LOGIQUE I. L`implication Exercice 1

LOGIQUE
I.
L’implication
Exercice 1 :
Une réunion de grands chefs cuisiniers du monde entier a lieu à Paris. Les chefs américains
portent tous une chemise rouge.
1) À l’aéroport on voit quelqu'un qui porte une chemise blanche. Est-il un chef américain?
2) Assis sur sa valise, on voit quelqu'un qui porte une chemise verte. Est-il Américain ?
3) À côté de la personne précédente, on voit quelqu'un qui porte une chemise rouge. Est-il
un chef américain?
4) Le haut-parleur annonce l'arrivée d'un chef russe. Porte-t-il une chemise rouge ?
5) Dans le hall, on voit un chef américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise
rouge ?
Dans cet exercice, la phrase d’introduction aurait pu s’écrire :
« Si un chef est américain alors il porte une chemise rouge »
Cette structure met en relief le fait que la proposition « un chef est américain » (Notons la A) est la cause et
la proposition « il porte une chemise rouge » (Notons la B) est la conséquence.
En mathématiques on dira que la proposition A implique la proposition B ce qui se note
.
Attention, si un chef a une chemise rouge, rien ne dit qu’il est américain.
Mathématiquement, si
, on n’a pas nécessairement
.
Par contre on peut être certain que si un chef n’a pas de chemise rouge, alors il n’est pas américain.
Mathématiquement, si
alors nécessairement
.
En mathématiques, tenir un raisonnement logique en vue de démontrer une propriété consiste donc (la
plupart du temps) à partir d’une proposition A dont on sait qu’elle est vrai et par une suite d’implication
arriver à une proposition B qui sera alors nécessairement vraie.
Exercice 2 :
« On considère un triangle ABC isocèle en A. On construit D le symétrique de B par rapport à A et E
est le symétrique de C par rapport à A. Montrer que BCDE est un rectangle. »
Compléter la démonstration proposée à l’aide des conjonctions de coordination «donc », « car »
et « or », puis réécrire cette démonstration de façon à ce que la « cause » soit dans tous les cas
placée avant la « conséquence ».
Démonstration
Le point D est le symétrique du point B par rapport à A ……… A est le milieu de [BD].
De même, A est le milieu de [CE] ……… E est le symétrique de C par rapport à A.
………… on sait qu’un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un
parallélogramme ….…….. le quadrilatère BCDE est un parallélogramme.
De plus, le triangle ABC est isocèle en A ……… AB = AC. ……… BD = 2AB et CE = 2AC ……… A est le
milieu des segments [BD] et [CE], ……….. on en déduit BD = CE.
Un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur est un rectangle, ……… BCDE est un
rectangle.
II.
Equivalence
Exercice 1 :
Chacune des situations ci-dessous admet deux propositions (A) et (B). Dans chaque cas,
déterminer si on a
, si on a
ou les deux à la fois.
1) (A) Les droites (d) et (d’) sont sécantes
(B) Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires.
2) (A) Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AC]
(B) Le triangle ABC est rectangle en B.
3) (A) Le triangle ABC est rectangle
(B) Le triangle ABC est inscriptible dans un demi-cercle
4) (A) Dans le triangle ABC, la médiane et la hauteur issues de A sont confondues.
(B) Le triangle ABC est isocèle en A.
5) (A) Dans le triangle ABC, la droite (d) passe par les milieux de [AB] et [AC].
(B) La droite (d) est parallèle à la droite (BC).
6) (A) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
(B) Le quadrilatère ABCD est un rectangle.
7) (A) Le nombre réel x est positif.
(B) Le nombre réel est plus grand que 2.
8) (A) Le quadrilatère ABCD est un losange.
(B) Le parallélogramme ABCD a ses diagonales perpendiculaires.
En mathématiques, lorsqu’on a deux propositions A et B telles que
et
, on dit que ces
propositions sont équivalentes. On le note
.
Dans la rédaction, on utilise les formules « si et seulement si » ou « il faut et il suffit » suivant les
situations pour exprimer l’équivalence entre deux propositions.
Exemple :
• Le triangle ABC est rectangle en B si et seulement si
• Pour que le triangle ABC soit rectangle en B, il faut et il suffit que
Attention, si on n’utilise que la moitié des formules de langages ci-dessus pour une démonstration, il faut
l’utiliser à bon escient…
En effet :
« On a A si on a B » correspond à l’implication
« On a A seulement si on a B » correspond à l’implication
De même, on a :
« Pour avoir A, il faut avoir B » correspond à l’implication
« Pour avoir A il suffit d’avoir B » correspond à l’implication
Exercice 2 :
Dans chacune des situations de l’exercice précédent, écrire une phrase résumant l’implication ou
l’équivalence trouvée à l’aide des expressions « il faut », « il suffit » ou « il faut et il suffit ».
III.
La négation
Dans un certains nombre de situations, il est nécessaire de savoir « nier» une proposition (en donnant la
proposition contraire) dans le but de montrer qu’elle est fausse par exemple…
Attention, en mathématiques, nier une proposition A signifie donner la proposition qui est vraie lorsque
la proposition A est fausse. Cette nouvelle proposition se note (Non A).
Lorsque la proposition A est vraie, la proposition (Non A) est donc nécessairement fausse, et vice versa.
Exercice 1 :
Donner le contraire de chacune des propositions suivantes :
1) Tous les murs de la pièce sont blancs.
2) Tous les poissons savent nager.
3) Quel que soit le nombre réel positif, il est plus grand que 2.
2
4) Pour tout nombre x réel, on a x ≥ 0 .
2
5) Il existe un réel x vérifiant x − 5 ≥ 0 .
6) Le réel x appartient à [ −5;6] ∪ [10; +∞[ .
7) Ce gâteau est sucré et chaud.
8) Les élèves de ce lycée sont beaux ou intelligents.
On constate que pour nier les phrases commençant par « Tous », « Pour tout » ou «Quel que soit », il
faut commencer par « Il existe au moins ...».
(Phrase 1), 2), 3) et 4))
Par ailleurs, la négation de (A ou B) est ((Non A) et (Non B))
(phrase 6 et 8))
la négation de (A et B) est ((Non A) ou (Non B))
(phrase 7))
En mathématiques, lorsqu’on énonce une proposition, elle est « universelle », c'est-à-dire qu’elle concerne
tous les éléments du groupe sur lequel on travail.
Exemple :
• Pour tous les triangles rectangles, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des
deux autres cotés.
• Pour tous les parallélogrammes, les diagonales se coupent en leur milieu.
• Quel que soit le nombre réel positif, il est plus grand que 2.
Etc.
Donc pour montrer qu’une proposition est fausse, il suffit qu’il existe au moins une situation dans
laquelle elle est fausse. Il suffit donc de donner un contre exemple pour justifier sont désaccord…
Par exemple, la troisième proposition est fausse car 1 est à la fois positif et plus petit que 2.
Exercice 2 :
Toutes les propositions suivantes sont fausses. Prouvez-le !
1) Pour tout
, on a 3
1 0.
2) Tous les multiples de 3 sont impairs.
3) Tous les nombres premiers sont impairs.
4) Si deux nombres ne sont pas premiers entre eux, alors l’un des deux divise l’autre.
5) Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
6) Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur alors c’est un rectangle.
IV.
Pour se détendre
Cinq petits exercices de logiques pour se faire plaisir…
Exercice 1 :
Un pâtissier commande des bonbons bleus et rouges.
La commande arrive au magasin dans 3 caisses étiquetées « BLEUS » ; « ROUGES » et « BLEUS et
ROUGES ».
Toutefois le livreur précise que suite à une erreur, les 3 caisses ont toutes mal été étiquetées.
Expliquer comment ré-étiqueter correctement les 3 caisses en ne tirant qu’un seul et unique
bonbon dans une des caisses.
Exercice 2 :
Dans la forêt, Alice a deux compagnons : un lion qui ne ment que les lundis, mardis et mercredis
et une licorne, qui ne ment que les jeudis, vendredis et samedis.
Un jour, le lion dit a Alice : "Hier, c'était un de mes jours de mensonges". La licorne dit alors: "
Moi aussi, hier c'était un de mes jours de mensonges.
De quel jour de la semaine s'agit-il? Justifier
Exercice 3 :
On dispose de 9 billes identiques toutes de même poids sauf une légèrement plus lourde. Il est
évidemment impossible de déterminer « à la main » celle qui est plus lourde.
On dispose d’une balance de Roberval (une balance avec deux plateaux). Comment peut-on
déterminer la bille plus lourde en seulement deux pesés ?
Exercice 4 :
Un émir collecte les impôts auprès de ses 10 gouverneurs de province. Chacun d’eux arrive avec
10 lingots d’or pesant 1 kg chacun.
L’émir sait que l’un de ses gouverneurs lui vole un gramme d’or par lingot sans que cela ne
puisse se voir à l’œil nu.
Comment peut-il retrouver le voleur en une seule pesée ?
Exercice 5 :
Trois personnes se trouvent en file indienne de telle façon que le premier ne voit pas les deux
qui sont derrière lui, le deuxième ne voit que celui qui se trouve devant lui et le troisième voit les
deux qui le précèdent.
Un chapelier possédant trois chapeaux blancs et deux chapeaux noirs place un chapeau sur la
tête de chacune des trois têtes sans que le porteur du chapeau ne puisse en voir la couleur.
On pose à chacun la question de savoir s’il peut deviner la couleur du chapeau qu’il a sur la tête
en commençant par celui qui se trouve en queue de file.
Le premier dit qu’il ne peut pas savoir.
Le deuxième, ayant entendu la réponse du premier dit qu’il ne peut pas savoir.
Le troisième enfin ayant entendu les deux réponses précédentes annonce la couleur du chapeau
qu’il porte sur la tête.
Quel raisonnement la troisième personne a-t-elle fait pour déterminer la couleur du chapeau
qu’il porte. Quelle est cette couleur ?