Calcul : fiche de méthodes

Calcul : fiche de méthodes
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Résolution d’équation du 1er degré
On veut résoudre une équation du premier degré à une inconnue (x). On a le droit d’ajouter
ou de soustraire le même nombre à gauche et à droite de l’égalité, et de multiplier ou diviser
par le même nombre non nul à gauche et à droite.
Exemple : 3x + 7 = 2(1 − x).
Méthode :
On cherche à isoler le terme en x dans le membre de gauche. Pour cela :
• On développe les termes factorisés :
3x + 7 = 2 − 2x.
• On regroupe les termes en x à gauche :
3x + 7 + 2x = 2 − 2x + 2x
5x + 7 = 2.
• On regroupe les termes constants à droite :
5x + 7 − 7 = 2 − 7
5x = −5.
−5
• On divise des deux côtés par le coefficient devant x : 5x
5 = 5
x = −1.
Exos
Résoudre les équations : a) −(1−x) = 2, b) 3(1−x) = 6, c) 40+x = 2(14+x) d) 4x+3 = 2−2x,
e) −(3x + 2) = 3 − 52 x
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Simplification de fractions
On veut réduire une expression comportant des sommes, produits, quotients de fractions et
d’entiers. Il faut connaı̂tre les règles du calcul fractionnaire et les règles de priorité (× prioritaire
sur + par ex.) pour faire les opérations dans l’ordre.
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Exemple : Simplifier 3+1
+ 34 × 1+8 1 + 1.
3
Méthode :
•
On simplifie dans les parenthèses (implicites ou non)
•
Ensuite on simplifie les quotients et produits
•
On simplifie les sommes restantes
•
On simplifie si nécessaire en une fraction irréductible.
1
3+1
1
4 +
1
4 +
1
4 +
2
8 +
11
8 .
+
3
4
3
4
1
8
1
8
3
4
54
72 ,
1
b) − 15
+ 25 , c)
1
2
8
−3
d)
1
2
+
5+1
3
×
4
3
1+ 31
8
+1=
× 8 + 1=
× 43 × 18 + 1=
+ 1=
+ 88 =
Exos
Simplifier les fractions : a) 1 +
×
2
8
−3
3
Simplification de radicaux
√
On veut
√ simplifier une écriture faisant intervenir un radical (exemple : 63 et l’écrire sous la
forme
√ a b où a et b sont des entiers naturels, b aussi petit que possible. (dans l’exemple ce sera :
3 7).
Méthode :
•
•
•
•
•
•
•
•
Première méthode : on vérifie si le radicande
est divisible par un carré parfait (4,9,16,25,36,49,...)
On sépare la racine du produit en le produit des racines
On simplifie la racine du carré parfait √
On a obtenu une expression du type a b
On recommence pour b si nécessaire.
Deuxième méthode :
Décomposer le radicande en facteurs premiers
Séparer les termes d’exposant pair et impair
Séparer la racine du produit en produit des racines :
Simplifier la racine du carré... :
Exos
Simplifier les expressions : a)
4
√
32, b)
√
121, c)
√
72, d)
63 divisible
√
√ par 9√ √
√63 = √7 × 9 = 7 9
63 = 3 7.
2
2
252
p3 × 2
√ =7×
2 2
√ (3 2 )
√252 = √ (7) ×
× 32 22
√252 = √7p
2
252
√ =
√ 7 (3
√ × 2)
2
= 6 7=6 7
√
√72 .
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Déterminer la nature d’un nombre
On veut le plus petit des√ensembles auquel appartient un nombre, parmi N, Z, D, Q, R. Exemple :
1
quelle est la nature de x = √12
× −2
+ 1. Le principe est de simplifier au maximum l’écriture avant
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de décider.
Méthode :
•
On simplifie les radicaux :
x=
•
•
On simplifie les fractions :
S’il reste des racines ou des π qu’on ne peut simplifier
x est un irrationnel (comme dans l’exemple)
S’il reste un quotient pq de deux entiers :
Si q divise p, x est un entier relatif si pq < 0,
un entier naturel si pq ≥ 0.
Sinon si la div. de p par q ne s’arrête jamais x est rationnel.
et si la division de p par q s’arrête : x est décimal.
x=
•
−
−
Exos
Exercices 18, 19, 20, 21 p. 28
2
√
2√3
× 1 +
2 2√ −2
− 12 √32 + 1.
1