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CCP Physique 1 MP 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).
Cette épreuve est composée de deux problèmes.
• Le premier repose sur la mécanique au programme des deux années de classe
préparatoire. Il forme un ensemble cohérent sur le thème des oscillateurs et
sur l’utilisation de raisonnements énergétiques en mécanique. Il débute par une
première partie consacrée aux oscillations d’un simple système masse-ressort
vertical. Le même raisonnement est repris en deuxième partie dans le cadre
de la mécanique du solide. La troisième partie étudie la trajectoire elliptique
d’un satellite autour de la Terre. Cette partie est la plus longue. Sans être
difficile, elle nécessite une bonne maîtrise du cours. L’ensemble est de difficulté
croissante et constitue un très bon problème de révision en mécanique.
• Le deuxième problème, nettement moins classique en filière MP, est consacré
à l’étude thermodynamique de différentes détentes. Les trois premières parties sont clairement hors programme. Il s’agit d’extraire l’expression des coefficients calorimétriques de l’équation d’état d’un gaz réel et d’en déduire son
comportement lors des détentes de Joule – Gay-Lussac et Joule – Thomson.
Certaines questions théoriques sont difficiles mais des résultats intermédiaires
permettent d’avancer. Les quatrième et cinquième parties sont plus intéressantes. Après avoir démontré le premier principe pour un système fermé en
mouvement, on applique ce résultat à l’étude d’une tuyère qui permet de diminuer la pression d’un gaz au profit de sa vitesse.
Les deux problèmes ont en commun d’être longs et parfois calculatoires. Le premier problème, cependant, fait appel à des raisonnements classiques et proches du
cours alors que le second demande plus d’analyse et une bonne compréhension de
l’énoncé.
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Indications
Premier problème
−−→
→
−
I.2.a Considérer que F rappel (M) = − grad Ep (M).
2
2
I.2.c On rappelle que cos (ω0 t) = sin (ω0 t) = 1/2.
→
−
→
II.2 Écrire que −
v (I ∈ (D)/R) = 0 afin de relier θ̇ et ϕ̇ en travaillant dans la
base polaire.
II.3 Utiliser le théorème de Koenig.
II.4 Que dire de la vitesse du point d’application des forces de contact ?
III.1.c Identifier l’accélération centripète −v c 2 /r0 à l’aide du principe fondamental
de la dynamique appliqué à S.
III.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique à S.
III.2.b Évaluer l’énergie mécanique Em en fonction de ṙ et r. Que dire de Em quand r
tend vers l’infini ?
dEm
1
. Utiliser
= 0.
III.2.c Exprimer Em en fonction de u(θ) =
r(θ)
dθ
III.2.f Que vaut cos θ au périgée et à l’apogée ?
III.3.c Utiliser la loi des aires.
III.4.a On a 2a = rm + rM .
dθ
III.4.b Écrire dt =
.
Cu2
III.5.b Simplifier r(t) lorsque e ≪ 1.
Deuxième problème
A.1.1 Pour cette question et les suivantes, identifier les dérivées partielles sur l’expression de la différentielle. On rappelle ainsi que pour une fonction f des
deux variables x et y :
∂f
∂f
df =
dx +
dy
∂x y
∂y x
A.2.2 Exprimer ℓ et k à partir des dérivées partielles de S. Utiliser le théorème de
Schwarz selon lequel
∂2f
∂2f
=
∂x∂y
∂y∂x
B.3 Calculer ℓ. Utiliser dU = CV dT + (ℓ − p) dV et faire apparaître une différentielle exacte pour intégrer.
B.4.3 L’évolution est-elle réversible ?
C.1 Considérer que H = U + pV et simplifier à l’ordre 1 en p.
D.3.2 Écrire explicitement le travail des forces de pression à l’entrée et à la sortie
pendant dt et faire apparaître l’enthalpie massique h = u + p/ρ.
dp
E.2 Justifier et simplifier l’égalité dh = T ds +
.
ρ
E.3 Utiliser Cp = γR/(γ − 1) et les relations de Laplace pour relier ρ et p.
E.3.3.2 Montrer que f admet un maximum ε0 . Utiliser la conservation du débit
massique q m = K1 Σ(x) f (ε).
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Mécanique
I. Oscillateur harmonique dans
un champ de pesanteur
I.1.a On applique le principe fondamental de la dynamique au point M soumis à la
force de rappel du ressort et à la pesanteur dans un référentiel galiléen. Cela donne
→:
en projection selon −
u
z
d2 z
= −k(z − ℓ0 ) + mg
dt2
On peut réécrire cette équation différentielle du second ordre en identifiant la pulsation propre ω0 :
r
d2 z
kℓ0
k
2
+ ω0 z =
+g
avec
ω0 =
dt2
m
m
m
I.1.b À l’équilibre, l’accélération de M est nulle donc
0 = −k(z e − ℓ0 ) + mg
d’où
z e = ℓ0 +
mg
k
À l’équilibre, le poids de M allonge le ressort. Trouver z e > ℓ0 est cohérent.
I.1.c La solution z(t) peut s’écrire z1 (t) + z2 (t) où z1 est la solution générale de
l’équation homogène sans second membre
d2 z1
+ ω0 2 z1 = 0
c’est-à-dire
z1 (t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)
dt2
et z2 est une solution particulière de l’équation avec second membre, soit par exemple,
la solution constante
mg
z2 (t) = z e = ℓ0 +
k
Au total,
z(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) + ℓ0 +
Les conditions initiales s’écrivent

mg

+a
 z(0) = ℓ0 +
k
dz

 (0) = 0
dt
soit
(
mg
k
A=a
B ω0 = 0
dont on déduit (A, B) = (a, 0) et
z(t) = a cos(ω0 t) + ℓ0 +
mg
k
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→
−
I.2.a La force de rappel F rappel (M) et l’énergie potentielle Ep (M) sont liées par
−−→
−
→
F rappel (M) = − grad Ep (M)
soit
−k(z − ℓ0 ) = −
dEp
dz
On en déduit par intégration
Ep (M) =
k
(z − ℓ0 )2 + Cte
2
et comme on impose Ep = 0 à l’équilibre en z e = ℓ0 + mg/k,
k m2 g 2
×
+ Cte
2
k2
0=
d’où
Ep (M) =
k
m2 g 2
(z − ℓ0 )2 −
2
2k
I.2.b Puisque z − ℓ0 = z − z e + mg/k, on peut écrire
k
mg 2 m2 g 2
Z+
−
Ep (M) =
2
k
2k
d’où
Ep (M) =
k 2
Z + mg Z
2
I.2.c Selon l’expression de z(t) obtenue à la question I.1.c,
et
Z(t) = a cos(ω0 t)
ż(t) = Ż(t) = −aω0 sin(ω0 t)
Ainsi, la valeur moyenne de l’énergie cinétique Ec est
hEc i =
m 2
m a2 ω 0 2
hŻ i =
×
2
2
2
soit
hEc i =
ka2
4
et la valeur moyenne de l’énergie potentielle Ep
hEp i =
k a2
k 2
Z + mg hZi =
+0
2
2 2
soit
hEp i =
ka2
4
L’oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur vérifie donc
hEc i = hEp i
I.2.d Application numérique :
ω0 = 14 rad.s−1
et
hEp i = 1,3.10−2 J
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