Trigonométrie

Cours F O N C T I O N S T R I G O N O M E T R I Q U E S
II – REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
1°) FONCTION COSINUS
I - GENERALITES
On munit le plan d'un repère orthonormal direct ( O , i , j ) ;
On note U le cercle trigonométrique ( centre O , rayon 1 , sens direct ).
Définition :
sin
tan
Soit x un réel
 →

→

et M le point de U tel que l'angle orienté  OA , OM 

B
M

T
S
mesure x + 2kπ avec k ∈ Z.
La courbe est une sinusoïde
x
Désignons par :
O
C
A
cos
➥ C la projection orthogonale de M sur l'axe des abscisses ;
➥ S la projection orthogonale de M sur l'axe des ordonnées ;
➥ T l'intersection ( si elle existe ) de ( OM ) avec la tangente
en A au cercle trigonométrique.
cos x est l'abscisse de M
-1 ≤ cos x ≤ 1
Propriétés :
La fonction cosinus est paire et périodique de période 2π
2°) FONCTION SINUS
sin x est l'ordonnée de M
-1 ≤ sin x ≤ 1
cos ² x + sin ² x = 1
Valeurs remarquables
0
x
en radians
cos x
1
sin x
0
π
π
π
π
6
4
3
2
3
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2
La courbe est une sinusoïde
π
0
−1
1
0
La fonction sinus est impaire et périodique de période 2π
III – DERIV
DERIVABILITE
IVABILITE
Propriété 1 :
sin x
lim
=1
x →0
x
Propriété 2 :
La fonction sinus est dérivable en 0 et sin’(0) = 1
La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos’(0) = 0
Propriété 3 :
La fonction sinus est dérivable sur R et sin’ = cos
Formules d’addition
Formules de duplication
cos ( a + b) = cosa cos b − sina sinb
cos ( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin ( a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos 2a = cos² a - sin² a
= 2 cos² a - 1
= 1 - 2 sin² a
sin 2a = 2 cos a sin a
La fonction cosinus est dérivable sur R et cos’ = − sin
Théorème : soit u une fonction dérivable sur I. Alors :
cos u est dérivable sur I et on a : ( cos u ) ’ = − u ’ sin u
sin u est dérivable sur I et on a : ( sin u ) ’ = u ’ cos u