Texte

Transcription des notes de C. Carathéodory
sur la Note de Nicolas Bourbaki
N. Lygeros
Théorie de la mesure Sur un théorème de Carathéodory et la
mesure dans les espaces topologiques. Note de M. Nicolas Bourbaki
présentée par M. Elie Cartan. ( C. R. Séance du 18 novembre 1935
T.201 p.1309 )
La théorie moderne de la mesure et de l’intégration (voir p. ex.
S. Saks
Théorie de l’Intégrale 1933. Cf. de Possel C.R. du Séminaire
mathém. de M. Julia 2, 1934-1935 p 1-19. et C.R. T.201 p.579.)
conduit à donner le nom de mesure
dans un ensemble quelconque
(qui prend alors le nom d’espace mesuré) à toute fonction d’ensemble
µE satisfaisant aux axiomes suivants :
I.
A tout ensemble E de points de l’Espace correspond un nombre
µE tel que 0   E  
; si E est vide
µ E = 0.
II.
Si E est contenu dans la réunion d’ensemble Eν en nombre
fini ou dénombrable, on a
 E    Ev
v
Nous dirons qu’un ensemble E possède la propriété de Carathéodory
si l’on a, quelque soient A  E et B  E c ;
  A  B   A  B ;
et qu’une fonction f(x) a valeurs réelles, définie dans tout
l’espace, possède la propriété de Carathéodory si l’ensemble des points
ou f ( x)  
possède la propriété de Carathéodory quel que soit α, ou
autrement dit, si l’on a
 A  B   A  B
chaque fois qu’il existe α tel que f ( x)   sur A et f ( x)   sur B.
Ces définitions étant posées, je me propose de démontrer le
théorème suivant :
Pour que la fonction f(x) possède la propriété de Carathéodory, dans
un espace mesuré quelconque, il faut et il suffit que l’on ait
 A  B   A  B .
pour tout couple d’ensembles A,B tel que la borne inférieure
de f sur A soit plus grande que la borne supérieure de f sur B.
[ Suit la démonstration du théorème ]
Voyez au verso
_______________________________________________________
Si maintenant nous appliquons ce théorème à l’ensemble des
fonctions continues dans un ensemble topologique quelconque, nous
obtenons le théorème suivant :
Une mesure µE étant donnée dans un espace topologique, la condition
nécessaire et suffisante pour que toutes les fonctions continues possèdent la
propriété de Carathéodory est que l’on ait
 A  B   A  B
chaque fois qu’il existe une fonction continue prenant la valeur 1 sur A
et la valeur 0 sur B.
D’ailleurs on sait que dans un espace normal une telle fonction
continue existe lorsque A  B  0 et dans ce cas seulement ; si par exemple
il s’agit d’un espace métrique, on obtient l’énoncé sous la forme suivante,
qui, pour les espaces euclidiens, a déjà été donnée par Carathéodory
µE étant donnée, dans un espace métrique, la condition nécessaire et
suffisante pour que toutes les fonctions continues possèdent la propriété
de Carathéodory est que l’on ait
 A  B   A  B
pour tout couple d’ensembles A,B à distance positive l’un de l’autre .
Et d’ailleurs la démonstration ci-dessus n’est que la traduction,
en termes abstraits, de celle même de Carathéodory.