I Triangle rectangle et cercle circonscrit Théorème 1 : Si ABC est un

Triangle rectangle et cercle circonscrit
Théorème 1 : Si ABC est un triangle rectangle en A alors son cercle circonscrit a pour
diamètre son hypoténuse [BC]
Démonstration 1 : utilisation de la symétrie centrale, propriétés du rectangle.
(réinvestissement du programme de cinquième)
Soient O le milieu du segment
[BC] et A’ le symétrique de A
par rapport à O.
Le quadrilatère ABA’C a ses
diagonales qui se coupent en
leur
milieu.
C’est
un
parallélogramme.
Le
quadrilatère
ABA’C
possède un angle droit.
C’est un rectangle et
OA = OB = OC = OA’
car BC = AA’
Démonstration 2 : Utilisation des propriétés de la médiatrice d’un segment, angles alternes
internes et triangles isocèles.
La médiatrice de [AB] coupe [BC] en
O et [AB] en I.
OA = OB
(OI) // (AC) car (OI) et (AC) sont
perpendiculaires à (AB)
OAˆ C = IOˆ A comme angles alternes
internes,
IOˆ A = IOˆ B car (OI) est bissectrice
de AOˆ B ’
IOˆ A = ACˆ B
comme
angles
correspondants.
Le triangle OAC est isocèle en O et
OA = OC = OB.
Le cercle de centre O et de rayon OA est le cercle circonscrit au triangle ABC.
I
Démonstration 3 : Utilisation de la droite des milieux dans un triangle. Cette démonstration
ne repose pas sur l’acquis de cinquième mais sur celui de quatrième.
Si O est le milieu de [BC] les parallèles à
(AB) et (AC) passant par O coupent
respectivement (AC) et (AB) en J et I
milieux des segments [AC] et [AB]
OIAJ est un rectangle et
OA = IJ = BC/2
Le cercle de diamètre BC est bien le cercle
circonscrit au triangle ABC.
Théorème 2 : Si [BC] est un diamètre d’un cercle alors pour tout point A de ce cercle
distinct de B et de C, le triangle BAC est rectangle en A
Démonstration 1 : angles dans un triangle.
Posons x = BAˆ O et y = OAˆ C
Les triangles AOC et AOB sont
isocèles en O car OA=OB=OC = R
rayon du cercle.
AOˆ C = 2 x et AOˆ B = 2 y
On a
2x + 2y = 180° et x+y = 90°
Le triangle ABC est rectangle en A.
II
Démonstration 2 : Utilisation de la symétrie centrale
Soit D le symétrique de A
par rapport à O.
Le quadrilatère BACD a ses
diagonales qui se coupent
en leur milieu. C’est un
parallélogramme.
BC = AD = 2 OA
C’est donc un rectangle et
par conséquent BAC est un
triangle rectangle en A.
Démonstration 3 : Utilisation de la droite des milieux.
Si I désigne le milieu de
[AB], la droite (OI) est la
droite passant par les
milieux des côtés [BC] et
[AB] du triangle ABC. Elle
est donc parallèle à (AC).
OA = OB et IA = IB donc la
droite (OI) est la médiatrice
de [AB].
Elle est perpendiculaire à
(AB). Donc (AC), parallèle à
(OI), est perpendiculaire à
(AB) et le triangle ABC est
rectangle en A.
III