4s revision 6 2014

PROFESSEUR :
SERIE DE REVISION
PRINTEMPS (6)
ANIS BEN ALI
4ème ANNEE
2014
EXERCICE 1
Pour chaque question repérer la bonne réponse :
A- Dans l’espace e rapporté à un repère orthonormé direct , on donne trois points non alignés A , B et C .
1) L’ensemble des points M de E tels que AB ∧ AM =0 est :
a- le plan perpendiculaire à la droite ( AB ) et passant par A .
b- La droite ( AB ) .
c-
{ A , B }.
2) L’ensemble des points M de e tels que (AB ∧ AC)i AM=0 est :
a- le plan ( ABC ) .
b- la droite passant par A et de vecteur directeur
.
c- la droite ( AB ) .
B- ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a . ABi AC =
a-
a²
b-
1 2
a
2
1
c- − a2
2
C- Soit ABCDEFGH un cube d’arête 1 .
On munit l’espace e du repère ( A , AB , AD , AE ) .
Le plan ( BCE ) a pour équation :
a-
x+y–1=0
b-
x+z–1=0
c-
y+z–1=0
EXERCICE 2
La courbe ci-contre représente la courbe ( C ) d’une fonction f définie sur ℝ .
1) Déterminer graphiquement :
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim
x →+∞
x →−∞
x →+∞
f (x)
x
et
lim
x →−∞
f (x)
x
.
2) Donner le tableau de variation de f.
3) Justifier que f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle
J que l’on précisera.
4) Tracer la courbe ( C’ ) de la fonction réciproque de f.
5) On suppose que f es la fonction définie par :
f ( x ) = ax + xe − x où a est un réel. Déterminer a.
6) Calculer A l’aire de la partie du plan limitée par ( C ),( C’)
et la droite ( ∆ ).
EXERCICE 3
Soit f la fonction définie sur [1, +∞[ par : f ( x ) = x ln x . On désigne par (C) sa courbe représentative dans
un repère orthonormé O, i, j du plan.
(
)
1) Montrer que f est continue sur
[1, +∞[ .
2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Soit ∆ la droite d’équation y = x. Déterminer ( C ) ∩ ∆ .
b) Tracer (C) et ∆.
4) a) Montrer que f admet une fonction réciproque g définie sur [0, +∞[ .
b) Tracer la courbe (C’) de g dans le repère
(O, i, j ) .
 u0 = 0
On considère la suite (u) définie par : 
un+1 = g (un ) pour tout n ∈ ℕ
a) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ , on a : 0 ≤ un ≤ e .
5)
b) Montrer que la suite (u) est décroissante.
c) En déduire (u) est convergente et trouver sa limite.
EXERCICE 4
I− La courbe (c
cg) ci-contre est la courbe représentative
dans un repère orthonormé de la fonction g définie sur
] 0, +∞[ par g(x) =
1
− 1 − ln x
x
1°) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
2°) Vérifier que la fonction G définie par
G(x) = (1 − x ) ln x est une primitive de g sur ] 0, +∞[.
II−
1°) On considère la fonction f définie sur ] 0, +∞[ par
f(x) =
1 + ln x
ex
(
On désigne par (c
cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O, i, j
)
a) Calculer lim f(x) .Interpréter graphiquement le résultat.
x →0+
b) Vérifier que lim f(x) = 0. Interpréter graphiquement le résultat.
x →+∞
2°) a) Montrer que f est dérivable sur ] 0, +∞[ et que pour tout x ∈ ] 0, +∞[ , f ′(x)=
g(x)
.
ex
b) Dresser le tableau de variation de f.
3°) a) Résoudre l’équation f(x) =0.
b) Ecrire une équation de la tangente T à la courbe (c
cf) au point d’abscisse
1
.
e
c) Tracer (c
cf).
d) Discuter, graphiquement suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation :
lnx = m ex –1.
Correction EX2
1) a) lim f ( x ) = +∞ b) lim f ( x ) = −∞ , c) La droite D : y = x , de coefficient 1, est une asymptote à (C)
x →+∞
f (x)
en +∞ donc : lim
x →+∞
f (x)
alors lim
x →−∞
x
x
x →−∞
( ) au voisinage de -∞
= 1,d) (C) admet une branche parabolique de direction O, j
= +∞ .
x -∞
f’(x)
2)
+∞
+∞
f(x)
-∞
3) f est strictement croissante donc elle réalise une bijection de ℝ sur f ( ℝ )
4)
( C' ) = SD:y = x ( C )
5) On a lim
f (x)
x →+∞
lim
x →+∞
f (x)
x
x
=
f continue
ℝ.
= 1, d’autre part on a :
(
)
x/ a + e − x
ax + xe − x
= lim
= lim a + e − x = a donc a = 1.
x →+∞
x
→+∞
x →+∞
x
x/
= lim
6) A = 2∫ ( f ( x ) − x ) dx + Aire ( ∆ ABC ) = 2 ∫ xe − x dx +
1
1
0
0
 u ( x ) = x ⇒ u' ( x ) = 1
On pose : 
 v ' ( x ) = e− x

1
.
2e2

 alors :
⇒ v ( x ) = −e − x 
(
)
1
1
1
1
1
1
1 

A = 2   x × −e − x  − ∫ −e − x dx  + 2 = 2 −e −1 −  e − x  + 2 = 2 −e −1 − e −1 + 1 + 2 =  2 − 4e −1 + 2  × ua
0
0
0

 2e
2e
2e
2e 

(
)
(
)
Correction EX3
1) x ֏ x est continue sur IR, en particulier sur [1,+∞[ de plus x ֏ ln x est continue sur ]0, +∞[ et ∀x ∈ [1, +∞[
on a : ln x ≥ 0 alors x ֏ ln x est continue sur [1, +∞[ ainsi f est continue sur [1, +∞[ .
2) a) lim
f ( x ) − f (1)
+
x →1
x −1
= lim+
x →1
x ln x
x ln x
ln x
x
= lim+
= lim+
×
= +∞ ainsi f n’est pas dérivable à droite en
x →1 ( x −1) ln x
x →1 x −1
x −1
ln x
1 d’où (C) admet au point d’abscisse 1 une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
b) f est dérivable sur ]1, +∞[
x 1
f’(x)
1
1
et on a : f ′ ( x ) = ln x + x. x = ln x +
>0
2 ln x
2 ln x
+∞
• lim f ( x ) = lim x ln x = +∞
+∞
f(x)
x →+∞
x →+∞
0
 y = f ( x )
 y = x
1) a)Soit x ∈ [1, +∞[ . si M ( x, y) ∈ (C) ∩ ∆ équivaut à 
2)
⇒ f ( x ) = x équivaut à x ln x = x or x ≠ 0 équivaut à ln x = 1
donc x = e. ainsi (C) ∩ ∆ = {A (e, e)} .
b) On a : lim f ( x ) = +∞ et lim
x →+∞
f ( x)
x →+∞
x
= lim
x →+∞
x ln x
= lim ln x = +∞
x →+∞
x
alors (C) admet branche parabolique au voisinage de +∞ de direction (O, j) .
4) a) f est continue et strictement croissante sur [1,+∞[ donc elle réalise une bijection de [1,+∞[ sur
f ([1, +∞[) = [0, +∞[ . f admet alors une fonction réciproque g définie sur [ 0,+∞[ .
b) (C ') = S∆ (C )
5) a) Pour n = 0, uo = 0.
0≤ uo ≤ e
(vérifie).Soit n ∈ ℕ* . Supposons que 0 ≤ un ≤ e et montrons que
0 ≤ un +1 ≤ e . On a 0 ≤ un ≤ e et comme f est croissante sur
[1, +∞[ donc g est strictement croissante sur
[ 0,+∞[ d’où g (0) ≤ g (un ) ≤ g (e) équivaut à : 1 ≤ un +1 ≤ e donc 0 ≤ un+1 ≤ e .
b) un+1 − un = g (un ) − un or (C’) est au dessus de ∆ sur [0,e] donc g ( x) ≥ x ∀x ∈ [0, e ] et comme un ∈ [0, e ] alors
g (un ) ≥ un c ' est à dire un +1 ≥ un alors (u) est une suite croissante.
c) la suite (u) est une suite croissante et majorée par e donc elle est convergente. Soit l = lim un or
n→+∞
[1, +∞[ donc g est continue sur [0,+∞[ et en particulier en l
g (l ) = l . Or e est la seule solution de l’équation f(x) = x donc g ( l ) = l équivaut à l = e d’où lim u = e
0 ≤ un ≤ e donc 0 ≤ l ≤ e . On a f est continue sur
d’où
n →+∞
n