Terminale ES Rappels sur les Suites 1 TES Rappels sur les suites I Qu’est-ce qu’une suite ? • Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie. On note (un) la suite u0, u1, u2, ….., un, un+1, ……… Le nombre un est appelé terme d’indice n de la suite (un). • On définit une suite par deux procédés usuels : Par une expression de type un = f(n) où f désigne une fonction Par récurrence : on se donne le premier terme u0 et une relation permettant de définir chaque terme à partir du précédent. • La représentation graphique dans un repère des termes d’une suite (un) est l’ensemble des points isolés de coordonnées (0; u0), (1; u1), …… (n; un), ….. 2 TES Rappels sur les suites Rappels Exemples • La suite un définie de manière explicite par un = n² exprime les carrés des nombres entiers naturels. u0 = 0² = 0; u1 = 1² = 1; u2 = 2² = 4; …..u10 = 10² = 100 • On peut définir une suite (vn) par récurrence avec v0 = 3 et vn+1 = 0,5×vn - 1. v0 = 3; v1 = 0,5×v0 - 1 = 0,5×3 - 1 = 0,5; v2 = 0,5×0,5 - 1 = - 0,75; ……. 3 TES Rappels sur les suites II Sens de variation d’une suite • La suite (un) est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, un+1 > un. La suite (un) est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, un+1 < un. • On définit de même : une suite croissante en utilisant une inégalité au sens large : un+1 ≥ un. une suite décroissante en utilisant une inégalité au sens large : un+1 ≤ un. 4 TES Rappels sur les suites III Suites arithmétiques • Une suite (un) est arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n : un+1 = un + r. Le réel r est appelé raison de la suite (un). • Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n : un, = u0 + nr. • Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p : un, = up + (n- p)r. 5 TES Rappels sur les suites Exemple Soit (un) la suite définie par récurrence par u0 = 1 et un+1 = un + 2. (un) est une arithmétique de raison r = 2. On a u0 = 1; u1 = 1 + 2 = 3; u2 = 3 + 2 = 5; …. L’expression explicite de la suite (un) est : un = u0 + n×r = 1 + 2n (un) représente la liste des entiers naturels impairs. 6 Terminale ES Suites géométriques 7 TES Suites Géométriques I Reconnaître une suite géométrique Définition 1 Dire qu'une suite (un ) est géométrique signifie qu'il existe un réel q tel que, pour tout naturel n : un+1 = q x un. Le réel q est appelé raison de la suite (un). Exemple (un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = 2. On a alors : • u1 = 3 x u0 = 3 x 2 = 6; • u2 = 3 x u1 = 3 x 6 = 18; • u3 = 3 x u2 = 3 x 18 = 54 8 TES Suites Géométriques Calcul de un connaissant u0 et q. Théorème 1 (un) est une suite géométrique de raison q. Alors, pour tout entier naturel n : 1. un = qn x u0. 2. Si pour tout entier naturel n, un = b x an, alors (un) est une suite géométrique de raison a. Démonstration 1. On utilise la définition d'une suite géométrique. u1 = qu0; u2 = qu1 = q(qu0) = q²u0; On obtient aussi : u3 = qu2 = q3u0 et de proche en proche : un = qnu0. 2. un+1 = ban+1 = b(an) x a = un x a On reconnaît la définition d'une suite géométrique de raison a. 9 TES Suites Géométriques Exemple (un) est la suite géométrique de raison etde premier terme u0 = 2. Alors, u5 = 2× = = Calcul de un connaissant uP et q. Théorème 2 (un) est une suite de raison q ≠ 0. Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p : un = up x qn – p. Exemple (un) est la suite géométrique de raison etde premier terme u20 = 3. Alors, u40 = u20 x q40-20 = 3 x 10 TES Suites Géométriques Sens de variation de la suite (qn) Théorème 3 La suite de terme général un = qn est : • strictement croissante si q > 1; • strictement décroissante si 0 < q < 1; • ni croissante, ni décroissante si q < 0 • constante si q = 0 ou q = 1 . Démonstration Illustration graphique Pour tout entier naturel n, un+1 – un = qn+1 – qn = qn(q – 1) Si q > 1, alors un+1 – un > 0 ; soit un+1 > un ; donc (un) est strictement croissante. Si 0 < q < 1, alors un+1 – un < 0 ; soit un+1 < un ; donc (un) est strictement décroissante. Si q < 0 alors qn > 0 pour n pair et qn < 0 pour n impair, donc (un) n’est ni croissante, ni décroissante. Si q = 0 alors un = 0 (suite constante) et si q = 1 alors un = 1 (suite constante) 11 TES Suites Géométriques Variation relative Théorème 4 (un) est une suite géométrique non nulle de raison q strictement positive. Alors est constant. Démonstration Pour tout entier naturel n, un+1 – un = qun – un = (q – 1)un Si un ≠ 0, = q – 1 : c’est un rapport constant qui ne dépend pas de n. Définition 2 Le rapport est appelé variation relative. 12 TES Suites Géométriques Evolution exponentielle On considère les suites géométriques (un) et (vn) définies par : • u0 = 1 et de raison 3; v0 = 4 et de raison . • On représente graphiquement les quatre premiers termes de chaque suite en reliant les points obtenus. v0 u3 vn = un = 3n u2 u1 u0 v1 v2 v3 On dit que ces suites ont une évolution exponentielle. 13 TES Suites Géométriques II Somme des termes d’une suite géométrique Calcul de 1 + q + q² + …. + qn (avec q ≠ 1) Théorème 5 Si q ≠ 1, alors 1 + q + q² + …. + qn = Démonstration On pose S = 1 + q + q² + …. + qn . On a alors : qS = q + q² + ….+ qn + qn+1 Par soustraction membre à membre, on obtient : S – qS = 1 – qn+1 Et pour q ≠1, on a S = . 14 TES Suites Géométriques Remarque : Si q = 1 alors 1 + q + q² + ,,, + qn = n + 1 Exemple Soit S = 1 + + On a alors S = ² + ….. + . = 1− = × = Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique Théorème 6 (un) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1. On pose Sn = u0 + u1 + …. + un On a alors : Sn = u0 × 15 TES Suites Géométriques Démonstration Pour tout entier naturel p, on a : up = u0 × qp. On a donc Sn = u0 + u1 + …. + un = u0 + u0q + u1q2 + …. + u0qn Soit Sn = u0(1 + q + q² + …. + qn) = u0 × (d’après le théorème 5) Exemple Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 5 et de raison q = -2. On a S9 = u0 + u1 + u2 + ….. + u9 (somme des 10 premiers termes) D’où : = ! × = 5 × ( ) % = 5 × =− = −1705 16 TES Suites Géométriques III Limite de la suite (qn) avec q > 0 Notion de limite Etudier la limite d’une suite, c’est se demander ce que deviennent les nombres un lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, vers « + ∞ ». Plus précisément, on s’intéresse aux questions suivantes : • Les nombres un finissent-ils par s’accumuler près d’un nombre fixe ? • Les nombres un finissent-ils par dépasser n’importe quel nombre aussi grand que l’on veut ? 17 TES Suites Géométriques Exemple 1 Ecrivons la liste des termes de la suite définie par un = 1; ; ; …..; ² ; …….; ; …….; pour n > 0. ; …….. Il est clair que les termes s’accumulent autour de 0 pour les valeurs de n suffisamment grandes. On dit que la suite (un) converge vers 0 ou bien qu’elle admet 0 pour limite. On écrit lim (un) = 0. 18 TES Suites Géométriques Exemple 2 Ecrivons la liste des termes de la suite définie par vn = n². v0 = 0; v1 = 1; v2 = 4; v3 = 9; …..; v10 = 10² = 100; …. ; v100 = 100² = 10 000; …. Il est clair que les termes finissent par être aussi grands que l’on veut. On dit la suite (vn) tend vers + ∞ ou encore qu’elle admet + ∝ comme limite. On écrit lim (vn) = + ∝. De la même manière, on définit la notion de limite en - ∝. Par exemple, lim (- n²) = - ∝. 19 TES Suites Géométriques Limite de la suite (qn) avec q > 0 Théorème 6 • Si 0 < q < 1, lim (qn) = 0 • Si q > 1, lim (qn) = + ∝ • Si q = 1, lim (qn) = 1 Exemples • lim • lim = 0 car 0 < π = + ∝ car π < 1. > 1. 20 TES Suites Géométriques Limite de la suite géométrique définie par un = u0 × qn avec q > 0 Théorème 7 • Si 0 < q < 1, lim (un) = 0 • Si q > 1, Si u0 < 0 alors lim un = - ∞ Si u0 > 0 alors lim un = + ∞ Si u0 = 0 alors lim un = 0 • Si q = 1 alors lim un = u0 21 TES Suites Géométriques Limite de la suite géométrique définie par un = u0 × qn avec q > 0 Exemples • On considère la suite géométrique (un) définie par un = 3×2n On a u0 = 3 et q = 2; car q > 1 et u0 > 0 donc lim (un) = + ∞. • On considère la suite géométrique (un) définie par un = -2×3n On a u0 = -2 et q = 3; q > 1 et u0 < 0 donc lim (un) = - ∞. • On considère la suite géométrique (un) définie par un = -3× On a u0 = -3 et q = ; 0 < q < 1 donc lim (un) = 0. 22 TES Suites Géométriques Compléments Propriétés Si lim (un) = 0 alors : Pour tout réel a, lim (aun) = 0 Pour tout réel b, lim (b + un) = b Pour tous réels a et b, lim (aun + b) = b Si lim (un) = + ∞ alors, pour tout réel a : lim (aun) = + ∝ si a > 0 lim (aun) = - ∞ si a < 0 Si lim (un) = + ∞ alors, pour tout réel b, lim (b + un) = + ∞ Si lim (un) = - ∞ alors, pour tout réel b, lim (b + un) = - ∞. 23 TES Suites Géométriques Exemples • On considère la suite géométrique de premier terme u0 = -2 et de raison q = 3. On a donc un = -2 × 3n. Or, lim 3n = + ∞, donc lim un = - ∞ • On considère la suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = . On note Sn = u0 + u1 + …. + un . On a alors Sn = u0 × Soit Sn = Or, lim =3× × 1 − = 0; donc lim Sn = . 24 TES Suites Géométriques Remarque La suite précédente Sn est croissante et positive et sa limite n’est pas + ∞. Lien vers les paradoxes de Zénon. 25 TES Suites Géométriques IV Suites arithmético-géométriques Définition 3 Une suite (un ) est arithmético-géométrique si sa définition par récurrence est la suivante : un+1 = aun + b où a et b désignent deux réels. Remarque : • Si b = 0, la suite (un) est une suite géométrique de raison a. • Si a = 1, la suite (un) est une suite arithmétique de raison b. 26 TES Suites Géométriques Etude d’une suite arithmético-géométrique L’étude d’une suite arithmético-géométrique peut être ramenée à l’étude d’une suite géométrique. Exemple (un) est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un – 3. 1. Calculer u1, u2, u3 et u4. 2. On pose vn = un – 3. a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2. b) Exprimer vn en fonction de un. 3. Exprimer un en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (un). 27 TES Suites Géométriques Exemple (un) est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un – 3. 1. Calculer u1, u2, u3 et u4. 2. On pose vn = un – 3. a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2. b) Exprimer vn en fonction de n. 3. Exprimer un en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (un). Correction 1. u1 = 2×1 – 3 = -1; u2 = 2×(-1) – 3 = -5; u3 = 2×(-5) – 3 = -13; u4 = 2×(-13) – 3 = -29 2. a) vn+1 = un+1 – 3 = 2un – 3 – 3 = 2un – 6 = 2(un – 3) = 2vn Donc (vn) est une suite géométrique de raison 2. b) vn = v0×2n = (u0 – 3)×2n = -2×2n = - 2n+1 3. un = vn + 3 = 3 – 2n+1 4. lim (2n+1) = + ∞ car 2 > 1; et par suite lim (- 2n+1) = - ∞ Donc lim (un) = - ∞ 28