Première partie : définition des fonctions sinus et cosinus

TRAVAUX DIRIGES
Fonctions sinus et cosinus
Première partie : définition des fonctions sinus et cosinus
En enroulant comme ci-dessous une droite munie d'un repère d'unité
1 sur le cercle trigonométrique ( cercle de rayon 1 orienté ) on peut
"graduer" le cercle.
Plus précisément le point N d'abscisse x sur la droite vient en M sur le
cercle.
x est appelé abscisse curviligne de M
On admet :
→ Chaque point M admet une infinité d'abscisses curvilignes ( On
peut enrouler le cercle plusieurs fois )
→ Il est associé un unique point M sur le cercle à un réel x donné
Définition : Soit x un nombre réel . Soit M le point d'abscisse
curviligne x sur le cercle trigonométrique.
→ On appelle cosinus de x ( noté cos x ) l'abscisse de x
→ On appelle sinus de x ( noté sin x ) l'ordonnée de x
→ La fonction cosinus ( notée cos ) associe à tout réel x son
cosinus
→ La fonction sinus ( notée sin ) associe à tout réel son sinus
Deuxième partie : Abscisse curviligne principale
On peut visualiser les abscisses curvilignes d'un point sur le cercle trigonométrique comme l' ensemble des distances sur le cercle
( affectées de signe + ou – suivant le sens de parcours ) permettant de passer du point O au point M .
En ce sens il existe un parcours le plus court sur le cercle trigonométrique . Celui ci correspond à ce que l'on appelle l'abscisse
curviligne principale .
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Premier cas : M appartient au demi-cercle
supérieur. L'abscisse
curviligne principale est L
Deuxième cas : M appartient strictement au
demi cercle inférieur .L'abscisse
curviligne principale est – L'
On en déduit la propriété suivante :
Définition : : Soit M un point du cercle . Il existe une unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle ] - π ; + π ] .
Elle est appelée abscisse curviligne principale .
Exercice 1 :
1) Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les
points A , B , C , D , E et F
d'abscisses curvilignes
π 3π 7 π
π ;
;
;
; 2π ; - 9π
2
2
2
2) En déduire les valeurs de
sin π ; sin
π
3π
7π
; sin
; sin
; sin 2π ; sin(-9π )
2
2
2
puis de
cos π ; cos
π
3π
7π
; cos
; cos
; cos2π ; cos(-9π )
2
2
2
E2 :
1) Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les
points A ,B , C ,D , E , F , G et H d'abscisses
curvilignes
π
π
π
-2π 5π
5π 19π
2004π
;
;
;
;
;;
;
6
4 3
3
6
4
3
3
2) Donner l'abscisse curviligne principale de F , G et
H.
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Troisième partie : Propriétés des fonctions sinus et cosinus
1) Représentations graphiques
1
-5
5
10
-1
Exercice 3 : La représentation graphique de la fonction sinus est donnée ci-dessus :
1) a) Placer sur l'axe des abscisses les valeurs suivantes : − 2π ; - π ; π ; 2π ; 3π ; 4π
3π
π
π 7π
; - ;
;
b) Placer de même −
2
2 2
2
1
2) On considère l'équation sin( x ) = .
2
a) Combien l'équation admet-elle de solutions sur [ -2π ; 4π ] ?
b) Donner ( comme fraction de π ) les valeurs exactes de ces solutions .
Exercice 4 : La représentation graphique de la fonction cosinus est donnée ci-dessous :
1
-5
5
10
-1
1
.
2
a) Combien l'équation admet elle de solutions sur [ -2π ; 4π ] ?
b) Donner ( comme fraction de π ) les valeurs exactes de ces solutions .
Exercice 5 : Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont données ci-dessous :
On considère l'équation cos( x ) =
1
-5
5
10
-1
1) On considère l'équation sin ( x ) = cos ( x )
a) Combien l'équation admet-elle de solutions sur [ -2π ; 4π ] ?
b) Donner (comme fraction de π ) les valeurs exactes de ces solutions
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2) a) Par quelle translation la représentation graphique de la fonction cosinus est elle l'image de la
représentation graphique de la fonction sinus ? .
b) En déduire une relation entre les fonctions sinus et cosinus .
QUELQUES INFORMATIONS
→ La fonction sinus est impaire
Ainsi sin ( -x ) = - sin ( x ) pour tout x de IR
→ La fonction cosinus est paire
Ainsi cos ( -x ) = cos ( x ) pour tout x de IR
→ Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π
Ainsi
sin ( x + 2π ) = sin ( x ) pour tout x de IR
et
cos ( x + 2π ) = cos (x) pour tout x de IR
En effet les points d'abscisses curvilignes x et x + 2π sont confondus sur le cercle trigonométrique .
→ Le point M (cosx , sinx ) appartient au cercle de centre O et de rayon 1 donc OM = 1
donc sin²(x) + cos²(x) = 1
Quatrième partie : Lignes trigonométriques remarquables
Quelques considérations de géométrie élémentaire permettent d'obtenir le tableau de valeurs ci-dessous :
x
0 π /6
π /4
π /3
π /2
Sin(x)
0 1/2
1
2 /2
3/2
Cos(x)
1
1/2
0
2 /2
3/2
les symétries sur le cercle trigonométrique permettent d'obtenir les résultats présentés ci-dessous :
Exercice : Déterminer les valeurs exactes des sinus et cosinus des réels suivant :
7π
5π
;
3
6
11/07
;
3π
4
;
233π 2005π
− 7π
;
;
6
4
4
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Cinquième partie : Cosinus et Sinus des angles associés .
Des considérations de symétrie sur le cercle trigonométrique donnent :
M
M
N
o
M
o
A
o
A
N
A
N
M
M
N
o
A
N
k
v
o
EXERCICE : 1) Simplifier les expressions suivantes :
A = sin(π - x) – sin(x) + sin(π + x)
B = cos(x) + cos(x+π/2) + cos(x + π) +cos(-x - 3π/2)
C = sin(245π + x) + cos(71π/2 – x )
3π
5π
11π
13π
+ sin
+ sin
+ sin
= 0
2) Démontrer que : sin
8
8
8
8
3) N° 71 page 252
4) N° 44 page 249
4) N° 38 et 39 page 249 ( Il faudra utiliser la formule cos²(x) + sin²(x) = 1
u
A
)
Sixième partie : Résolution d' équations
Dans la première partie nous avons résolu à l'aide des représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus les équations
1
1
sin( x ) =
et cos( x ) =
. Grâce aux exercices ci-dessous vous allez apprendre à résoudre de telles équations en utilisant le cercle
2
2
trigonométrique .
N° 72 , 73 et 74
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