fonction tangente

IV)
Étude de la fonction tangente
A) Dénition
Dénition 1
La fonction tangente, notée tan, est la fonction dénie pour tout x 6= . . .
tan(x) =
par
sin(x)
cos(x)
Dtan = . . .
1
Sur le cercle trigonométrique,
la tangente se lit sur la droite
tangente au cercle en A(0, 1).
Le théorème de Thalès nous
donne ce résultat
1
2
tan α =
sin α
α
−1
sin α
tan α =
cos α
−
cos α
1
2
−
sin α
cos α
1
1
2
−1
B) Propriétés géométriques
Propriété 1
La fonction tan est . . .-périodique.
Démonstration. Pour tout x ∈ D
tan(x + . . .) =
tan
= ...
...
Il sut donc d'étudier la ifonction
tangente sur un intervalle de longueur . . .. On va donc restreindre
π πh
l'étude à l'intervalle I = − 2 ; 2 .
Propriété 2
La fonction tan est impaire.
Démonstration. Pour tout x ∈ D
tan(−x) =
tan
= ...
...
1
Conséquences graphiques.
•
Comme tan est π-périodique, sa courbe représentative est invariante par . . .
•
Comme tan est impaire, dans un repère orthonormal sa courbe représentative est . . .
C) Étude
1) Calcul de la dérivée et variations
Propriété 3
1
0
La fonction tan est dérivable sur D et tan (x) = cos (x) = 1 + tan (x).
Démonstration. La fonction tan est dérivable car composée de fonctions dérivables (sin et cos).
tan
2
2
tan0 (x) = . . .
Conséquence 1
,
.
Pour les raisons de symétrie évoquées dans la partie B), nous allons dresser le tableau sur
h πh
0;
2
La fonction tan est strictement croissante sur tout intervalle du type
i π
h
π
− + kπ; + kπ k ∈ Z
2
2
Démonstration.
2) Tableau de variation
• tan(0) =
•
...
Étude de la limite en π2 :
−
lim sin(x) = 1
x→ π2

lim
cos(x) = 0+ 
π−
x→ 2
Donc
lim tan(x) = . . .
x→ π2 −
2
.
x
π
2
0
tan0 (x)
tan
D) Tableau de valeurs
De même que dans le cas du sinus et du cosinus, il faut connaître ou savoir retrouver certaines
valeurs de tan(x).
x
0 π6 π4 π3
tan(x)
sin(x)
cos(x)
E) Représentation graphique
f (x)
4
3
2
1
1
−π
−
3π
4
π
−
2
π
−
4
0
−1
π
4
π
2
3π
4
−2
−3
−4
3
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
x