CORRECTION Exercice 3 spécialité - XMaths

CORRECTION Exercice 3
spécialité
Bien connaître les différentes
méthodes de recherche d'un
PGCD.
On pouvait aussi utiliser ici
l'algorithme d'Euclide.
1°) a) On peut décomposer 363 et 484 en produit de facteurs premiers.
On obtient : 363 = 3 x 112
et
484 = 22 x 112
On en déduit que
PGCD(363 , 484) = 112 = 121 .
b) On a 484 - 363 = 121 = PGCD(363 ; 484).
Donc (363 ; 484) appartient à S .
Le fait que deux entiers
consécutifs soient premiers
entre eux est une propriété
classique à connaître et à
savoir démontrer.
2°) Si n un entier naturel non nul, on a PGCD(n ; n+1) = 1.
En effet, on peut écrire (n + 1) x 1 - n x 1 = 1, donc d'après le théorème de
Bézout, les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux.
On a donc PGCD(n ; n+1) = 1 = (n + 1) - n.
Le couple (n ; n+1) appartient à S .
Propriété importante du
PGCD.
3°) a) On sait que pour deux entiers non nuls x et y,
d = PGCD(x ; y) ⇔ x = kd et y = k'd avec k et k' premiers entre eux
Supposons que (x ; y) appartient à S , alors PGCD(x ; y) = y - x
On peut donc écrire x = k(y - x) et y = k'(y - x) avec k ∈ ZZ et k' ∈ ZZ
On a alors x - y = k(y - x) - k'(y - x)
Donc x - y - k(y - x) + k'(y - x) = 0 c'est-à-dire (x - y)(1 + k - k') = 0
Comme x < y, on a x - y ≠ 0.
On en déduit 1 + k - k' = 0 c'est-à-dire k' = k + 1.
*
De plus comme x est un entier naturel non nul, on a k ∈ IN .
Donc on peut écrire x = k(y - x)
et
*
y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN
Réciproquement,
*
supposons x = k(y - x) et y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN
Comme on sait que k et k+ 1 sont premiers entre eux, on en déduit que
(y - x) est le PGCD de x et y, donc (x ; y) appartient à S.
On a donc démontré que :
(x ; y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non
nul tel que x = k(y -x) et y = (k + 1)(y - x).
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La relation classique entre le
PGCD et le PPCM est à
connaître.
3°) b) On sait que pour tout couple d'entiers naturels non nuls on a :
PGCD(x ; y) x PPCM(x ; y) = xy
Donc si (x ; y) est un couple de S, on a
(y -x) x PPCM(x ; y) = xy
*
On sait que x = k(y -x) et y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN
donc (y -x) x PPCM(x ; y) = k(y -x)(k + 1)(y - x)
donc
La décomposition en facteurs
premiers permet de
déterminer le PPCM et le
PGCD de deux nombres.
Elle permet aussi de trouver
l'ensemble des diviseurs d'un
nombre donné.
PPCM(x ; y) = k(k + 1)(y - x) .
4°) a) On peut décomposer 228 sous la forme d'un produit de facteurs premiers.
228 = 22 x 3 x 19
L'ensemble des diviseurs naturels de 228 est donc l'ensemble des
nombres de la forme 2α x 3β x 19γ où α, β et γ sont des entiers naturels
tels que 0 £ α £ 2 ; 0 £ β £ 1 et 0 £ γ £ 1 .
En considérant les différentes valeurs possibles du triplet (α ; β ; γ), on
obtient l'ensemble des diviseurs naturels de 228 :
{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; 19 ; 38 ; 57 ; 76 ; 114 ; 228 } .
4°) b) Les couples (x ; y) de S tels que PPCM(x ; y) = 228 , sont tels que
*
x = k(y -x) et y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN
et PPCM(x ; y) = k(k + 1)(y - x)
On a donc k(k + 1)(y - x) = 228.
k et k + 1 sont donc deux entiers naturels consécutifs diviseurs de 228.
En considérant l'ensemble des diviseurs de 228, on en déduit que
k = 1 ou k = 2 ou k = 3
Pour k = 1, on a k(k + 1)(y - x) = 228, donc y - x = 114
x = k(y -x) = 1 x 114 = 114 et y = (k + 1)(y - x) = 2 x 114 = 228
Pour k = 2, on a k(k + 1)(y - x) = 228, donc y - x = 38
x = k(y -x) = 2 x 38 = 76 et y = (k + 1)(y - x) = 3 x 38 = 114
Il n'est pas inutile de signaler
que les couples trouvés
répondent bien à la question.
Pour k = 3, on a k(k + 1)(y - x) = 228, donc y - x = 19
x = k(y -x) = 3 x 19 = 57 et y = (k + 1)(y - x) = 4 x 19 = 76
D'après 3°)a) et 3°)b) les couples ( x ; y) ainsi trouvés sont bien des
éléments de S tels que PPCM(x ; y) = 228 .
L'ensemble des couples (x ; y) de S tels que PPCM(x ; y) = 228 est
donc { (57 ; 76) ; (76 ; 114) ; (114 ; 228) } .
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