Cours et exercices

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Cours de Mathématiques
Année 2016-2017
L ES NOMBRES COMPLEXES ET LA TRIGONOMÉTRIE
“ Les mathématiques consistent à prouver des choses évidentes par des moyens complexes.”
G. Polya (1887-1985)
1
L A FORME CARTÉSIENNE
A Description de la forme cartésienne
Si les réels représentent l’ensemble de la droite réelle, alors les nombres complexes
correspondent au plan.
On peut considérer les nombres complexes comme une façon synthétique d’écrire
l’abscisse et l’ordonnée de chaque point du plan. Au lieu de travailler avec un couple
de réels (x, y), on utilise la notation x + i y. Le nombre imaginaire i sert à identifier
l’ordonnée. L’avantage d’une telle notation est qu’elle va simplifier les manipulations
géométriques car elle combine deux informations (abscisse et ordonnée) en un seul
nombre.
y
A(x, y) : x + i y
x
Définition 1.1 (Nombre complexe)
L’ensemble C des nombres complexes est composé des nombres écrits sous la forme x + i y avec x, y deux réels :
©
ª
C = x + i y, (x, y) ∈ R2
Cette notation s’appelle la forme cartésienne ou algébrique.
Si z = x + i y ∈ C, avec (x, y) ∈ R2 , alors x s’appelle la partie réelle de z et y la partie imaginaire.
On note
x = Re (z)
et
y = Im (z)
Lorsque Im (z) = 0, z est un nombre réel.
Lorsque Re (z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur. L’ensemble des imaginaires purs est
©
ª
i R = 0 + i y, y ∈ R
Définition 1.2 (Affixe d’un point ou d’un vecteur)
Tout point A du plan R2 peut être désigné par son abscisse x A et son ordonnée y A dans un repère orthonormé.
L’affixe du point A est alors le nombre complexe z A = x + i y
−−→
−
−
Par extension, à tout vecteur →
u (x, y) du plan correspond un unique point A(x, y) tel que →
u = O A.
→
−
L’affixe de u est alors z = x + i y.
Explications :
Il y a une bijection entre les vecteurs du plan et les points du plan. Ainsi, dans ce cours, nous identifierons les
deux : on considère que le vecteur ou le point correspondant forment un seul et même objet mathématique.
Propriété 1.3 (Indentification)
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Explications :
La partie réelle et la partie imaginaire définissent de manière unique le nombre complexe.
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Définition 1.4 (Opérations sur les complexes)
On définit l’addition “+” sur les nombres complexes par
¡
¢
(x + i y) + (x 0 + i y 0 ) = (x + x 0 ) + i (y + y 0 )
On définit la multiplication “×” sur les nombres complexes par
¡
¢
(x + i y) × (x 0 + i y 0 ) = (xx 0 − y y 0 ) + i (x y 0 + x 0 y)
Propriété 1.5 :
i 2 = −1
Preuve :
On utilise la définition de la multiplication avec x = x 0 = 0 et y = y 0 = 1.
Attention : La formule du produit n’est pas à apprendre en l’état. Il suffit de faire un produit normal et de remplacer
les i 2 par −1.
Explications :
Avant de construire proprement les nombres complexes et de comprendre leur fonctionnement, c’est cette idée
(propriété 1.5) qui constitua la première intuition.
Au XVIème siècle, Cardan a besoin de passer par la racine carrée d’un nombre négatif pour donner une méthode
de résolution des équations de degré 3. Il appelle ces nombres des quantités sophistiquées. Elles sont interprétés
davantage comme des artifices calculatoires que de “vrais nombres”. C’est la raison pour laquelle, Bombelli les
nommera nombres imaginaires.
En fait la méthode de résolution des équations de degré 3 aurait été trouvée en premier par Scipione Del
Ferro. Le secret passa de bouche à oreille jusqu’à son disciple Anton Maria Del Fiore qui s’en servit pour
lancer des défis aux mathématiciens de son temps.
Tartaglia releva le défi et 30 problèmes furent déposés chez un notaire par chacun des deux adversaires.
Celui qui aurait résolu le plus de problèmes au bout de 40 jours gagnerait.
Tartaglia découvrit alors la méthode de résolution des équations de degré 3 et résolu ainsi la totalité des
problèmes énoncés par Del Fiore. Il remporta le prix mais garda secrète sa méthode, source de son prestige.
Il finit par la confier à Cardan en lui faisant promettre le secret, mais celui-ci la divulgua sous son propre
nom pour s’en attribuer l’honneur.
Explications (Interprétation géométrique)
Comme énoncé plus haut, tout nombre complexe correspond à un unique point du plan (dit plan complexe)
d’abscisse la partie réelle et d’ordonnée la partie imaginaire. Chaque point correspond également à un unique
vecteur d’origine (0, 0) dont il est représente l’arrivée.
La somme de deux complexes correspond à la somme des vecteurs correspondants : on ajoute les parties réelles
entre elles et les parties imaginaires entre elles.
La multiplication d’un complexe par un réel revient à appliquer à son vecteur l’homothétie de même rapport.
La multiplication entre deux complexes a une forme assez compliquée en notation cartésienne. Nous comprendrons l’interprétation géométrique de cette formule un peu plus loin lorsque nous aurons introduit les formes
trigonométriques et polaires plus adaptés pour le produit.
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z + z ′ = (x + x ′ ) + i (y + y ′ )
y′
z′ = x′ + i y′
y + y′
z′
z = x +i y
z − z′
z
y
x
x′
z − z′
x + x′
(a) Somme
(b) Différence
λz = (λx) + i (λy)
z = x +i y
(c) Multiplication par un réel
Figure 1: Nombres complexes : Interprétation géométrique des opérations élémentaires.
Propriété 1.6 (Propriétés sur les opérations - structure de corps)
a) + est une loi interne : ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , z + z 0 ∈ C,
b) + est associative : ∀(z, z 0 , w) ∈ C3 , (z + z 0 ) + w = z + (z 0 + w),
c) + est commutative : ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , z + z 0 = z 0 + z,
d) + admet 0 comme élément neutre : ∀z ∈ C, z + 0 = z,
e) tout élément de C admet un symétrique pour la loi + : ∀z ∈ C, ∃z 0 = (−z) ∈ C, z + (−z) = 0,
(−z) est appelé l’opposé de z.
−→ (C, +) est un groupe commutatif (ou abélien),
f) × est une loi interne : ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , z × z 0 ∈ C,
g) × est associative : ∀(z, z 0 , w)3 ∈ C, (z × z 0 ) × w = z × (z 0 × w),
h) × est commutative : ∀(z, z 0 )3 ∈ C, z × z 0 = z 0 × z,
¡
¢
i) × est distributive par rapport à + : ∀(z, z 0 , w) ∈ C3 , z + z 0 × w = z × w + z 0 × w.
j) × admet 1 comme élément neutre : ∀z ∈ C, z × 1 = z,
−→ (C, +, ×) est un anneau commutatif,
k) tout élément de C∗ = C \ {0} admet un symétrique pour la loi × : ∀z ∈ C∗ , ∃z 0 =
1
z est appelé l’inverse de z.
−→ (C, +, ×) est un corps (commutatif ).
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1
z
∈ C, z ×
¡1¢
z
= 1,
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Explications :
Le vocabulaire de groupe, anneau ou corps n’est pas à connaître. Il est indiqué ici à titre de culture mathématique
pour vous montrer qu’en algèbre, il existe différentes structures qui ont été classifiées en fonction de leurs propriétés. Ces structures peuvent faire l’objet d’études à part entière, mais ce n’est pas le but de ce cours.
À titre d’exemples, R et Q possèdent également la structure de corps, Z avec les lois + et × est un anneau commutatif.
Donnons quelques explications sur l’intérêt structurel des propriétés énoncées :
a) La caractère interne d’une loi est essentiel pour “ne pas sortir de l’ensemble” avec une opération.
b) L’associativité permet de s’affranchir des parenthèses : il n’y a pas d’ordre de priorité au sein de l’addition.
Ainsi, je peux commencer par ajouter z et z 0 puis ensuite w à droite ou au contraire, commencer à ajouter z 0
et w puis ensuite z à gauche.
c) La commutativité ne doit pas être confondue avec l’associativité. L’associativité permet de ne pas utiliser les
parenthèses, mais l’ordre d’écriture importe, c’est la raison pour laquelle nous précisions au point précédent
si on ajoutait à droite ou à gauche. Avec la commutativité nous pouvons mélanger les termes : additionner à
droite ou à gauche revient au même. La commutativité n’est pas indispensable pour avoir un groupe.
En général, lorsque l’on utilise la notation + pour une opération, on s’arrange pour qu’elle soit commutative,
sinon, on lui trouve une autre notation comme ? ou ∗.
d) L’intérêt de l’élément neutre n’est pas immédiat. Pourquoi inventer un élément dont le rôle est justement de
ne rien faire ? Ce n’est pas pour rien s’il a fallu attendre le XIIème siècle pour que le 0 soit pleinement accepté
en Occident.
En fait, outre son intérêt dans la notation décimale (ce n’est pas ce qui nous intéresse ici) le zéro devient
important lorsqu’il ne s’agit plus seulement d’ajouter mais aussi de soustraire. C’est l’objet du point suivant.
Il existe des structures algébriques plus légères que le groupe qui ne possèdent pas d’élément neutre (les
magmas éventuellement associatifs), ils ne vérifieront donc pas la propriété du symétrique qui suit.
e) Chaque élément admet un symétrique. Lorsque l’on ajoute à un élément son symétrique on retombe sur
l’élément neutre. Pour l’addition, on parle d’opposé. Aucun des éléments de N, sauf le 0, n’admet de
symétrique dans N.
L’existence d’un symétrique veut dire que l’on peut soustraire. Soustraire, c’est ajouter l’opposé1 . C’est pour
pouvoir définir cet opposé que nous avions besoin de l’élément neutre 0.
C’est pour avoir les opposés que l’on passe de l’ensemble N à l’ensemble Z comme nous l’avions déjà vu en
introduction du chapitre sur les réels.
h) La loi × d’un anneau n’est pas toujours commutative. Nous verrons des exemples de loi multiplicatives
qui ne sont pas commutatives (les matrices). Par contre, pour avoir un anneau, il faut que le groupe soit
commutatif.
j) L’élément neutre pour la multiplication n’est pas le même que pour l’addition.
On peut montrer facilement que le 0 (élément neutre de l’addition) est absorbant. Cela veut dire que n’importe
quelle nombre multiplié par 0 donnera 0.
k) On cherche à obtenir un symétrique comme pour l’addition, mais du fait du caractère absorbant du 0, on
ne peut pas l’inverser (dans vos copies, vérifiez toujours que le nombre est non nul avant de prendre son
inverse). C’est l’existence de l’inverse qui permet de passer de Z à Q en forçant les éléments non nuls de Z à
avoir chacun un inverse.
Nous voyons donc ici que Q satisfait les propriétés pour être un corps. On a ensuite besoin de R puis de C
pour d’autres raisons. R intervient pour que les limites de nombres réels soient encore réelles, et C permet
en plus d’obtenir des solutions à toutes les équations polynomiales (en particulier x 2 = −1).
Preuve :
Sans difficultés, le seul point intéressant est le dernier pour l’inverse.
Si z = x + i y avec (x, y) ∈ C2 , alors on cherche 1z = z 0 = x 0 + i y 0 tel que zz 0 = 1.
Cela donne l’équation :
xx 0 − y y 0 + i (x y 0 + x 0 y) = 1
1 En fait, la soustraction en tant que telle n’a pas besoin d’être définie, c’est simplement l’ajout de l’opposé.
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Donc par identification :
zz 0 = 1 ⇐⇒
½
xx 0 − y y 0 = 1
x y 0 + x0 y = 0
Il reste à résoudre ce système en utilisant le fait que x et y ne peuvent être simultanément nuls. On obtient alors
une unique solution pour x 0 et y 0 .
Mais il existe une méthode plus simple que vous aviez déjà vu en terminale qui consiste à écrire formellement la
fraction et à faire passer le i au numérateur en multipliant par le complexe conjugué (que nous allons voir juste
après) :
−y
x −i y
x
1
+i 2
=
=
x + i y (x + i y)(x − i y) x 2 + y 2
x + y2
Si on pose x 0 =
x
x 2 +y 2
y
et y 0 = − x 2 +y 2 , on a bien (x + i y)(x 0 + i y 0 ) = 1.
(on vérifie bien que x 2 + y 2 6= 0 car x + i y 6= 0)
Histoire des mathématiques :
Ce type de présentation algébriquement très structurée a été particulièrement mise à l’honneur par l’un
des plus grand mathématiciens du XXème siècle : Nicolas Bourbaki. Essayez de retenir ce nom.
Nicolas Bourbaki est un mathématicien poldève qui est né en 1935. Il reçut 5 médailles Fields1 .
Il est connu pour la rédaction des Éléments de mathématique (au singulier). Cet ouvrage inachevé2 devait
être l’analogue contemporain des Éléments d’Euclide.
Plus exactement, N. Bourbaki est né du 10 au 20 juillet 1935 près de Clermont-Ferrand, sous l’inspiration
du mathématicien Pierre Weil. Il s’agit à l’origine d’un groupe de mathématiciens francophones dont
l’ambition était de rédiger une présentation cohérente des mathématiques à partir de leur structure. Ce
projet nait en réaction à l’émiettement des mathématiques en de nombreuses branches disparates au début
du XXème . L’usage du singulier pour le terme mathématique souligne l’unité de la matière.
L’ouvrage introduit un grand formalisme et beaucoup de rigueur dans l’exposé mathématique. Il répond
ainsi aux lacunes de l’enseignement de l’époque qui accordaient peu d’importance aux fondements et à la
rigueur. Il marquera durablement l’enseignement des mathématiques (avec quelques excès).
Le nom du groupe provient probablement d’un canular de l’école normale supérieure. Dans ses statuts, les
mathématiciens de plus de 50 ans doivent quitter le groupe pour laisser la place aux plus jeunes. Bourbaki
a rassemblé des noms parmi les plus grands de la deuxième moitié du XXème , et 5 de ses membres reçurent
la médaille Fields.
N’hésitez pas à lire la notice historique de Cartan qui mérite le détour (elle montre que les mathématiciens
peuvent avoir de l’humour, à leur façon. . . ) :
http://www.molin.fr.nf/ouvert/Bourbaki-histoire.pdf
Propriété 1.7 (Linéarité des parties réelles et imaginaires)
Soient (z, z 0 ) ∈ C2 , soit λ ∈ R,
Re (z + z 0 ) = Re (z) + Re (z 0 )
et
Re (λz) = λ Re (z)
Im (z + z 0 ) = Im (z) + Im (z 0 )
et
Im (λz) = λ Im (z)
Explications :
Si on additionne deux vecteurs cela revient à additionner leur abscisse et leur ordonnée. De même si on effectue
une homothétie.
Attention : En général pour z et z 0 deux complexes,
Re (zz 0 )6= Re (z) Re (z 0 )
Il en est de même pour la partie imaginaire.
1 La médaille Fields est la plus célèbre distinction mathématique. Elles attribuée tous les 4 ans à au plus 4 mathématiciens de moins de 40 ans.
On parle souvent du “prix Nobel” des mathématiques.
2 Il compte néanmoins 10 volumes d’environ 300 pages chacun !
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B Conjugué d’un nombre complexe
Définition 1.8 (Conjugué)
Pour un complexe z = x + i y, avec (x, y) ∈ R2 , on définit le conjugué de z par
z = x −i y
C’est-à-dire : ∀z ∈ C, Re (z) = Re (z) et Im (z) = − Im (z).
Explications :
La conjugaison correspond à la symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
z = x +i y
z = x −i y
Figure 2: Nombres complexes : Interprétation géométrique du conjugué
Exemple
p
On définit j par j = − 12 + 23 i .
Exprimez j 2 en fonction de j .
Solution :
p !2
p
p
1
1 3
1
3
3
3
j = − +
i = − − 2i
=− −
i=j
2
2
4 4
4
2
2
Ã
2
Propriété 1.9 :
a) la conjugaison est involutive : ∀z ∈ C, z = z
b) la conjugaison est linéaire : ∀(z, z 0 ) ∈ C, z + z 0 = z + z 0 et ∀z ∈ C, ∀λ ∈ R, λz = λz
c) ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , z × z 0 = z × z 0 (le conjugué d’un produit est le produit des conjugués)
d) ∀(z, z 0 ) ∈ C × C∗ ,
z
z
=
(le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués)
0
z
z0
Explications :
Involutivité : si on effectue deux fois de suite la symétrie par rapport à la même droite, alors on retrouve le point
initial. Le caractère involutif de la transformation est même une caractérisation des symétries en général.
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Propriété 1.10 :
Soit z ∈ C,
z
1
2
Re (z) = (z + z̄)
2 Re (z)
z̄
2i Im (z)
z
1
Im (z) = (z − z̄)
2i
z̄
Attention : Pour obtenir la partie imaginaire, il ne faut pas oublier la division par i .
Propriété 1.11 :
(z ∈ R) ⇐⇒ (z̄ = z)
et
(z ∈ i R ⇐⇒ z̄ = −z)
C Module d’un nombre complexe
Définition 1.12 (Module)
Pour tout complexe z = x + i y avec (x, y) ∈ R2 , on définit le module de z par
|z| =
q
x2 + y 2
Explications :
Le module d’un complexe correspond à la longueur du vecteur qui le représente, on obtient cette formule avec le
théorème de Pythagore. C’est la distance de ce complexe à 0 au même titre que la valeur absolue sur R.
q
x2 + y2
y
x
Les définitions du module et de la valeur absolue coïncident sur R, ce qui explique que l’on utilise la même notation.
p
On vous rappelle que x 2 = |x| (attention : valeur absolue).
|z − z 0 | désigne la distance du point z au point z 0 .
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Propriété 1.13 :
Le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue.
Propriété 1.14 (Module et conjugé)
∀z ∈ C,
z z̄ = |z|2
et
|z̄| = |z|
Preuve :
Trivial, il suffit d’écrire. La deuxième égalité traduit qu’une symétrie conserve la longueur : c’est une isométrie.
Propriété 1.15 :
Pour tout z ∈ C,
| Re (z)| ≤ |z|
et
| Im (z)| ≤ |z|
Explications :
L’hypoténuse est le plus courte que chacune des deux cathètes.
z
Im (z)
Re (z)
Attention : Il n’y a pas d’inégalités sur C. Pour avoir des inégalités, on repasse sur R par l’intermédiaire du module.
Propriété 1.16 (Propriétés du module)
a) (positivité) ∀z ∈ C, |z| ∈ R+ ,
b) (définition) |z| = 0 si et seulement si z = 0
c) (axiome de séparation) |z − z 0 | = 0 si et seulement si z = z 0
¯ z ¯ |z|
¯ ¯
d) ∀(z, z 0 ) ∈ C, |zz 0 | = |z||z 0 |
et si z 0 6= 0, ¯ 0 ¯ = 0
z
|z |
Tout se passe bien avec le produit et le quotient, mais ça se complique avec la somme. . .
e) (inégalité triangulaire) ∀(z, z 0 ) ∈ C, |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |.
On a égalité si et seulement s’il existe λ ∈ R+ , tel que z = λz 0 ou z 0 = λz :
|z + z 0 | = |z| + |z 0 | ⇐⇒ z et z 0 sont colinéaires de même sens
f) (corollaire de l’inégalité triangulaire) ∀(z, z 0 ) ∈ C, | |z| − |z 0 | | ≤ |z − z 0 |.
Explications :
a) La positivité traduit qu’une longueur est toujours un réel positif.
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b) Le terme mathématique “définition” ne veut pas dire que c’est ainsi que l’on définit le module, mais signifie
que la nullité du module correspond exactement à la nullité du nombre complexe. L’intérêt du caractère
défini s’explique mieux avec l’axiome de séparation qui en découle.
c) L’axiome de séparation veut dire qu’il n’existe pas de points distincts qui soient confondus : si deux points
sont distincts, ils ne peuvent être à une distance nulle l’un de l’autre. De cette manière on arrive toujours à
différentier/séparer les points du plan.
d) Dans le cas particulier de la multiplication avec un réel, cela traduit la transformation géométrique qui consiste à multiplier la longueur par la valeur absolue du rapport de l’homothétie. On parle de l’homogénéité du
module.
e) L’inégalité triangulaire a le même sens que dans R si ce n’est que l’on se déplace dans le plan au lieu de
se déplacer uniquement sur une droite : il est plus rapide d’aller en ligne droite directement du lycée à sa
chambre que de passer par la boulangerie. LC ≤ LB + BC
Chambre
z′
z + z′
Boulangerie
z
Lycée
Par contre, on ne rallonge pas le chemin si la boulangerie se trouve déjà située sur le segment qui relie le
lycée à la chambre.
Attention : Dans le cas d’égalité (pour l’inégalité triangulaire), le réel doit être positif.
Preuve :
Trivial sauf pour l’inégalité triangulaire. L’idée est de s’inspirer de la preuve sur R où nous avions pris le carré du
module de la somme.
¯
¯
¡
¢
¯z + z 0 ¯2 = z + z 0 (z + z 0 )
d’après la propriété 1.14
= zz + z 0 z 0 + zz 0 + zz 0
= |z|2 + |z 0 |2 + zz 0 + zz 0
= |z|2 + |z 0 |2 + 2 Re (zz 0 )
2
0 2
≤ |z| + |z | + 2|z||z 0 |
d’après la propriété 1.10
d’après la propriété 1.15
0 2
≤ (|z| + |z |)
Les deux éléments mis au carré étant positifs, on a donc (par croissance de la fonction racine carrée)
¯
¯
¯z + z 0 ¯ ≤ |z| + |z 0 |
On a l’égalité si et seulement si 2 Re (zz 0 ) = 2|zz 0 | (ayant partout ailleurs des égalités).
C’est donc réalisé à la seule condition que zz 0 ∈ R+ (d’après la définition 1.12 du module).
Si on note z = x + i y et z 0 = x 0 + i y 0 , alors Im (zz 0 ) = x 0 y − x y 0 = 0 et Re (zz 0 ) = xx 0 + y y 0 ≥ 0.
0
Si on suppose x 6= 0, alors ∃λ = xx ∈ R tel que x 0 = λx et dans ce cas y 0 = λy d’après l’égalité sur la partie imaginaire.
Donc z 0 = λz : les vecteurs sont colinéaires.
De plus par positivité de la partie réelle, λ ≥ 0. On dit que les vecteurs sont positivement liés.
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Par symétrie des rôles entre z et z 0 , si x 0 6= 0, alors on a égalité à la condition qu’il existe λ ∈ R+ tel que z = λz 0 .
Si à la fois x et x 0 sont nuls, alors λ quelconque positif convient.
Remarque : La preuve serait beaucoup plus simple à écrire avec la forme exponentielle du nombre complexe que nous
verrons bientôt.
Explications :
On reprend la métaphore précédente sur le trajet entre votre chambre et le lycée :
Si λ < 0, alors les trois points seraient bien alignés, mais la boulangerie se trouverait au delà de la chambre ou en deçà
du lycée.
En outre, il ne suffit pas de donner une seule égalité z 0 = λz par exemple car cela ne traiterait pas du cas z 0 6= 0 et z = 0
pour lequel l’égalité est vérifiée.
2
L E CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET SON INTERPRÉTATION
A Le cercle trigonométrique
Définition 2.1 (Cercle trigonométrique)
Le cercle trigonométrique est un cercle du plan R2 ou C de rayon 1 et de centre 0.
Propriété 2.2 (Paramétrage cartésien du cercle trigonométrique)
1
C
Dans le plan R2 , le cercle trigonométrique est décrit par l’ensemble des
points :
©
ª
(x, y) ∈ R2 , x 2 + y 2 = 1
Dans le plan complexe, il est décrit par l’ensemble noté U :
z
|z| = 1
1
−1
U = {z ∈ C, |z| = 1}
−1
Explications :
Sur R2 et sur C, il s’agit exactement du même cercle. C’est simplement l’écriture qui diffère.
Ce cercle correspond bien aux points du plan qui sont situés à la distance 1 de l’origine, c’est-à-dire aux complexes
de module 1.
Pour p
la description dans R2 , on a mis le carré du module égal à 1 : |z|2 = x 2 + y 2 = 1, mais c’est équivalent à
|z| = x 2 + y 2 = 1 car le module est toujours positif.
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B Argument d’un nombre complexe
Définition 2.3 (Argument)
π
2
Pour un point z du cercle trigonométrique,
on définit l’argument de z par la longueur algébrique de l’arc entre
le point 1 + 0i et le point z.
Le sens positif est tel que l’argument de i
L’argument est exprimé en radians.
soit égal à + π2
z
π
+
arg z
0
|z| = 1
Remarque : L’argument d’un point n’est pas unique, mais il est exprimé à 2π près.
3π
2 ou
− π2
Explications :
C’est une façon astucieuse de mesurer un angle : sur votre disque de rayon 1, vous enroulez un fil et vous mesurez
la longueur qu’il vous faut pour faire l’angle (en positif si vous enroulez dans le bon sens, en négatif sinon). C’est
beaucoup plus simple que l’histoire des 360o qui tombent du ciel sans qu’on sache trop pourquoi. La difficulté
vient néanmoins de la longueur de fil nécessaire pour faire un tour exact : 2π qui est un nombre irrationnel. Et
cela, avouons que ce n’est pas très pratique.
La non unicité de l’argument provient du fait que pour aller de 0 à z, je peux rajouter autant de tours complets
que je le souhaite dans un sens ou dans l’autre. Cela revient à ajouter ou enlever autant de fois le nombre 2π.
Le sens positif appelé aussi sens trigonométrique est opposé au sens des aiguilles d’une montre. C’est le sens qui
permet de passer de l’axe des abscisses vers l’axe des ordonnées.
Définition 2.4 :
z
z
|z|
Soit z ∈ C∗ , l’argument de z est défini par l’argument de
Le nombre complexe 0 n’admet pas d’argument.
z
.
|z|
θ
Explications :
Géométriquement, cela revient à se rapporter au point où le vecteur “coupe” le cercle trigonométrique.
L’idée de se ramener à un nombre complexe de module 1 (sur le cercle trigonométrique) en divisant par le module
est très commune en mathématiques. Gardez-la dans un coin de votre tête.
Définition 2.5 (Argument principal)
Pour z ∈ C∗ , on désigne par argument principal, l’unique argument θ ∈] − π, π]. On le note arg z.
Attention : L’intervalle est ouvert en θ = −π pour avoir l’unicité. En effet on atteint déjà le point (−1, 0) avec l’argument
+π (intervalle fermé), il ne faut donc pas qu’il soit aussi possible de l’atteindre par les négatifs en −π.
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Explications :
Choisir l’argument principal revient à prendre le plus court chemin pour atteindre l’affixe du point : soit en partant
dans le sens positif si le point est dans le demi-plan supérieur (la droite réelle comprise), soit en partant dans le
sens négatif s’il est dans le demi-plan inférieur. Et bien sûr, à ne pas faire plusieurs tours avant de s’arrêter !
Propriété 2.6 (Correspondance avec les degrés)
Pour passer d’une mesure en degrés à une mesure en radians, on multiplie par
2π
360 .
Remarque : Les unités sont proportionnelles.
Les propriétés suivantes ne sont pas à apprendre bêtement : il suffit de se représenter un cercle trigonométrique pour
que se manifeste leur évidence.
Propriété 2.7 :
a) ∀z ∈ C∗ , arg(−z) = arg(z) + π (mod 2π)
b) ∀z ∈ C∗ , arg(z) = − arg(z) (mod 2π)
c) ∀z ∈ C∗ , ∀λ ∈ R∗+ arg(λz) = arg(z)
d) arg(z) = arg(z 0 ) (mod 2π) si et seulement si z et z 0 non nuls et positivement liés :
e) arg(z) = arg(z 0 ) (mod π) si et seulement si z et z 0 non nuls et liés :
z
z0
z
z0
∈ R∗+
∈ R∗
Remarque : La notation (mod 2π) ou [2π] signifie que l’égalité est vraie modulo 2π, c’est dire à 2π près : on peut ajouter
ou soustraire d’un côté ou de l’autre de l’égalité autant de fois que l’on veut le terme 2π sans modifier cette égalité.
C Trigonométrie (partie 1)
Nous présentons ici la base de la trigonométrie. Nous y reviendrons plus loin dans le chapitre lorsque davantage d’outils
auront été développés.
Définition 2.8 (cosinus et sinus)
Pour θ ∈ R, si on note z θ le point de U d’argument θ,
on définit
• le cosinus de θ par cos θ = Re (z θ )
zθ
sin θ = Im (z θ )
• le sinus de θ par sin θ = Im (z θ )
θ
Autre définition équivalente :
• le cosinus de θ est défini par l’abscisse du point du cercle trigonométrique d’argument θ,
• le sinus de θ est défini par l’ordonnée du point du cercle
trigonométrique d’argument θ.
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cos θ = Re (z θ )
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Définition 2.9 (Tangente)
Pour θ 6∈
nπ
o
+ kπ, k ∈ Z a , on considère la droite d’angle
2
θ par rapport à l’axe des abscisses,
et on définit la tangente de θ par l’ordonnée du point
d’intersection de cette droite avec l’axe vertical x = 1.
θ
tan θ
a La droite ne doit pas être verticale pour pouvoir couper l’axe x = 1
Pour l’écrire avec les complexes, on peut dire que pour θ ∈]− π2 , π2 [, la tangente de θ est la partie imaginaire du complexe
de partie réelle 1 et d’argument θ [π].
Explications :
Ces définitions sont tout à fait cohérentes avec celles que vous aviez eu au collège et au lycée.
Vous avez appris par exemple que
côté adjacent
cos θ =
hypoténuse
C’est vrai, mais c’est trop compliqué pour nous, alors on se contente de n’apprendre la formule que lorsque la
longueur de l’hypoténuse vaut 1. C’est-à-dire, lorsque l’hypoténuse est le rayon du cercle trigonométrique. Le
côté adjacent correspond alors à la partie réelle sur l’axe des abscisses ! Pour retrouver la formule du collège, on
applique le théorème de Thalès.
Il en est de même pour le sinus.
Quant à la tangente, on retrouvera votre formule fétiche dans pas très longtemps.
Voici à présent quelques propriétés géométriques élémentaires que l’on retrouve très simplement en dessinant le cercle
trigonométrique. En particulier, les dernières ne sont pas forcément à savoir par cœur, mais à savoir retrouver très
rapidement avec un petit croquis au brouillon.
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Propriété 2.10 (Cosinus : propriétés trigonométriques élémentaires)
a) Le cosinus est défini sur R et à valeurs dans [−1, 1] :
∀θ ∈ R, −1 ≤ cos θ ≤ 1
b) Le cosinus est 2π périodique :
∀θ ∈ R, cos (θ + 2π) = cos θ
Par conséquent : ∀θ ∈ R, ∀k ∈ Z, cos (θ + 2kπ) = cos θ.
c) Le cosinus est pair :
∀θ ∈ R, cos (−θ) = cos θ
d)
cos (π − θ) = − cos θ
cos (π + θ) = − cos θ
Propriété 2.11 (Sinus : propriétés trigonométriques élémentaires)
a) Le sinus est défini sur R et à valeurs dans [−1, 1] :
∀θ ∈ R, −1 ≤ sin θ ≤ 1
b) Le sinus est 2π périodique :
∀θ ∈ R, sin (θ + 2π) = sin θ
Par conséquent : ∀θ ∈ R, ∀k ∈ Z, sin (θ + 2kπ) = sin θ.
c) Le sinus est impair :
∀θ ∈ R, sin (−θ) = − sin θ
d) ∀θ ∈ R,
sin (π − θ) = sin θ
sin (π + θ) = − sin θ
Propriété 2.12 (Relations entre sinus et cosinus)
∀θ ∈ R,
³π
´
− θ = sin θ
2
³π
´
cos
+ θ = − sin θ
2
cos
³π
´
− θ = cos θ
2
³π
´
sin
+ θ = cos θ
2
sin
Retrouvez ces propriétés sur les courbes représentatives de ces fonctions sur la figure 4.
Explications :
Le décalage de π/2 entre les deux courbes s’interprète en voyant que si on ajoute π/2, cela revient à faire un quart
de tour, et l’axe des abscisses devient celui des ordonnées. Le cosinus auquel on ajoute π/2 devient un sinus.
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π
2 +θ
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π
2 −θ
θ
π−θ
π+θ
−θ
− π2 − θ
− π2 + θ
Figure 3: Nombres complexes : Relations de symétrie sinus-cosinus
x 7→ cos x
− π2
π
π
3π
2
π
2
x 7→ sin x
Figure 4: Nombres complexes : courbes des fonctions sinus et cosinus
Propriété 2.13 (Tangente : propriétés trigonométriques élémentaires)
©
ª
a) La tangente est définie sur R \ π2 + kπ, k ∈ Z et à valeurs dans R tout entier.
b) La tangente est π périodique :
nπ
∀θ ∈ R \
Par conséquent : ∀θ ∈ R \
©π
2
2
+ kπ, k ∈ Z , ∀k ∈ Z, tan (θ + kπ) = tan θ.
ª
c) La tangente est impaire :
∀θ ∈ R \
d) ∀θ ∈ R \
©π
2
o
+ kπ, k ∈ Z , tan (θ + π) = tan θ
nπ
2
o
+ kπ, k ∈ Z , tan (−θ) = − tan θ
ª
+ kπ, k ∈ Z ,
tan (π − θ) = − tan θ
tan (π + θ) = tan θ
¤
£
e) ∀θ ∈ 0, π2 ,
tan
³π
2
´
−θ =
1
tan θ
f)
lim tan θ = +∞
θ→ π2 −
lim tan θ = −∞
θ→− π2 +
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x 7→ tan x
− π2
π
2
π
3π
2
Figure 5: Nombres complexes : courbe de la fonction tangente.
Nota : Les lignes verticales bleues ne correspondent pas au tracé de la fonction, mais à ses asymptotes verticales.
Théorème 2.14 :
∀θ ∈ R,
cos2 θ + sin2 θ = 1
Preuve :
Théorème de Pythagore !
Utilisation :
p
p
Cette formule est particulièrement utile sous la forme cos x = ± 1 − sin2 x ou sin x = ± 1 − cos2 x.
p
Attention : cos x = ± 1 − sin2 x : le signe devant la racine ne doit pas être oublié et traité au cas par cas en fonction
du signe de cos x.
Exemple
p
£
¤
Si x ∈ − π2 , π2 , alors cos x = 1 − sin2 x
p
¤
£
2
Si x ∈ π2 , 3π
2 , alors cos x = − 1 − sin x
Propriété 2.15 (Formules trigonométriques d’addition)
∀(a, b) ∈ R2 ,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
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Preuve :
On raisonne géométriquement dans le plan R2 .
−
On note →
x le vecteur unitaire (1, 0) qui oriente l’axe des ab−y le vecteur unitaire (0, 1) qui oriente l’axe des ordonscisses et →
nées..
On définit
→
−
−
−y
u = cos a →
x + sin a →
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→
−y
→
−
v
→
−
w
qui correspond au point d’affixe complexe cos a + i sin a.
On définit le vecteur orthogonal
a
π −
π −
−
−y
→
−
x + sin(a + )→
y = − sin a →
x + cos a →
v = cos(a + )→
2
2
→
−
u
b
−
−
(→
u ,→
v ) forme un nouveau repère
tourné d’un angle
¡− orthonormé
−y ¢.
a par rapport au repère initial →
x ,→
−
On pose →
w le vecteur unitaire d’angle a + b :
a +b
a
→
−
−
−y
w = cos(a + b)→
x + sin(a + b)→
−
−
−
Le vecteur →
w fait un angle b par rapport au repère (→
u ,→
v ).
Dans ce nouveau repère, il s’écrit donc :
→
−
−
−
w = cos b →
u + sin b →
v
¡
→
−
−y ¢ + sin b ¡− sin a →
−
−y ¢
= cos b cos a x + sin a →
x + cos a →
−
−y
= (cos a cos b − sin a sin b) →
x + (sin a cos b + cos b sin a) →
−
Donc par identification avec la première expression de →
w , on trouve bien
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Remarque : Il est beaucoup plus facile de trouver cette formule à partir des exponentielles complexes : ei (a+b) = ei a ei b .
Le problème est que dans ce cours, nous allons justement utiliser cette formule de duplication pour démontrer cette
propriété des exponentielles complexes.
Il faut donc trouver une porte de sortie pour ne pas tourner en rond. C’est la raison pour laquelle nous adoptons cette
preuve ici.
Corollaire 2.16 (Formules de l’angle double)
∀θ ∈ R,
cos(2θ) = 2 cos2 θ − 1 = 1 − 2 sin2 θ
sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
Preuve :
On applique simplement les formules d’addition et pour la première relation, on utilise Pythagore : cos2 θ + sin2 θ = 1
en gardant soit le cosinus, soit le sinus.
Corollaire 2.17 (Formules trigonométriques de soustraction)
∀(a, b) ∈ R2 ,
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Preuve :
On remplace b par −b et on utilise les propriétés de parité des fonctions cosinus et sinus.
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→
−
x
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Corollaire 2.18 (Formules de linéarisation)
1
1
cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a − b))
sin a sin b = (cos(a − b) − cos(a + b))
2
2
1
sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a − b))
2
Propriété 2.19 (Angles remarquables)
2π
3
3π
4
5π
6
Quelques mesures à connaître (en vous aidant du cercle)
0
π
6
π
4
cos θ
1
p
3
2
p
2
2
1
2
0
sin θ
0
1
2
p
2
2
p
3
2
1
θ
π
3
π
2
π
2
π
3
p
3
2
p
2
2
1
2
π
4
π
6
0
π
1
2
− 12
p p
3
2
2
2
− 21
− 5π
6
− π6
− 3π
4
− 2π
3
− π2
− π3
− π4
p
p
p
Dans les formules pour le sinus, remarquez l’incrémentation sous la racine 1 = 1 puis 2 puis 3. On a la même
chose dans l’autre sens pour le cosinus.
Et maintenant, vous ne devriez plus avoir la moindre difficulté à couper une pizza en trois parts égales ! Comment faitesvous ?
Preuve :
Pour θ = 0 et θ = π2 les résultats sont triviaux.
Pour θ = π4 , on est sur la bissectrice et on a donc cos π4 = sin π4 .
p
Or cos2 θ + sin2 θ = 1 on trouve alors (comme les deux sont positifs) : cos π4 = sin π4 = 22 .
Pour θ = π3 , on sait que le triangle de sommets (0, 0), (1, 0) et A(cos π3 , sin π3 ) est isocèle en (0, 0),
or l’angle au sommet vaut π3 , il est donc équilatéral.
La hauteur issue de A coupe donc le côté opposé en son milieu : cos π3 = 12 .
On en déduit la valeur du sinus par Pythagore.
Enfin, π6 = π2 − π3 . On trouve donc les valeurs cherchées par les relations élémentaires de trigonométrie.
3
L ES FORMES TRIGONOMÉTRIQUE ET EXPONENTIELLE
A Forme trigonométrique
Théorème 3.1 (Forme trigonométrique)
Soit z ∈ C∗ , alors z s’écrit de manière unique sous la forme
z = |z| (cos θ + i sin θ)
z = ρ (cos θ + i sin θ)
|z|
avec ρ > 0 et θ ∈] − π, π].
Dans ce cas, ρ = |z| et θ = arg(z).
Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique.
θ
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Remarque : Si z = 0, on peut aussi considérer que c’est une forme trigonométrique avec ρ = 0 et θ ∈] − π, π], mais il n’y
a plus d’unicité.
Attention : L’angle doit être le même dans le cosinus et le sinus.
Preuve :
1
Si z = 0, c’est évident,
z
∈ U,
si z 6= 0, |z|
sin θ
z
z
|z|
θ
³ ´
z
z
z
si on pose θ = arg(z) = arg |z|
, alors Re ( |z|
) = cos θ et Im ( |z|
) = sin θ
Ainsi, z = |z| (cos θ + i sin θ)
cos θ 1
Méthode (Mettre sous forme trigonométrique)
Pour mettre un nombre complexe z = a + i b sous forme trigonométrique,
on commence par calculer son module
p
|z| =
puis on cherche θ tel que
cos θ = p
a
a2 + b2
sin θ = p
et
a2 + b2
b
a2 + b2
Dans les exercices, si on vous demande de trouver ainsi une forme trigonométrique explicite, c’est que vous
aurez une valeur remarquable pour θ.
Exemple
p
Donnez la forme trigonométrique de z = −3 + 3i .
Solution :
On cherche le module
q
|z| =
On en déduit que
Donc θ =
p 2 p
p
(−3)2 + 3 = 12 = 2 3
p
−3
3
cos θ = p = −
2
2 3
et
p
3
1
sin θ = p =
2 3 2
5π
6 .
µ
µ ¶
µ ¶¶
p
5π
5π
z = 2 3 cos
+ i sin
6
6
B Exponentielle complexe
Définition 3.2 (Exponentielle complexe)
∀θ ∈ R, on note
ei θ = cos θ + i sin θ
Explications :
ei θ est le point du cercle trigonométrique d’argument θ (figure 6).
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ei θ
θ
Figure 6: Nombres complexes : Exponentielle complexe sur le cercle trigonométrique.
Exemple
ei 0 = e0 = 1,
π
ei π = −1,
ei 2 = i ,
e
3i π
2
iπ
= e− 2 = −i
Propriété 3.3 :
a) ∀θ ∈ R, ∀k ∈ Z, ei (θ+2kπ) = ei θ
0
b) ∀(θ, θ 0 ) ∈ R2 , ei (θ+θ ) = ei θ ei θ
c) ∀θ ∈ R, ei θ = e−i θ =
0
1
ei θ
¡ ¢n
d) ∀θ ∈ R, ∀n ∈ Z, ei nθ = ei θ
¯ ¯
e) ∀θ ∈ R, ¯ ei θ ¯ = 1
©
ª ©
ª
f) U = ei θ , θ ∈] − π, π] = ei θ , θ ∈ R
Preuve :
a) θ et θ + 2kπ représentent le même argument à 2π près. On a bien cos et sin qui sont 2π périodiques.
Attention : pour (a, b) ∈ R2 , a = b ⇒ ei a = ei b par contre la réciproque est fausse !.
b) Ce sont les formules d’addition des cosinus et sinus de la propriété 2.15.
¡
¢
¡
¢
0
ei (θ+θ ) = cos θ + θ 0 + i sin θ + θ 0
= cos θ cos θ 0 − sin θ sin θ 0 + i sin θ cos θ 0 + cos θ sin θ 0
= (cos θ + i sin θ)(cos θ 0 + i sin θ 0 )
= e i θ ei θ
0
c) Par parité du cosinus, et imparité du sinus pour la première égalité, la deuxième est simplement déduite du point
précédent.
d) Découle des deux points précédents par récurrence.
e) cos2 θ + sin2 θ = 1 d’après la propriété 2.14.
f) D’après le théorème 3.1.
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Définition 3.4 :
Soit λ ∈ R, θ ∈ R, on pose
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eλ+i θ = eλ ei θ
Autre formulation :
Soit z ∈ C, on pose
ez = eRe (z) ei Im z
Propriété 3.5 :
L’exponentielle complexe coïncide avec la définition de l’exponentielle réelle sur R.
∀(z, z 0 ) ∈ C2 ,
0
0
0
ez
et
ez−z = z 0
ez+z = ez ez
e
∀z ∈ C, ∀n ∈ Z,
¡ ¢n
enz = ez
Preuve :
Trivial
Explications :
Cette définition généralise à tous les nombres complexes l’exponentielle réelle que vous avez vu au lycée .
Attention : Sur C, parler de croissance ou de décroissance d’une fonction n’a aucun sens (les inégalités ne sont pas
définies).
Le logarithme n’existe pas2 sur C.
C Forme exponentielle
Théorème 3.6 (Forme exponentielle)
z = |z| ei θ
Soit z ∈ C∗ , z s’écrit de manière unique sous la forme
z = ρ ei θ
|z|
avec ρ ∈ R∗+ et θ ∈] − π, π].
Dans ce cas, ρ = |z| et θ = arg(z),
Cette écriture s’appelle la forme exponentielle.
θ
Remarque : Si z = 0 on peut aussi trouver une forme exponentielle, mais il n’y a plus d’unicité.
Propriété 3.7 (Identification)
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et le même argument modulo 2π
(s’il est définia ).
a Cas particulier du nombre complexe nul
Corollaire 3.8 :
Soit z ∈ C∗ , si on pose θ = arg(z), alors
z = eln |z|+i θ
2 En tout cas pas pour vous : c’est un problème très compliqué et il y a plusieurs définitions de logarithmes possibles.
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Remarque : Pour pouvoir prendre le logarithme du module, il faut que z soit non nul.
Propriété 3.9 (Interprétation géométrique du produit entre complexes)
Soient z ∈ C avec z = λ ei θ ,
−
Multiplier un nombre complexe w par z revient à appliquer au vecteur →
w une rotation d’angle θ et une homothétie de rapport λ.
Preuve :
0
0
0
si w = |w| ei θ , alors w z = λ|w| ei θ ei θ = λ|w| ei (θ +θ))
On bien multiplié la longueur du vecteur par λ et on a ajouté θ à son argument : on l’a fait tourner de θ.
|w| ei θ
′
′
|w| ei (θ +θ)
′
λ|w| ei (θ +θ)
θ
θ′
Figure 7: Nombres complexes : Interprétation géométrique du produit.
Corollaire 3.10 :
∀(z, z 0 ) ∈ (C∗ )2 ,
arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 ) [2π]
et
arg
³z´
z0
= arg(z) − arg(z 0 ) [2π]
Explications :
¡ ¢
arg zz0 = arg(z) − arg(z 0 ) correspond à l’angle orienté entre les vecteurs z et z 0 .
Exemple
Donnez la forme exponentielle de 1 + i , interprétez géométriquement.
Solution :
1 + i correspond à l’angle en “haut à droite” du carré de de côté
p 1 et délimité par les deux axes.
On a donc un angle de π4 (c’est-à-dire 45o ) et une longueur de 2 (diagonale d’un carré de côté 1 d’après Pythagore).
p
π
Donc 1 + i = 2 ei 4
p
p
On peut aussi le µdémontrer¶ de façon purement calculatoire : |1 + i | = 12 + 12 = 2.
p
1
i
Donc 1 + i = 2 p + p
2
2
Ãp
p !
p
2
2
= 2
+i
2
2
p ³
π
π´
= 2 cos + i sin
4
4
p
π
= 2 ei 4
Il va sans dire que l’interprétation géométrique va plus vite que les calculs aveugles. Mais, ça, ce n’est pas nouveau : il est toujours plus simple de faire les calculs quand on comprend ce que l’on fait.
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Méthode (Quelle forme dans quelle situation ?)
Comme expliqué plus haut :
• Lorsqu’il y a des produits ou puissances, utilisez la forme exponentielle.
• Lorsqu’il y a des sommes, utilisez la forme algébrique.
Ensuite, comme pour tout méthode, il y a des exceptions. . .
Exemple
Donnez la forme cartésienne de (1 + i )n pour n ∈ Z.
Solution :
Pour passer à la puissance n, on utilise la forme trigonomtrique (ne vous amusez pas à faire un binôme de Newton
si vous souhaitez en sortir vivant).
(1 + i )n =
´
³p
p n nπ p n ³
π n
π´
π
2 ei 4 = 2 ei 4 = 2 cos n + i sin n
4
4
D Vecteurs du plan et nombres complexes
Propriété 3.11 :
Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives z A et z B .
−→
Le vecteur AB est alors d’affixe z B − z A .
Corollaire 3.12 (Distance et angle entre deux points)
Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives z A et z B .
Dans un repère orienté,
AB = |z B − z A |
et
arg(
zB
−
−→ −−→
á
) = arg z B − arg z A = O A, OB
zA
Explications :
L’angle obtenu avec les argument, est un angle orienté : il est positif dans le sens direct, et négatif sinon. L’orientation
de l’angle correspond à l’orientation du cercle trigonométrique (sens des angles θ croissants). Si on échange les
deux vecteurs, alors cela revient à prendre l’angle opposé.
Propriété 3.13 :
−
−
Soient →
u et →
v deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z 1 et z 2
→
−
−
u et →
v colinéaire ⇐⇒ ∃λ ∈ R tel que z 1 = λz 2 ou z 2 = λz 1
⇐⇒ z 1 z 2 ∈ R
Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives z A , z B et zC .
−→
−→
−→
−→
A, B et C alignés ⇐⇒ ∃λ ∈ R tel que AB = λ AC ou AC = λ AB
⇐⇒ ∃λ ∈ R tel que z B − z A = λ (zC − z A ) ou zC − z A = λ (z B − z A )
¡
¢
⇐⇒ (z B − z A ) zC − z A ∈ R
Explications :
−
−
−
−
Il ne faut pas oublier la double condition de colinéarité →
u = λ→
v ou →
v = λ→
u.
En effet, cela est dû à la situation où l’un des deux vecteurs serait nul. Un vecteur nul est colinéaire à tout autre
−
−
−
vecteur, ainsi, si →
v est nul, il est colinéaire à tout vecteur non nul →
u , et pourtant →
u ne peut pas s’écrire sous la
→
−
→
−
→
−
→
−
forme λ v = 0 . Par contre, avec λ = 0, on a bien v = λ u .
−
−
Et réciproquement si on échange les rôles de →
u et →
v.
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Preuve :
Pour obtenir la dernière équivalence, il suffit de multiplier par z 2 , et comme z 2 z 2 = |z 2 |2 ∈ R, alors il peut être retiré
de la relation.
4
A PPLICATION À LA TRIGONOMÉTRIE
A Trigonométrie (partie 2)
Les formules trigonométriques se trouvent fortement simplifiées par l’usage de l’exponentielle complexe. C’est ce que
nous allons voir.
Propriété 4.1 :
∀θ ∈ R,
cos θ = Re ( ei θ )
et
sin θ = Im ( ei θ )
Preuve :
C’est la traduction de la définition du sinus et du cosinus en utilisant l’exponentielle complexe.
Propriété 4.2 (Expressions de la tangente)
©
ª
∀θ ∈ R \ π2 + kπ, k ∈ Z ,
tan θ =
sin θ
cos θ
1 + tan2 θ =
et
1
cos2 θ
Preuve :
Égalité 1 :
La droite qui fait un angle θ avec l’axe des abscisses est paramétrée par
©
ª
(d ) : ρ (cos θ + i sin θ) ρ∈R
Elle coupe l’axe
ª lorsque la partie réelle vaut 1, c’est-à-dire pour ρ cos θ = 1.
© des abscisses
Comme θ 6∈ π2 + kπ, k ∈ Z , on a bien cos θ 6= 0.
Donc ρ = cos1 θ .
La tangente est définie par l’ordonnée du point d’intersection. Elle est donc égale à la partie imaginaire du point
que nous venons de trouver :
sin θ
tan θ = ρ sin θ =
cos θ
Égalité 2 :
On applique simplement la relation cos2 θ + sin2 θ = 1 à l’égalité précédente.
Propriété 4.3 (Formules d’Euler)
∀θ ∈ R,
cos θ =
ei θ + e−i θ
2
et
sin θ =
ei θ − e−i θ
2i
Attention : N’oubliez pas le i au dénominateur pour le sinus.
Preuve :
C’est la propriété 1.10 qui est utilisée pour exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de la propriété 4.1.
Il peut arriver que l’on soit contraint de faire la somme de deux formes exponentielles, on a alors souvent recours à la
technique suivante :
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Méthode (Factorisation par l’angle moyen)
Soient (a, b) ∈ R2 ,
ei a + ei b = ei
a+b
2
³
ei
a−b
2
+ e−i
a−b
2
´
µ
= 2 cos
¶
a − b i a+b
e 2
2
On fait de même avec une différence.
Remarque : Les deux exponentielles sont unitaires.
Exemple
Pour θ 6= π[2π], simplifiez l’expression de
Solution :
1 − ei θ
1 + ei θ
=
1 − ei θ
1 + ei θ
.
e0 − ei θ
(Étape inutile dans votre rédaction)
e0 + ei θ
¡
¢
ei θ/2 e−i θ/2 − ei θ/2
¢
= i θ/2 ¡ −i θ/2
e
e
+ ei θ/2
sin(θ/2)
cos(θ/2)
= −i tan(θ/2)
= −i
(Formules d’Euler)
Propriété 4.4 (Formule de Moivre)
Soit θ ∈ R et n ∈ Z,
(cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ)
Preuve :
¡ i θ ¢n
e
= ei nθ puis on passe en écriture cartésienne.
Attention : Ne vous trompez pas sur cette formule, en particulier cosn θ6= cos(nθ).
Méthode (Linéarisation)
Soit θ ∈ R, (p, q) ∈ N2 , On cherche à exprimer une expression de type cosp θ sinq θ à l’aide de d’une somme de
cos nθ et sin nθ
(on supprime les puissances et produit de fonctions trigonométriques.
• On utilise la formule d’Euler sous la puissance :
ei θ + e−i θ
cos θ sin θ =
2
Ã
p
q
!p Ã
ei θ − e−i θ
2i
!q
• On développe avec la formule du binôme,
• On rassemble les termes de même exposant pour retrouver des sin et cos.
Remarque : La linéarisation permet en particulier certains calculs d’intégrales.
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Exemple
Pour θ ∈ R, linéarisez sin5 θ
Solution :
!5
Ã
ei θ − e−i θ
5
(Euler)
sin θ =
2i
´
1 ³ 5i θ
=
e − 5 e3i θ + 10 ei θ − 10 e−i θ + 5 e−3i θ − e−5i θ
(Binôme de Newton)
32iÃ
!
Ã
!
Ã
!
1 e5i θ − e5i θ
5 e3i θ − e−3i θ
10 ei θ − e−i θ
−
+
=
16
2i
16
2i
16
2i
=
sin(5θ) − 5 sin(3θ) + 10 sin θ
16
Exemple
Pour θ ∈ R, linéarisez sin2 θ cos4 θ.
Solution :
Ã
!2 Ã
!4
ei θ − e−i θ
ei θ + e−i θ
2
4
sin θ cos θ =
(Euler)
2i
2
´³
´
1 ³ 2i θ
=−
e − 2 + e−2i θ e4i θ + 4 e2i θ + 6 + 4 e−2i θ + e−4i θ
(Binôme de Newton)
64
³
´
1
=−
e6i θ + 2 e4i θ − e2i θ − 4 − e2i θ + 2 e4i θ + e6i θ
(Développement)
64
cos(6θ) + 2 cos(4θ) − cos(2θ) − 2
=−
32
Astuces pour calculer plus rapidement et vérifier vos formules :
• N’oubliez pas de mettre le dénominateur à la bonne puissance.
• Les coefficients binomiaux sont symétriques :
lorsque vous trouvez un terme n ei pθ , vous trouverez aussi le terme symétrique ±n e−i pθ .
C’est ce qui permet ensuite de recomposer les fonctions trigonométriques.
→ il suffit de faire la moitié du développement.
• Lorsque vous avez un signe “−” dans le binôme, dans le développement vous avez une alternance de signes “+”
et “−”.
Pour savoir si le terme symétrique est affecté d’un + ou d’un −, remplacez θ par −θ dans l’expression à développer et voyez si
vous trouvez la même expression ou l’opposé,
→ si la fonction est paire, elle s’exprimera avec cos,
→ si la fonction est impaire, elle s’exprimera avec sin.
• Les coefficients en exposant vont de 2 en 2.
→ tous les termes en argument ont la même parité.
• Pour calculer un développement comme dans le dernier exemple, ne le faites pas de façon traditionnelle.
Pour chaque exposant comptez simplement le nombre de fois vous le trouvez.
Par exemple, pour l’exposant 4, on l’obtient avec e2i θ × 4 e2i θ et −2 × e4θ , ce qui en donne 4 − 2 = 2 au total.
Méthode (Dé-linéarisation)
La délinéarisation consiste à transformer une expression de type sin(nθ) ou cos(nθ) en produits et puissances
de sin θ et cos θ.
C’est l’opération inverse de la linéarisation.
Pour cela
• On utilise la formule de Moivre
¡
¢
cos(nθ) = Re (cos θ + i sin θ)n
et
• On utilise la formule du binôme
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¡
¢
sin(nθ) = Im (cos θ + i sin θ)n
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Exemple
Délinéarisez sin(5θ).
Solution :
sin(5θ) = Im ( e5i θ )
¡
¢
= Im (cos θ + i sin θ)5
(formule de Moivre)
¡
¢
5
4
= Im cos θ + 5i cos θ sin θ − 10 cos3 θ sin2 θ − 10i cos2 θ sin3 θ + 5 cos θ sin4 θ + i sin5 θ
4
2
3
(binôme de Newton)
5
= 5 cos θ sin θ − 10 cos θ sin θ + sin θ
Désormais, sauf cas particulier, il faut simplifier pour avoir une expression plus propre. Pour cela on utilise la
relation cos2 θ + sin2 θ = 1.
sin(5θ) = 5(1 − sin2 θ)2 sin θ − 10(1 − sin2 θ) sin3 θ + sin5 θ
= 5(1 − 2 sin2 θ + sin4 θ) sin θ − 10 sin3 θ + 10 sin5 θ + sin5 θ
= 16 sin5 θ − 20 sin3 θ + 5 sin θ − 20 sin3 θ
Attention :
³
´n
Im ( ei nθ )6= Im ( ei θ )
et
sin(nθ)6= sinn θ
Astuce pour calculer plus rapidement et vérifier vos formules : La troisième ligne dans le calcul de l’exemple est
inutile : puisque vous savez que vous allez prendre la partie imaginaire ne calculez que les termes avec i en facteur.
→ il suffit de ne calculer que la moitié du binôme.
B Résolution d’équations trigonométriques
Théorème 4.5 (Applications trigonométriques réciproques)
Pour tout c ∈ [−1, 1], l’équation cos x = c admet une unique solution dans [0, π].
On note cette solution : x = arccos(c)
Pour c 6∈ [−1, 1], l’équation cos x = c n’admet pas de solution.
Pour tout s ∈ [−1, 1], l’équation sin x = s admet une unique solution dans [− π2 , π2 ].
On note cette solution : x = arcsin(s)
Pour c 6∈ [−1, 1], l’équation sin x = c n’admet pas de solution.
Pour tout t ∈ R, l’équation tan x = t admet une unique solution dans ] − π2 , π2 [.
On note cette solution : x = arctan(t )
Remarque : Sur certaines calculatrices, la fonction arccos est notée cos−1 . De même pour arcsin et arctan.
Preuve :
Pour montrer que la solution existe on utilise le théorème des valeurs intermédiaires grâce à la continuité, et pour
dire qu’elle est unique, on dit que l’application est soit strictement croissante, soit strictement décroissante.
Attention : Apprenez les intervalles correspondant à chacune des équations. À la fois pour l’inconnue et pour la
solution. La propriété 4.6 précisera mieux leur importance.
Explications :
x 7→ cos x réalise une bijection de [0, π] dans [−1, 1] : cos relie chaque point de [0, π] à un unique point de [−1, 1] :
on apparie les points des intervalles deux à deux.
Lorsque l’on va de [0, π] vers son homologue [−1, 1], on utilise le cosinus pour relier les points. Si on fait le parcours dans l’autre sens, on appelle cette application l’arc cosinus : c’est l’application réciproque de cos.
Géométriquement (voir la figure 8) :
Résoudre cos x = c dans [0, π], c’est chercher l’ensemble des points du cercle dont l’abscisse est égale à c et donner
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leur argument.
Cela revient à tracer une droite verticale d’abscisse c dans le plan et étudier l’intersection avec le cercle trigonométrique.
On observe que :
• Pour |c| > 1, la droite ne coupe pas le cercle, il n’y a pas de solution.
• Pour c = 1, la droite coupe le cercle en un seul point θ = 0[2π]. Si on ne prend que l’argument principal, il n’y
a qu’une seule solution : θ = 0.
• Pour c = 1, la droite coupe le cercle en un seul point θ = π[2π]. Si on ne prend que l’argument principal, il n’y
a qu’une seule solution : θ = π.
• Pour |c| < 1, la droite coupe le cercle en deux points θ et −θ.
Pour avoir l’unicité, on ne prend que la solution correspondant à l’argument principal dans la partie supérieure
du cercle.
θ
c
|c| > 1
c = −1
x = arccos c
c ∈] − 1, 1[ c = 1
c = cos x
−θ
(a) Existence et localisation des solutions
(b) Représentation graphique de la bijection
Figure 8: Nombres complexes : résolution géométrique de l’équation cos x = c
La bijection, consiste donc simplement à relier point à point le demi-cercle supérieur au segment [−1, 1] grâce
à des lignes verticales. On peut considérer que ces deux éléments représentent en fait le même objet que l’on
déforme comme un élastique (mais ça c’est une autre histoire).
De même, pour le sinus, on prend des droites horizontales et on ne garde que la partie droite du cercle trigonométrique.
Enfin pour la tangente, on prend les droites obliques qui ont servi à construire l’application, elle joignent chaque point
de la droite réelle (mise verticalement à l’abscisse 1) avec un point du demi-cercle droit (strict).
Ici, la bijection étire le demi-cercle à l’infini comme un super-élastique !
Attention :
point.
Pour la tangente, l’intervalle est ouvert en ] − π2 , π2 [. L’application tangente n’est pas définie en ces deux
Propriété 4.6 (Composition des fonctions circulaires et réciproques)
∀x ∈ [−1, 1],
∀x ∈ [−1, 1],
∀x ∈ R,
£
¤
∀x ∈ − π2 , π2 ,
∀x ∈ [0,
¤ π] , £
∀x ∈ − π2 , π2 ,
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tan(arctan x) = x
arcsin(sin x) = x
arccos(cos x) = x
arctan(tan x) = x
Par contre, en général pour x ∈ R, arccos(cos x) 6= x et arcsin(sin x) 6= x
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t = tan x
x = arctan t
Figure 9: Nombres complexes : résolution géométrique de l’équation tan x = t
Explications :
Pour x ∈ R, on n’a pas l’égalité en général. En effet, lorsque l’on passe au sinus ou au cosinus, on enroule R tout
entier sur le cercle trigonométrique en faisant une infinité de tours. Ainsi, plusieurs points se trouvent superposés
(c’est le principe de “modulo 2π”). Ils ont le même sinus ou le même cosinus : on perd donc de l’information
puisque des éléments différents donnent la même valeur.
Soyez vigilant, surtout dans la résolution des équations pour voir si vous£avez le
¤ droit d’écrire des équivalences
lorsque vous composez avec le sinus ou le cosinus. Sauf à se trouver dans − π2 , π2 pour le sinus et dans [0, π] pour
le cosinus, on perd l’équivalence lorsque l’on compose une égalité par la fonction (sinus ou cosinus).
Lorsque l’on compose cos x par l’arccosinus, on obtient l’argument principal correspondant à x. Mais ce n’est pas
forcément x lui-même.
Rappelez-vous :
• que l’on a toujours : cos (arccos x) = x
(car la définition de arccos impose à x d’être déjà dans un intervalle bien limité).
• par contre, qu’en général : arccos (cos x) = x
(car la définition de cos ne donne pas de limitation sur les valeurs de x).
Exemple
arccos cos x = 0 ⇐⇒ x = 0 (mod 2π)
cos arccos x = 0 ⇐⇒ x = 0
Exemple
Résoudre dans ] − π2 , π2 [ puis sur R, tan x = 1 .
Solution :
L’unique solution est x = π4 .
©
ª
L’ensemble des solutions sur R tout entier est π4 + kπ, k ∈ Z .
Exercice
a) Pour c ∈ [−1, 1], donnez l’ensemble des solutions de l’équation cos x = c.
b) Pour s ∈ [−1, 1], donnez l’ensemble des solutions de l’équation sin x = s.
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c) Pour t ∈ R, donnez l’ensemble des solutions de l’équation tan x = t .
Théorème 4.7 :
Pour (c, s) ∈ R2 , on définit le système :
½
(S) :
cos x = c
sin x = s
Si c 2 + s 2 6= 1, alors (S) n’a pas de solutions.
Si c 2 + s 2 = 1, alors (S) a une unique solution x 0 dans ] − π, π[, et l’ensemble des solutions sur R est :
S = {x 0 + 2kπ, k ∈ Z}
Explications :
Il faut que la droite horizontale d’ordonnée s coupe la droite verticale d’abscisse c sur le cercle trigonométrique
pour qu’il y ait une solution. On obtient alors la valeur de l’angle modulo 2π.
Méthode (Calcul de la phase)
En physique, on obtient souvent des expressions du type G = A cos θ + B sin θ que l’on veut exprimer sous la
forme r cos(θ − ϕ).
ϕ correspond au décalage de phase (entre l’élément étudié et la source en cos θ).
Pour cela
p
• On cherche l’amplitude du signal r = A 2 + B 2 .
¡
¢
• On factorise par r : G = r α cos θ + β sin θ) ,
• Or α2 + β2 = 1, donc il existe ϕ ∈ R tel que α = cos ϕ et β = sin ϕ, donc
¡
¢
G = r cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ = r cos(θ − ϕ)
Remarque : Si on cherche ϕ tel que α = sin ϕ et β = cos ϕ, alors on obtiendra une expression en sinus.
Exemple
Trouvez la phase de G = 3 cos θ + 4 sin θ.
Solution : p
On pose r = 32 + 42 = 5
On cherche ϕ tel que
cos ϕ = 35
sin ϕ = 45
¡ ¢2 ¡ ¢2
Ce système admet au moins une solution car 35 + 54 = 1.
¡3¢
ϕ = arccos 5 convient (ϕ > 0 car sin ϕ > 0).
Donc
¡
¢
G = 5 cos θ − ϕ
½
Exemple
p
p
Résoudre 3 cos x − sin x = 2
Solution :
On met l’expression
de gauche sous la forme d’un cosinus avec phase :
p
On pose r = 3 + 1 = 2
Le système est donc équivalent à
p
p
3
1
2
cos x − sin x =
2
2
2
C’est-à-dire à
p
π´
2
cos x +
=
6
2
³
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p
(ici ϕ = − arccos 23 car sin ϕ < 0)
Les solutions de l’équation sont donc
¾
nπ π
o ½π
π π
5π
− + 2kπ, − − + 2kπ, k ∈ Z =
+ 2kπ, −
+ 2kπ, k ∈ Z
4 6
4 6
12
12
5
É QUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Définition 5.1 (Racine carrée complexes)
Soit ∆ ∈ C, on définit les racines carrées complexes de ∆ par l’ensemble des δ tels que
δ2 = ∆
p
Attention : Sauf pour 0, la racine carrée complexe n’est pas unique. N’utilisez pas la notation “ .” pour une racine
carrée complexe.
Exemple
Les racines carrés complexes de 49 sont 7 et −7.
Les racines carrés complexes de −49 sont 7i et −7i .
Théorème 5.2 (Description des racines carrées complexes)
Soit ∆ ∈ C∗ , alors ∆ peut être mis sous la forme ∆ = ρ ei θ avec ρ > 0,
∆ admet exactement deux racines carrées complexes distinctes :
δ1 =
p iθ
ρe 2
θ
p
p i
δ 2 = − ρ ei 2 = ρ e
³
θ
2 +π
´
Exemple (Cas particuliers)
• Si ∆ ∈ R∗+ , alors ∆ = ρ et θ = 0.
Les racines carrées complexes sont les deux réels opposés :
p
δ1 = ∆
p
δ2 = − ∆
• Si ∆ ∈ R∗− , alors ρ = ∆ et θ = π : ∆ = |∆| ei π
Les racines carrées complexes sont les deux imaginaires purs opposés :
p
p
δ1 = |∆| ei π/2 = i |∆|
p
p
δ2 = − |∆| ei π/2 = −i |∆|
Explications :
Un produit multiplie les modules et ajoute les arguments. Donc l’opération de mise au carré met le module au
carré et multiplie par deux l’argument.
Pour trouver les racines carrées complexes, il suffit donc de faire l’opération inverse : on prend la racine carrée
(réelle) du module et on divise l’argument par deux.
La duplicité des racines carrées provient du fait que l’argument peut être obtenu en tournant soit dans un sens,
soit dans l’autre :
• si on tourne dans le sens direct, on obtient θ/2,
• si on tourne dans l’autre sens, c’est que nous sommes partis avec un tour en trop : θ +2π. Lorsque l’on prend
l’angle moitié on trouve donc θ/2 + π. Le supplément d’argument π revient à prendre l’opposé car ei π = −1.
Si on considère, des complexes de module 1, cela donne la figure 10.
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ei θ
θ
i
e 2
θ
i +π
e 2
Figure 10: Nombres complexes : Interprétation géométrique de la racine carrée (module 1)
Exemple
Cherchez les racines carrées complexes de i .
Solution :
π
π
π
5i π
On met sous forme exponentielle : i = ei 2 et on obtient les deux racines carrées : ei 4 et ei ( 4 +π) = e 4 ou avec
π
l’argument principal : e−3i 4 .
Exemple
Cherchez les racines carrées complexes de 1 + i .
Solution :
p
p
p
π
π
π
4
4
On met sous forme exponentielle : 1 + i = 2 ei 4 et on obtient les deux racines carrées : 2 ei 8 et − 2 ei 8
Théorème 5.3 (Résolution des équations de degré 2)
Soient (a, b, c) ∈ C3 , avec a 6= 0.
On définit l’équation (complexe) de degré 2
(E ) :
az 2 + bz + c = 0
On pose ∆ = b 2 − 4ac et δ est une racine complexe de ∆ (n’importe laquelle).
(E ) admet deux solutions (éventuellement confondues)
z1 =
−b − δ
2a
et z 2 =
−b + δ
2a
Preuve :
On met déjà le trinôme sous forme canonique en faisant apparaître un carré (permet de n’avoir qu’un seul z dans
l’équation) :
µ
¶
b
2
2
az + bz + c = a z + z + c
a
µµ
¶ µ ¶2 ¶
b 2
b
=a z+
−
+c
2a
2a
µ
¶2
b
b2
=a z+
−
+c
2a
4a
µ
¶2
b
∆
=a z+
−
2a
4a
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Donc
¶
b 2 ∆
az + bz + c = 0 ⇐⇒ a z +
=0
−
2a
4a
¶2
µ
b
⇐⇒ (2a)2 z +
=∆
2a
¶
µ
b
est une racine carrée complexe de ∆
⇐⇒ 2a z +
2a
µ
¶
b
⇐⇒ 2a z +
= ±δ avec δ une racine carrée complexe de ∆
2a
−b − δ
−b + δ
⇐⇒ z =
ou z =
avec δ une racine carrée complexe de ∆
2a
2a
µ
2
Théorème 5.4 (Lien entre les racines et la factorisation)
Soient (a, b, c) ∈ C3 , avec a 6= 0.
(z 1 , z 2 ) sont des racines de az 2 + bz + c
si et seulement si az 2 + bz + c = a (z − z 1 ) (z − z 2 )
Explications :
Trouver les racines revient à factoriser le polynôme.
Preuve :
À partir de la forme canonique de la preuve précédente, il suffit d’utiliser l’identité remarquable
Z 2 − δ2 = (Z − δ)(Z + δ)
Remarque : On peut généraliser cette relation à un degré quelconque. C’est ce que nous ferons lorsque nous étudierons
les polynômes : “z 1 racine si et seulement si z − z 1 divise le polynôme”.
Méthode (Équations de degré supérieur)
Si vous avez à résoudre une équation de degré 3 ou supérieur. Commencez par chercher des racines évidentes.
Exemple
2i π
2i π
Résoudre sur C, z 3 − z 2 − z e 3 + e 3 = 0
Solution :
2i π
2i π
z = 1 est solution car 1 − 1 − e 3 + e 3 = 0
On peut donc factoriser par (z − 1) :
z3 − z2 − z e
2i π
3
+e
2i π
3
= (z − 1)(z 2 − e
2i π
3
)
Pour finir la résolution, on voit qu’apparaît directement une deuxième factorisation :
(z − 1)(z 2 − e
Les solutions de l’équation sont donc
2i π
3
iπ
iπ
) = (z − 1)(z − e 3 )(z + e 3 )
o
n
iπ
iπ
S = 1, e 3 , − e 3
Corollaire 5.5 (Relations coefficients-racines)
Si z 1 et z 2 sont les deux racines de
az 2 + bz + c
Alors
z1 + z2 = −
b
a
et
z1 z2 =
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c
a
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Preuve :
Il suffit d’utiliser les expressions trouvées pour z 1 et z 2 ou développer la forme factorisée.
À noter que si z 1 = z 2 , alors on la compte deux fois.
Corollaire 5.6 :
Soient S ∈ C et P ∈ C, on définit le système d’équation
½
(S) :
z1 + z2
z1 z2
=S
=P
(z 1 , z 2 ) est solution de (S) si et seulement si ce sont les solutions de l’équation z 2 − Sz + P = 0
Remarque : Ce n’est pas un système linéaire car la deuxième équation comporte un produit entre les deux inconnues.
Exemple
Résoudre le système :
½
(S) :
z 1 + z 2 = 6 − 10i
z 1 z 2 = −4(4 + 7i )
Solution :
(z 1 , z 2 ) est solution de (S) si et seulement si ce sont les solutions de l’équation z 2 − (6 − 10i )z − 4(4 + 7i ) = 0
On calcule le discriminant ∆ :
´
³ p
¡
¢
π 2
π
∆ = (6 − 10i )2 + 16(4 + 7i ) = 4 (3 − 5i )2 + 16 + 28i = −8i = 8 e−i 2 = 2 2 e−i 4 = (2 − 2i )2
Donc z 1 =
6
−6+10i −2+2i
2
= −4 + 7i
et z 2 = −2 + 3i sont les seules solutions (à l’ordre près).
R ACINES n IÈMES DE L’ UNITÉ
Cette partie est hors programme. Mais elle est indispensable dès que l’on traite de complexes et de trigonométrie. En
plus, ce n’est pas dur !
C’est la raison pour laquelle nous lui donnons une place dans le cours et pas seulement dans un devoir maison ou un
exercice qui passerait aux oubliettes.
Nous allons généraliser ce nous avons fait avec la racine carrée pour une racine n ième .
Définition 6.1 (Racine n ième )
Soit c ∈ C, on appelle racine n ième de c, tout nombre complexe z tel que
zn = c
Lorsque c = 1, on parle de racines n ièmes de l’unité.
Exemple
0 possède une seule racine n ième : 0.
Pour n = 2, les racines n ièmes sont les racines carrées complexes.
Théorème 6.2 (Racines n ièmes de l’unité)
On se place dans le cas particulier où c = 1
c = 1 possède exactement n racines n ièmes qui sont
n
o
2i kπ
Un = ξk = e n , k ∈ [[0, n − 1]]
Remarque : Si on note ξ1 = e
2i π
n
©
ª
, alors Un = ξk1 , k ∈ [[0, n − 1]] .
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Explications :
les racines n ièmes de l’unité correspondent aux sommets des polygones réguliers à n côtés.
ξ1 = π
2
ξ1
ξ1 = j
ξ2
1
ξ2 = π
1 = ξ0
1 = ξ0
ξ3
ξ2 = j 2
ξ4
ξ3 = 3π
2
(a) Triangle - racines 3ièmes
(b) Carré - racines 4ièmes
(c) Pentagone - racines 5ièmes
Figure 11: Nombres complexes : Les racines n ièmes de l’unité.
Preuve :
(sens réciproque) Si z ∈ Un , alors z est racine n ième de l’unité (trivial).
(sens direct) Si z n = 1, alors en particulier |z|n = 1. Or l’équation x n = 1 admet une seule solution sur R+ : x = 1.
Donc |z| = 1, z s’écrit donc sous la forme z = ei θ avec θ ∈ R.
Or
2π
ei nθ = 1 ⇐⇒ nθ ≡ 0 (mod 2π) ⇐⇒ θ ≡ 0 (mod
)
n
o
n
C’est-à-dire θ ∈ 2inkπ , k ∈ [[0, n − 1]] . Donc S ⊂ Un
Et les solutions ainsi décrites sont distinctes deux à deux.
On a déja montré l’autre inclusion lors du sens réciproque, donc
n
o
S = Un = ξk1 , k ∈ [[0, n − 1]]
On remarque que pour décrire U , on peut choisir k ∈ [[0, n − 1]] ou k ∈ [[1, n]], ou dans tout autre ensemble de n
entiers consécutifs : on obtiendra exactement les mêmes solutions (grâce au modulo 2π), seul l’ordre sera affecté).
Relation entre les solutions :
2i π
2i kπ
si on note ξ1 = e n , alors pour tout k ∈ [[0, n − 1]], ξk1 = e n = ξk1 .
Propriété 6.3 (Somme et produit des racines de l’unité)
On se place dans le cas particulier où c = 1
Soit n ∈ N∗ , pour tout k ∈ [[0, n]], on pose ξk = e
n−1
X
2i kπ
n
ξk = 0
k=0
,
et
n−1
Y
ξk = (−1)n−1
k=0
Remarque : Cette relation pourrait être interprétée comme une relation coefficients/racines pour un degré supérieur
à 2 : dans l’équation z n = 1, le coefficient de z n−1 est 0 et le coefficient constant est −1.
Preuve :
n−1
X
ξk =
k=0
n−1
X
e
2i kπ
n
k=0
=
n−1
X³
e
2i π
n
´k
k=0
=
e
2i nπ
n
e
=0
2i π
n
−1
−1
(somme géométrique)
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n−1
Y
ξk =
n−1
Y
e
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2i kπ
n
k=0
k=0
=
n−1
Y³
e
2i π
n
´k
k=0
³
2i π
n
P
´n−1
k
k=0
= e
³ 2i π ´n(n−1)/2
= e n
´n−1
³
= ei π
= (−1)n−1
Propriété 6.4 (Racines n ième d’un nombre complexe)
On se place dans le cas général
Soit c ∈ C∗ , c admet exactement n racines n ièmes distinctes qui sont
np
n
|c| e
θ+2i kπ
n
, k ∈ [[0, n − 1]]
o
avec θ = arg c.
p
1
et pour x > 0, n x désigne x n ∈ R.
Preuve :
Comme d’habitude, on se ramène au cas |c| = 1 en divisant par |c| 6= 0 (car c ∈ C∗ ).
c
Si on pose θ = arg c, alors |c|
= ei θ .
Alors
µ
¶
z n
= ei θ
z n = c = |c|e i θ ⇐⇒ p
n
|c|
Chercher les solutions de z n = c, revient à chercher les solutions de Z n = ei θ avec Z =
z
p
.
n
|c|
iθ
Comme nous l’avions vu pour les racines n ièmes de l’unité : si Z est solution de Z n = e , alors |Z | = 1.
Donc les solutions sont incluses dans U et peuvent donc s’écrire Z = ei ϕ avec ϕ ∈ R.
½
¾
³
´n
θ
2π
θ + 2kπ
ei ϕ = ei θ ⇐⇒ ei nϕ = ei θ ⇐⇒ nϕ ≡ θ (mod 2π) ⇐⇒ ϕ ≡
(mod
) ⇐⇒ ϕ ∈
, k ∈ [[0, n − 1]]
n
n
n
p
n
iϕ
Donc en multipliant Z = e par |c|, on obtient bien les solutions énoncées dans le théorème.
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