Semaine N 6: Algèbre générale, arithmétique (début)

MPSI 1
programme de colles
Lycée Privé Sainte-Geneviève
Semaine N◦6 : Algèbre générale, arithmétique (début)
Partie I - Algèbre générale
• Tout le programme sur les groupes et les anneaux à revoir.
• Anneaux
– Sous-anneau, caractérisation. Sous-anneau engendré.
– Morphisme d’anneaux.
• Corps
– Tout corps est un anneau intègre.
– Sous-corps, caractérisation. Sous-corps engendré par une partie.
– Morphisme de corps.
– À l’attention des colleurs comme des élèves : la construction du corps des fractions d’un anneau
intègre a été vue à titre "culturel", mais en aucun cas elle ne saurait être exigible en colle.
Partie II - Arithmétique (début)
• Multiple, diviseur. La divisibilité est une relation d’ordre partielle sur N.
• Le pgcd et le ppcm ont d’abord été introduits pour deux entiers non nuls, au sens de la relation ≤.
• Pour tout n ∈ Z, nZ est un sous-groupe additif de Z. Réciproquement, tout sous groupe additif s’écrit
d’une unique manière nZ avec n ∈ N.
• Le pgcd et le ppcm de deux entiers non nuls vérifient aZ + bZ = (a ∧ b)Z et aZ ∩ bZ = (a ∨ b)Z.
• On choisit d’étendre la définition du pgcd et du ppcm à des entiers quelconques à l’aide de la propriété
précédente. Généralisation à plus de deux entiers. Distributivité du pgcd.
• d est un diviseur commun de a et b ssi il divise a ∧ b. m est un multiple commun de a et b ssi c’est un
multiple de a ∨ b.
• Entiers premiers entre eux. Généralisation à plus de deux entiers.
• Théorème de Bézout. Généralisation à n entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Corollaire : si a
est premier avec b1 , . . . , bn alors il est premier avec leur produit.
• Théorème de Gauss. Corollaire : si a1 , . . . , an divisent b et s’ils sont 2 à 2 premiers entre eux, alors leur
produit divise b.
• Écriture irréductible d’un rationnel.
• Invariance du pgcd par transvection. Application : algorithme d’Euclide.
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