109: Anneaux Z/nZ. Applications. 1 L`anneau Z/nZ

109: Anneaux
Z/nZ.
Applications.
Pierre Lissy
December 18, 2009
1
L'anneau
Z/nZ
1.1 Dénition.[2]
Dénition-proposition 1.
Considérons l'anneau des entiers Z. Ses seuls idéaux sont les ensemnZ, avec n ∈ N. On peut donc s'intéresser à l'anneau quotient Z/nZ := {a + nZ|a ∈ Z} =
{a + nZ|a ∈ {0, . . . , n − 1}}, ces n dernières classes étant distinctes. C'est donc un ensemble à n
éléments. La classe de a modulo n sera notée Cn (a).
bles
Remarque 1.
Exemple 1.
Cet anneau n'est pas intègre en général.
C6 (0) = C6 (2)C6 (3).
1.2 Structure de groupe de Z/nZ.[1]
Proposition 1.
générateurs sont les
Dénition 1.
n
.
n ∈ N. Dans Z/nZ, o(Cn (m)) =
n∧m
m tels que n ∧ m = 1.
Soit
On pose
ϕ(n)
le nombre d'entiers naturels
aussi le nombre de générateurs de
Exemple 2.
p
Si
Proposition 2.
d'ordre
d,
k6n
tels que
k ∧ n = 1.
C'est donc
(Z/nZ, +).
est premier, tous les éléments à part
d un diviseur
n
< Cn ( ) >.
d
[1]Soit
qui est
Donc (Z/nZ, +) est cyclique et ses
naturel de
n.
0
Alors
sont d'ordre
Z/nZ
p.
Donc
ϕ(p) = p − 1.
a exactement un seul sous-groupe
On peut calculer ϕ de manière récursive pas la formule suivante:
Proposition 3.
n=
P
ϕ(d).
d|n
Exemple 3. ϕ(1) = 1. ϕ(2) = 2 − ϕ(1) = 1. ϕ(3) = 3 − ϕ(1) = 1. ϕ(4) = 4 − ϕ(2) − ϕ(1) = 2.
ϕ(5) = 5 − ϕ(1) = 4. ϕ(6) = 6 − ϕ(1) − ϕ(2) − ϕ(3) = 3. Et ainsi de suite.
1.3 Eléments inversibles.[1]
Proposition 4.
Cn (k) est inversible dans (Z/nZ, ∗) ⇔ k ∧ n = 1 ⇔ k
ϕ(n) éléments inversibles.
engendre
(Z/nZ, +).
Il y
a donc exactement
Remarque 2.
Pour calculer explicitement l'inverse d'un élément modulo
n,
on peut appliquer
l'algorithme d'Euclide étendu.
Exemple 4.
Un inverse de
47
modulo
Corollaire 1 (Théorème d'Euler).
Corollaire 2.
Z/nZ
est un corps
Si
⇔
111
est
26.
x ∧ n = 1, xϕ(n) ≡ 1[n].
n est premier
⇔ Z/nZ
p.
est l'unique corps (à isomorphisme près) de cardinal
1
est un anneau intègre. De plus
Z/pZ
1.4 Nilpotents. Idempotents.
Proposition 5.
sont les
2
Cn (d)
Tout élément tel que
où
d
x∧n = 1 est
idempotent dans
est tel que tout nombre premier divisant
n
Z/nZ.
Les nilpotents de
divise aussi
Z/nZ
d.
Lemme chinois et applications.
2.1 Lemme chinois.[1]
Théorème 1.
Soient p1 , . . . , pn des entiers premiers entre eux deux à deux. Alors en tant
Z/p1 p2 . . . pn ' Z/p1 Z × Z/p2 Z × . . . × Z/pn Z. Inversément, si Z/p1 p2 . . . pn '
Z/p1 Z × Z/p2 Z × . . . × Z/pn Z alors les nombres p1 , . . . , pn sont premiers entre eux deux à deux.
qu'anneaux,
Exemple 5.
Z/6Z ' Z/2Z × Z/3Z.
Corollaire 3.
groupes,
Soient p1 , . . . , pn des entiers premiers entre eux
(Z/p1 p2 . . . pn )∗ ' (Z/p1 Z × Z/p2 Z × . . . × Z/pn Z)∗
deux à deux. Alors en tant que
2.2 Résolution de systèmes de congruences.[6]
On cherche à résoudre le système de congruence suivant:
x ≡ a[n]
x ≡ b[m]
avec n ∧ m=1. Le lemme chinois nous assure qu'il existe une solution x0 . De plus, toutes les
autres solutions du système sont alors de la forme x0 + nmt avec t ∈ Z. Il reste donc à trouver une
solution particulière: si u est un inverse de n modulo m (que l'on peut calculer explicitement avec
l'algorithme d'Euclide étendu), on peut montrer que a + n(b − a)u convient.
Exemple 6.
x ≡ 10[47]
x ≡ 5[111]
Les solutions sont de la forme 4334 + 5217t.
2.3 Calcul de ϕ(n).[1]
Lemme 1.
ϕ
Théorème 2.
Q
∀(m, n) ∈ N2 , ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m)
Q αi
en facteurs premiers: n =
pi . Alors ϕ(n) =
est une fonction multiplicative, ie.
Soit
n ∈ N∗ .
On décompose n
i
αi −1
i
(pα
).
i − pi
Exemple 7.
ϕ(21060) = ϕ(4 ∗ 13 ∗ 5 ∗ 81) = (22 − 2)(13 − 1)(5 − 1)(34 − 33 ) = 2 ∗ 12 ∗ 4 ∗ 54 = 5184.
2.4 Automorphismes de Z/nZ.[1]
Théorème 3.
Aut(Z/nZ) ' (Z/nZ)∗ .
Lemme 2.
Si
p
Lemme 3.
(Z/2Z)∗ ' 1.
est un nombre premier impair et
Pour
α ∈ N∗ ),
on a
(Z/pα Z)∗ ' Z/ϕ(pα )Z.
α > 2, (Z/2α Z)∗ ' Z/2Z × Z/2α−1 Z.
On en déduit par le Corollaire 3 les automorphismes de Z/nZ.
Corollaire 4.
ou
α
n = 2p
[3]
avec
p
Aut(Z/nZ)
(ie.
premier impair
(Z/nZ)∗ )
et α ∈ N.
est cyclique si et seulement si
2
n = 2, n = 4, n = pα
3
Applications.
3.1 Critères de divisibilité[2]
Théorème 4.
Soit
n
un entier naturel que l'on écrit sous forme décimale
1.
n
est congru à
a0
2.
n
est congru à
a0 + a1 + . . . + ak
3.
n
est congru à
a0
4.
n
est congru à
a0 + 3a1 + 2a2 − a3 − 3a4 − 2a5 + . . .
5.
n
est congru à
a0 + a1 + . . . + ak
6.
n
est congru à
a0 − a1 + . . . + (−1)k ak
7.
n
est congru à
a0 − 3a1 − 4a2 − a3 + 3a4 + 2a5 + a6 + . . .
modulo
modulo
ak ak−1 . . . a0 .
Alors
2,
3,
modulo
5,
modulo
7,
9,
modulo
11
modulo
7,.
modulo
3.2 Caractéristique d'un anneau. Sous-corps premier. Corps nis.[5]
Dénition 2.
Soit A un anneau. Soit le morphisme d'anneaux
f:
n
Alors Le noyau de
f
étant un idéal de
la caractéristique de l'anneau
A.
Si
Z, on
n = 0, f
(car il contient un sous-anneau isomorphe à
A
est non injectif,
cas,
Z/nZ
→
n1A
Z
7→
a
Im(f ) ' Z/nZ
avec
n ∈ N.
Z),
de plus
Cet entier
A
n
est appelé
est de cardinal inni
k1A = 0 ⇔ k = 0. Si n 6= 0, le morphisme
Z/nZ et k1A = 0 ⇔ n|k . Dans les deux
contient un sous-anneau isomorphe à
La caractéristique de
Proposition 6.
.
est injectif, et nécessairement
est le plus petit sous-anneau inclus dans
Exemple 8.
A
A
Si
Mn,m (Z/nZ) =
A.
est
n.
est un anneau intègre, alors la caractéristique de
A
est
0
ou un nombre
premier
Corollaire 5.
Si
k
est un corps, sa caractéristique est
caractéristique est nulle,
nombre premier
p, k
k
0
ou un nombre premier. De plus, si sa
contient un sous-corps isomorphe à
contient un sous-corps isomorphe à
est le plue petit sous-corps inclus dans
k.
Z/pZ.
Q.
Si sa caractéristique est un
Dans les deux cas, ce sous-corps
Il est appelé sous-corps premier de
k.
Théorème 5.
Soit
Remarque 3.
La notion de sous-corps premier est invariante par extension de corps: si
k
un corps ni de caractéristique
est une extension de corps, le sosu-corps premier de
p
L
premier. Alors
∃n ∈ N∗
est le même que celui de
tel que
|k| = pn .
k⊂L
k.
3.3 Détermination de tous les groupes abéliens nis.[4]
Théorème 6.
suite d'entiers
Exemple 9.
Soit
>2
G
un groupe abélien ni (de cardinal au moins
n
Q
vériant a1 |a2 | . . . |an tels que G '
Z/ai Z.
i=1
Les sous-groupes de cardinal
8
sont :
3
2).
Z/8Z, Z/2Z × Z/4Z
Alors il existe une unique
et
Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z.
3.4 Quelques équations diophantiennes.[2]
Dénition 3.
On appelle équation diophantienne une équation de la forme
P (x, y, z) = 0
avec
P
un polynôme à trois variables, et (x, y, z) un triplet d'entiers.
Théorème 7.
(x, y, z) ∈ N3 soit solution de l'équation diophantienne suivante : x2 +y 2 =
z , il faut et il sut qu'il existe d ∈ N et deux entiers naturels u et v premiers entre eux tels que
(x, y, z) ou (y, x, z) soit égal à (d(u2 − v 2 ), 2duv, d(u2 + v 2 )).
Pour que
2
Théorème 8.
Les équations suivantes n'ont pas de solutions non triviales (ie.
avec
x = 0
ou
y = 0):
x4 + y 4 = z 2
x4 + y 4 = z 4
x3 + y 3 = z 3
Remarque 4.
Willes a démontré en 1995 que l'équation diophantienne
solutions non triviales pour
n > 3,
xn + y n = z n
n'a pas de
ce que Fermat prétendait pouvoir prouver!
3.5 Système de cryptage RSA.[2]
Ce système repose sur le principe suivant: Si l'on se donne un nombre N grand, (ayant par
exemple une écriture décimale à 150 ou 200 chires), un ordinateur mettrait des dizaines d'années
à calculer les facteurs premiers de N . Soit E un réseau de personnes souhaitant communiquer entre
elles. Le chef du réseau choisit deux entiers premiers très grands p et q , pose N := pq et calcule
ϕ(n) = (p−1)(q−1). Pour chaque membre A du réseau, il choisit eA premier avec ϕ(N ) et il calcule
un inverse dA de eA modulo ϕ(N ). Il publie eA et N mais garde secret ϕ(N ). Il communique à
chaque membre du réseau son dA que celui-ci garde secret. Pour envoyer un message, l'expéditeur
A (qui souhaite communiquer avec B) code les caractères du message en nombres, puis fabrique
des suites de nombres de longueur strictement inférieur à la longueur de p et q (pour assurer que
ces suites de nombres soient premières à N ). Soit M une telle suite. A calcule le reste X modulo
N de M eB et le transmet à B . Celui-ci peut reconstituer la suite (grâce au théorème d'Euler) en
calculant X dB .
3.6 Loi de réciprocité quadratique et applications
Dénition 4.
3.7 Critère d'irréductibilité de polynômes.[1]
Théorème 9 (Critère d'Eisenstein).
Soit
P ∈ Z[X], P = an X n + . . . + a0 .
Soit
p
un nombre
premier. On suppose:
1.
p 6 |an ,
2.
p|ai ,
3.
p2 6 |a0 .
pour
i 6 n − 1,
Alors P est irréductible sur
Exemple 10.
Q.(et
donc dans
Si p est un nombre premier,
Théorème 10 (réduction modulo p).
Z
pourvu que
P
soit primitif )
X p−1 + . . . + X + 1
est irréductible sur
Z.
p un nombre premier et soit P ∈ Z[X], P = an X n +
. . . + a0 . On pose P̄ = Cp (an )X + . . . + Cp (a0 ). Si P̄ est irréductible dans Z/pZ[X], alors P est
irréductible dans Q[X] (et donc dans Z[X] si il est primitif ).
Soit
n
Exemple 11.
X 3 + 462X 2 + 2433X − 67691
Exemple 12.
Soit
p
un nombre premier.
est irréductible sur
Xp − X − 1
4
Z
(car il l'est sur
est irréductible sur
Z
Z/2Z[X])
(car il l'est sur
Z/pZ).
3.8 Tests de primalité.
Théorème 11.
Soit un entier
a 6' 1[n].
n
k
Alors
Théorème 12.
vériant:
∃a ∈ Z
tel que
a(n−1) ' 1[n]
et
∀k < n − 1,
αk
1
n > 2 dont la décomposition en facteurs premiers est n = pα
1 . . . pk
(n−1)/pi
tel que ai
' 1[n] et ∀k < n − 1, ak 6' 1[n]. Alors n est premier.
Soit un entier
Théorème 13.
2
vériant:
est premier.
∀i, ∃ai ∈ Z
suppose que
n > 2
p un nombre premier. Soit h ∈ {1, . . . , p − 1}.
' 1[n] mais 2h 6' 1[n]. Alors n est premier.
Soit
n−1
On pose
n := 1 + hp2
et on
Ce dernier test permet d'obtenir des grands nombres premiers.
Exemple 13.
[5]
p = 2127 − 1
est premier et
h = 190
convient, donc
1 + 190p2
est premier).
Developpements : équations diophantiennes [2], automorphismes de Z/nZ [1], tests de primalité
References
[1] Perrin
[2] Combes
[3] Ortiz
[4] Querré
[5] Gourdon algèbre
[6] Itard nombres premiers
5