Terminale ES Rappels sur les suites 1

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Rappels sur les suites
I Qu’est-ce qu’une suite ?
Définition :
Une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres réels, finie ou infinie.
On note (un) la suite u0, u1, u2, ….., un, un+1, ………
Le nombre un est appelé terme d’indice n de la suite (un).
Définitions explicite et récurrente :
On définit une suite par deux procédés usuels :
•
Par une expression de type un = f(n) où f désigne une fonction.
•
Par récurrence : on se donne le premier terme u0 et une relation permettant de définir chaque terme à
partir du précédent.
Représentation graphique
La représentation graphique dans un repère des termes d’une suite (un) est l’ensemble des points isolés de
coordonnées (0; u0), (1; u1), …… (n; un), …..
Exemples
•
La suite un définie de manière explicite par un = n² exprime les carrés des nombres entiers naturels.
u0 = 0² = 0; u1 = 1² = 1; u2 = 2² = 4; …..u10 = 10² = 100
•
On peut définir une suite (vn) par récurrence avec v0 = 3 et vn+1 = 0,5×vn - 1.
v0 = 3; v1 = 0,5×v0 - 1 = 0,5×3 - 1 = 0,5; v2 = 0,5×0,5 - 1 = - 0,75; …….
II Sens de variation d’une suite
•
La suite (un) est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un) est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, un+1 < un.
•
On définit de même :
une suite croissante en utilisant une inégalité au sens large : un+1 ≥ un.
une suite décroissante en utilisant une inégalité au sens large : un+1 ≤ un.
III Suites arithmétiques
•
Une suite (un) est arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n :
un+1 = un + r.
Le réel r est appelé raison de la suite (un).
•
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n :
un, = u0 + nr.
•
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p :
un, = up + (n- p)r.
Exemple
Soit (un) la suite définie par récurrence par u0 = 1 et un+1 = un + 2.
(un) est une arithmétique de raison r = 2.
On a u0 = 1; u1 = 1 + 2 = 3; u2 = 3 + 2 = 5; ….
L’expression explicite de la suite (un) est : un = u0 + n×r = 1 + 2n
(un) représente la liste des entiers naturels impairs.
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Suites géométriques
I Reconnaître une suite géométrique
Définition :
Dire qu'une suite (un ) est géométrique signifie qu'il existe un réel q tel que, pour tout naturel n :
un+1 = q x un.
Le réel q est appelé raison de la suite (un).
Exemple
(un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = 2.
On a alors : u1 = 3 x u0 = 3 x 2 = 6; u2 = 3 x u1 = 3 x 6 = 18; u3 = 3 x u2 = 3 x 18 = 54
Calcul de un connaissant u0 et q.
Théorème :
(un) est une suite géométrique de raison q. Alors, pour tout entier naturel n :
1. un = qn x u0.
2. Si pour tout entier naturel n, un = b x an, alors (un) est une suite géométrique de raison a.
Exemple
(un) est la suite géométrique de raison
1
de premier terme u0 = 2.
3
 1 5 2
2
Alors, u5 = 2×   = 5 =
3
  3 243
Calcul de un connaissant uP et q.
Théorème :
(un) est une suite de raison q ≠ 0.
Alors, pour tout entier naturel n et tout entier naturel p :
u n = u p x q n – p.
Exemple
(un) est la suite géométrique de raison
5
et de premier terme u20 = 3.
2
520
Alors, u40 = u20 x q40-20 = 3 x  
2
Sens de variation de la suite (qn)
Théorème
La suite de terme général un = qn est :
•
strictement croissante si q > 1;
•
strictement décroissante si 0 < q < 1;
•
ni croissante, ni décroissante si q < 0
•
constante si q = 0 ou q = 1
Variation relative
Théorème
(un) est une suite géométrique non nulle de raison q strictement positive.
Alors
un+1- un
un
est constant.
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Suites géométriques
Définition
Le rapport
un+1- un
un
est appelé variation relative.
Evolution exponentielle
On considère les suites géométriques (un) et (vn) définies par :
•
u0 = 1 et de raison 3;
•
1
v0 = 4 et de raison .
2
On représente graphiquement les quatre premiers termes de chaque suite en reliant les
points obtenus.
v0
u3
n
un = 3
u2
u1
u0
v1
vn =
v2
v3
On dit que ces suites ont une évolution exponentielle.
II Somme des termes d’une suite géométrique
Calcul de 1 + q + q² + …. + qn (avec q ≠ 1)
Théorème
Si q ≠ 1, alors 1 + q + q² + …. + qn =
1 – qn+1
1 -q
Exemple
1
1
1
+
+ …. + 8
3 3²
3
1
1– 9
1  3 39 - 1 9841
3 3 
1
–

On a alors S =
= ×
=
9 = ×
1 2  3  2 39
6561
1–
3
Soit S = 1 +
Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
Théorème
(un) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1.
On pose Sn = u0 + u1 + …. + un
On a alors : Sn = u0 ×
1 – qn+1
1-q
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Suites géométriques
Exemple
Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique (un) de premier terme u0 =
5 et de raison q = -2.
Correction
On a S0 = u0 + u1 + u2 + ….. + u9 (somme des 10 premiers termes de la suite)
D’où :
S 9 = u0 ×
1 – q9+1
1 – (-2)10
1 – 1024
5115
= 5×
= 5×
== - 1705
1-q
1 – (-2)
3
3
III Limite de la suite (qn) avec q > 0
Exemple 1
Ecrivons la liste des termes de la suite définie par un =
1
pour n > 0
n
1 1
1
1
; ; …. ;
; …. ; 100
2 3
10²
10
Il est clair que les termes s’accumulent autour de 0 pour les valeurs de n suffisamment
grandes.
On dit que la suite (un) converge vers 0 ou bien qu’elle admet 0 pour limite.
1;
On écrit lim (un) = 0.
Exemple 2
Ecrivons la liste des termes de la suite définie par vn = n²
v0 = 0; v1 = 1; v2 = 4; v3 = 9; …..; v10 = 10² = 100; …. ; v100 = 100² = 10 000; ….
Il est clair que les termes finissent par être aussi grands que l’on veut.
On dit la suite (vn) tend vers + ∞ ou encore qu’elle admet + ∝ comme limite.
On écrit lim (vn) = + ∝.
De la même manière, on définit la notion de limite en - ∝.
Par exemple, lim (- n²) = - ∝.
Exemples
• On considère la suite géométrique (un) définie par un = 3×2n.
On a u0 = 3 et q = 2; car q > 1 et u0 > 0 donc lim (un) = + ∞.
• On considère la suite géométrique (un) définie par un = -2×3n.
On a u0 = -2 et q = 3; q > 1 et u0 < 0 donc lim (un) = - ∞.
n
 1
• On considère la suite géométrique (un) définie par un = -3×  .
5
On a u0 = -3 et q = ; 0 < q < 1 donc lim (un) = 0.
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Suites géométriques
IV Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite (un ) est arithmético-géométrique si sa définition par récurrence est la suivante :
un+1 = aun + b où a et b désignent deux réels.
Exemple
(un) est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n :
un+1 = 2un – 3.
1. Calculer u1, u2, u3 et u4.
2. On pose vn = un – 3.
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2.
b) Exprimer vn en fonction de n.
3.
Exprimer un en fonction de n.
4.
Déterminer la limite de la suite (un).
Correction
1.
u1 = 2×1 – 3 = -1; u2 = 2×(-1) – 3 = -5; u3 = 2×(-5) – 3 = -13; u4 = 2×(-13) – 3 = -29
2.
a) vn+1 = un+1 – 3 = 2un – 3 – 3 = 2un – 6 = 2(un – 3) = 2vn
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 2.
b) vn = v0×2n = (u0 – 3)×2n = -2×2n = - 2n+1
3.
un = vn + 3 = 3 – 2n+1
4.
lim (2n+1) = + ∞ car 2 > 1; et par suite lim (- 2n+1) = + ∞
Donc lim (un) = - ∞
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