Calcul : fiche de méthodes

Calcul : fiche de m´ethodes
1 R´esolution d’´equation du 1er degr´e
On veut r´esoudre une ´equation du premier degr´e `a une inconnue (x). On a le droit d’ajouter
ou de soustraire le mˆeme nombre `a gauche et `a droite de l’´egalit´e, et de multiplier ou diviser
par le mˆeme nombre non nul `a gauche et `a droite.
Exemple : 3x+ 7 = 2(1 −x).
M´ethode :
On cherche `a isoler le terme en xdans le membre de gauche. Pour cela :
•On d´eveloppe les termes factoris´es : 3x+ 7 = 2 −2x.
•On regroupe les termes en x`a gauche : 3x+7+2x= 2 −2x+ 2x
5x+ 7 = 2.
•On regroupe les termes constants `a droite : 5x+ 7 −7 = 2 −7
5x=−5.
•On divise des deux cˆot´es par le coefficient devant x:5x
5=−5 5
x=−1.
Exos
R´esoudre les ´equations : a) −(1−x) = 2, b) 3(1−x) = 6, c) 40+x= 2(14+x)d) 4x+3 = 2−2x,
e) −(3x+ 2) = 3 −5
2x
2 Simplification de fractions
On veut r´eduire une expression comportant des sommes, produits, quotients de fractions et
d’entiers. Il faut connaˆıtre les r`egles du calcul fractionnaire et les r`egles de priorit´e (×prioritaire
sur + par ex.) pour faire les op´erations dans l’ordre.
Exemple : Simplifier 1
3+1 +3 4×8
1+ 1
3
+ 1.
M´ethode :
•On simplifie dans les parenth`eses (implicites ou non) 1
3+1 +3 4×1+ 1
3
8+ 1 =
1
4+3 4×
4
3
8+ 1=
•Ensuite on simplifie les quotients et produits 1
4+3 4×4 3×1 8+ 1=
1
4+1 8+ 1=
•On simplifie les sommes restantes 2
8+1 8+8 8=
11
8.
•On simplifie si n´ecessaire en une fraction irr´eductible.
Exos
Simplifier les fractions : a) 1 + 54
72 ,b) −1 15 +2 5,c) 2
8
−3
d) 1
2+5+1 3×2
8
−3
1

3 Simplification de radicaux
On veut simplifier une ´ecriture faisant intervenir un radical (exemple : √63 et l’´ecrire sous la
forme a√bo`u aet bsont des entiers naturels, baussi petit que possible. (dans l’exemple ce sera :
3√7).
M´ethode :
•Premi`ere m´ethode : on v´erifie si le radicande
est divisible par un carr´e parfait (4,9,16,25,36,49,...) 63 divisible par 9
•On s´epare la racine du produit en le produit des racines √63 = √7×9 = √7√9
•On simplifie la racine du carr´e parfait √63 = 3√7.
•On a obtenu une expression du type a√b
On recommence pour bsi n´ecessaire.
•Deuxi`eme m´ethode :
D´ecomposer le radicande en facteurs premiers 252 = 7 ×32×22
•S´eparer les termes d’exposant pair et impair √252 = p(7) ×(3222)
•S´eparer la racine du produit en produit des racines : √252 = √7×√3222
•Simplifier la racine du carr´e... : √252 = √7p(3 ×2)2
=√62√7 = 6√7
Exos
Simplifier les expressions : a) √32, b) √121, c) √72, d) √72
√98 .
4 D´eterminer la nature d’un nombre
On veut le plus petit des ensembles auquel appartient un nombre, parmi N,Z,D,Q,R. Exemple :
quelle est la nature de x=√12
√8×1
−2+ 1. Le principe est de simplifier au maximum l’´ecriture avant
de d´ecider.
M´ethode :
•On simplifie les radicaux : x=2√3
2√2×1
−2+ 1
•On simplifie les fractions : x=−1
2
√3
√2+ 1.
•S’il reste des racines ou des πqu’on ne peut simplifier
xest un irrationnel (comme dans l’exemple)
•S’il reste un quotient p
qde deux entiers :
−Si qdivise p,xest un entier relatif si p
q<0,
un entier naturel si p
q≥0.
−Sinon si la div. de ppar qne s’arrˆete jamais xest rationnel.
et si la division de ppar qs’arrˆete : xest d´ecimal.
Exos
Exercices 18, 19, 20, 21 p. 28
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