Justifier

Justifier
1) Comment justifier que
a) un quadrilatère est un parallélogramme,
b) un quadrilatère est un rectangle,
c) un quadrilatère est un losange,
d) un quadrilatère est un carré,
e) un quadrilatère est un cerf-volant,
f) un triangle est isocèle,
g) un triangle est équilatéral ?
2) Comment déceler des transformations dans une figure ?
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6
7-8
3) Comment justifier que
a) deux droites sont perpendiculaires,
b) deux droites sont parallèles,
c) trois droites sont concourantes,
d) trois points sont alignés ?
9
10
11
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4) Comment comparer
a) des longueurs,
b) des aires,
c) des amplitudes ?
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14
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5) Comment calculer
a) des longueurs,
b) des aires,
c) des amplitudes ?
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6) Comment justifier que des triangles sont isométriques ?
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7) Comment justifier que des triangles sont semblables ?
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1
Quadrilatères
Si je sais que
Le quadrilatère ABCD
Je déduis que
ce quadrilatère
1) a deux paires de côtés parallèles
est un parallélogramme
2) a ses diagonales qui ont le même milieu
est un parallélogramme
3) a deux côtés parallèles de même longueur
et est convexe
est un parallélogramme
4) a ses côtés opposés de même longueur
et est convexe
est un parallélogramme
5) a un centre de symétrie
(est invariant par rotation de 180°)
et est convexe
est un parallélogramme
2
Quadrilatères
Si je sais que
Je déduis que
Le quadrilatère ABCD
ce quadrilatère
1) a quatre angles droits
est un rectangle
2) est un parallélogramme
et
a un angle droit
est un rectangle
3) est un parallélogramme
et
a ses diagonales de même longueur
est un rectangle
4) a ses médianes comme axes de symétrie
(invariant par retournement autour de ses
médianes)
est un rectangle
3
Quadrilatères
Si je sais que
Je déduis que
Le quadrilatère ABCD
ce quadrilatère
1) a quatre côtés de même longueur
est un losange
2) est un parallélogramme
et
a deux côtés consécutifs de même longueur
est un losange
3) est un parallélogramme
et
a ses diagonales perpendiculaires
est un losange
4) a ses diagonales comme axes de symétrie
(invariant par retournement autour de ses
diagonales)
est un losange
5) est rectangle et losange
est un carré
6) est invariant par rotation de 90°
est un carré
4
B
C
A
A
C
= D
Quadrilatères
Si je sais que
Je déduis que
Le quadrilatère ABCD
ce quadrilatère
1) a une diagonale comme axe de symétrie
est un cerf-volant
2)
|AB| = |AD|
|BC| = |DC|
est un cerf-volant
3)
|AB| = |AD|
et
est un cerf-volant
4)
est un cerf-volant
5
Triangles
Si je sais que
Je déduis que
Le triangle ABC
ce triangle
1) a deux côtés de même longueur
est isocèle
2) a deux angles de même amplitude
est isocèle
3) a un axe de symétrie
est isocèle
4) A est sur la médiatrice de [BC]
est isocèle
5) a trois côtés de même longueur
est équilatéral
6) a trois angles de même amplitude
est équilatéral
7) a trois axes de symétries
est équilatéral
8) est isocèle et a un angle de 60°
est équilatéral
9) est invariant par rotation de 120°
est équilatéral
6
Déceler des transformations
Si je sais que la figure est
Je peux m'orienter vers
la symétrie de centre M
1) un parallélogramme
2) un rectangle
des translations de couples
(A,B) et (D,C)
(A,D) et (B,C)
et les réciproques
voir parallélogramme +
les symétries orthogonales d'axes
m1 et m2
3) un losange
voir parallélogramme +
des symétries orthogonales d'axes
d1 et d2
4) un carré
voir rectangle et losange +
des rotations de 90°
de centre M
de centre S
5) un trapèze isocèle
la symétrie orthogonale d'axe m
6) un cerf-volant
la symétrie orthogonale d'axe d
7
Déceler des transformations
Si je sais que la figure est
Je peux m'orienter vers
la symétrie orthogonale d'axe m
7) un triangle isocèle
la rotation de centre A
qui applique B sur C
et sa réciproque
trois symétries orthogonales
8) un triangle équilatéral
des rotations de centre G
et d'angle 120°
des rotations de centre S
et d'angle 60°
8
Droites perpendiculaires
Si je sais que
Je déduis que
1. une droite a est image de b par une rotation de 90°
a
2. a et b forment un angle de 90°
a
3. [AB] est diamètre d’un cercle et C un point de ce cercle
4. A est image de B par la symétrie d’axe x
5. Dans un triangle ABC, |AC|² = |AB|² + |BC|²
AC
⊥
⊥
⊥
AB
b
b
CB
⊥
x
AB BC
ABC est ⊥
un triangle
rectangle en B
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Droites parallèles
Si je sais que
Je déduis que
1. une droite a est image de b par une rotation
de 180° (un demi-tour, une symétrie centrale)
a // b
2. a
a // c
⊥
b et c
⊥
b
3. une droite a est image de b par une translation
a // b
4. les droites a et b forment avec c des alternes-internes
de même amplitude
a // b
5. les droites a et b forment avec c des correspondants
de même amplitude
a // b
6. ABC est un triangle
M est le milieu de [AB]
N est le milieu de [AC]
MN // BC
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Droites concourantes
Si je sais que
1. le point O est commun à deux médiatrices
d’un triangle ABC
2. le point I est commun à deux bissectrices
d’un triangle ABC
3. les droites sécantes a et b sont images par
une symétrie d’axe x
Je déduis que
O est sur la troisième
médiatrice du triangle
I est sur la troisième
bissectrice du triangle
a, b et x sont
concourantes
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Points alignés
Si je sais que
Je déduis que
1. AB // BC
A, B et C sont alignés
2. CÂB = 180° ( angle plat )
A, C et B sont alignés
3. les angles adjacents CÂB et BÂD sont
supplémentaires
C, A et D sont alignés
4. |AX| + |XB| = |AB|
A, X et B sont alignés
X est un point du segment AB
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|v=X
YZ
|=X
vYZ
Comparer des longueurs
Si je sais que
Je déduis que
1. [AB] est l’image de [CD] par une translation
2. [AB] est l’image de [CD] par une rotation
|AB| = |CD|
3. [AB] est l’image de [CD] par une symétrie orthogonale
4. [AB] est l’image de [CD] par une symétrie centrale
5. le triangle ABC est isocèle en A
|AB| = |AC|
6. ABCD est un parallélogramme
|AB| = |CD|
|AC| = |BD|
7. X est sur la médiatrice de [BC]
|XB| = |XC|
8. X est sur la bissectrice de CÂB
d( X, AC) = d(X, AB)
9. ABC est un triangle
|AB| < |AC| + |CB|
|AC| < |AB| + |BC|
|BC| < |AB| + |AC|
10. a // b // c // d
11. ABC et XYZ sont semblables
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Comparer des aires
Si je sais que
1. F et G sont images par une translation
une rotation
une symétrie orthogonale
une symétrie centrale
(F et G sont isométriques)
Je déduis que
F et G ont la même aire
2. F est à l’échelle n par rapport à G
(F et G sont semblables)
aire de F = n² . aire de G
3. F et G sont deux parallélogrammes
et ont même base et même hauteur
F et G ont la même aire
4. F et G sont deux triangles et ont
même base et même hauteur
F et G ont la même aire
5. F et G sont deux parallélogrammes
de même base et de hauteurs h1 et h2
de même hauteur et de bases b1 et b2
6. F et G sont deux triangles
de même base et de hauteurs h1 et h2
de même hauteur et de bases b1 et b2
14
CY
3B
43
2B
1
3
et
B
1
2
4
AB
tZ
C
eA
=
D
=
Comparer des amplitudes
Si je sais que
1. Â et Ô sont images par une translation
une rotation
une symétrie orthogonale
une symétrie centrale
Je déduis que
 et Ô ont même
amplitude
les correspondants sont
égaux
2. a et b sont parallèles
les alternes-internes
sont égaux
3. a et b sont parallèles
4. le triangle ABC est isocèle en A
5. ABCD est un parallélogramme
les angles opposés par le
sommet sont égaux
6. a et b sont deux droites sécantes
7. A,B,C,D sont des points d’un cercle
8. ABC et XYZ sont semblables
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Bn
C
Calculer des longueurs
Si je sais que
1. aire du carré ABCD est n
2. ABC est un triangle
M est le milieu de [BC]
N est le milieu de [AB]
3. ABCD est un trapèze (AB//CD)
M est le milieu de [AD]
N est le milieu de [BC]
4. ABC est un triangle rectangle en A
5. ABC est un triangle rectangle en A et M est
le milieu de l’hypoténuse [BC]
6. ABC est un triangle rectangle en A et H est
le pied de la hauteur sur [BC]
7.
a // b // c // d
8. ABC et XYZ sont semblables
9. ABC est un triangle rectangle en A
Je déduis que
|AB| =
|MN| = ½ |AC|
|MN| = ½ (|AB| + |CD|)
|BC|² =|AB|² + |AC|²
|AM| = |BM| = |MC| = ½|BC|
|BC| |AH| = |BA| |AC|
× = |BH| |HC|
×
|AH|²
|AB|² = |BC| × |BH|
|AC|² = |BC| × |CH|
×
u’ = k u
v’ = k × v
×
k est le coefficient de
projection
|AB| = k |XY|
|AC| = k × |XZ|
|BC| = k × |YZ|
×
|AB|=|BC| cos
|AB|=|BC| × sin
×
|AC|=|BC| cos
|AC|=|BC| × sin
×
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Calculer des aires
Si je sais que
Je déduis que
1. ABCD est un rectangle
aire ABCD = x y
2. ABCD est un parallélogramme
aire ABCD = x y
3. ABC est un triangle
aire ABC = ½ r s
=½ut
=½ xy
4. ABC est un triangle rectangle
aire ABC = ½ r s
=½xh
5. ABCD est un trapèze
aire ABCD = ½ (r + s) t
6. ABCD est un losange
aire ABCD = ½ r s
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B
C
e 90
180
,A
(-3
90
|AC
AB
tg
e(t t
A
)C
-+60
°D
=
°|B
Calculer des amplitudes
Si je sais que
1. Dans un triangle ABC, les angles
Je déduis que
sont connus
2. Dans un quadrilatère ABCD, les angles
3. Dans un triangle rectangle en A, l’angle
sont connus
est connu
4. Dans un triangle rectangle en A, les côtés sont connus
5. Dans un triangle ABC, |AC|² = |AB|² + |BC|²
ABC est un triangle
rectangle
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AZ
C
X
=
Triangles isométriques
Si je sais que
Je déduis que
1. |AB| = |XY|
|AC| = |XZ|
|BC| = |YZ|
2. |AB| = |XY|
|AC| = |XZ|
ABC et XYZ sont
isométriques
3. |AC| = |XZ|
19
BX
A
Y
=
Triangles semblables
Si je sais que
Je déduis que
1. |AB| = k |XY|
|AC| = k × |XZ|
|BC| = k × |YZ|
×
ABC et XYZ sont
semblables
2.
3. |AB| = k |XY|
|AC| = k × |XZ|
×
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