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Lundi 7 Janvier 2013
DS N°5 : DERIVATION et APPLICATIONS
1 La courbe en rouge ci-contre représente une fonction dérivable sur IR et admet une tangente aux points A, E et B.
Déterminez graphiquement :
a. f (–1)
b. f (0)
c. f (1)
d. f ’ (–1)
e. f ’ (0)
f. f ’ (1)
2 .
Soit f : x
1 3
x  2x  1 la fonction définie sur IR et (C) sa courbe représentative représentée
2
ci-contre.
On considère deux points de (C), A et B, d’abscisse respective –2 et 0.
1. Vérifiez par le calcul que f 2  f 0  1 .
  
2. Calculez f '(x).
3. En déduire une équation des droites TA et TB, tangentes à C respectivement en A et en B.
3 .On considère la fonction inverse :
1
définie sur IR* et H sa courbe représentative
f :x
x
sur ]0 ;  [ .
Soit M un point d’abscisse a appartenant à la courbe H.
La tangente T à C au point M coupe l’axe des ordonnées en A et l’axe des abscisses en B.
1. Écrivez, en fonction de a, une équation de T.
2. Calculez, en fonction de a, les coordonnées des points A et B.
3. En déduire que le point M est le milieu du segment [AB].
4 Soit f : x
x 2  6x  7 une fonction définie sur IR et C sa courbe représentative ci-contre.
5

M  ;  4 est un point du plan.
2


1. a. Calculez f ' x .
b. Montrez que la tangente T à C au point d’abscisse a admet comme équation :

 

y  2a  6 x  7  a2 .
2. a. Démontrez que la droite T passe par le point M
si et seulement si a vérifie l’équation : a2  5a  4  0 .
b. Résolvez cette équation puis en déduire l’équation des deux tangentes à C passant par
le point M.
5 .
Soit f une fonction trinôme définie sur IR par f (x)  ax 2  bx  c et C sa courbe représentative.
C coupe l’axe des ordonnées en y = –3 et admet une tangente horizontale au point A(1 ; 4).
1. Traduisez les informations par un système d’équations.
2. En déduire les valeurs des réels a, b et c.