Cours de maths - Terminale ES - Suites numériques

Les suites numériques
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I – Les suites géométriques
1 - Étude d'une suite géométrique
Définition 1: On appelle suite géométrique  un  une suite définie par son premier terme et la relation de
récurrence : pour tout n  , un1  q  un , q 
Vocabulaire : Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.
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Propriété 1: Soit  un  une suite géométrique de raison q  0 alors pour tout n  , un  u0  q n .
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Propriété 2: Soit  un  une suite géométrique de raison q  0 alors pour tout n, p  , un  u p  q n p .
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Propriété 3: Soit  un  la suite de terme général un  q n ;
- Si q  1 alors  un  est croissante
- Si 0  q  1 alors  un  est décroissante
- Si q  0 alors  un  n'est ni croissante, ni décroissante.
Remarque : Pour étudier le sens de variation d'une suite  un  , on étudie le signe de un1  un .
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2 - Somme des termes d'une suite géométrique
Propriété 4: Si q  1 alors pour tout n  , 1  q  q 2  ...  q n 
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1  q n1
.
1 q
Propriété 5: Soit  un  une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q  1 ;
pour tout n  , Sn  u0  u1  ...  un  u0
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1  q n1
.
1 q
Remarque : Sn  u0  u1  u2  ...  un est la somme des n  1 premiers termes de la suite  un  .
3 - Limite d'une suite géométrique
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Remarque : Une suite géométrique caractérise une évolution exponentielle.
Propriété 6: Si 0  q  1 alors lim q n  0 et si q  1 alors lim q n  
n
n
Conséquence : Une somme infinie de nombres positifs ne tend pas toujours vers  .
 1  0,8n1 
1

5
Par exemple, lim 1  0,8  0,82  ...  0,8n  lim 

n
n
 1  0,8  0, 2

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
II – Les suites arithmético-géométriques
Définition 2: On appelle suite arithmético-géométrique  un  une suite définie par son premier terme et
la relation de récurrence : pour tout n  , un1  a un  b avec a, b 
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Remarque : Pour étudier une suite arithmético-géométrique, on se ramène à une suite géométrique.
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