Cours d’Algèbre Dr. P. Chabloz Semestre d’automne 2015 28 septembre 2015 Corrigé de la série 2 Exercice 1. Pour chacun des couples d’entiers (a, b) suivants, calculer pgcd(a, b) et ppcm(a, b) en factorisant a et b en produits de facteurs premiers. (1) a = 105, b = 303. On obtient les décompositions en facteurs premiers suivantes : a = 3 · 5 · 7 et b = 3 · 101. On en déduit que pgcd(a, b) = 3 et ppcm(a, b) = 3 · 5 · 7 · 101 = 10606. (2) a = 108, b = 162. On obtient les décompositions en facteurs premiers suivantes : a = 22 · 33 et b = 2 · 34 . On en déduit que pgcd(a, b) = 2 · 33 = 54 et ppcm(a, b) = 22 · 34 = 324. (3) a = 3567, b = 1024. On remarque que b = 210 et que a est impair. Par conséquent pgcd(a, b) = 1 et ppcm(a, b) = a · b = 3652608. Exercice 2. Combien existe-t-il de couples d’entiers (a, b) tels que pgcd(a, b) = 12 et ppcm(a, b) = 360? Ici, a et b sont des entiers supérieurs ou égaux à 1. Soit (a, b) un couple satisfaisant aux deux conditions de l’énoncé. Comme pgcd(a, b) = 12, on peut écrire a = 12α et b = 12β, avec pgcd(α, β) = 1. Par ailleurs, comme ppcm(a, b) = 12αβ = 360, on voit que αβ = 30. Réciproquement, si on se donne un couple d’entiers (α, β) premiers entre eux satisfaisant αβ = 30, alors le couple (a, b) = (12α, 12β) satisfait aux deux conditions de l’énoncé. Finalement, on voit donc que le nombre de couples (a, b) satisfaisant aux deux conditions de l’énoncé est exactement le nombre de couples (α, β) d’entiers premiers entre eux vérifiant αβ = 30. Comme 30 = 2 · 3 · 5, on voit que seuls les couples (α, β) suivant conviennent : (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1). Il y en a donc 8. Exercice 3. En vous inspirant de la preuve d’Euclide, montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers dans la suite : 3, 7, 11, 15, . . . , 4k + 3, . . . Il revient au même de montrer qu’il y a un nombre infini de nombres premiers dans la suite : 7, 11, 15, . . . , 4k + 3, . . . 2 Supposons par l’absurde que ce ne soit pas le cas, et notons p1 < p2 < . . . < pr la liste finie des nombres premiers dans cette suite. Considérons à présent le nombre entier N = 4p1 · · · pr + 3. Soit p un nombre premier divisant N . Remarquons tout d’abord que p 6= 2 car N est impair. De plus p 6= 3 car sinon, on aurait que N , et donc N − 3 = 4p1 · · · pr est un multiple de 3, ce qui n’est pas le cas, car chaque pi est différent de 3. On a aussi que p 6= pi pour tout indice i entre 1 et r. En effet, si p = pi , alors on voit que N et donc 3 = N − 4p1 · · · pr est un multiple de p, ce qui est exclu car p 6= 3. Jusqu’à maintenant, on a donc montré que le nombre p figure dans la suite : 5, 9, 13, . . . , 4k + 1, . . . Comme ceci est valable pour tout nombre premier p divisant N , on voit que tous les diviseurs premiers de N sont congrus à 1 modulo 4. Par produit cela force N à être lui-même congru à 1 modulo 4 et fournit une contradiction, puisque, par définition même, N est congru à 3 modulo 4. On en déduit que l’hypothèse que l’on a faite au départ ne tient pas, ce qui achève le raisonnement.