Série 2

Introduction à la théorie des nombres
Prof. E. Bayer Fluckiger
29 février 2016
Série 2
Exercice 1.
(1) Calculer les symboles de Legendre suivants :
147
−14
,
,
19
149
202
397
(2) Est-ce que 106 est un carré modulo 323 ?
Exercice 2. Trouver un entier positif n et un sous-ensemble S de Z/nZ tel
que, si p ∈
/ {2, 5} est un nombre premier, alors −5 est un carré modulo p si et
seulement si [p]n appartient à S.
Exercice 3. Soit p un nombre premier impair et q un entier premier à p. Pour
tout entier n, on note r(n) le reste dans la division euclidienne de n par p.
(1) Montrer que l’application de {1, 2, . . . , (p−1)
} dans lui-même définie par :
2
(
r(qn)
si 1 6 r(qn) 6 p−1
2
f (n) =
p − r(qn) sinon
est une bijection.
(2) En déduire l’égalité :
q
= (−1)u
p
tels que r(qn) >
où u est le nombre d’entiers n compris entre 1 et p−1
2
résultat est connu sous le nom de lemme de Gauss.
(3) Utiliser le lemme de Gauss pour calculer le symbole de Legendre p2 .
p+1
.
2
Ce