FICHE NUMERO 16: 1 EXERCICE 1 SIMILITUDE On considère un triangle "#$ %$ rectangle isocèle en O et tel que la distance #$ %$ soit égale à 4√2. On 000000001$ , "% 000000001$ 3 est un angle droit direct. précise de plus que l’angle /"# On définit alors pour tout entier naturel 5 les points #678 9: %678 de la façon suivante : #678 est le milieu du segment [#6 %6 ] ; %678 est le symétrique du point #678 par rapport à la droite B"%6 C. 1. Représenter le triangle "#$ %$, puis construire les points #8 , %8, #D , %D, #E , %E. 2. a. Justifier qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme #$ en #8 et %$ en %8. b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis vérifier que son centre est O. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme #6 en #678 et %6 en %678. 3. a. Démontrer que les points O, #6 et #J sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4. b. On désigne par Ω le point d’intersection des droites B#$ %L C et B%$ #L C. Démontrer que le triangle Ω#$ %$ est isocèle en Ω . c. Calculer la distance #$ %L. d. Démontrer que Ω#$ = 4Ω%L . e. En déduire l’aire du triangle Ω#$ %$. EXERCICE 2 SIMILITUDE Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct B", P 01, Q1C, Bunité:2cmC Soient A et B les points d’affixes respectives TU = V 9: TW = 1 + 2V 1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que : SBOC = A et SBAC = B. 2. Montrer que l’écriture complexe de S est : T Y = B1 − VCT + V. Préciser les éléments caractéristiques de S Bon notera Ω le centre de SC. On considère la suite de points B#6 C telle que : • #$ est l’origine du repère et, • pour tout entier naturel n, #678 = ]B#6 C. On note T6 , l’affixe de #6 . BOn a donc #$ = 0, #8 = # et #D = %C. 3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, T6 = 1 − B1 − VC6 0000000000000001 b. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs 000000001 Ω#6 et # 6 #678 . Comparer les normes de ces 000000001 0000000000000001 vecteurs et calculer une mesure de l’angle /Ω# 6 , #6 #678 3, c. En déduire une construction du point #678 connaissant le point #6 . Construire les points #E et #L . 4. Quels sont les points de la suite B#6 C appartenant à la droite BΩ%C? EXERCICE 3 SIMILITUDE 1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct B", P 01, Q1C. Soient A, B et C les points d'affixes respectives TU = 2 + V , TW = 5 + 2V , Tc = V . d8 désigne la symétrie d'axe BABC. a. Démontrer que d8 transforme tout point M d'affixe z en un point M’ d'affixe z’ telle que L E 8 E T Y = fg + g Vh T̅ + f− g + g Vh b. En déduire l'affixe de C’, symétrique de C par rapport à BABC. c. Démontrer que l'ensemble des points M tels que z' est imaginaire pur est la droite BdC d'équation 4j + 3k = 1. d. Vérifier que le point C’ appartient à BdC. 2. a. Démontrer que les droites BdC et BABC sont sécantes en un point Ω dont on précisera l'affixe ω . b. On désigne par dD la symétrie d'axe BdC et par n la transformation définie par n = dD ∘ d8. Justifier que n est une similitude directe et préciser son rapport. c. Déterminer les images des points C et Ω par la transformation n. d. Justifier que n est une rotation dont on donnera le centre. © DJIMO ROBINSON [email protected] NIVEAU Tle C 2 3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n 'aboutit pas. a. Déterminer les couples d'entiers relatifs Bj, kC solutions de l'équation : 4j + 3k = 1 . b. Déterminer les points de BdC à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9. EXERCICE 4 SIMILITUDE Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct B", P 01, Q1C, on considère les points A, B et C, d’affixes respectives −5 + 6V, −7 − 2V 9: 3 − 2V. On admet que le point F, d’affixe −2 + V est le centre du cercle BsC circonscrit au triangle ABC. 1. Soit H le point d’affixe −5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H. 2. aC Étant donné des nombres complexes T 9: T’, on note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe z’. Soient a et b des nombres complexes. Soit s la transformation d’écriture complexe T Y = uT̅ + v qui, au point M, associe le point M’. Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s ? b. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite BACC. c. Vérifier que le point E est un point du cercle BsC. 3. Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l’affixe du point G, image du point I par l’homothétie de D centre B et de rapport E. Démontrer que les points H, G et F sont alignés. PROBLEME : Extrait bac blanc Vogt Bmai 2017C On considère la fonction numérique d’une variable réelle n définie par nBjC = 2j + 1 − j9 xy8 et BzC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé B", {1, |1Cd’unité graphique 1 cm. Partie A : Etude et représentation graphique de }.. 1C Calculer les limites de n en −∞ et en +∞. 2C Démontrer que la droite BC d’équation k = 2j + 1 est asymptote à la courbe BzC en −∞. Donner la position relative de BC et BzC puis étudier l’autre branche infinie. 3C aC Calculer la dérivée première et la dérivée seconde de n. bC Dresser le tableau de variation de n. cC Calculer n′B1C, puis en déduire le signe de n′BjC pour tout réel j. dC Dresser le tableau des variations de n. 4C On pose = [1,9; 2]. Démontrer que l’équation nBjC = 0 admet une unique solution dans I. 5C Tracer BC et BzC. Partie B : Recherche d’une valeur approchée de .. Dx78 On considère la fonction définie sur l’intervalle I par BjC = 1 + 5 f x h.. 1C Démontrer que l’équation nBjC = 0 équivaut à BjC = j. 2C Etudier le sens de variation de la fonction sur I et démontrer que BC ⊂ . 8 3C Démontrer que pour tout réel j de I, |′BjC| ≤ . 4C Soit B6 C la suite numérique définie par $ = 2 et pour tout entier naturel 5, 678 = B6 C. aC Montrer que pour tout entier naturel 5, 6 ∈ . 8 bC Démontrer que pour tout entier naturel 5, |678 − | ≤ |6 − | 8 8 6 cC En déduire que pour tout entier naturel 5, |6 − | ≤ 8$ × fh . dC En déduire que la suite B6 C est convergente et donner sa limite. eC Déterminer un entier naturel 5$ tel que 6 soit une valeur approchée de à 10y près. Partie C : Calcul d’aire. 1C En intégrant par parties, calculer l’intégrale = 8 j9 xy8 j. 2C Calculer en cm² l’aire de la partie du plan limitée par la courbe de la fonction n, l’axe des abscisses et les droites d’équations j = 1 9: j = . © DJIMO ROBINSON [email protected] NIVEAU Tle C
