Les relations trigonométriques 1 Rappel : Le cercle trigonométrique

Les relations trigonométriques
1
Rappel : Le cercle trigonométrique
- On se place dans un repère orthonormé
- Le cercle est de rayon 1 et muni d’un sens appelé sens direct qui
correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre.
- Soit M un point quelconque du cercle et t l’angle orienté tel que
~ ;OM
~ ). M a pour coordonnées (cos(t) ;sin(t)).
t=(Ox
- Il existe une infinité de mesure en radian pour un même point du
cercle. Par exemple les angles orientés π2 et 5π
2 correspondent au
π
même point du cercle car 5π
=
+
2π.
2
2
- La mesure principale d’un angle orienté est toujours comprise entre
-π et π.
1.1
Valeurs remarquables
Mesure de l’angle orienté t
cosinus t
sinus t
2
0
1
0
π
√6
3
2
1
2
π
√4
2
√2
2
2
π
3
1
√2
3
2
π
2
0
1
Quelques propriétés élémentaires
Pour tout réel t et tout entier relatif k on a :
˚ cos(t + 2kπ) = cost
˚ sin(t + 2kπ) = sint
˚ cos(t + π) = −cost
˚ sin(t + π) = −sint
˚ cos2 t + sin2 t = 1
˚ cos(π − t) = −cost
˚ sin(π − t) = sint
˚ cos( π2 − t) = sint
˚ sin( π2 − t) = cost
˚ cos(−t) = cost
˚ sin(−t) = −sint
˚ −1 ≤ cost ≤ 1
˚ −1 ≤ sint ≤ 1
˚ tant = sint
cost
1
3
Autres relations
3.1
Addition et soustraction
˚ cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
˚ cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
˚ sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
˚ sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)
˚ cos(2a) = 1 − 2sin2 (a)
˚ sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
3.2
Développement et factorisation
˚ cos(a) × cos(a) = cos2 (a) =
˚ sin(a) × (a) = sin2 (a) =
1+cos(2a)
2
1−cos(2a)
2
˚ cos(a) × (b) =
cos(a−b)+cos(a+b)
2
˚ sin(a) × (b) =
cos(a−b)−cos(a+b)
2
˚ sin(a) × (b) =
sin(a+b)+sin(a−b)
2
˚ cos(a) × (b) =
sin(a+b)−sin(a−b)
2
a−b
˚ cos(a) + cos(b) = 2cos( a+b
2 )cos( 2 )
a−b
˚ cos(a) − cos(b) = −2sin( a+b
2 )sin( 2 )
a−b
˚ sin(a) + sin(b) = 2sin( a+b
2 )cos( 2 )
a−b
˚ cos(a) + cos(b) = 2cos( a+b
2 )sin( 2 )
4
Annexe
˚ Pour passer d’un angle t en degrès à un angle en radian il suffit de multiplier t par
π
Donc t(radian) = t(˚) × 180
˚ Pour passer d’un angle t en radian à un angle en degrès il suffit de multiplier t par
Donc t(˚) = t(radian) × 180
π
˚ Soit t un angle exprimé en radian. Si t est très petit on admet le fait que tan(t) = t
2
π
180 .
180
π .