Corrigé du contrôle n˚3

2014-2015
Terminale 07-10 Spécialité
Corrigé du contrôle n˚3
Exercice 1
1. Si a divise 3n − 5 et 2n + 3, alors il divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres,
en particulier, a divise −2(3n − 5) + 3(2n + 3) = 19.
2. La réciproque est fausse.
Si a = 19, a divise 19 mais, avec n = 3, on a 3n − 5 = 4 donc a ne divise pas 3n − 5.
Exercice 2
n désigne un nombre entier naturel.
1. (n + 4)(3n − 5) + 20 = 3n2 + 12n − 5n − 20 + 20 = 3n2 + 7n.
2.
(n + 4)(3n − 5) + 20
20
3n2 + 7n
=
= 3n − 5 +
.
n+4
n+4
n+4
2
3n + 7n
est un nombre entier si et seulement si n + 4 divise 20.
n+4
2
20 = 2 × 5.
Les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, −1, −2, −4, −5, −10, −20.
n est un entier naturel donc n + 4 > 4.
n + 4 = 4 ⇐⇒ n = 0, n + 4 = 5 ⇐⇒ n = 1, n + 4 = 10 ⇐⇒ n = 6, n + 4 = 20 ⇐⇒
n = 16.
Les valeurs de n sont : 0, 1, 6 et 16.
Exercice 3
5n + 21 = 5(n + 3) + 6.
Si n + 3 > 6 ⇐⇒ n > 3, le reste est 6.
Si n = 3, 5n + 21 = 36, n + 3 = 6, 36 = 6 × 6 donc r = 0.
Si n = 2, 5n + 21 = 31, n + 4 = 5, 31 = 6 × 5 + 1 donc r = 1.
Si n = 1, 5n + 21 = 26, n + 3 = 4, 26 = 6 × 4 + 2 donc r = 2.
Si n = 0, 5n + 21 = 21, n + 3 = 3, 21 = 7 × 3 donc r = 0.
Exercice 4
On dresse un tableau de congruence modulo 5.
n
0 1 2 3 4
n2
0 1 4 4 1
n2 − 1
4 0 3 3 0
n2 − 4
1 2 0 0 2
(n2 − 1)(n2 − 4) 4 0 0 0 0
Si n n’est pas congru à 0 modulo 5, alors (n2 − 1)(n2 − 4) est congru à 0 modulo 5.
Exercice 5 (5 points)
1.
x≡
x2 ≡
0 1
0 1
2 3
0 1
1
2014-2015
Terminale 07-10 Spécialité
2. 7x2 − 4y 2 ≡ 3x2 (4) donc si 7x2 − 4y 2 = 1, alors 3x2 ≡ 1(4).
D’après le tableau précédents, on a 3x2 ≡ 0(4) ou 3x2 ≡ 3(4) donc l’équation n’a pas de
solution.
3. (x + 3)2 ≡ 1(4) ⇐⇒ x + 3 ≡ 1(4) ou x + 3 ≡ 3(4) ⇐⇒ x ≡ −2(4) ou x ≡ 0(4).
S = {−2 + 4k, 4k/k ∈ Z}.
2