Nombres Complexes I Définitions algébrique et géométrique de I.A Construction de

13 octobre 2014
Nombres Complexes
I Définitions algébrique et géométrique de C
I.A Construction de C
Définition 1
On considère l’ensemble R2 des couples (x, y) de nombres réels, muni des deux lois de composition internes
suivantes :
1) L’addition, définie par : (x, y) + (x ′ , y ′ ) = (x + x ′ , y + y ′ )
2) La multiplication, définie par : (x, y) × (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − y y ′ , x y ′ + y x ′ )
Cet ensemble est noté C, et ses éléments sont appelés nombres complexes.
Remarques 1 (Propriétés à démontrer) :
I (C, +) est un groupe commutatif :
1) + dans C est commutative : ∀(z, z ′ ) ∈ C2 z + z ′ = z ′ + z
2) L’addition dans C est associative : ∀(z, z ′ , z ′′ ) ∈ C3 (z + z ′ ) + z ′′ = z + (z ′ + z ′′ )
3) (0, 0) est élément neutre de C pour + : ∀z ∈ C z + (0, 0) = z
4) Tout élément de C admet un symétrique pour + : z = (x, y) admet z ′ = (−x, −y) comme symétrique. z + z ′ =
(0, 0).
II (C∗ , ×) est un groupe commutatif :
1) × dans C est commutative : ∀(z, z ′ ) ∈ C2 z × z ′ = z ′ × z
2) × dans C est associative : ∀(z, z ′ , z ′′ ) ∈ C3 (z × z ′ ) × z ′′ = z × (z ′ × z ′′ )
3) (1, 0) est élément neutre de C pour × : ∀z ∈ C z × (1, 0) = (1, 0) × z = z
4) Tout élément non nul de C admet un symétrique pour × : z = (x, y) admet z ′ =
symétrique. z × z ′ = (1, 0).
µ
¶
−y
x
comme
,
x2 + y 2 x2 + y 2
III × est distributive par rapport à + : (z + z ′ ) × z ′′ = z × z ′′ + z ′ × z ′′
IV Ces propriétés confèrent à (C, +, ×) une structure de corps commutatif.
V Soit z = (x, y) ∈ C. On a :
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) × (0, 1)
Si l’on note i le couple (0, 1) et 1 le couple (1, 0), on peut alors écrire tout complexe z de façon unique sous la
forme : z = x × (1, 0) + y × (0, 1) = x + iy .
VI 1) R ⊂ C. En effet, pour tout réel x, x ∈ C
2) i2 = (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Définition 2
Pour tout nombre complexe z, par définition, (x, y) est l’unique couple de réels tels que z = x + iy. Cette écriture
est appelée écriture algébrique.
x est appelé partie réelle de z notée Re(z) ;
y est appelé partie imaginaire de z notée Im(z).
On écrit donc :
z = Re(z) + i Im(z)
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I.B Le plan complexe
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Proposition 1
Soit (z, z ′ ) ∈ C2 et λ ∈ R, alors :
¢
¡
1. z = z ′ ⇐⇒ Re(z) = Re(z ′ ) et Im(z) = Im(z ′ )
2. z = 0 ⇐⇒ (Re(z) = 0 et Im(z) = 0)
3. Re(λz) = λRe(z) et Re(z + z ′ ) = Re(z) + Re(z ′ ).
4. Im(λz) = λIm(z) et Im(z + z ′ ) = Im(z) + Im(z ′ ).
I.B Le plan complexe
Définition 3
On appelle plan complexe le plan P rapporté à un repère orthonormé (O, ~
u ,~
v ) avec :
1. Le nombre complexe z = x + iy, où x = Re(z) et y = Im(z), est représenté par le point M de coordonnées
M(x, y).
2. Le point M est appelé l’image de z.
3. z est appelé l’affixe de M.
−−→
4. De même le vecteur OM admet z comme affixe.
−−→
5. z admet donc OM comme vecteur image.
u ) est appelé axe des réels.
6. L’axe (O, ~
7. L’axe (O,~
v ) est appelé axe des imaginaires.
Im(z)
b
M
−−→
OM
→
−
v
b
O
→
−
u
Re(z)
On considère deux points M(z) et M ′ (z ′ ) du plan complexe.
−−−→ −−−→ −−→
−−−→
Comme M M ′ = OM ′ − OM (Relation de Chasles) l’affixe de M M ′ est le complexe z ′ − z.
−−−→ −−→ −−−→
On considère le point M ′′ tel que OM ′′ = OM + OM ′ alors, l’affixe de M ′′ est z + z ′
M ′′ (z + z ′ )
Im(z ′′ )
Im(z ′ )
b
b
O
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M ′ (z ′ )
→
−
v
Im(z)
b
→
−
u
b
Re(z ′ )
M(z)
Re(z)
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Re(z ′′ )
I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe
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Exercice I.1 : Soient ABC D un quadrilatère quelconque et z A , zB , zC , zD les affixes respectives des sommets. On note
I , J , K , L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC ], [C D] et [D A].
−
→ −→
Calculer les affixes des vecteurs I J et LK , et en déduire la nature du quadrilatère I J K L.
I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe
I.C.1 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 4
On appelle conjugué de z = x + iy (avec (x, y) ∈ R2 ) le nombre z̄ = x − iy = Re(z) − i Im(z)
Interprétation géométrique de la transformation z 7→ z̄
u ).
mation M 7→ M ′ est la symétrie d’axe (O, ~
Si on note M l’image de z et M ′ l’image de z̄, la transfor-
Im(z)
M(z)
→
−
v
→
−
u
Re(z)
M ′ (z̄)
− Im(z)
Propriétés 2
∀z ∈ C, on a :
(i) z + z̄ = 2Re(z)
(ii) z − z̄ = 2i Im(z)
(iii) z̄¯ = z
(iv) z ∈ R ⇔ z = z̄
(v) z ∈ iR ⇔ z = −z̄. Dans ce cas, on
dit que z est un « imaginaire pur »
Propriétés 3 (Opérations sur les conjugués)
∀(z, z ′ ) ∈ C2 , on a :
(i) z + z ′ = z̄ + z¯′
(ii) z − z ′ = z̄ − z¯′
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(iii) zz ′ = z̄ z¯′
µ ¶
1
1
(iv)
=
z̄
z
³z´
z̄
z¯′
(vi) z n = z̄ n ∀n ∈ Z
(v)
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z′
=
I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe
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I.C.2 Module d’un nombre complexe
Définition 5
Soit z = x + iy ∈ C ((x, y) ∈ R2 ). On a z z̄ = x 2 + y 2 . Le module de z est le réel :|z| =
p
z z̄ =
q
x2 + y 2
Interprétation géométrique Si M est l’image de z et M ′ l’image de z ′ , alors |z| = OM et |z ′ − z| = M M ′ .
Propriétés 4 (Opérations sur les modules)
∀z, z ′ ∈ C, on a :
(i) |z|2 = z z̄
(ii) |zz ′ | = |z|.|z ′ |
¯ z ¯ |z|
¯ ¯
(iii) ¯ ′ ¯ = ′ lorsque z ∈ C∗
z
|z |
(iv) |z n | = |z|n ∀n ∈ Z
(v) |z| = |z̄|
Démonstration. |zz ′ |2 = zz ′ zz ′ = zz ′ z̄ z¯′ = z z̄z ′ z¯′ = |z|2 .|z ′ |2 .
Remarque 2 :
On peut écrire sous forme algébrique le nombre complexe
1
avec z 6= 0 en utilisant le conjugué de z :
z
x − iy
z̄
z̄
z̄
1
= 2
=
= 2= 2
2
z z z̄ |z|
x +y
x + y2
De la même manière, on peut mettre un quotient sous forme algébrique :
z
z z¯′
z z¯′
z z¯′
=
=
=
z ′ z ′ z¯′ |z ′ |2 x ′2 + y ′2
Exercice I.2 :
Donner l’écriture algébrique des inverses de 1 + i et 4 − 6i. Vérifiez.
Exercice I.3 :
p
2+i 3
(3 + i)(2 − i)
.
Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes p
et
2+i
3 − 2i
Exercice I.4 :
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Z =
2z − 4
soit un nombre réel.
z −i
Proposition 5 (inégalité triangulaire)
∀(z, z ′ ) ∈ C2 , on a :|z + z ′ | É |z| + |z ′ |
z
L’égalité est vérifiée si et seulement si z ′ = 0 ou ′ ∈ R+
z
Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire Si M est l’image de z, M ′ l’image de z ′ , et P l’image de z + z ′ ,
z
−−→ −−−→
alors OP É OM + OM ′ . L’égalité est réalisée lorsque ′ ∈ R+ c’est à dire si les vecteurs OM et OM ′ sont positivement
z
colinéaires.
Démonstration. Les deux membres de l’inégalité étant des réels positifs, comparons leurs carrés.
|z + z ′ |2 = (z + z ′ )(z̄ + z¯′ ) = z z̄ + z ′ z̄ + z ′ z̄ + z ′ z¯′ = |z 2 | + 2Re(z z¯′ ) + |z ′2 |
(|z| + |z ′ |)2 = |z|2 + 2|zz ′ | + |z ′ |2
Or Re(z z¯′ ) É |z z¯′ |. En effet : Re(Z ) É |Z | en comparant leurs carrés, on a l’égalité uniquement si Im(Z ) = 0..
z
L’égalité est vérifiée si Re(z z¯′ ) = |z z¯′ | c’est à dire si z z¯′ ∈ R+ , cette condition est satisfaite si z ′ = 0, ou, en divisant par z ′ z¯′ = |z ′ |2 si ′ ∈ R+ .
z
Exercice I.5 :
Montrer que :
1) ∀z ∈ C on a : |z| É | Re(z)| + | Im(z)|.
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I.D Arguments d’un nombre complexe non nul
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2) ∀z ∈ C, |z| É
p
1
⇒ |2iz + 1 + i| É 1 + 2
2
Exercice I.6 :
1) Montrer que ∀(z, z ′ , z ′′ ) ∈ C3 on a : |z − z ′′ | É |z − z ′ | + |z ′ − z ′′ |.
2) Interprétez géométriquement ce résultat.
Définition 6
A étant un point du plan complexe d’affixe a et R un nombre réel positif (i.e. a ∈ C et R ∈ R+ ).
1. Le disque fermé de centre A et de rayon R est l’ensemble des points M du plan complexe tels que
|z − a| É R
2. Le disque ouvert de centre A et de rayon R est l’ensemble des points M du plan complexe tels que
|z − a| < R
3. Le cercle de centre A et de rayon R est l’ensemble des points M du plan complexe tels que
|z − a| = R
I.D Arguments d’un nombre complexe non nul
Définition 7
z étant un complexe non nul, d’image M dans le plan complexe.
−−→
On appelle argument de z toute mesure de l’angle orienté (~
u , OM ).
−−→
θ ≡ (~
u , OM ) [2π]. On note arg(z) = θ.
L’ensemble des arguments de z est alors {θ + 2kπ, k ∈ Z}
Remarque 3 :
Le complexe 0 n’a pas d’argument car il est impossible de définir l’angle (~
u ,~0).
Remarque 4 : Le module ρ = |z| et un argument θ = arg(z) d’un nombre complexe forment un couple de coordonnées polaires (ρ, θ) du point M d’affixe z.
Dans ce cas, on peut écrire z = ρ(cos θ + i sin θ).
M(z)
Im(z) = ρ sin θ
b
→
−
v
θ
b
O
→
−
u
Re(z) = ρ cos θ
II Forme trigonométrique d’un nombre complexe
II.A Le groupe (U, ×) des nombres complexes de module 1
Définition 8
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
U = {z ∈ C \ |z| = 1}
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II.B Définition de e iθ
Remarque 5 :
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L’ensemble image de U est le cercle de centre 0 et de rayon 1 (cercle unité du plan).
1
sin θ
b
M
→
−
v
θ
→
−
u
−1
cos θ
1
−1
Remarque 6 :
1. U muni de × sur C est un groupe commutatif (c’est un sous groupe de C)
′
2
- ∀(z, z ) ∈ U , z × z ′ ∈ U (en effet |zz ′ | = |z| × |z ′ | = 1)
¯ ¯
¯1¯
1
1
= 1 donc ∈ U
- Tout élément z de U est non nul et possède donc un inverse dans C de plus ¯¯ ¯¯ =
z
|z|
z
2. Tout point M du plan complexe d’affixe z tel que |z| = 1 vérifie OM = 1. Donc M est un point du cercle unité (et
réciproquement).
II.B Définition de e iθ
Définition 9
Soit θ ∈ R. On note e iθ le nombre complexe défini par :
e iθ = cos θ + i sin θ
Proposition 6
U = {e iθ , θ ∈ R}
Démonstration. • Soit θ ∈ R, on a |e iθ |2 = cos2 θ + sin2 θ = 1, donc e iθ ∈ U.
• Si, réciproquement, z ∈ U, alors Re(z)2 + Im(z)2 = 1. On pose θ = arg(z), ainsi :z = cos θ + i sin θ = e iθ
Remarque 7 :
1. On considère la fonction réelle à valeurs complexes
ϕ : R → C avec ϕ(θ) = cos θ + i sin θ = eiθ .
Cette fonction est dérivable sur R et sa dérivée est
ϕ′ (θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ) = ieiθ .
D’où l’analogie avec la fonction exponentielle.
2. |z| = 1 ⇔ ∃θ ∈ R, z = eiθ
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II.C Formules d’Euler
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II.C Formules d’Euler
Pour tout réel θ :
e iθ
e −iθ
½
=
=
cos θ + i sin θ
d’où les formules d’Euler
cos θ − i sin θ
cos θ =
e iθ + e −iθ
2
sin θ =
e iθ − e −iθ
2i
II.D Propriétés de θ → eiθ , formule de Moivre
Propriétés 7
∀(θ, θ′ ) ∈ R2 :
′
(i) e i(θ+θ ) = e iθ e iθ
′
e iθ
(ii) e i(θ−θ ) = iθ′
e
′
(iii) e −iθ =
1
(iv) e iθ = e −iθ
e iθ
(v) ∀n ∈ Z : (e iθ )n = e inθ
Démonstration.
′
e i(θ+θ )
=
=
=
=
=
cos (θ + θ ′ ) + i sin (θ + θ ′ )
¢ ¡
¢
¡
cos θ cos θ ′ − sin θ sin θ ′ + i sin θ cos θ ′ + sin θ ′ cos θ
cos θ ′ (cos θ + i sin θ) + i sin θ ′ (cos θ + i sin θ)
¡
¢
(cos θ + i sin θ) cos θ ′ + i sin θ ′
e iθ e iθ
′
On démontre les autres propriétés de façon similaire (démonstration par récurrence pour ∀n ∈ Z : (e iθ )n = e inθ )
Exercice II.1 :
En utilisant la formule d’Euler, linéariser cos x × sin2 x.
Une conséquence directe de la dernière propriété 7 est la formule de Moivre :
(cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ)
Exercice II.2 :
En utilisant la formule de Moivre, calculer cos (3x) en fonction de cos x.
II.E Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
Définition 10
Tout nombre complexe non nul s’écrit de manière unique sous la forme :
z = ρe iθ avec ρ > 0 et θ ∈ R (défini modulo 2π).
On a ρ = |z| et θ = arg(z). Cette écriture est appelée forme trigonométrique (ou exponentielle, ou polaire) de z.
On note aussi [ρ, θ] = ρ(cos θ + i sin θ).
Remarque 8 :
Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique :
Si z = a + ib 6= 0, alors ρ =
p
a 2 + b 2 , et θ est défini à 2kπ près par :
cos θ = p
a
a2 + b2
et sin θ = p
b
a2 + b2
Exercice II.3 :
1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z1 =
trigonométrique.
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p
3−i, et le mettre sous forme
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2. Écrire z2 sous forme algébrique sachant que |z2 | = 2 et arg(z2 ) =
Exercice II.4 :
2π
.
3
Écrire sous forme trigonométrique 1 + i et 1 − i. En déduire la forme algébrique de
π
π
(1 − i)20
.
(1 + i)16
Exercice II.5 :
1. Écrire sous forme exponentielle l’expression e i 9 +e i 3 (on pourra factoriser par e i
les formules d’Euler).
2π
9
puis utiliser
2. Généraliser la méthode pour écrire sous la forme ρe iθ (ρ ∈ R) les expressions e iθ + e 3iθ , e iα + e iβ et 1 + e iθ .
La méthode utilisée est appelée méthode de l’arc moitié (à retenir).
Propriétés 8 (Propriétés des arguments)
Soient z, z ′ ∈ C∗ , alors :
µ ¶
1
= − arg z [2π]
z
³z´
(iv) arg ′ = arg z − arg z ′ [2π]
z
(i) arg z̄ = − arg z [2π]
(iii) arg
(ii) arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ [2π]
′
Démonstration. On démontre les deux premières propriétés. Pour cela, écrivons z et z ′ sous la forme trigonométrique : z = ρe i θ et z ′ = ρ ′ e i θ .
1) z̄ = ρe i θ = ρe −i θ , donc arg z̄ = −θ = −arg z.
′
′
2) zz ′ = ρe i θ ρ ′ e i θ = ρρ ′ e i (θ+θ ) , donc arg (zz ′ ) = θ + θ ′ = arg z + arg z ′
III Applications des nombres complexes
III.A À la trigonométrie
III.A.1 Linéarisation, factorisation...
Retour sur les formules d’Euler et de Moivre.
On veut linéariser une expression trigonométrique, c’est à dire écrire une puissance (produit) de cos ou sin sous
forme de somme. On dispose d’une méthode utilisant les nombres complexes. Observons la sur un exemple : la linéarisation de cos4 θ.
Ã
!4
e iθ + e −iθ
1 4iθ
4
cos θ =
=
(e + 4e 2iθ + 6 + 4e −2iθ + e −4iθ )
2
16
Or e 4iθ + e −4iθ = 2cos (4θ) et e 2iθ + e −2iθ = 2cos (2θ) en vertu des formules d’Euler, d’où :
cos4 θ =
Exercice III.1 :
1
1
3
cos (4θ) + cos (2θ) +
8
2
8
Linéariser sin3 θ. (Brève découverte du triangle de Pascal)
Dans ce paragraphe, la démarche est inverse. Il s’agit au contraire d’écrire une somme de cos ou sin sous forme d’un
produit (factoriser). On utilise la méthode de l’arc moitié.
Exemple 1 :
Factorisation
³ de cos p´ + cos q.
On écrit cos p + cos q = Re e i p + e i q , avec :
e ip + e iq = e i
Donc cos p + cos q = 2cos (
Exercice III.2 :
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p +q
p −q
) cos (
).
2
2
p+q
2
³
ei
p−q
2
+ ei
q−p
2
Factoriser sin p + sin q et cos p − cos q.
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´
= 2cos (
p − q i p+q
)e 2
2
III.A À la trigonométrie
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Exercice III.3 : Formule de Moivre.
Exprimer sin(5x) en fonction de sin x.
Remarque 9 :
Pour tout entier naturel n :
• cos(nx) est un polynôme en cos x
• Si n est impair sin(nx) est un polynôme en sin x
• Si n est pair sin(nx) est le produit de cos x par un polynôme en sin x.
III.A.2 Réduction de a cos x + b sin x où (a, b, x) ∈ R3
Posons : z = a + ib.
z̄eix
=
=
donc :
(a − ib)(cos x + i sin x)
a cos x + b sin x + i(a sin x − b cos x)
¡
¢
a cos x + b sin x = Re z̄eix
Si z s’écrit sous forme trigonométrique z = r eiα alors z̄eix = r ei(x−α)
d’où :
a cos x + b sin x = r cos(x − α)
Avec r eiα = a + ib.
Exercice III.4 :
p
p
Résoudre cos x + 3 sin x = 2
III.A.3 Calcul de sommes trigonométriques.
Soit z ∈ C on considère la somme : S n =
k=n
X
z k (où l’on reconnaît la somme des termes d’une suite géométrique).
k=0
Sn = n + 1
Si z = 1, alors on obtient directement
(le nombre de termes de la somme)
Sinon, l’astuce classique pour calculer cette somme est à connaître :
k=n
X
−z k+1 et en sommant ces deux égalités on obtient : (1 − z) × S n = 1 − z n+1 Soit :
−z × S n ==
k=0
Sn =
Considérons à présent les sommes :
k=n
X
k=0
Soit S =
k=n
X
ei(a+kb) .
1 − z n+1
1−z
cos(a + kb) et
k=n
X
k=0
sin(a + kb)
k=0
On reconnaît la somme des termes d’une suite géométrique de raison eib et de premier terme eia .
Si b ∈ 2πZ, alors eib = 1 et S = (n + 1)eia
1 − ei(n+1)b
Sinon, S = eia ×
on obtient alors :
1 − eib
¶
µ
k=n
X
sin (n+1)b
nb
2
×
cos(a + kb) = cos a +
b
2
sin
k=0
2
et
¶
µ
sin (n+1)b
nb
2
×
sin(a + kb) = sin a +
b
2
sin
k=0
k=n
X
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III.B À la résolution d’équation
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III.B À la résolution d’équation
III.B.1 Racine n-ièmes de l’unité
On cherche à résoudre l’équation z n = 1. En écrivant z sous forme trigonométrique : z = ρe iθ et 1 = e i0 , cette
équation devient :
ρ n e inθ = e i0
Par identification du module et de l’argument (modulo 2π), on obtient ρ n = 1 et nθ = 0 [2π], soit :
 n
= 1
 ρ
et

nθ = 2kπ, k ∈ Z
Donc ρ = 1 et θ =
2kπ
, avec k ∈ Z, ce qui donne un ensemble Un de solutions :
n
n 2kπ
o
Un = e i n , k ∈ Z
Il nous suffit alors de constater que la formule donnant l’expression des solutions est périodique d’ordre n car :
ei
2(k+n)π
n
= ei
2kπ
n +2π
= ei
2kπ
n
ce qui fait qu’il n’y a que n solutions distinctes.
Plus précisément :
Théorème 1
L’ensemble des racines n i e`mes de l’unité est :
n 2kπ
o
Un = e i n : k ∈ {0, . . . , n − 1}
`
Remarque 10 : On constate géométriquement que les racines n i emes
de l’unité sont les affixes des sommets du
polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, et dont l’un des sommets est le point d’affixe 1. Ceci revient à
partager le cercle en n parties égales. Il est donc facile de les retrouver graphiquement dans certains cas, par exemple
pour n = 3 ou n = 4.
e
b
e
4iπ
5 b
2iπ
5
→
−
v
b
→
−
u
b
e
6iπ
5
b
e
Exemple 2 :
1
8iπ
5
1. Les racines cubiques de 1 sont 1, j et j 2 avec j = e i
2π
3
.
2. Les racines quatrièmes de 1 sont 1, −1, i et −i .
n 2kπ
o
Remarque 11 : On peut aussi noter : Un = e i n : k ∈ {1, . . . , n}
Exercice III.5 :
1. Montrer que pour tout z ∈ C avec z 6= 1, on a :1 + z + z 2 + · · · + z n =
2. Soit ξ une racine n i e`me de l’unité. Calculer 1 + ξ + ξ2 + · · · + ξn−1 .
Remarques 12 :
`
1. On note Un l’ensemble des racines n i emes
de l’unité. Un est un sous-ensemble de U.
`
2. La somme des racines n i emes
de l’unité est nulle.
Lycée Jean Perrin 2013/2014
1 − z n+1
1−z
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III.B À la résolution d’équation
13 octobre 2014
III.B.2 Racine n-ièmes d’un complexe non nul
Si a = 0 l’équation z n = a admet z = 0 comme unique solution.
Remarque 13 :
Soit a ∈ C∗ , d’écriture trigonométrique a = r e iα avec r = |a| et α = arg(a).
On cherche les nombres z = ρe iθ ∈ C tels que z n = a (racines n i e`mes de a).
Commençons par chercher une solution particulière de cette équation.
1
α
En écrivant a sous forme trigonométrique a = r e iα , on remarque que z0 = r n ei n en est une, car :
z0n
=
=
=
³ 1 α ´n
r n ei n
³ 1 ´n ³ α ´n
rn
ei n
r e iα
Exercice III.6 : Donner, sous forme algébrique, une racine cubique de 8i (on pourra utiliser la forme trigonométrique). Vérifier le résultat par le calcul.
Proposition 9
`
Si z0 est une racine n i e`me de a, alors l’ensemble des racines n i emes
de a est :
S = {z0 ξ : ξ ∈ Un }
Démonstration. z n = a = z 0n ⇔
µ
¶
z
z n
=1⇔
∈ Un
z0
z0
On déduit des deux résultats précédents le théorème suivant, qui fournit les autres solutions :
Théorème 2
r étant un réel positif et α un réel quelconque.
Soient a = r e iα .
Les solutions de l’équation z n = a sont :
S
=
=
n 1 α 2kπ
o
r n e i n e i n : k ∈ {0, . . . , n − 1}
o
n 1 α+2kπ
r n e i n : k ∈ {0, . . . , n − 1}
Autrement dit, on obtient l’ensemble des solutions de z n = a en multipliant une solution particulière z0 par les
racines n i e`mes de l’unité.
Exercice III.7 :
Résoudre l’équation z 5 = 1 + i .
Exercice III.8 :
Chercher les racines cubiques, puis les racines quatrièmes, de −1.
Remarque 14 :
Tout complexe non nul admet donc n racines n-ièmes distinctes.
III.B.3 Cas particulier des racines carrées
On résout l’équation d’inconnue complexe z : z 2 = Z (z est une racine carrée de Z dans C).
La méthode générale présentée au paragraphe précédent n’est envisageable que si l’on sait écrire z sous forme
trigonométrique, ce qui n’est pas toujours le cas.
La méthode qui suit est plus systématique dans ce cas particulier du rang 2.
Si z = x + iy et Z = X + iY avec (x, y, X , Y ) ∈ R4 alors :
z2 = Z
⇐⇒
⇐⇒
De plus, comme |z 2 | = |z|2 = |Z | alors x 2 + y 2 =
Lycée Jean Perrin 2013/2014
p
x 2 − y 2 + 2ix y = X + iY
½ 2
x − y2 = X
2x y
= Y
X2 +Y 2
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III.C À la géométrie
Exercice III.9 :
13 octobre 2014
Chercher les racines carrées de :
1. −3 − 4i
2. 48 − 14i
Remarque 15 :
Tout complexe non nul admet donc 2 racines carrées distinctes.
p
Remarque 16 : Attention
!. Ne pas écrire z lorsque z ∈ C ! Cette écriture est réservée aux seuls réels positifs. Par
p
exemple, écrire i = −1 est incorrect.
III.B.4 Équations du second degré à coefficients complexes
Le principe de résolution est le même que pour l’équation du second degré à coefficients réels.
On considère l’équation suivante où A ∈ C∗ , (B,C ) ∈ C2 :
µ
¶
B 2 B2
AZ 2 + B Z + C = 0 ⇐⇒ A Z +
+C
−
2A
4A
Cette équation équivaut donc à
µ
B
Z+
2A
¶2
=
B 2 − 4AC
4A 2
On pose donc ∆ = B 2 − 4AC appelé le discriminant de l’équation.
B
2A
• Sinon le nombre complexe ∆ admet deux racines carrées complexes δ et −δ, les solutions de l’équation sont
• Si ∆ = 0 il y a une unique solution qui est Z = −
−B − δ
2A
−B + δ
Z2 =
2A
Z1 =
Résoudre Z 2 − (5 + 3i )Z + 7i + 4 = 0.
Exercice III.10 :
III.C À la géométrie
III.C.1 Ensembles de points
Rappel : Si A et B sont deux points du plan complexe, d’affixes respectives z A et zB , alors :AB = |zB − z A |
Exercice III.11 : Déterminer l’ensemble des points M (du plan complexe) d’affixe z ∈ C tels que :
p
a) |z + 2 + i | = 2 2
b) |z + 1 − i | É 3
c) |z − i | = |z − i + 1|
d) |(1 + i )z − 2i | = 2
III.C.2 Configurations de trois points
Théorème 3
Soient A, B,C trois points distincts du plan, alors :
¶
µ
³−→ −→´
zC − z A
[2π]
AB , AC = arg
zB − z A
¯
¯
AC ¯¯ zC − z A ¯¯
=¯
AB
zB − z A ¯
Démonstration.
Lycée Jean Perrin 2013/2014
arg
µ
zC − z A
zB − z A
¶
=
=
arg(zC − z A ) − arg(z B − z A )
³ −→´ ³ −→´ ³−→ −→´
~
i , AC − ~
i , AB = AB, AC [2π]
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Corollaire 3.1
Si A, B et C sont trois points distincts du plan, alors :
zC − z A
1. (AB) ⊥ (AC ) ⇐⇒
est un imaginaire pur.
zB − z A
zC − z A
2. A, B,C sont alignés ⇐⇒
est un réel.
zB − z A
π
zC − z A
= e±i 3
3. ABC est équilatéral ⇐⇒
zB − z A
zC − z A
4. ABC est isocèle rectangle en A ⇐⇒
= ±i
zB − z A
Démonstration.
1.
(AB ) ⊥ (AC )
³−→ −→´ π
AB , AC =
[π]
2¶
µ
π
zC − z A
[π]
=
arg
zB − z A
2
zC − z A
est un imaginaire pur.
zB − z A
⇔
⇔
⇔
2.
A,B,C alignés
⇔
⇔
⇔
³−→ −→´
AB, AC = 0 [π]
¶
µ
zC − z A
= 0 [π]
arg
z −z
zC − zBA A
est un réel.
zB − z A
Exercice III.12 : Soient A(−2, 0), B(0, 3) et C (1, −2) trois points du plan.
Montrer, en utilisant les nombres complexes, que ABC est un triangle rectangle en A.
Exercice III.13 :
p
p
Soient A(−1, 1), B(3, −1) et C (1 − 3, −2 3). Montrer que ABC est un triangle équilatéral indirect.
IV Exponentielle complexe
Définition 11
C → C∗
z = x + i y 7→ e x e i y
Cette application est appelée fonction exponentielle complexe (C’est un prolongement sur C de la fonction exponentielle sur R).
On définit l’application exp :
½
Proposition 10
1. Pour tout nombre complexe z, on a e z 6= 0.
′
′
2. ∀z, z ′ ∈ C, on a e z+z = e z e z (en particulier e −z est l’inverse de e z ).
Démonstration.
Remarque 17 :
unique.
Lycée Jean Perrin 2013/2014
Attention : tout complexe Z non nul peut s’écrire sous la forme ez , mais un tel complexe z n’est pas
ez = ρeiα ⇐⇒ z = ln ρ + iα + 2ikπ avec k ∈ Z
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TABLE DES MATIÈRES
13 octobre 2014
Table des matières
I
Définitions algébrique et géométrique de C
I.A Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Conjugué, module et arguments d’un nombre complexe
I.C.1 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . .
I.C.2 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . .
I.D Arguments d’un nombre complexe non nul . . . . . . .
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1
1
2
3
3
4
5
II Forme trigonométrique d’un nombre complexe
II.A Le groupe (U, ×) des nombres complexes de module 1 .
II.B Définition de e iθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.D Propriétés de θ → eiθ , formule de Moivre . . . . . . . . .
II.E Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
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5
5
6
7
7
7
III Applications des nombres complexes
III.A À la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.A.1 Linéarisation, factorisation... . . . . . . . . . . . . . .
III.A.2 Réduction de a cos x + b sin x où (a, b, x) ∈ R3 . . . . .
III.A.3 Calcul de sommes trigonométriques. . . . . . . . . .
III.B À la résolution d’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.1 Racine n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.2 Racine n-ièmes d’un complexe non nul . . . . . . . .
III.B.3 Cas particulier des racines carrées . . . . . . . . . . .
III.B.4 Équations du second degré à coefficients complexes
III.C À la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.C.1 Ensembles de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.C.2 Configurations de trois points . . . . . . . . . . . . .
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8
8
8
9
9
10
10
11
11
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12
12
12
IV Exponentielle complexe
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