dc1 4e math

L.S.C.J.Gafsa
Prof : B.Tabbabi
Date : 12 Novembre 2013
Epreuve : Mathématique
Classe : 4è.Math 2
Durée : 2 heures
DEVOIR DE CONTROLE N°1
Exercice 1: ( 3 points )
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
ABC est un triangle équilatéral .On note I le milieu du segment [BC].
1.Si f est une isométrie telle que f ( A)  A, f ( B )  C et f (C )  B alors f est la symétrie axiale d’axe (AI).
2.Si f est une isométrie qui envoie A en B et B en C alors f est une symétrie axiale.
3. S( AI )  S( BC ) = S I
Exercice 2 : ( 5 points )
Dans la figure ci-contre,on a tracé les courbes
(C f ) et (Cg ) de deux fonctions f et g dans un

repère orthonormé O, i, j .


Chacune des deux courbes admet deux
asymptotes.
1.Par lecture graphique :
f ( x)
a.Donner lim f ( x) , lim
,
x 
x 
x
lim g ( x) et lim g ( x) .
x2
x 
b.Déterminer g  2,   et f
 , 2  .
c.Calculer lim f  g ( x) et lim f  g ( x) .
x2
x 
5
2.On donne g    0
2
a.Vérifier que f  g est continue sur 2,  .
b.Montrer que l’équation f  g ( x) 
3
2
5 
admet dans  ,3 une solution unique.
2 
Exercice 3 : ( 6 points )
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v .


Soit z un nombre complexe non nul.
8
8
et z D  .
z²
z
1.Montrer que si z est un nombre réel alors les points A,B,C et D sont alignés.
2.Dans la suite de l’exercice,on suppose que z n’est pas réel.
Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si z 3  4 z 2  8 z  8  0 .
3.a.Vérifier que z 3  4 z 2  8 z  8  ( z  2)( z ²  2 z  4) puis résoudre dans  l’équation z 3  4 z 2  8 z  8  0 .
b.En déduire les valeurs de z pour lesquelles ABCD est un parallélogramme.
On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives z A  4, z B  z , zC 
voir verso 
4.a.Vérifier que
z
z
zD
z
 2 C et que A  4 C .
zA
zD
zB
zD
 
b.En déduire que la demi-droite [OD) est une bissectrice de l’angle orienté OA, OC et que la demi-droite
 
[OA) est une bissectrice de l’angle orienté OB, OD .
 
c.Montrer que les deux vecteurs OC et OD sont orthogonaux si et seulement si z est imaginaire pur.
Que peut-on alors dire des points O,B et D dans ce cas ?




Exercice 4 : ( 6 points )


a0  1 ; b0  2

an2
On considère les deux suites réelles (an ) et (bn ) définies sur IN par an 1 
; n  IN
a

b
n
n

2

bn
bn 1 
; n  IN
an  bn

1.a.Montrer que pour tout n de IN on a : an  0 et bn  0 .
b.Montrer que les deux suites (an ) et (bn ) sont décroissantes.
c.En déduire que les deux suites (an ) et (bn ) sont convergentes.
d.On note l  lim an et l’  lim bn .Montrer que ll '  0 .
n 
n 
2.On considère la suite réelle (un ) définie sur IN par un  an  bn .
a.Montrer que la suite  un  est constante.
b.En déduire les valeurs de l et l’.
3.Soit la suite (vn ) définie sur IN par vn 
an
.
bn
a.Vérifier que vn 1  vn2 .
1
b.Montrer par récurrence que pour tout n de IN on a vn   
2
2 
n
puis calculer lim vn .
* * * * * * * * * * *
n 
Bon travail