6 - Université de Bretagne-Sud

Université de Bretagne Sud
L1 MIS
Premier semestre 2014/2015
Mathématiques approfondies - TD n°6
pgcd(x, y) = 5
2
Exercice 1. Résoudre dans N le système
ppcm(x, y) = 60
Exercice 2.
1. Soient p et q deux entiers premiers entre eux, et a, b deux entiers. Soit up+vq = 1 une relation
de Bezout entre p et q. On pose x = vqa + upb.
(a) Montrer que x ≡ a [p] et x ≡ b [q].
(b) Soit y ∈ Z tel que y ≡ a [p] et y ≡ b [q]. Montrer que y ≡ x [pq].
2. Soit n = 19941999 .
(a) Trouver deux entiers u, v ∈ Z tels que 9u + 25v = 1.
(b) On note a le reste dans la division euclidienne de n par 9 et b le reste dans la division
euclidienne de n par 25. Déterminer a et b.
(c) Déduire des questions précédentes le reste dans la division euclidienne de n par 225.
Exercice 3.
n
Pour n ∈ N, on note Fn = 22 + 1 le nieme nombre de Fermat.
n
1. Soit d un diviseur de Fn . Montrer que, si p est un entier pair, alors (22 )p ≡ 1 [d].
m
2. En déduire que, pour tout entier m > n, on a 22 ≡ 1 [d].
3. Montrer que si n 6= m alors les nombres Fn et Fm sont premiers entre eux.