Puissances d`un nombre relatif

Classe de 4ème
Chapitre 5
Puissances d’un nombre relatif
I. Puissances de 10
I.1. Puissance de 10 d’exposant entier positif
On sait que
10² = 10
×
10 = 100
deux zéros
2 facteurs
103 = 10
× 10
×
10 = 1000
trois zéros
3 facteurs
10 = 10
× 10
× 10 ×
10 = 10000 quatre zéros
4
4 facteurs
Définition 1 :
Plus généralement, si n est un entier positif, alors 10n désigne le produit de n facteurs tous
égaux à 10. Ce qui donne :
10n = 10
×10
× ..... ×
10 = 100...0
N
(D1)
n facteurs
n zéros
Lire « 10 élevé à la puissance n » ou « 10 à la puissance n » ou encore « 10 exposant n ».
On dit que n est l’exposant de la puissance de 10.
Remarque : Pour passer d’une puissance de 10 à une puissance d’exposant supérieur,
on multiplie par 10. Dans l’autre sens, on divise. En particulier :
101 10
10² 100
0
= = 1.
10 =
=
= 10 et 10 =
10 10
10 10
1
Ce qui donne :
101 = 10
et
100 = 1 .
I.2. Puissance de 10 d’exposant entier négatif
On sait que
1
1
= 1 = 10−1
10 10
1 zéro
1
1
−2
0,
N0 1 = 100 = 10² = 10
2 zéros
0N ,1 =
1
1
0,
001 =
= 3 = 10−3
N
1000 10
3 zéros
1
1
0,
0001 =
= 4 = 10−4
N
10000 10
4 zéros
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2
Définition 2 :
Plus généralement, si n est un entier positif, alors (–n) est un nombre entier négatif. 10- n
désigne l’inverse de 10n. Ce qui donne :
1
ème
= 0, 0...01
le 1 est situé à la n position après la virgule.
10n n zéros
10− n =
(D2)
−5
Exemples : 10 =
1
1
=
= 0, 00001 où le 1 est en 5ème position .
5
10 100 000 5 zéros
Un cent millionième =
1
1
= 8 = 10−8 .
100 000 000 10
I.3. Propriétés
Soient n et p deux entiers relatifs quelconques. Alors on a
(P1) : 10n × 10 p = 10n + p
10n
= 10n − p
p
10
(P3) : (10n )p = 10n ×p
(P2) :
Démonstrations
(P1) : 10n × 10 p = 10
×
10
× ... ×
10 × 10
×
10
× ... ×
10 = 10
×
10
× ... ×
10 = 10n + p .
n facteurs
p facteurs
n + p facteurs
n + p facteurs
n − p facteurs
10n 10 ×10 × ... × 10 × 10 × 10 × ... × 10 (P2) :
=
=
10
×
10
×
..
.
×
10 = 10 n − p .
p
10
10 × 10 × ... × 10
n facteurs
p facteurs
× 10
× ... × 10
(P3) : (10 ) = 10
= 10
n p
n
n
n
p termes
n + n +...+ n
= 10n× p .
p facteurs
I.4. Ecriture d’un nombre décimal à l’aide d’une puissance de 10
Propriété n°4
Soit n un nombre entier positif quelconque.
– Multiplier un nombre décimal par 10n, revient à décaler la virgule de n rangs vers la
droite (en complétant par des zéros si nécessaire).
– Multiplier un nombre décimal par 10- n, revient à décaler la virgule de n rangs vers la
gauche (en complétant par des zéros si nécessaire).
– Diviser par 10n revient à multiplier par 10- n et diviser par 10- n revient à multiplier par 10 n.
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3
Exemples
38,75 x 103 = 38750 et 38,75 : 103 = 0,03875.
Propriété n°5
Tout nombre décimal N non nul peut s’écrire d’une infinité de manières sous la forme d’un
produit d’un (autre) nombre décimal par une puissance de 10 comme suit :
N = a x 10 p
où a est un nombre décimal et p un entier relatif.
Exemple :
N = 35000
N = 35 × 1000 = 35 × 103
N = 350 × 100 = 350 × 102
N = 3,5 × 10000 = 3,5 × 104
N = 0,35 × 100000 = 0,35 × 105
N = ....
I.5. Notation scientifique
Propriété n°6
Tout nombre décimal N non nul peut s’écrire d’une manière unique sous la forme d’un
produit d’un nombre décimal « a » dont la distance à zéro est comprise entre 1 et 10 et
une puissance de 10 comme suit : N = a x 10 p où a est un nombre décimal n’ayant qu’un
seul chiffre différent de zéro avant la virgule et p un entier relatif.
Exemples : Nombre
35700000
0, 000122
Ecriture scientifique
3,57 ×107
1, 22 ×10−4
Recherche pratique d’une écriture scientifique :
N = 352 × 107
On cherche d’abord la n.s. du 1er nombre 352 =3,52 x 102
2
7
× 10
N = 3,52 × 10
puis on regroupe les puissances de 10.
N = 3,5 ×102+ 7
N = 3,52 × 109
n.s. de N.
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I.6. Opérations et puissances de 10
Propriété n°6
1°) Produit de puissances : ( a × 10 n ) × (b × 10 p ) = ab × 10 n + p
a × 10n
a 10 n a
×
=
× p = × 10n − p
p
b × 10
b 10
b
n
p
n− p
p
p
10
3°) Somme et différence de puissances : a × 10 + b × 10 = a × 10
×
+ b × 10
2°) Quotient de puissances :
³
clé du problème
= ( a × 10 n − p + b) × 10 p (où n > p)
La méthode consiste à mettre en facteur la puissances de 10 ayant le plus petit exposant.
Exemples :
P = (3 × 105 ) × (5 × 1012 )
P = (3 × 5) × (105 × 1012 )
P = 15 ×10
5+12
P = 15 ×1017
P = 1,5 ×101 × 1017
P = 1,5 ×1018
Q=
144 × 1015
50 ×10
144 1015
Q=
×
50 109
Q = 2,88 × 1015−9
9
Q = 2,88 × 10
6
15
S = 31× 10
N
+ 297 ×1013
On décompose
2
13
13
S = 31
× 10
× 10 + 297 × 10
S = 3100 ×1013 + 297 ×1013
S = (3100 + 297) × 1013
S = 3397 ×1013
3
13
S = 3,397 × 10
× 10
On regroupe
S = 3,397 × 1016
n.s. de S
Pour additionner des nombres écrits à l’aide de puissances de 10, on met en facteur la
puissance de 10 ayant le plus petit exposant.
Exemple type Brevet :
Calculer A et donner le résultat en notation scientifique avec A =
35 ×105 × 24 × 103
A=
15 × (10−3 ) 2
35 × 24 105 × 103
×
on sépare les facteurs par type
A=
15
(10−3 ) 2
A=
7 × 5 × 3 × 8 105 × 103
on calcule et on simplifie chaque facteur
×
(10−3 ) 2
5×3
105 ×103
10−6
108
A = 56 × −6 = 56 ×108−( −6) = 56 ×1014
10
A = 5, 6 ×101 ×1014
A = 56 ×
A = 5, 6 ×1015 n.s.
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35 × 105 × 24 × 103
15 × (10−3 )2
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II. Puissances d’un nombre relatif :
II.1. Puissances d’exposant entier positif :
Définition :
Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2 et a un nombre relatif, alors a n désigne le
produit de n facteurs tous égaux à a . Ce qui donne :
a n = a
× a × ... × a . De plus : a1 = a et si a ≠ 0 , alors a 0 = 1 . 00 n’est pas défini.
n facteurs
a se lit « a élevé à la puissance n » ou « a à la puissance n » ou encore « a exposant n ».
n
On dit que n est l’exposant de la puissance de a .
Exemples :
23 = 2 × 2 × 2 = 8
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(−3)² = (−3) × (−3) = 9
(−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27
II.2. Puissances d’exposant entier négatif :
Définition :
Soit n un entier positif , don (–n) est négatif. Soit a un nombre relatif non nul. a ≠ 0 . Alors
Le nombre a − n est égal à l’inverse de a n .
Autrement dit, pour tout nombre relatif a ≠ 0 : a − n =
1
an
Exemples :
1 1
=
23 8
1
1
(−3) −2 =
=
(−3)² 9
1
1
1
(−2) −5 =
=
=−
5
(−2)
32
−32
2−3 =
II.3. Propriétés
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls ( a ≠ 0 et b ≠ 0 ) et n et p deux entiers relatifs
quelconques. Alors on a
(P1) : a × a = a
n
p
an
n− p
(P2) : p = a
a
n+ p
(a ≠ 0)
n p
n× p
(P3) : (a ) = a
n
(P4) : (a × b) = a × b
n
n
n
an
⎛a⎞
(P5) : ⎜ ⎟ = n
b
⎝b⎠
(b ≠ 0)
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Démonstrations pour n et p > 0 :
(P1) : a n × b p = a
× a
× ... ×
a × a
× a
× ... ×
a = a
× a
× ... ×
a = a n + p .
n facteurs
p facteurs
n + p facteurs
n + p facteurs
n − p facteurs
a n a × a × ... × a × a × a × ... × a =
= a × a × ... × a = a n − p .
p
a
a ×
a
× ... ×
a
n facteurs
(P2) :
p facteurs
×
a × ... × a =a
(P3) : (a ) = a
n p
n
n
n
p termes
n + n +...+ n
= a n× p .
p facteurs
(P4) : (a × b) = (ab) × (ab) × ... × (ab) = (a
× a
× ... ×
a ) × (b
× b
× ... ×
b) = a n × b n
n
n facteurs
n facteurs ( ab )
n facteurs
n
a
a
a
a
a
× a × ... × a a n
⎛ ⎞
= n
(P5) : ⎜ ⎟ = × × ... × =
...
×
×
×
b b
b
b
b
b
⎝ b ⎠ b
n facteurs
n facteurs
n facteurs
II.4. Puissances et opérations
Ordre de priorité des opérations
– Dans une suite de calculs sans parenthèses, les puissances sont prioritaires par
rapport à toutes les opérations.
– Dans une suite de calculs, on effectue les opérations dans l’ordre suivant :
1°) Opérations entre parenthèses ;
2°) Les puissances
3°) Les multiplications et les divisions ;
4°) Les additions et les soustractions.
Exemples : 1°) Calculer :
A = 5 × 23 − 22 × 7 B = (5 × 2)3 − 22 × 7 C = 5 × (23 − 2) 2 × 7
D = 5 × (23 − 22 ) × 7
= 5×8 − 4× 7
= 103 − 4 × 7
= 5 × (8 − 4) 2 × 7 = 5 × 42 × 7
= 5 × (8 − 2) 2 × 7 = 5 × 62 × 7
= 40 − 28
= 1000 − 28
= 5 × 36 × 7 = 180 × 7
= 5 × 16 × 7 = 80 × 7
A = 12
B = 972
C = 1260
D = 560
2°) Ecrire sous la forme d’une seule puissance :
E=
54 × (52 ) −3 54 × 52×3 54 × 5−6 54−6 5−2
=
=
= 3 = 3 = 5−2−3 = 5−5
53
53
53
5
5
63 × 25 × 33 (2 × 3)3 × 25 × 33 23 × 33 × 25 × 33 23+5 × 33+3 28 36
=
=
= 8 −2 = 8 × −2 = 36−( −2 ) = 38 .
F=
8
8
8
−2
−2
−2
2 ×3
2 ×3
2 ×3
2 ×3
2 3
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