QCM1

Licence 3 — Mathématiques
2012–2013
Topologie Générale
Contrôle du lundi 01/10/2012 (durée : 30 minutes)
Les documents et téléphones portables ne sont pas autorisés.
Exercice 1
Question de cours
Soit (𝑋, 𝑑) un espace métrique. On rappelle qu’une partie de 𝑋 est ouverte si et seulement si
elle est un voisinage de chacun de ses points . En s’appuyant sur cette propriété, redémontrer
le résultat suivant vu en cours : la boule fermée B(𝑥, 𝑟] de centre 𝑥 ∈ 𝑋 et de rayon 𝑟 > 0 est une
partie fermée pour la topologie définie par 𝑑.
Exercice 2
QCM
Répondre aux affirmations suivantes en barrant les réponses erronées (il ne vous est pas
demandé de justifier votre réponse).
Dans un espace topologique (𝑋, T ), il existe toujours une partie de 𝑋 qui est ouverte et fermée.
Réponses possibles:
a
b
oui
non
Dans un espace topologique (𝑋, T ), une intersection quelconque de parties ouvertes est toujours
une partie ouverte.
Réponses possibles:
a
b
oui
non
Soient 𝑎, 𝑏 ∈ R des réels tels que 𝑎 < 𝑏. Dans R muni de la distance définie par la valeur absolue,
un intervalle de la forme ]𝑎, 𝑏] est une partie fermée.
Réponses possibles:
a
b
c
oui
non c’est une partie ouverte
non c’est une partie qui n’est ni ouverte ni fermée
Soit 𝑋 un ensemble fini non vide muni d’une topologie T . On note O l’ensemble des parties
ouvertes de 𝑋 et F l’ensemble des parties fermées de 𝑋. Alors #O = #F où #𝐴 désigne le
cardinal d’un ensemble fini 𝐴.
Réponses possibles:
a
b
oui
non
Soient (𝑋, 𝑑) un espace métrique, 𝐴 une partie de 𝑋, 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑟 > 0 tels que la boule fermée
˚
B(𝑥, 𝑟] soit contenue dans 𝐴. On a alors B(𝑥, 𝑟] ⊂ 𝐴.
Réponses possibles:
a
b
c
oui
˚
non mais la boule ouverte B(𝑥, 𝑟[ est contenue dans 𝐴
˚
non car la boule ouverte B(𝑥, 𝑟[ n’est pas contenue dans 𝐴
Soient (𝑋, 𝑑) un espace métrique et 𝐴 une partie non vide de 𝑋. Si 𝑑(𝑥, 𝐴) = 0, alors 𝑥 appartient
à 𝐴.
Réponses possibles:
a
b
oui
non
On munit Q de la topologie induite par la valeur absolue. L’ensemble [𝜋, +∞[ est
Réponses possibles:
a
b
c
un ouvert
un fermé
ni ouvert ni fermé
Soit (𝑋, 𝑑) un espace métrique et 𝐴 une partie de 𝑋. Si 𝐴 est ouvert dans 𝑋, alors 𝑋 ∖ Fr(𝐴) est
dense dans 𝑋.
Réponses possibles:
a
b
oui
non