30 janvier 2012 A#16 Ppcm

30 janvier 2012 A#16
Ppcm
Définition Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des multiples communs strictement positifs de a et b n'est pas vide, puisqu'il contient au moins l'entier ab . Le plus petit multiple (positif) commun de a et b s'appelle le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de a et de b et se note PPCM (a ; b) ou parfois a  b . Exemple Les multiples positifs de 24 sont 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, ... Les multiples positifs de 36 sont : 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252,... Le plus petit des multiples communs de 24 et 36 est 72. Remarque On peut prolonger la définition du PPCM de façon logique en posant PGCD(a ; 0)  PGCD(0 ; a)  0 si a est un entier naturel. En particulier : PPCM (0 ; 0)  0 . On peut étendre la définition à tous les entiers relatifs en posant : PGCD (a ; b)  PGCD ( a ; b ) . Théorème L'ensemble des multiples communs entre deux entiers a et b est l'ensemble des multiples de leur PPCM. Plus symboliquement, quel que soit l'entier c : a c et b c si et seulement si PPCM ( a ; b) c . Démonstration Soit a et b deux entiers naturels non nuls, d leur PGCD. a et b s'écrivent donc : a  da  et b  db , avec a  et b premiers entre eux. ab
 a b  ab  da b . Tout multiple de m est un multiple commun de a et de b. Considérons le nombre m 
d
Réciproquement, si c est un multiple commun de a et de b. c  k1a  k1da   k 2 b  k 2 db  . D'où : k1a   k 2 b  . a  divise k 2 b et a  et b sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, a  divise k 2 : k 2  k 3 a  d'où finalement c  k 2 b  k3 a b  k3 m . On voit donc que les multiples communs de a et b sont les multiples de m. Ceci montre que m (qui est positif) est le PPCM de a et de b. En résumé : a et b deux entiers naturels non nuls, d leur PGCD, m leur PPCM. On peut écrire : ab
 a b  ab  da b . a  da  et b  db , avec a  et b premiers entre eux et m 
d
On a donc en particulier md  ab c'est‐à‐dire : PGCD(a ; b)  PPCM (a ; b)  ab . Remarque Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, leur PPCM est égal à ab . Propriétés Soit a, b deux entiers. k un entier naturel non nul.  PPCM (a ; b)  PPCM (b ; a)  PPCM (ka ; kb)  k  PPCM (a ; b) PPCM (a ; b)
a b
 Si a et b sont divisibles par k : PPCM ( ; ) 
k k
k
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Autre méthode de calcul du PGCD et du PPCM Soit deux entiers naturels n  p1a1 p 2 a 2  p k a k et m  p1b1 p 2 b2  p k bk décomposés en utlisant les mêmes nombres premiers (quitte à compléter avec des exposants nuls). Le PGCD de n et de m est l'entier p1c1 p 2 c 2  p k c k où ci est le plus petit des entiers ai et bi pour tout i compris entre 1 et k. Le PPCM de n et de m est l'entier p1d1 p 2 d 2  p k d k où d i est le plus grand des entiers ai et bi pour tout i compris entre 1 et k. Exemple 12 936  2 3  31  7 2  111  130 et 3 276  2 2  3 2  71  110  131 . Le PGCD de 12 936 et 3 276 est donc 84  2 2  31  71  110  130 . Le PPCM de 12 936 et 3 276 est donc 504 504  2 3  32  7 2  111  131 . Ex 16.1 Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers pour en déduire le PPCM : 9 et 12 40 et 50 150 et 441 980 et 42 40 et 63 35 280 et 59 400 Ex 16.2 Quel est le plus petit entier naturel n supérieur à 3 qui, divisé par 12 ou par 18, donne le même reste 3 ? Ex 16.3 En remarquant que 17  33  8  70  1 calculer le PPCM des nombres suivants : 17 et 8 17 et 70 33 et 8 33 et 70 Ex 16.4 Calculer le PGCD des nombres suivants pour en déduire le PPCM. 84 et 63 1 764 et 1 512 12 936 et 1 584 48 et 44 432 et 288 1 600 et 1 568 Ex 16.5 Calculer le PGCD et le PPCM des nombres non nuls a et b définis par : a  5 n  2  5 n et b  7 n  2  7 n où n est un entier naturel. Ex 16.6 Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels les systèmes :  xy  1512
 xy  300
 x  y  276
1. 
2. 
3. 
 PPCM ( x, y )  252
 PPCM ( x, y )  60
 PPCM ( x, y )  1 440
 xy  16 128
 xy  1 734
4. 
5. 
 PGCD( x, y )  24  PGCD( x, y )  17
Ex 16.7 Résoudre l'équation 2 PGCD(a ; b)  7 PPCM (a ; b)  111 où a et b désignent des entiers naturels. Ex 16.8 Trouver tous les couples (a ; b) d'entiers naturels ( a  b ) vérifiant : 2 PPCM (a ; b)  3PGCD(a ; b)  78 et tels que a ne divise pas b. Ex 16.9 a) Quels sont les entiers naturels dont le carré est un diviseur de 1980 ? b) Soit a et b des entiers naturels non nuls dont le PGCD est noté d et le PPCM est noté m. Déterminer a et b sachant que a. LycéeA.Dumas–PortauPrince–Haïti‐