Espaces Topologiques et la Classification des Surfaces

Espaces Topologiques
et
la Classification des Surfaces
Joel Fine
Université Libre de Bruxelles
Cours donné pendant la deuxième année du bachelier en mathématiques,
à l’Université Libre de Bruxelles, 2009.
Table des matières
1 Introduction
4
I
5
Espaces Topologiques
2 Espaces métriques
2.1 Définition d’un espace métrique . .
2.2 Fonctions et applications continues
2.3 Sous-ensembles ouverts . . . . . . .
2.4 Un exemple instructif . . . . . . .
2.5 Continuité et ouverts . . . . . . . .
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5
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3 Espaces topologiques
3.1 Définition d’un espace topologique
3.2 Applications continues . . . . . . .
3.3 Homéomorphisms . . . . . . . . . .
3.4 Espaces connexes . . . . . . . . . .
3.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Espaces produits . . . . . . . . . .
3.7 Espaces quotients . . . . . . . . . .
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4 Espaces Hausdorff
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5 Espaces compacts
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . .
5.2 Definition d’un espace compact .
5.3 [a, b] est compact . . . . . . . . .
5.4 Sous-espaces compacts . . . . . .
5.5 Propriétés des espaces compacts .
5.6 Théorème de Heine–Borel . . . .
II
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Surfaces
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34
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37
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6 Définition et exemples de surfaces
6.1 Défintion . . . . . . . . . . . . .
6.2 Surfaces dans Rn . . . . . . . . .
6.3 Quotients de polygones . . . . . .
6.4 Cartes et atlas . . . . . . . . . .
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7 La classification des surfaces
49
7.1 Surfaces compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2 Orientabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2
7.3
7.4
7.5
7.6
Le caractéristique d’Euler
Couper-et-coudre . . . . .
La classification . . . . . .
Sommes connectés . . . .
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3
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1
Introduction
Ce cours a deux parties principales. La première est de vous donner une
introduction aux espaces topologiques. Un espace topologique T est un espace pour lequel il est possible de parler de fonctions continues T → R,
généralisant l’idée de fonction continue R → R, que vous avez déjà rencontrée pendant la première année. Quelques exemples d’espaces topologiques
sont Rn , la sphère ou, d’une certaine manière, n’importe quel espace “géométrique”. Il y a aussi beaucoup d’autres exemples ou la géométrie et moins
évidente. Par exemple, l’espace des fonctions bornées f : [a, b] → R est un
espace topologique et sa topologie nous aide à l’étudier.
Bien que la motivation initiale vienne d’analyse, les techniques et le style
du sujet sont très différents. La définition d’un espace topologique met en
valeur la chose sur laquelle le concept de continuité est basée : le comportement de sous-ensembles ouverts. Un des avantages de cette approche est que
la définition est suffisamment abstraite pour admettre plusieurs exemples qui
ne ressemblent pas du tout la droite réelle. Il y a beaucoup de situations où
le langage de topologie est essentielle pour bien comprendre les propriétés
d’un espace et certaines de ses fonctions.
La deuxième partie du cours concerntre sur les surfaces. Briévement,
une surface est un espace qui “parait localement” comme R2 . Un exemple
est la sphère : du point de vue d’une fourmis rampant sur d’une sphère
enorme, la surface parait comme un plan plat. Une surface est un espace
topologique et en utilisant nos travaux avec tels espaces, on classifiera toutes
les surfaces : elles paraissent toutes dans une liste simple (à condition qu’elles
soient compactes). La deuxième partie du cours vous introduira aux surfaces
et leur classification.
La classification des surfaces n’est pas juste un but soi-même, mais aussi
une introduction à des sujets plus avancés. Les espaces qui “paraissent localement” comme Rn — variétés — sont beaucoup plus compliquées que les
surfaces et sont toujours à la frontière de la recherche aujourd’hui. Egalement, une des techniques pour distinguer les surfaces — le caractéristique
d’Euler, un nombre associé à chaque surface — peut être généralisé à d’autres
situations topologiques. C’est le début de la topologie algébrique, une autre
branche active de la recherche. Les variétés et la topologie algébrique sont
introduites dans des cours du premier cycle du masters.
Remerciements
La première partie de cet note est basé sur le livre “An Introduction to
Metric and Topological Spaces” par W. Sutherland et aussi sur le cours du
même nom donné à l’Université d’Oxford.
4
Première partie
Espaces Topologiques
2
Espaces métriques
2.1
Définition d’un espace métrique
On voudrait généraliser l’idée d’une fonction continue f : R → R aux
autres situations. On commencera en se rappelant la définition.
Définition 2.1. Une fonction f : R → R est dite continue au point a ∈ R si
pour tout réel ! > 0, il existe un réel δ > 0 tel que
|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < !.
Une fonction f est dite continue si elle est continue en tout points a ∈ R.
En utilisants des mots, et pas grec : une fonction f est continue si n’importe quel petit changement de x entraîne un petit changement de f (x).
Afin de généraliser cette définition aux espaces autre que R, il faut d’abord
généraliser l’idée d’un “petit changement” ou, plutôt, l’idée de la distance
entre deux points. La chose qui nous permettra de mesurer la distance entre
points s’appelle une metrique, un ensemble avec une métrique est appelé un
espace métrique. Formellement,
Définition 2.2. Soit X un ensemble non-vide. Une application
d: X × X → R
est dite une métrique si les conditions suivantes sont satisfaites :
M1 Pour tous points x, y, ∈ X, d(x, y) ≥ 0. De plus, d(x, y) = 0 si et
seulement si x = y.
M2 Pour points x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x).
M3 Pour points x, y, z ∈ X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Le couple (X, d) est appelé un espace métrique. Quand il n’y a pas de possibilité de confusion, et que le choix de la métrique d est évident, on dit que
X est un espace métrique.
La motivation géométrique derrière cette définition n’est pas difficile à
voir. M1 dit que les distances doivent être positives, et null uniquement
quand les points x et y sont les mêmes. M2 dit que la distance de x à y doit
être égale à la distance de y à x. M3 s’appelle l’inégalité triangulaire. Afin
5
de comprendre son nom, imaginez que x, y, z sont des points sur le plan qui
font un triangle T et que d est la distance habituelle. Dans ce cas, l’inégalité
dit que la longueur d’un des arrêt de T est plus petite que la somme des
longueurs des deux autres arrêts.
Exemples 2.3.
1. La métrique euclidienne sur R. On défini une métrique sur R par
d(x, y) = |x−y|. Les conditions M1–3 ne sont pas difficile à démontrer.
2. La métrique euclidienne sur Rn . Soit x = (x1 , . . . xn ) et y = (y1 , . . . yn )
deux points de Rn . On défini une métrique dE par
!
dE (x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · (xn − yn )2 .
Les conditions M1 et M2 sont évidentes. Pour démontrer l’inegalité
triangulaire, soit x, y, z ∈ Rn et soit rj = xj − yj , sj = yj − zj . Alors,
il faut démontrer que
"#
"#
"#
rj2 +
s2j ≥
(rj + sj )2 .
Puisque les deux cotés sont positifs, en prenant le carré, il suffit de
démontrer que
"# "#
#
#
#
#
#
rj2 + 2
rj2
s2j +
s2j ≥
rj2 + 2
rj sj +
s2j .
Cette inégalité est équivalente de l’inégalité de Cauchy :
Lemme 2.4 (L’inégalité de Cauchy). Soit r1 , . . . rn , s1 , . . . sn ∈ R.
Alors,
%2
$#
# #
rj sj .
s2j ≥
rj2
&
Démonstration. Soit t ∈ R. On considère F (t) = (rj + tsj )2 . Comme
la somme des carrés, cette expression est positive, nous donnant
#
#
#
F (t) =
rj2 + 2t
rj sj + t2
s2j ≥ 0,
pour réel t. Le coefficient de t2 est positif, alors l’équation quadratique
F (t) = 0 ne peut jamais avoir deux racines réelles distinctes t1 et t2 ;
2 − 4ac”
sinon F (t) < 0 pour t entre t1 et t2 . Donc
& le discriminant “b &
doit être négatif. Dans ce case, b = 2 rj sj , alors que a =
s2j et
& 2
2
c = rj ; l’inégalité b − 4ac ≤ 0 est l’inégalité de Cauchy.
3. Espaces discrets. Soit X un ensemble non-vide. On défini une métrique d sur X par
'
0 si x = y,
d(x, y) =
1 si x (= y.
6
M1 et M2 sont évidents. Pour M3, constatez que, si x = z, d(x, z) = 0
alors d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). De l’autre coté, si x (= z, alors soit
x (= y, soit y (= z. Donc d(x, y) + d(y, z) est égal à 1 ou 2, et alors
supérieur ou égal à d(x, z) = 1.
Cette métrique s’appelle la métrique discrète. Elle n’est pas utilisé pour
étudier un espace. Par contre elle est très utile comme un exemple “pathologique” ; c’est un contre-exemple potentiel que vous devriez considérer avant d’essayer de démontrer quelque chose.
4. La métrique de Manhattan. Soit x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) points de
R2 . On défini une métrique dM sur R2 en prenant
dM (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
M1 et M2 sont évidents. Pour démontrer l’inégalité triangulaire, soit
z = (z1 , z2 ) un troisième point de R2 . On a
|x1 − z1 | ≤ |x1 − y1 | + |y1 − z1 |
par l’inégalité triangulaire pour la métrique euclidenne sur R. Egalement, on a |x2 −z2 | ≤ |x2 −y2 |+|y2 −z2 |. La somme des deux inégalités
démontre que dM (x, z) ≤ dM (x, y) + dM (y, z).
Le nom de cette métrique vient de la géométrie de Manhattan : toutes
les rues sont perpendiculaires, alors la distance d’un trajet par voiture
est donné par la métrique dM et non par la métrique euclidienne.
5. Soit B l’ensemble de toutes fonctions [a, b] → R qui sont bornées. Pour
f, g ∈ B, soit L, M ∈ R tel que |f (t)| ≤ L et |g(t)| ≤ M pour tous
t ∈ [a, b]. Alors,
|f (t) − g(t)| ≤ |f (t)| + |g(t)| ≤ L + M
Donc,
d(f, g) = sup{|f (t) − g(t)| : t ∈ [a, b]}
est bien définit. Comme le supremum d’un ensemble des nombres positifs, d(f, g) ≥ 0. En plus, d(f, g) = 0 si et seulement si |f (t) − g(t)| = 0
pour tous t ∈ [a, b], c’est à dire si et seulement si f = g. Alors M1
est clair. M2 est satisfaites puisque |f (t) − g(t)| = |g(t) − f (t)|. Pour
démontrer M3, soit f, g, h ∈ B. A tous les points t ∈ [a, b], on a que
|f (t) − h(t)| = |f (t) − g(t) + g(t) − h(t)| ≤ |f (t) − g(t)| + |g(t) − h(t)|
En prenant le supremum, on obtient que
d(f, h) ≤ sup{|f (t) − g(t)| + |g(t) − h(t)|}
≤ sup{|f (t) − g(t)|} + sup{|g(t) − h(t)|}
= d(f, g) + d(g, h).
7
Cet exemple indique que le langage des espace métriques s’applique aux
ensembles beaucoup plus grands que ceux que l’on trouve dans la géométrie traditionelle. Le fait que les axiomes métriques sont satisfaites
nous permet de utiliser l’intuition géométrique même si l’espace des
fonctions bornées est un espace vectoriel de dimension infini. L’usage
des métriques dans l’etude des espaces des fonctions est une technique
très importante d’analyse.
6. Sous-ensembles métriques. Soit (X, d) un espace métrique et A ⊂ X
un sous-ensemble. La restriction de d à A × A defini une métrique sur
A. Les conditions M1–3 sont forcement satisfaites, puisque elles sont
satisfaites pour tous les points de X.
7. Espace produits. Soit (X, dX ) et (Y, dY ) espaces métriques. Il y a des
métrqiues diverses sur le produit X × Y . La plus intuitive, peut-être
est la généralisation de la métrique euclidienne sur R2 , défini pour
p = (x1 , y2 ), q = (x2 , y2 ) ∈ X × Y par
!
d(p, q) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
M1 et M2 sont évidents. M3 est laissé comme exercice pour le lecteur.
Egalement, on pourrait imiter la métrique de Manhattan sur R2 et
prendre une métrique dˆ défini par
ˆ q) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ).
d(p,
La vérification des axiomes est laissée au lecteur.
2.2
Fonctions et applications continues
Ayant vu la définition d’un espace métrique, c’est facile de généraliser le
concept d’une fonction continue :
Définition 2.5. Soit (X, d) un espace métrique. Une fonction f : X → R et
dite continue au point a ∈ X si pour tous réel ! > 0, il existe un réel δ > 0
tel que
d(x, a) < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < !.
Une fonction est dite continue si elle est continue à tous les points de X.
Quand c’est nécessaire de spécifier la métrique on dit que f est dX -continue.
En plus, on peut parler de la continuité d’une application f : X → Y
entre deux espaces métriques (X, dX ) et (Y, dY ).
Définition 2.6. Soit (X, dX ), (Y, dY ) deux espaces métriques. Une application f : X → Y est dite continue au point a ∈ X si pour tous réel ! > 0, il
existe un réel δ > 0 tel que
dX (x, a) < δ ⇒ dY (f (x), f (a)) < !,
8
Une application est dite continue si elle est continue à tous les points de X.
Quand c’est nécessaire de spécifier les métriques, on dit que f est (dX , dY )continue.
Exemples 2.7.
1. Etant donné deux fonctions f, g : R → R continues, nouvelles fonctions
continues peut être construites en prenant, par exemple, la somme f +g
ou le produit f g etc. Les même démonstrations marchent aussi pour
les espace métriques. Par exemple :
Lemme 2.8. Soit (X, d) un espace métrique et f, g : X → R fonctions
continues. Alors, la fonction f + g est continue.
Démonstration. Soit a ∈ X et ! > 0. On va vérifier que f + g est
continue au point a. Par la continuité de f et g il existe δ1 > 0 et
δ2 > 0 tel que
d(x, a) < δ1 ⇒ |f (x) − f (a)| < !/2
d(x, a) < δ2 ⇒ |g(x) − g(a)| < !/2
Soit δ = min{δ1 , δ2 }. Alors, si d(x, a) < δ, on sait que |f (x) − f (a)| <
!/2 et aussi |g(x) − g(a)| < !/2. Donc,
|(f + g)(x) − (f + g)(a)| = |f (x) − f (a) + g(x) − g(a)|
≤ |f (x) − f (a)| + |g(x) − g(a)|
< !/2 + !/2
= !
2. En plus, on peut prendre la composition des fonctions. Si f, g : R →
R sont continues, alors la composition g ◦ f est aussi continue. La
même chose est vrai pour la composition d’applications entre espaces
métriques :
Lemme 2.9. Soit (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) des espaces métriques et
f : X → Y , g : Y → Z des applications continues. Alors, la composition
g ◦ f : X → Z est aussi continues.
Démonstration. Soit a ∈ X. On va verifier que g ◦ f est continue au
point a. Par la continuité de g au point f (a), étant donné ! > 0, il
existe δ̂ > 0 tel que pour tous y ∈ Y avec dY (y, f (a)) < δ̂, on sait que
dZ (g(y), g(f (a)) < !. Maintenant, on utilise la continuité de f au point
a, mais avec le rôle de ! joué par δ̂. Ça nous donne un δ > 0 tel que
pour tous x ∈ X avec dX (x, a) < δ, on sait que dY (f (x), f (a)) < δ̂.
Mais, pour un tel point x, avec dX (x, a) < δ on sait, par la définition
de δ̂ avec y = f (x), que dZ (g(f (x)), g(f (a))) < !. Donc g ◦ f est
continue.
9
3. Soit X un ensemble non-vide et d la métrique discrète. Soit f : X → R
une fonction quelconque. Etant donné un ! > 0, prennez δ = 1/2.
Par la définition de la métrique discrète, le seul point x ∈ X avec
d(x, a) < δ est le point a lui-même. Alors, d(x, a) < δ veut dire que
f (x) = f (a) donc, forcement, |f (x) − f (a)| = 0 < !. En d’autres mots,
toutes les fonctions f : X → R sont continues par égard à la métrique
discrète.
4. Soit (X, dX ) (Y, dY ) des espaces métriques et soit y0 ∈ Y . Soit f : X →
Y constamment égale à y0 , i.e., f (x) = y0 pour tous x ∈ X. Pour
démontrer que f est continue, étant donné n’importe quel ! > 0, on
prend δ > 0 quelconque (puisque dY (f (x), f (a)) est toujours nul).
5. Soit (X, d) un espace métrique et id: X → X l’application de l’identité,
id(x) = x. Etant donné ! > 0, prenez δ = ! pour démontré que id est
continue.
6. Soit (X, d) un espace métrique et A ⊂ X. Etant donné une fonction
f : X → R, et a ∈ A, on peut parler de la continuité de f à a mais
aussi de la continuité de la restriction f |A à a. Les deux chose ne sont
pas la même ! Par exemple, considérez la fonction f : R → R définit
par
'
0 x ∈ Q,
f (x) =
1 x ∈ R.
Evidemment, f n’est pas continue à n’importe quel point de R (pouvezvous le démontrer vous-même ?). En revanche, f |Q est la fonction
constante qui prend la valeur 0 à tous les points de Q. Alors, f |Q
est continue partout !
7. Soit f : R2 → R la fonction
f (0, 0) = 0,
f (x1 , x2 ) =
x1 x2
+ x22
x21
pour (x, y) (= (0, 0).
Alors, les restrictions de f aux axes, f |R × {0} et f |{0} × R, sont fonctions constantes et donc continues partout. En revanche, la fonction
f n’est pas continue à (0, 0). Par exemple, soit ! = 12 ; quel que soit
δ > 0, le point x = ( 12 δ, 21 δ) a d(x, 0) < δ mais |f (x) − f (0)| = 12 .
8. Soit B l’ensemble de toutes les fonctions f : [a, b] → R qui sont bornées.
Comme métrique sur B on prend la métrique d donné par le supremum
(un des Exemples 2.3). Soit c ∈ [a, b]. On défini une fonction F : B → R
en prenant l’évaluation de f ∈ B au point c :
F (f ) = f (c).
F est continue : étant donné ! > 0, on peut prendre δ = !. Il faut
démontré que d(f, g) < δ veut dire que |F (f )−F (g)| < !. Mais |F (f )−
10
F (g)| = |f (c) − g(c)|, alors que la condition d(f, g) < δ dit que
sup {|f (t) − g(t)|} < δ.
t∈[a,b]
En particulier, d(f, g) < δ veut dire que |f (c) − g(c)| < δ = !.
2.3
Sous-ensembles ouverts
Dans cette partie, on introduit des définitions qui seront utiles pour ce
qui suit.
Définition 2.10. Soit (X, d) un espace métrique et a ∈ X. La boule ouverte
centrée au point a, avec rayon r est le sous-ensemble
B(a; r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}.
Quand il faut préciser la métrique, on écrit Bd (a; r).
Exemples 2.11.
1. Pour R2 avec la métrique euclidienne dE (décrit dans les Exemples
2.3), la boule ouverte centrée au point a avec rayon r n’est rien que le
disque centré au point a avec rayon r.
2. Pour R2 avec la métrique de Manhattan dM (décrit dans les Exemples
2.3) les boules ouvertes sont différentes. Elles ont la forme d’un carré,
duquel les arrêts font l’angle 45◦ avec les axes. Le centre du carré est
a et la distance euclidienne de a à un sommet est r.
3. Soit X un ensemble non-vide et d la métrique discrète (décrit dans les
Exemples 2.3). Si r ≤ 1, la boule ouverte centrée au point a ∈ X avec
rayon r est juste {a}, le sous-ensemble qui ne contient rien que a. Si
r > 1, la boule ouverte centrée au point a avec rayon r est l’entier
de X.
Définition 2.12. Un sous-ensemble U ⊂ X d’un espace métrique (X, d) est
dit ouvert si étant donné x ∈ U , il existe un ! > 0 tel que B(x; !) ⊂ U . C’est
important de constater que si on change le point x ∈ U , on peut changer
aussi le !.
Intuitivement, un ouvert U est un sous-ensemble pour lequel, quel que
soit le point de départ, on peut toujours aller une petite distance sans le
quitter.
Lemme 2.13. Etant donné une boule ouverte B(a; r) dans un espace métrique et un point x ∈ B(a; r), il existe un ! > 0 tel que B(x; !) ⊂ B(a; r).
C’est à dire qu’une boule ouverte est bien un ouvert dans le sens de la
Définition 2.12 !
11
Démonstration. Afin de bien comprendre ce qui suit, considerez la situation
dans R2 avec la métrique euclidienne. Le Lemme dit que l’on peut dessiner
un disque centré à x et contenu complètement dans le disque donné centré
à a. Après avoir dessiné les disques, c’est evident : on devrait prendre ! tel
que ! + d(x, a) ≤ r.
Maintenant, la démonstration formelle pour un espace métrique abstrait.
Soit ! = r − d(x, a). Puisque x ∈ B(a; r), ! > 0. En plus, si y ∈ B(x, !),
d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y),
par M3
< d(a, x) + !
= r
Alors, B(x; !) ⊂ B(a; r).
Exemple 2.14. Soit X un ensemble non-vide avec la métrique discrète d.
Soit U ⊂ X un sous-ensemble quelconque. U est ouvert, parce que, quel que
soit x ∈ U , la boule B(x, 1/2) = {x} ⊂ U .
2.4
Un exemple instructif
Dans cette section on étudiera les différences et les similitudes des métriques euclidienne et de Manhattan sur R2 . On verra que leur fonctions
continues sont les mêmes, bien que les métriques soient différente. Ça nous
donnera la motivation de formuler une définition de continuité qui ne mention pas spécifiquement la métrique.
Rappelez-vous que, pour x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ),
!
dE (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 , dM (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 + y2 |.
Afin de bien comprendre ce qui suit, c’est instructif de dessiner une boule
ouvert pour dM complètement à l’intérieur d’une boule ouverte pour dE et,
egalement, une boule ouverte pour dE complètement à l’intérieur d’une boule
ouverte pour dM . Quel sont les ratios des rayons en les deux cas ?
Lemme 2.15. Pour tous les point x, y ∈ R2 ,
1
√ dM (x, y) ≤ dE (x, y) ≤ dM (x, y)
2
Démonstration. Constatez que
dE (x, y)2 = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
dM (x, y)2 = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + 2|x1 − y1 ||x2 − y2 |
Evidemment dE (x, y)2 ≤ dM (x, y)2 , alors dE (x, y) ≤ dM (x, y). Pour l’autre
direction, on utilise l’inégalité qui dit pour tous réel s, t ∈ R,
s2 + t2 ≥ 2st.
12
(Pour la démontrer, commencez avec (s−t)2 qui est forcement positif, puisque
c’est un carré.) Avec s = |x1 − y1 | et t = |x2 − y2 | on obtient que
dM (x, y)2 ≤ 2dE (x, y)2
et le lemme est démontré.
Lemme 2.16. Un sous-ensemble U ⊂ R2 est dM -ouvert si et seulement s’il
est dE -ouvert.
Démonstration. Ce résultat devrait être déjà évident pour eux qui ont dessiné les boules ouvertes pour dM est dE comme suggéré en haut.
Soit U un dE -ouvert et x ∈ U . Alors, il existe ! > 0 tel que BdE (x; !) ⊂ U .
On démontrera que BdM (x; !) ⊂ U . Lemme 2.15 nous dit que dE (x, y) ≤
dM (x, y). Alors, si y ∈ BdM (x; !), on a que dE (x, y) < ! et donc y ∈ U .
Dans l’autre direction, soit U un dM -ouvert et x ∈ U√. Alors, il existe
!ˆ > 0 tel que BdM (x; !ˆ) ⊂ U . On
√ démontrera que BdE (x; !ˆ/ 2) ⊂ U√. Lemme
2.15 nous dit que dM (x, y) ≤ 2dE (x, y). Alors, si y ∈ BdE (x; !ˆ/ 2), on a
que dM (x, y) < ˆ
! et donc y ∈ U .
Malgré le fait que la définition d’un ouvert mention explicitement les
boules ouvertes et donc la métrique, cet exemple nous dit que c’est encore
possible que deux métriques distincte peut avoir les mêmes ouverts. Le prochain résultat dit pareillement pour les fonctions continues.
Lemme 2.17. Une fonction f : R2 → R est dM -continue si est seulement si
elle est dE -continue.
Démonstration. Soit f une fonction dE -continue. Etant donné a ∈ R2 et
! > 0, il existe δ > 0 tel que pour tous les points x ∈ R2 avec dE (x, a) < δ,
on sait que |f (x) − f (a)| < !. Mais, selon Lemme 2.15, dE (x, a) ≤ dM (x, a).
Alors, le même δ marche aussi pour démontrer que f est dM -continue. C’est
à dire que si dM (x, a) < δ on sait que dE (x, a) < δ et donc |f (x) − f (a)| < !.
Dans l’autre direction, on commence avec une fonction f qui est dM continue. Etant donné a ∈ R2 et ! > 0, il existe δ̂ > 0 tel que pour tous les
points x ∈ R2 avec
√ < !. Selon Lemme
√ dM (x, a) < δ̂, on sait que |f (x) − f (a)|
2.15, dM (x, a) ≤ 2dE (x, a). Alors, si on prend δ = δ̂/ 2 on obtient que, si
dE (x, a) < δ alors dM (x, a) < δ̂ et donc |f (x) − f (a)| < !.
On verra dans la section suivante que ce n’est pas par hasard que les
métriques dE et dM ont les mêmes ouverts et aussi les mêmes fonctions
continues.
13
2.5
Continuité et ouverts
On a vu un exemple de deux métriques différentes qui ont les mêmes
fonctions continues. Ça nous suggère que c’est peut-être possible de définir continuité sans mentionner explicitement la métrique. C’est bien le cas,
comme est démontré dans le résultat suivant. Ici on utilise le notion de
l’image inverse d’un sous-ensemble.
Définition 2.18. Soit f : X → Y une application entre deux ensembles et
soit A ⊂ Y . L’image inverse de A par f est le sous-ensemble f −1 (A) ⊂ X
donné par
f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A}
Proposition 2.19. Soit f : X → Y une application entre deux espaces métriques (X, dX ) et (Y, dY ). Alors, f est continue si est seulement si pour
tous les ouverts U ⊂ Y , le sous-ensemble f −1 (U ) est ouvert dans X. On dit
brièvement que “f est continue si l’image inverse d’un ouvert est ouvert”.
Démonstration. Soit f : X → Y une application continue et U ⊂ Y un ouvert. Il faut démontrer que f −1 (U ) ⊂ X est ouvert. Soit a ∈ f −1 (U ). Puisque
f (a) ∈ U et puisque U est ouvert, il existe ! > 0 tel que BY (f (a); !) ⊂ U .
Parce que f est continue, il existe δ > 0 tel que tous les points x ∈ X avec
dX (x, a) < δ satisfont dY (f (x), f (a)) < !. C’est à dire que si x ∈ BX (a; δ),
alors f (x) ∈ BY (f (x); !) ⊂ U . Donc BX (a; δ) ⊂ f −1 (U ) et f −1 (U ) est ouvert.
Dans l’autre direction, on suppose que f est tel que f −1 (U ) est ouvert
quand U ⊂ Y est ouvert. Soit a ∈ X, on démontrera que f est continue au
point a. Etant donné !, prenez U = BY (f (a); !). On sait que f −1 (U ) est
ouvert et que a ∈ f −1 (U ). Alors, par la définition d’un ouvert, il existe δ > 0
tel que BX (a; δ) ⊂ f −1 (U ). C’est à dire, si x ∈ X avec dX (x, a) < δ, alors
f (x) ∈ U , ou, plutôt, que dY (f (x), f (a)) < !. Donc f est continue au point
a.
Un mot d’avertissement : ce résultat parle uniquement des images inverse
des ouverts. Le image direct f (U ) = {f (x) ∈ Y : x ∈ U } d’un ouvert de X
n’est pas ouvert en général. Par exemple, soit f : R → R donné par f (x) = 0
pour tous x ∈ R. Alors, quel que soit le sous-ensemble U (= ∅, f (U ) = {0}
et, donc, n’est jamais ouvert, bien que f soit continue.
Proposition 2.19 nous dit que si deux métriques ont les mêmes ouverts
elles ont aussi les mêmes fonctions continues. C’est la motivation pour la
definition suivante.
Définition 2.20. Soit X un ensemble non-vide. Deux métriques d1 et d2
sont dites équivalentes topologiquement si elles ont les mêmes ouverts. Etre
équivalentes topologiquement est une relation d’équivalence sur la collection
des métriques sur un ensemble.
14
Il y a des autre notions “d’équivalence” pour les métriques, comme la
suivante.
Définition 2.21. Soit X un ensemble non-vide avec deux métriques d1 , d2 .
Les métriques sont dites Lipschitz équivalentes s’il existe réels L, M > 0 tel
que
Ld1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ M d1 (x, y)
pour tous les points x, y ∈ X. Etre Lipschitz équivalentes est une relation
d’équivalence sur la collection des métriques sur un ensemble.
Lemme 2.15 dit que les métriques dM et dE sur R2 sont Lipschitz équivalentes. En plus, en lisant la démonstration de Lemme 2.16, on vois qu’il
s’applique plus ou moins sans changement, pour n’importe quel couples de
métriques qui sont Lipschitz équivalentes.
Lemme 2.22. Soit d1 et d2 deux métriques sur X qui sont Lipschitz équivalentes. Alors, elles sont équivalentes topologiquement aussi.
3
Espaces topologiques
3.1
Définition d’un espace topologique
On a vu que la continuité d’une application entre deux espaces métriques
est déterminée par les ouverts et pas particulièrement par les métriques ellesmêmes. Ayant appris ça, on peut essayer de abstraire le concept d’un “ouvert”,
exactement comme on a fait pour la métrique euclidienne sur R avec les
axiomes M1–3 en haut. Cette idée est le point de départ de la topologie. Pour
démarrer, il faut premièrement rassembler quelque propriétés des ouverts
dans un espace métrique.
Lemme 3.1. Soit (X, d) un espace métrique. Alors,
1. Les sous-ensembles X et ∅ sont ouvert.
2. Si U1 et U2 sont ouvert, alors U1 ∩ U2 est ouvert.
3. Si {Ui ⊂ X(: i ∈ I} sont des ouverts (indexés par un ensemble I) alors
leur union i∈I Ui est ouvert.
Démonstration.
1. Pour ∅ il n’y a rien à vérifier. Pour X c’est evident : B(x; !) ⊂ X quel
que soit !.
2. Soit x ∈ U1 ∩ U2 . Puisque x ∈ U1 , il existe !1 > 0 tel que B(x; !1 ) ⊂ U1 .
Egalement, il existe !2 > 0 tel que B(x; !2 ) ⊂ U2 . Soit ! = min{!1 , !2 }.
Alors, ! > 0 et B(x; !) ⊂ B(x, !j ) pour j = 1, 2 et, donc, B(x, !) ⊂ Uj
pour j = 1, 2. C’est à dire que B(x; !) ⊂ U1 ∩ U2 .
15
(
3. Soit x ∈ i∈I Ui . Alors, il existe i ∈ I tel que
( x ∈ Ui . Puisque Ui est
ouvert, il existe ! > 0 tel que B(x; !) ⊂ Ui ⊂ Ui .
C’est important de renforcer la différence entre la deuxième et la troisième
conditions ici. La deuxième dit que l’on peut prendre l’intersection d’un
nombre fini des ouverts, pour construire un nouvel ouvert. Mais selon la
troisième condition, quel que soit la collection d’ouverts que l’on prend, leur
union est toujours ouvert. La différence est évidente dans la démonstration.
Pour l’intersection il fallait prendre ! = min{!1 , !2 }. Le minimum d’une
collection fini de nombres supérieur à zéro est lui-même supérieur à zéro.
Par contre, l’infimum d’une collection infini de nombres supérieur à zéro
peut être null.
Motivé par le résultat précédant, on abstrait la notion d’un “ouvert” avec
la definition d’une topologie :
Définition 3.2. Soit T un ensemble non-vide. Une collection T de sousensembles de T est dite une topologie sur T si les conditions suivantes sont
satisfaites :
T1 L’espace T et l’ensemble vide ∅ sont éléments de T .
T2 Si U1 , U2 ∈ T , alors U1 ∩ U2 ∈ T .
T3 Si {Ui ⊂ T : Ui ∈
( T , i ∈ I} sont des éléments de T indexés par un
ensemble I, alors i∈I Ui ∈ T .
Le couple (T, T ) est dit un espace topologique ou, en bref juste un espace.
Quand il n’y a pas de possibilité de confusion, et le choix de la topologie T
est evident, on dit que T est un espace topologique.
Avec cette définition, on peut reannoncer Lemme 3.1 ; il dit que pour un
espace métrique (X, d), la collection T = {U ⊂ X : U est ouvert} est une
topologie sur X.
Parce que les ouverts d’un espace métrique sont le premier exemple d’une
topologie, les éléments d’une topologie quelconque sont dits ouverts. Un mot
d’avertissement : on a maintenant deux sens du mot “ouvert” dépendant si on
parle d’un espace métrique ou d’un espace topologique. Pour vérifier qu’un
sous-ensemble d’un espace métrique est ouvert, il faut démontrer quelque
chose ; en revanche, pour vérifier qu’un sous-ensemble d’un espace topologique est ouvert il n’y a rien à démontrer, il ne faut que chercher dans la
liste des éléments de T .
On verra que le concept d’un espace topologique est strictement plus général que le concept d’un espace métrique. Pour distinguer les deux situations
on fait la définition suivante :
16
Définition 3.3. Une topologie qui vient d’une métrique est dite métrissable.
Celles qui ne viennent pas d’aucune métrique sont dites non-métrissables.
Exemples 3.4.
1. Espaces discrets. Soit T un ensemble non-vide et soit T la collection de
tous les sous-ensemble de T (écrit parfois T = 2T ). Les axiomes T1–
3 sont évidents pour T . Cette topologie est dite la topologie discrète
sur T , et (T, T ) un espace discret. Cette topologie est métrissable ; elle
vient de la métrique discrète (comme vous pouvez verifier vous-même !)
2. Espaces indiscrets. Soit T un ensemble non-vide et soit T = {∅, T }.
Les axiomes T1–3 sont évidents. Cette topologie est dite la topologie
indiscrète.
Quand T contient plus qu’un point, cette topologie n’est pas métrissable. (On verra une démonstration plus tard) C’est notre premiere
exemple d’une topologie qui ne vient pas d’une métrique, mais il faut
dire que ce n’est pas vraiment interestant comme topologie. (On verra
précisément pour quoi un peu plus tard.)
3. La topologie de Zariski sur R. Soit T = R et soit TZ la collection de
tous les sous-ensembles U ⊂ R tel que R \ U est fini, avec ∅ aussi. T1
est évident. Pour démontrer T2, on constate que si R\U1 et R\U2 sont
fini, alors le même est vrai de (R\U1 )∪(R\U2 ) = R\(U1 ∩U2 ). Donc si
U1 , U2 ∈ TZ , alors U1 ∩ U2 ∈ TZ . Pour démontrer (
T3, on suppose que
{Ui ∈ TZ : i ∈ I}. Si tous les Ui sont vides, alors( I Ui =)∅ ∈ TZ . Si
il y a au moins un(
Uj qui n’est pas vide, alors R \ I(Ui = I (R \ Ui ) ⊂
R \ Uj . Donc R \ I Ui est forcement fini, et alors I Ui ∈ TZ .
On verra plus tard que la topologie de Zariski est non-métrissable.
Cette topologie sur R est l’exemple le plus simple d’une topologie de Zariski. Telles topologies sont importantes dans la géométrie algébrique.
Le dernier exemple est suffisamment important que l’on le donne comme
définition.
Définition 3.5 (Sous-espaces topologiques.). Soit (T, T ) un espace topologique et A ⊂ T un sous-ensemble. La topologie induite sur A par T est la
topologie A = {U ∩ A : U ∈ T }. C’est facile de démontrer que A est bien
une topologie sur A. Quand on parle de A ⊂ T avec la topologie induite, on
appelle A un sous-espace de T .
3.2
Applications continues
Ayant vu Proposition 2.19 c’est évident comment définir les application
continues entre deux espaces topologiques.
Définition 3.6. Soit f : T → S une application entre deux espaces topologiques (T, T ) et (S, S ). Elle est dite continue si pour tous U ∈ S ,
17
f −1 (U ) ∈ T . On dit brièvement “f est continue si l’image inverse d’ouvert
est ouvert”.
Exemples 3.7.
1. Bien sûr, une application continue entre deux espaces métriques est
aussi continue dans le sens d’espaces topologiques (Proposition 2.19).
2. Soit (T, T ) un espace topologique. L’application id : T → T défini par
id(x) = x est continue, puisque id−1 (U ) = U , quel que soit U .
3. Soit (T, T ) et (S, S ) deux espaces topologiques et f : T → S une application constante entre eux. Alors, f est continue. Pour le démontrer,
on pose que f (x) = y0 pour tous les points x ∈ T . Soit U ⊂ S ouvert.
Si y0 ∈ U , f −1 (U ) = T est ouvert ; si y0 ∈
/ U , f −1 (U ) = ∅ est aussi
ouvert.
4. Soit T un ensemble non-vide et T = 2T la topologie discrète. Soit
(S, S ) un espace topologique quelconque. Toutes applications f de T
à S sont continues, puisque f −1 (U ) ∈ T quel que soit U ⊂ S.
5. Soit T un ensemble non-vide et T = {T, ∅} la topologie indiscrète.
Si une application f : T → R n’est pas constante alors ce n’est pas
continue. Pour le démontrer, soit x1 , x2 ∈ T tel que f (x1 ) (= f (x2 ).
Il y a un ouvert U ⊂ R tel que f (x1 ) ∈ U , mais f (x2 ) (= U ; par
exemple, soit r = d(f (x1 ), f (x2 )) et prenez U = B(f (x1 ), r). Maintenant, f −1 (U ) (= ∅, puisque x1 ∈ U , et f −1 (U ) (= T puisque x2 ∈
/
−1
−1
f (U ). Donc f (U ) ∈
/T.
Alors, les seules fonctions continues d’un espace indiscret à R sont les
constantes. C’est pour cette raison que l’on a dit que cette topologie
n’est pas spécialement intéressante.
6. Soit TZ la topologie de Zariski sur R comme décrite plus haut et soit
f : R → R. On creusera la situation quand f est continue comme application (R, TZ ) → (R, TZ ).
Lemme 3.8. Une application non-constante f : (R, TZ ) → (R, TZ )
est continue si est seulement si pour tous les points y ∈ R, l’équation
f (x) = y pour x a un nombre fini de solutions.
Démonstration. Considérez premièrement le cas ou f est non-constante
et continue. Soit Uy = R \ {y} pour y ∈ R. Uy est ouvert dans la
topologie de Zariski, donc f −1 (Uy ) est aussi ouvert. Puisque f n’est
pas constante, f −1 (Uy ) (= ∅, alors R \ f −1 (Uy ) est fini. Par definition,
R \ f −1 (Uy ) = {x ∈ R : f (x) ∈
/ Uy },
= {x ∈ R : f (x) = y}.
Alors, si f est continue et non-constante, on voit que pour tous les
points y ∈ R, l’équation f (x) = y pour x a un nombre fini de solutions.
18
Maintenant, on suppose que f : R → R est tel que pour tous les points
y ∈ R, l’équation f (x) = y pour x a un nombre fini de solutions. On
démontrera que f est continue comme application (R, TZ ) → (R, TZ ).
Soit U ∈ TZ tel que R \ U = {y1 , . . . yn }. Alors,
R \ f −1 (U ) = {x ∈ R : f (x) ∈
/ U}
= {x ∈ R : f (x) = y1 } ∪ · · · ∪ {x ∈ R : f (x) = yn }
Par l’hypothèse, chaque ensemble {x ∈ R : f (x) = yj } est fini, alors
R \ f −1 (U ) est fini et donc f −1 (U ) est ouvert.
Le seul ouvert de TZ qui reste est ∅, mais f −1 (∅) = ∅. Alors, f −1 (U )
est ouvert pour tous les ouverts U et donc f est continue.
On voit que les polynômes f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 sont continue
par rapport de la topologie de Zariski, pendant que les fonctions comme
sin x ne sont pas. C’est pour cette raison que la topologie de Zariski
est bien adaptée à l’étude des polynômes.
7. Soit T un espace topologique et A ⊂ T un sous-espace de T . (Rappelezvous que comme topologie sur A, on prend la topologie induite de Définition 3.5.) Le plongement ι : A → T est continue. Pour le démontrer,
soit U ⊂ T ouvert. L’image inverse ι−1 (U ) n’est rien que A ∩ U qui est
ouvert dans A par la définition de la topologie induite.
L’étude d’espaces topologiques sans des conditions additionnelles n’est
pas facile, puisque la définition est très abstraite et donc admit beaucoup
d’exemples étrange (voyez par exemple la topologie indiscrète). Dans la généralité totale, on ne donnera qu’un seul résultat, disant que la composition
d’applications continues est elle-même continue.
Lemme 3.9. Soit f : T1 → T2 et g : T2 → T3 applications continues entre
des espaces topologiques. Alors la composition g ◦ f est aussi continue.
Démonstration. Soit U ⊂ T3 ouvert. Il faut démontrer que (g ◦f )−1 (U ) ⊂ T1
est ouvert. Mais
(g ◦ f )−1 (U ) = {x ∈ T1 : g(f (x)) ∈ U }
= {x ∈ T1 : f (x) ∈ g−1 (U )}
= f −1 (g−1 (U ))
Par la continuité de g, g−1 (U ) ⊂ T2 est ouvert et maintenant la continuité
de f nous donne que f −1 (g−1 (U )) est ouvert, comme requis.
19
3.3
Homéomorphisms
Les espaces topologiues sont tellement nombreux qu’une classification
totale est impossible. Par contre, la classification des espaces qui satisfont
certaines conditions est parfois possible. Un exemple est la classification des
surfaces, donné dans la deuxième partie de ce cours. Avant de pouvoir classifier des espaces, par contre, c’est nécessaire de décider quand deux espace
sont “les mêmes”. Par exemple, dans la théorie des groupes, on dit que deux
groupes sont “les mêmes” s’il y a un isomorphism entre eux. Les applications
qui jouent le rôle des isomorphisms dans topologie sont les homéomorphisms.
Définition 3.10. Soit T, S deux espaces topologiques et f : T → S une application entre eux. f est dite un homéomorphism si elle est bijective, elle
est continue et son inverse f −1 est aussi continue. S’il existe un homéomorphism de T à S, on dit que T et S sont homéomorphes. On écrit T ∼
= S. Etre
homeomorphes est une relation d’équivalence.
Exemples 3.11.
1. Deux intervals ouverts (a, b), (c, d) ⊂ R sont homéomorphes. Par exemple, la fonction f : (a, b) → (c, d) donnée par
f (x) = c +
(x − a)(d − c)
b−a
est un homéomorphism comme peut être vérifié par le lecteur.
2. (a, b) et R sont homéomorphes. Par l’exemple précédant il suffit de
vérifier que (−1, 1) et R sont homéomorphes. La fonction f : (−1, 1) →
R donnée par
x
f (x) =
1 − |x|
est un homéomorphism.
Exemple 3.12. [a, b) et (c, d) ne sont pas homéomorphes. L’idée de l’argument est simple, mais c’est un peu plus compliqué de le faire rigoureusement.
On raisonne par l’absurde : soit f : [a, b) → (c, d) un homéomorphism et on
trouvera une contradiction. Soit f (a) = ξ. Alors, la restriction de f à (a, b)
est un homéomorphism entre (a, b) et (c, d)\{ξ}. Mais, puisque c < ξ < d, on
voit que ξ doit être à l’intérieur de (c, d) et (c, d) \ {ξ} tombe dans deux morceaux. De l’autre coté, (a, b) est composé d’une seule pièce. Intuitivement,
c’est évident que les deux ne peut pas être homéomorphes.
Pour une démonstration rigoureuse que l’on a trouvé une contradiction,
on utilise le Théorème de la Valeur Intermédiaire. Soit f : (c, d) → R donné
par
'
1 si x ≤ ξ,
f (x) =
0 si x > ξ.
20
La fonction f n’est pas continue au point ξ, mais c’est bien continue sur
(c, d) \ {ξ}. On a posé qu’il y a un homéomorphism φ : (a, b) → (c, d) \ {ξ}.
Alors, la fonction f ◦ φ : (a, b) → R est continue. Puisque φ est surjective,
f ◦ φ prend les valeur 0 et 1 quelque part, mais jamais les valeurs intermédiaires, ce qui nous donne une contradiction avec le Théorème de la Valeur
Intermédiaire.
3.4
Espaces connexes
Pour dire formellement que (c, d) \ {ξ} a deux morceaux séparés, on a
utilisé une fonction qui était continue, qui prenait ses valeurs dans {0, 1} et
qui était surjective. N’importe quel espace topologique qui admit une telle
fonction f est composé des morceaux “séparés” dans deux collections : eux
où f prend la valeur 0 et eux où f prend la valeur 1.
Définition 3.13. Un espace topologique T est dit nonconnexe s’il admit une
application f : T → {0, 1} qui est continue et surjective. T est dit connexe si
une telle application n’existe pas. (On utilise la topologie discrète sur {0, 1}
ou, la topologie induite par {0, 1} ⊂ R, qui est la même chose.)
Exemple 3.14. L’interval (a, b) est connexe parce que si une fonction continue (a, b) → R prend les valeurs 0 et 1 elle doit prendre aussi la valeur 1/2
(par le Théorème de la Valeur Intermédiaire).
Le démonstration que [a, b) et (c, d) ne sont pas homéomorphes était basé
sur deux faits : premièrement, que l’interval (a, b) est connexe et deuxièmement, le résultat suivant qui dit que l’image continue d’un espace connexe
est forcement connexe.
Lemme 3.15. Soit φ : T → S une application continue et surjectif. Si T est
connexe, alors S est connexe.
Démonstration. On pose que S est nonconnexe. Alors, il existe une fonction
f : S → {0, 1} continue et surjective. Or, la fonction f ◦ φ : T → {0, 1}
est continue et, puisque φ est surjective, f ◦ φ est aussi surjective. Donc T
est nonconnexe. Autrement dit, si T est connexe, S est forcement connexe
aussi.
On peut utiliser un argument pareil pour démontrer qu’il n y a pas de
homéomorphism entre R2 et R. Si φ : R2 → R était un homéomorphism, on
aurait un homéomorphism entre un espace R2 \ {0} qui est connexe et un
espace R \ {f (0)} qui est nonconnexe.
Pour démontrer formellement que R2 \ {0} et connexe, trouvez d’abord
pour chaque couple de points x, y ∈ R2 \ {0} un “chemin” continue entre
eux, c’est à dire un application continue γ : [0, 1] → R2 \ {0} tel que γ(0) =
x et γ(1) = y. Etant donné qu’un tel chemin existe (l’existence est laissé
21
comme un exercice), pour une application continue f : R2 \ {0} → {0, 1},
la composition f ◦ γ est une application continue [0, 1] → {0, 1}. Par le
Théorème de la Valeur Intermédiaire, elle doit être constante. Puisque x, y
étaient points arbitraires on voit que f est constante et, donc, que R2 \ {0}
est connexe.
Cette idée pour démontrer qu’un espace est connexe s’applique aux autres
espaces.
Définition 3.16. Soit T un esapce topologique. T est dit connexe par arc
si pour tous couples de points x, y ∈ T il existe un application continue
γ : [0, 1] → T avec γ(0) = x et γ(1) = y. γ est dit un arc entre x et y
R2
Pour démontrer le résultat suivant, on suit l’argument plus haut que
\ {0} est connecté.
Lemme 3.17. Un espace connexe par arc est aussi connexe dans le sens de
Définition 3.13.
Il y a d’espaces connexe qui ne sont pas connexe par arc. Un exemple est
donné dans les exercices.
Il y a une autre formulation équivalente du concept de connexité, donné
par le résultat suivant.
Lemme 3.18. Un espace T est nonconnexe si et seulement s’il existe deux
ouvert U, V qui sont disjoints, non-vides et tel que T = U ∪ V .
Démonstration. Supposant que deux tels ouvert existent, on définit une fonction f : T → {0, 1} par f (x) = 1 si x ∈ U et f (x) = 0 si x ∈ V . f est surjective parce que ni U ni V n’est vide. f est continue parce que f −1 ({0, 1}) = T ,
f −1 (∅) = ∅, f −1 (1) = U et f −1 (0) = V sont tous ouvert. Il n’y a plus d’ouvert à vérifier.
Pour le converse, on suppose que T est nonconnexe. Soit f : T → {0, 1}
une fonction continue et surjective. On prend U = f −1 (1) et V = f −1 (0).
On termine cette section avec une petite digression : c’est aussi vrai
qu’il n y a pas de homéomorphism entre Rn et Rm quand n (= m, mais
quand n, m > 1 la démonstration est trop difficile de donner ici. Quand on
enlève un point de Rn , pour n > 1 ce qui reste est encore connexe. Il faut
une technique pour reconnaître les “trous”, juste comme on a reconnu les
deux morceaux de (c, d) \ {ξ} en utilisant φ et le Théorème de la Valeur
Intermédiaire. La résolution de ce problème par Brouwer dans les années
10 — dit l’invariance du domaine Check your history here ! — était un
des premières réussites de la topologie algébrique. Vous pouvez l’apprendre
pendant le cours “Topologie Algébrique” dans le premier cycle du masters.
22
3.5
Bases
Lemme 3.19. Dans un espace métrique, tous les ouverts peut être écrits
comme l’union de boules ouvertes.
Démonstration. Soit U un ouvert dans un espace métrique. Alors, pour
chaque point x ∈ U , (
il existe une boule(ouverte Bx tel que x ∈ Bx et
Bx ⊂( U . Donc U ⊂ x∈U Bx et, aussi, x∈U Bx ⊂ U . C’est à dire que
U = Bx est bien l’union de boules ouvertes.
On a déjà vu que c’est parfois utile de travailler avec les boules ouvertes
directement et pas avec les ouverts quelconques. On voudrait avoir aussi la
même option avec un espace topologique. Pour ça, on a besoin de la définition
suivante.
Définition 3.20. Soit (T, T ) un espace topologique. Un sous-ensemble B ⊂
T est dit une base pour T si tous les éléments de T sont l’union d’éléments
de B.
Un usage d’une base est de réduire le travail nécessaire pour démontrer
qu’une fonction est continue.
Lemme 3.21. Soit f : T → S une application entre deux espaces topologique
et soit B une base pour la topologie de S. Alors, f est continue si f −1 (U )
est ouvert pour tous les ouvert U ∈ B.
Démonstration. Soit V un ouvert de S quelconque. Puisque
( B est une base,
il y ades ouverts Ui ∈ B indexés par i ∈ I tel que V = I Ui . Maintenant,
*
,
+
+
Ui =
f −1 (Ui )
f −1 (V ) = f −1
I
I
qui est l’union d’ouverts, pusique f −1 (Ui ) est ouvert pour chaque i ∈ I.
Alors, f −1 (V ) est ouvert et f est continue comme requis.
Ce résultat suggère que les bases les plus utiles — au moins pour verifier
si une fonction donnée est continue — sont eux qui sont aussi petites que
possible.
Exemples 3.22.
1. Soit X un espace métrique. Lemme 3.19 dit que B = {B(x; r) : x ∈
X, r > 0} est une base pour la topologie de X.
2. Pour R la base donné par toutes les boules ouvertes est une collection
non-comptable. C’est possible, parcontre, de trouver une base qui est
comptable. C’est un exercice pour le lecteur de démontrer que B =
{B(x; r) : x ∈ Q, r ∈ Q, r > 0} est une base comptable pour la
topologie de R. (Si vous n’avez pas encore rencontré la définition d’un
ensemble comptable, ce n’est pas un problème ; on ne l’utilisera pas
dans ce qui suit.)
23
Un autre usage d’une base est pour définir une topologie. Autrement dit,
on commence avec un ensemble T et une collection B de sous-ensembles de
T et on se demande s’il y a une topologie sur T pour laquelle B est une
base. La définition suivante donne des conditions ou une telle construction
marche bien.
Définition 3.23. Soit T un ensemble non-vide. Une collection B de sousensembles de T est dite une base synthétique si les conditions suivantes sont
satisfaites :
B1 T est l’union d’éléments de B.
B2 Si B1 , B2 ∈ B, alors B1 ∩ B2 est l’union d’éléments de B.
Lemme 3.24. Soit T un ensemble non-vide et B une base synthétique pour
T . Alors, la collection
T = {U ⊂ T : U est l’union d’éléments de B}
est une topologie pour T avec B comme base.
Démonstration. Pour démontrer T1, on a que T ∈ T par B1. Pour ∅, on
comprend dans la définition de T que l’union d’aucun élément de B est
permis. Ça donne ∅.
(
(
Pour démontrer T2, soit U = I Bi et V = Bj deux éléments de T ,
avec tous les Bi , Bj ∈ B. Alors,
+
U ∩V =
(Bi ∩ Bj )
i∈I, j∈J
C’est l’union d’éléments de B par B2 et donc aussi un élément de B.
Finalement, T3 est evident.
3.6
Espaces produits
Soit (T1 , T1 ), (T2 , T2 ) deux espaces topologiues. Dans cette section on
donnera une topologie sur le produit T1 × T2 . Premièrement, par contre, une
petite digression va assister la bonne compréhension de la définition, quand
elle arrive.
On écrit les projections sur les facteurs comme π1 : T1 × T2 → T1 et
π2 : T1 ×T2 → T2 . C’est souhaitable qu’une topologie sur T1 ×T2 soit telle que
les projections soient continues. C’est certainement le cas pour les produits
d’espaces métriques.
Imaginez pour un instant que l’on a bien défini une telle topologie T
sur T1 × T2 . Puisque U1 ⊂ T1 est ouvert, alors U1 × T2 = π1−1 (U1 ) est dans
24
T . Egalement, si U2 ⊂ T2 est ouvert, alors T1 × U2 = π2−1 (U2 ) est dans T .
Maintenant on a, par T2, que U1 × U2 = (T1 × U2 ) ∩ (U1 × T2 ) doit être
dans T .
Alors, si on veut que les projections soient continues, il faut que T
contienne tous les sous-ensemble de la forme U1 × U2 pour Ui ⊂ Ti ouvert, et, par T3 tous les unions de tels sous-ensembles. La conclusion est que
c’est une bonne idée d’utiliser la collection {U1 × U2 : U1 ∈ T1 , U2 ∈ T2 }
pour construire une topologie sur T1 × T2 .
Pour le résultat suivant, rappelez-vous qu’une base sythétique était défini
dans Définition 3.23.
Proposition 3.25. Soit (T, T1 ), (T2 , T2 ) deux espace topologique. Alors, la
collection
B = {U1 × U2 : U1 ∈ T1 , U2 ∈ T2 }
est une base sythétique.
Démonstration. Par T1, T1 ∈ T1 et T2 ∈ T2 , alors T1 ×T2 ∈ B, qui démontre
B1.
Pour démontrer B2, soit B = U1 × U2 et B $ = U1$ × U2 deux éléments de
B. Leur intersection est
B ∩ B $ = (U1 × U2 ) ∩ (U1$ × U2$ ) = (U1 ∩ U1$ ) × (U2 ∩ U2$ )
Par T2 on a que Uj ∩ Uj$ ∈ Tj pour j = 1, 2. Donc B ∩ B $ ∈ B.
Définition 3.26 (Topologie d’un produit). Soit (T1 , T1 ), (T2 , T2 ) deux espaces topologiques. La topologie défini par la base sythétique de Proposition
3.25 est dite la topologie produite.
Un mot d’avertissement : une erreur fréquemment faite est de penser que
tous les ouverts de T1 × T2 sont de la forme U1 × U2 pour Uj ∈ Tj . Il faut se
souvenir que tels ouverts ne sont qu’une base pour la topologie du produit.
Par exemple, la boule ouverte B(0; 1) ⊂ R2 n’est pas de la forme U1 × U2
pour ouverts U1 , U2 ⊂ R. Est-ce que vous pouvez voir pour quoi pas ?
On termine la discussion de produits avec une description de toutes les
applications continues d’un espace quelconque à un produit. Premièrement,
on énonce formellement que les projections sont continues.
Lemme 3.27. Les projections π1 : T1 × T2 → T1 et π2 : T1 × T2 → T2 sont
continues.
Démonstration. Celui suit de la définition. Si U1 ⊂ T1 est ouvert, alors
π1−1 (U1 × T2 ) est un des éléments d’une base pour la topologie produite
et donc forcement ouvert. Pareillement pour π2 .
25
Lemme 3.28. Soit f : S → T1 × T2 une application d’un espace topologique
quelconque. Alors, f est continue si est seulement si π1 ◦ f et π2 ◦ f sont
continue.
Démonstration. Si f est continue, alors π1 ◦f et π2 ◦f sont continues puisque
chacun et la composition de fonctions continues.
Pour la direction inverse, on pose que π1 ◦ f et π2 ◦ f sont continue. Soit
U1 ⊂ T1 et U2 ⊂ T2 sous-ensembles quelconque. Alors,
f −1 (U1 × U2 ) = f −1 ((U1 × T2 ) ∩ (T1 × U2 ))
= f −1 (U1 × T2 ) ∩ f −1 (T1 × U2 )
= f −1 (π1−1 (U1 )) ∩ f −1 (π2−1 (U2 ))
= (π1 ◦ f )−1 (U1 ) ∩ (π2 ◦ f )−1 (U2 )
Si U1 , U2 sont ouvert, alors, par la continuité de π1 ◦f et π2 ◦f , on obtient que
(π1 ◦ f )−1 (U1 ) et (π2 ◦ f )−1 (U2 ) sont ouverts. Donc, par l’égalité d’ensembles
plus haut, on voit que f −1 (U1 × U2 ) est l’intersection d’ouverts et alors est
lui-même ouvert.
On a verifié que f −1 (V ) est ouvert pour tous les éléments d’une base pour
la topologie de T1 × T2 . Or, Lemme 3.21 nous donne que f est continue.
3.7
Espaces quotients
Cette section décrira comment construire nouvels espaces topologiques
“en collant” des autres espaces. Un exemple simple est le cylindre que l’on
peut fabriquer en collant deux arrêts d’une feuille de papier. Pour un exemple
un peu plus compliqué, on ne colle pas les arrêts directement, mais tel que
le papier est tordu de 180 dégrées. Dans cette manière on obtient un espace
qui s’appelle la bande de Möbius. En revenant au cylindre, on peut coller les
deux bouts pour construire un tore.
Pour décrire tels collants mathématiquement, on utilisera le langage de
relations d’équivalence. Pour coller deux morceaux d’un espace, on défini
une relation d’équivalence tel que chaque point d’un morceau est équivalent
au point de l’autre morceau auquel il est collé. Pour les exemple de haut,
on représente le papier par l’espace P = [−1, 1] × [−1, 1]. Pour obtenir le
cylindre, on utilise la relation d’équivalence suivante :
'
soit y, y $ = ±1 et x = x$ ,
$ $
(x, y) ∼ (x , y ) ⇐⇒
soit (x, y) = (x$ , y $ ).
C’est à dire que les seules points qui sont collés sont eux du type (x, ±1) et, en
plus (x, 1) est collé à (x, −1). Intuitivement, l’espace des classes d’équivalence
est le cylindre.
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