0, 5

p1 = 0, p2 = 1
En remplaçant,
et
ui+1
ki1 = hf (ti , ui )
ki2 = hf ti + h2 , ui +
ki1
2
h
ki1
= ui + hf ti + , ui +
2
2
La méthode de Runge-Kutta à l’ordre 4 est la plus utilisée.

β21 = 0, 5




 β31 = 0, β32 = 0, 5
β41 = β42 = 0, β43 = 1


α2 = α3 = 0, 5, α4 = 1



p1 = p4 = 1/6, p2 = p3 = 1/3
En remplaçant,

ki1



ki2
k


 i3
ki4
= hf (ti , ui )
= hf ti + h2 , ui + k2i1 = hf ti + h2 , ui + k2i2
= hf (ti + h, ui + ki3 )
et
ui+1 = ui +
1
(ki1 + 2ki2 + 2ki3 + ki4 )
6
Exercice 2.3.2 Résoudre par les méthodes de Runge-Kutta l’ordre 2 et 4, le problème
·
u = 3u + 15 , ]0; 1]
u (0) = −2
Prendre le pas 0.2, puis 0.1. Evaluer les erreurs relativement à la solution exacte u (t) = 3e3t − 5.
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31
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
2.3.4
Problèmes de Cauchy aux conditions limites
Les problèmes de Cauchy aux conditions limites modélisent des phénomènes qui évoluent dans
le temps, mais avec des conditions limites pour la variable d’espace. Pour des raisons pratiques,
nous considérerons le problème de la chaleur sur une barre de fer linéaire, avec les conditions de
Dirichlet au bord :
 2
 ∂x u (t, x) − ∂t u (t, x) = 0, t ∈ ]0; 5] , x ∈ ]0; 2[
u (0, x) = 1 − sin (x) , x ∈ ]0; 2[
(2.6)

u (t, 0) = u (t, 2) = 0, t ∈ ]0; 5]
On considère avec des pas constants (∆t en temps et ∆x en espace), les subdivisions 0 =
t0 < · · · ti < · · · < tn = 5, et 0 = x0 < · · · xj < · · · < xm+1 = 2. Le principe de discrétisation
est le même ; nous choisirons la méthode des différences finies centrées d’ordre 2 en espace, et les
différences finies progressives d’ordre 1 en temps. La discrétisation produit
 i
ui+1
−uij
uj+1 −2uij +uij−1

j

−
= 0, 0 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ m
2

∆x
∆t



(2.7)
u0j = 1 − sin (j∆x) , 1 ≤ j ≤ m





 ui = ui
0
m+1 = 1, 1 ≤ i ≤ n
Pour 0 ≤ i ≤ n − 1 et 2 ≤ j ≤ m − 1, on a
 i+1
i
2∆t
∆t
∆t i
u
=
1
−
u1 + ∆x

2
2 u2 + ∆x2
1
∆x




i
∆t i
2∆t
∆t i
ui+1
= ∆x
uj + ∆x
2 uj−1 + 1 − ∆x2
2 uj+1
j




i
 i+1
∆t i
2∆t
∆t
um = ∆x
um + ∆x
2 um−1 + 1 − ∆x2
2
T
En posant ui = ui1 , ui2 , · · · , uij , · · · , uim , il apparaı̂t la récurrence ui+1 = Aui + B, avec
T
u0 = u01 , u02 , · · · , u0j , · · · , u0m
∆t
∆t
, 0, · · · , 0, · · · , 0,
B=
2
∆x
∆x2
et

2∆t
∆t
1 − ∆x
2
∆x2
2∆t
 ∆t2
1 − ∆x
2
 ∆x

.
..
A= 0

 0
0
0
0
0
∆t
∆x2
...
∆t
∆x2
0
T
0
0
...
2∆t
∆x2
∆t
∆x2
0
0
0
1−
1
∆t
∆x2
2∆t
− ∆x
2







Le schéma numérique (2.7) est stable si ρ (A), le rayon spectral de la matrice A est strictement inférieure à 1. La stabilité garantit qu’une éventuelle érreur reste bornée ; elle détermine les
”bons” pas à choisir. Pour le cas présent, la stabilité est vérifiée lorsqu’on a la condition CourantFriedrich-Levy (CFL) 2∆t < ∆x2 . Nous n’abordons pas ici les problèmes de consistance du schéma
numérique (voir [1]).
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Chapitre 3
Interpolation et extrapolation
Dans la plupart des cas, on dispose des valeurs prises par une fonction en un nombre fini de
points. Celà correspond aux mesures en laboratoires, à la résolution numérique des équations aux
dérivées, et à bien d’autres situations. L’interpolation et l’extrapolation on pour but de donner
le graphe d’une fonction, sachant quelques points de celui-ci. Ces méthodes sont théoriquement
basées sur l’application du théorème de Stone-Weierstrass à la sous-algèbre des polynômes, dans
l’algèbre des fonctions continues sur un compact : toute fonction continue sur un intervalle fermé
est la limite d’une suite de polynômes. Dans ce chapitre on considère le jeux de points ((xi , fi ))1≤i≤n
à partir duquel on construira un polynôme d’approximation. Ce polynôme est de dégré n − 1 et
s’exprime
f (x) ≈ Pn−1 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1
Les différentes methodes consistent donc à déterminer les coeffitients (ai )0≤i≤n−1 .
3.1
Matrice de Vandermonde
Le premier critère d’une interpolation est son exactitude : pour tout indice i, Pn−1 (xi ) = fi .
Cela nous conduit au sytème linéaire de n équations à n inconnues

n−1
2

 a0 + a1 x1 + a2 x1 + · · · + an−1 x1 = f1


···

2
a0 + a1 xi + a2 xi + · · · + an−1 xin−1 = fi


···



2
a0 + a1 xn + a2 xn + · · · + an−1 xnn−1 = fn
On pose

1 x1
x21
1 x2
x22


..
..
V =  ...
.
.

2
1 xn−1 xn−1
1 xn
x2n
···
···
..
.
···
···

x1n−1
x2n−1 

.. 
. 

n−1 
xn−1
xnn−1
F = [f1 , · · · , fi , · · · , fn ]T
et
A = [a0 , · · · , ai , · · · , an−1 ]T
32
33
CHAPITRE 3. INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION
La matrice V est appelée matrice de Vandermonde. La suite consiste à résoudre par une méthode
le problème
V ·A=F
Exercice 3.1.1 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 1
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
f (x) 10 5
2
1 2 5 10
1. Utiliser la méthode de Vandermonde pour interpoler f (0.5). Evaluer les erreurs absolues
et relatives.
2. Utiliser la méthode de Vandermonde pour extrapoler f (−4). Evaluer les erreurs absolues
et relatives.
3.2
Polynôme d’interpolation de Lagrange
La méthode de Lagrange consiste à réaliser une projection de f (x), dans l’espace vectoriel de
dimension n engendré par la base (fi )1≤i≤n . Ainsi,
f (x) ≈ Pn−1 (x) = a1 (x) f1 + · · · + ai (x) fi + · · · + an (x) fn
Les (ai )1≤i≤n sont des polynômes (de dégrés n − 1) choisis de telle sorte que Pn−1 (xi ) = fi . Il faut
donc que
ai (xi ) = 1
ai (xj ) = 0, si i 6= j
L’une des façons de choisir les (ai )1≤i≤n est la suivante
ai (x) =
Yn
j=1,j6=i
(x − xj )
(xi − xj )
Exercice 3.2.1 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 2
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
f (x) 11 6
3
2 3 6 11
1. Utiliser la méthode de Lagrange pour interpoler f (0, 5). Evaluer les erreurs absolues et
relatives.
2. Utiliser la méthode de Lagrange pour extrapoler f (−4). Evaluer les erreurs absolues et
relatives.
3.3
3.3.1
Polynôme d’interpolation de Newton
Différences divisées
Soit ((xi , fi ))1≤i≤n une suite finie de points du graphe d’une fontion f . On définit les différences
divisées d’un ordre donné par induction, comme suit :
[xi ] f = fi , ordre 0
[xi , xj ] f =
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fj − fi
, ordre 1
xj − xi
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34
CHAPITRE 3. INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION
[xi , xj , xk ] f =
[xi , xj , · · · , xm , xn ] f =
[xj , xk ] f − [xi , xj ] f
, ordre 2
xk − xi
[xj , · · · , xm , xn ] f − [xi , xj , · · · , xm ] f
xn − xi
On parlera de différence divisée croissante (respectivement décroissante) d’orde k, lorsqu’il
s’agira de faire le calcul [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] f (respectivement [xi+k , xi+k−1 , · · · , xi ] f ).
Proposition 3.3.1
[xi , xi+1 , · · · , xi+k ] f =
fi+j
Xk
j=0
Qk
(xi+j − xi+l )
l=0,l6=j
et
[xi+k , xi+k−1 , · · · , xi ] f =
fi+k−j
Xk
j=0
Qk
(xi+k−j − xi+k−l )
l=0,l6=j
Lorsque le pas est une constante h,
[xi , xi+1 , · · · , xi+k ] f =
3.3.2
1
1
∆k fi et [xi+k , xi+k−1 , · · · , xi ] f =
∇ k fi
k
k!h
k!hk
Polynôme d’interpolation de Newton
La méthode de newton consiste à remarquer que
f (x) ≈ Pn−1 (x)
= P0 (x) + (P1 (x) − P0 (x)) + (P2 (x) − P1 (x)) + · · · + (Pn−1 (x) − Pn−2 (x))
où Pi est le polynôme d’interpolation de Lagrange basé sur les points x1 , x2 , · · · , xi+1 . La différence
Pi (x) − Pi−1 (x) peut s’exprimer grâce aux différences divisées qui ont fait l’objet de la première
sous-section. Il est établit, avec les différences divisées croissantes, que
Pi (x) − Pi−1 (x) = [x1 , x2 , · · · , xi , xi+1 ] f
Yi
j=1
(x − xj )
et
f (x) ≈ Pn−1 (x)
= P0 (x) +
= f0 +
Xn−1
i=1
Xn−1
i=1
[x1 , · · · , xi+1 ] f
[x1 , · · · , xi+1 ] f
Yi
Yi
j=1
j=1
(x − xj )
(x − xj )
L’utilisation des différences divisées croissantes ne diffère de l’utilisation différences divisées
décroissantes, qu’en considérant comme point xi , le point xn−i+1 . Ainsi,
Yn
Pi (x) − Pi−1 (x) = [xn , xn−1 , · · · , xn−i+1 , xn−i ] f
(x − xj )
j=n−i+1
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35
CHAPITRE 3. INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION
et
f (x) ≈ Pn−1 (x)
= P0 (x) +
= fn +
Xn−1
i=1
Xn−1
i=1
[xn , · · · , xn−i ] f
[xn , · · · , xn−i ] f
Yn
j=n−i+1
Yn
j=n−i+1
(x − xj )
(x − xj )
Lorsque le pas est une constante h, il vient que
f (x) ≈ Pn−1 (x)
Xn−1 ∆k f1 Yk
(x − xj )
= f1 +
j=1
k=1 k!hk
Xn−1 ∇k fn Yn
(x − xj )
k=1 k!hk
j=n−k+1
Q
Pour simplifier l’écriture, on peut poser ωij (x) = jl=i (x − xl ), et avoir
= fn +
f (x) ≈ Pn−1 (x)
Xn−1 1
ω1k (x) ∆k f1
= f1 +
k=1 k!hk
= fn +
Xn−1 1
n
ωn−k+1
(x) ∇k fn
k=1 k!hk
On remarque que
j
ωij+1 (x) = ωij (x) (x − xj+1 ) et ωi−1
(x) = ωij (x) (x − xi−1 )
Exercice 3.3.1 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 2.
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
f (x) 11 6
3
2 3 6 11
1. Dresser les matrices des différences finies croissantes et décroissantes.
2. Utiliser succesivement les deux variantes de la méthode de Newton pour interpoler f (0, 5).
Evaluer les erreurs absolues et relatives.
3. Utiliser la méthode de Newton pour extrapoler f (−4). Evaluer les erreurs absolues et relatives.
Exercice 3.3.2 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 2
x
−3 −2 0 2 3
f (x) 11 6
2 6 11
1. Le pas est-il constant ?
2. Dresser les matrices des différences divisées croissantes et décroissantes.
3. Utiliser succesivement les deux variantes de la méthode de Newton pour interpoler f (1).
Evaluer les erreurs absolues et relatives.
4. Utiliser la méthode de Newton pour extrapoler f (4). Evaluer les erreurs absolues et relatives.
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36
CHAPITRE 3. INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION
3.4
Méthode d’interpolation d’Aitken
Dans les sections précédentes on a vu comment déterminer un polynôme d’interpolation de
dégré n − 1, à partir d’un jeux de n points du graphe d’une fonction. La méthode d’Aitken permet
à partir de deux polynômes d’interpolation de même dégré n − 1, basés sur des jeux de points
ayant exactement n − 1 points communs, d’obtenir un autre polynôme de dégré n, basé sur la
réunion des deux jeux de points ; cette réunion ayant n + 1 points.
Soient l’ensemble de points {(x1 , f1 ) , (x1 , f1 ) , · · · , (xn−1 , fn−1 ) , (a, f (a)) , (b, f (b))}. On
a
b
considère Pn−1
et Pn−1
les polynômes de Lagrange basés respectivement, sur les ensemble de points
{(x1 , f1 ) , (x1 , f1 ) , · · · , (xn−1 , fn−1 ) , (a, f (a))} et {(x1 , f1 ) , (x1 , f1 ) , · · · , (xn−1 , fn−1 ) , (b, f (b))}.
Alors, on génère un polynôme d’interpolation de dégré n de la façon suivante :
Pna,b (x) =
a
b
(b − x) Pn−1
− (a − x) Pn−1
b−a
Cette approche permet une détermination progressive des polynômes d’interpolations. Pour un
jeux de points ((xi , fi ))1≤i≤n , on peut construire la matrice progressive M (x) donnée par


(x−xi+1 )M1,k−1 −(x−xi+k )M2,k−1
(x−xi )M1,k −(x−xi+k )M2,k
i+k −(x−xi+k )fi+k−1
·
·
·
fi+k (x−xi+k−1x)fi+k
−xi+k−1
xi+k −xi
xi+k −xi


(x−xi )M2,k−1 −(x−xi+k−1 )M3,k−1

fi+k−1
·
·
·
·
·
·
−


xi+k−1 −xi

 ···
·
·
·
·
·
·
−
−




(x−xi )fi+1 −(x−xi+1 )fi
−
−
−

 fi+1
xi+1 −xi
fi
−
−
−
−
avec ∀n + 1 ≥ i + j ≥ 2,
(
Mi,j (x) =
fn+1−i , si j = 1
(x−xn+2−i−j )Mi,j−1 −(x−xn+1−i )Mi+1,j−1
,
xn+1−i −xn+2−i−j
De même, on construit la matrice regressive N (x) donnée par

fi
−
−
−
(x−xi−1 )fi −(x−xi )fi−1
 f
−
−
 i−1
xi −xi−1

 ···
···
···
−

(x−x
)N
−(x−xi )Nk,k−1
i−k+1
k−1,k−1
fi−k+1
···
···
xi −xi−k+1

fi−k
(x−xi−k )fi−k+1 −(x−xi−k+1 )fi−k
xi−k+1 −xi−k
···
.
sinon
(x−xi−k+1 )Nk,k−1 −(x−xi−1 )Nk+1,k−1
xi−1 −xi−k+1
−
−
−
−
(x−xi−k )Nk−1,k −(x−xi )Nk+1,k
xi −xi−k
avec ∀n ≥ i ≥ j ≥ 1,
(
Ni,j (x) =
fn+1−i , si j = 1
(x−xn+j−i )Ni−1,j−1 −(x−xn+1−i )Ni,j−1
,
xn+1−i −xn+2−i−j
sinon
.
Exercice 3.4.1 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x4 + 2x3 − 1
x
−4 −3 0
2 3
5
f (x) 127 26 −1 31 134 874
1. Utiliser les méthodes d’Aitken croissante et décroissante pour interpoler f (1). Evaluer les
erreurs absolues et relatives.
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







37
CHAPITRE 3. INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION
2. Utiliser les méthodes d’Aitken croissante et décroissante pour interpoler f (2). Evaluer les
erreurs absolues et relatives.
3. Utiliser les méthodes d’Aitken croissante et décroissante pour extrapoler f (−5). Evaluer
les erreurs absolues et relatives.
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Chapitre 4
Intégration numérique dans R
L’intégration numérique d’une fontion (intégrable) f sur un segment borné [a, b], consiste à
Rb
déterminer une approximtion du réel Ia,b (f ) = a f (x) dx, grâce à une subdivision a = x1 < · · · <
xj < · · · < xn = b. Les bases théoriques sont celle de l’intégrale de Riemman et de l’interpolation.
Nous présentons quelques technique d’approximation tout au long de ce chapitre.
4.1
Approximation par des aires
En réalité les intégrales définies sont des aires de surfaces, ou plus généralement de volumes.
Ainsi, Ia,b (f ) représente l’aire du domaine compris entre le graphe de f et l’axe des abscisses.
On peut faire l’effort de partitionner ce domaine en rectangles ou en trapèzes (mieux) et sommer
les aires de ceux-ci. Selon qu’on aura choisi comme surfaces élémentaires des rectangles ou des
trapèzes, on dira qu’on a utilisé, respectivement, la méthode des rectangles ou des trapèzes.
La méthode des rectangles présente l’inconvénient de perdre au moins un des points extrêmes
(x1 , f1 ) ou (xn , fn ). On a
Xn−1
i=1
(xi+1 − xi ) fi ≈ Ia,b (f ) ≈
Si le pas est la constante h =
b−a
,
n
h
Xn−1
i=1
(xi+1 − xi ) fi+1
on a
Xn−1
i=1
fi ≈ Ia,b (f ) ≈ h
Xn−1
i=1
fi+1
Par la méthode des trapèzes
Ia,b (f ) ≈
Si le pas est la constante h =
b−a
,
n
Xn−1 (fi+1 + fi ) (xi+1 − xi )
i=1
2
on a
Xn−1
1
Ia,b (f ) ≈ h
(f1 + fn ) +
fi
i=2
2
38
39
CHAPITRE 4. INTÉGRATION NUMÉRIQUE DANS R
Figure 4.1 – Methodes des rectangles
Figure 4.2 – Méthode des trapèzes
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE
40
CHAPITRE 4. INTÉGRATION NUMÉRIQUE DANS R
Sur les figures, les zones en rouges représente l’erreur commise lors de l’approximation de
l’intégrale.
Exercice 4.1.1 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x3
x
−3 −2 −1 0 1 2
.
f (x) −27 −8 −1 0 1 8
R2
1. Utiliser succesivement les deux variantes de la méthode des rectangles pour calculer −3 f (x) dx.
Evaluer les erreurs absolues.
R2
2. Utiliser la méthode des trapèzes pour calculer −3 f (x) dx. Evaluer l’erreur absolue.
R4
3. Que faire pour calculer −5 f (x) dx, en supposant qu’on ne connaı̂t pas l’expression de la
fonction f ?
Exercice 4.1.2 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x3 + 1
x
−3 −1 0 1 2
.
f (x) −26 0
1 2 9
1. Le pas est-il constant ?
R2
2. Utiliser succesivement les deux variantes de la méthode des rectangles pour calculer −3 f (x) dx.
Evaluer les erreurs absolues.
R2
3. Utiliser la méthode des trapèzes pour calculer −3 f (x) dx. Evaluer l’erreurs absolue.
4.2
Méthode de Simpson
La méthode de Simpson est une décomposition de l’intégrale en somme d’intégrales sur des
regroupement de points consécutifs, trois à trois. En outre, on intègre les polynômes de Langrange
de dégré 2, basés sur trois points consécutifs. En se basant sur un jeux de n = 2k + 1 points,
((xi , fi ))1≤i≤n , et en notant Pi (x), le polynôme d’interpolation basé sur les points xi−1 , xi et xi+1 ,
il vient que
Z xn
Ia,b (f ) =
f (x) dx
x1
=
≈
x2i+1
Xk Z
i=1
f (x) dx
x2i−1
Xk Z
i=1
x2i+1
P2i (x) dx
x2i−1
En se basant sur les points xi−1 , xi et xi+1 on a l’interpolation
P
Qi+1
Xi+1 x2 − x i+1
j=i−1,j6=k xj +
j=i−1,j6=k xj
Pi (x) =
fk .
Qi+1
k=i−1
j=i−1,j6=k (xj − xk )
En posant
Fi (x) =
Xi+1
2x2 − 3x
k=i−1
Cameroun, Université de Ngaoundéré
Pi+1
Qi+1
x
+
6
j
j=i−1,j6=k
j=i−1,j6=k xj
xfk
Qi+1
6 j=i−1,j6=k (xj − xk )
David Jaurès FOTSA MBOGNE
41
CHAPITRE 4. INTÉGRATION NUMÉRIQUE DANS R
on a
Z
xi+1
Pi (x) dx = Fi (xi+1 ) − Fi (xi+1 ).
xi−1
Pour simplifier, on prend un pas constant h et on utilise la méthode d’interpolation de Newton
utilisant les différences finies croissantes pour obtenir
x − xi−1
(x − xi−1 ) (x − xi ) 2
∆fi−1 +
∆ fi−1 .
h
2h2
Pi (x) = fi−1 +
Z
xi+1
Z
2h
Pi (x) dx =
xi−1
Pi (x + xi−1 ) dx
0
2h
x (x − h) 2
x
fi−1 + ∆fi−1 +
∆ fi−1 dx
=
h
2h2
0
x=2h
1
h
1 2
x2
2
x−
= xfi−1 + ∆fi−1 + x
∆ fi−1
2h
3
2 2h2
x=0
h 2
= 2hfi−1 + 2h∆fi−1 + ∆ fi−1
3
h
= (6fi−1 + 6 (fi − fi−1 ) + (fi+1 − 2fi + fi−1 ))
3
h
= (fi−1 + 4fi + fi+1 )
3
Z
D’où
Z
xn
Ia,b (f ) =
f (x) dx
x1
≈
h X n−1
2
(f2i−1 + 4f2i + f2i+1 )
i=1
3
X n−1
h
2
=
f1 − fn + 2
(2f2i + f2i+1 )
i=1
3
Exercice 4.2.1 On donne le tableau de valeurs suivant, pour la fonction x 7→ x2 + 2
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
f (x) 11 6
3
2 3 6 11
R3
Calculer par la méthode de Simpson −3 f (x) dx. Evaluer l’erreur absolue.
4.3
Méthode de Romberg
La méthode de Romberg est une application de l’interpolation, selon la méthode
d’Aitken.
Rb
Considérons la suite finie (Ia,b (f, hi ))1≤i≤n , des approximations de l’intégrale a f (x) dx, par la
méthode des trapèzes, avec des pas constants hi = 2b−a
i−1 . On remarque que Ia,b (f, h) = g (h), où g
est une fonction de h inconnue définie sur ]0; b − a]. L’objectif est de pouvoir approcher l’image
par g (le prolongement par continuité de g sur [0; b − a]) de n’importe quel point h ∈ [0; b − a],
Cameroun, Université de Ngaoundéré
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42
CHAPITRE 4. INTÉGRATION NUMÉRIQUE DANS R
Rb
en particulier pour h valant 0. En effet, a f (x) dx est égale à la limite quand h tend vers zero de
g (h). On fera donc une interpolation (ou extrapolation) par la méthode d’Aitken.
X2i−1 −1
1
(f (a) + f (b)) +
Ii,1 = hi
f (a + khi )
k=1
2
X2i−1 −1 b−a
b−a 1
f a + k i−1
(f (a) + f (b)) +
= i−1
k=1
2
2
2
et pour k ≥ 2,
Ii,k =
(h − hi ) Ii−1,k−1 − (h − hi−k+1 ) Ii,k−1
.
hi−k+1 − hi
Dans le cas le plus intéressant, où h vaut 0, on a
X2i−1 −1 b−a 1
b−a
Ii,1 = i−1
(f (a) + f (b)) +
f a + k i−1
k=1
2
2
2
et pour k ≥ 2,
hi−k+1 Ii,k−1 − hi Ii−1,k−1
hi−k+1 − hi
k−1
2 Ii−1,k−1 − Ii,k−1
=
.
2k−1 − 1
Ii,k =
La remarque immédiate à faire est qu’on doit avoir une subdivision d’intégration constituée de
2n + 1 points. L’autre remarque utile pour les caculs, est que
X2i −1 b−a
b−a 1
f a+k i
(f (a) + f (b)) +
Ii+1,1 =
k=1
2i
2
2
1
b − a X2i−1
= Ii,1 +
f
k=1
2
2i
b−a
a + (2k − 1) i
2
On peut résumer le calcul successif de l’intégrale par la matrice I (h) donnée par

Ii−k,1
−
−
−
(h−hi−k+1 )Ii−k,1 −(h−hi−k )Ii−k+1,1
I
−
−
 i−k+1,1
hi−k −hi−k+1

 ···
···
···
−

(h−hi−1 )Ii−k,k−1 −(h−hi−k )Ii−1,k−1
 Ii−1,1
···
···
hi−k −hi−1

Ii,1
(h−hi )Ii−1,1 −(h−hi−1 )Ii,1
hi−1 −hi
···
(h−hi )Ii−k+1,k−1 −(h−hi−k+1 )Ii,k−1
hi−k+1 −hi
−
−
−
−
(h−hi )Ii−k,k −(h−hi−k )Ii,k
hi−k −hi
Exercice 4.3.1 On Rconsidère la fonction x 7→ x2 + 2. Calculer par la méthode de Romberg à
1
l’ordre 3, l’intégrale −2 f (x) dx. On prendra h1 = 1. Evaluer l’erreur absolue.
Cameroun, Université de Ngaoundéré
David Jaurès FOTSA MBOGNE




.



Bibliographie
[1] ALLAIRE G., CRAIG A., Numerical Analysis and Optimization : An introduction to mathematical modelling, Oxford University Press Inc., New York, 2007.
[2] FORTIN André, Analyse Numérique Pour Les Ingénieurs, Deuxième édition, Ecole Polytechnique de Montréal, 2001.
[3] JEDRZEJEWSKI F., Introduction Aux Méthodes Numériques, Deuxième Edition, SpringerVerlag France, Paris 2005.
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